10 chủ đề về mũ và logarit lý thuyết và phương pháp giải bài tập

Vài nét về sự biến thiên về đồ thị của hàm số lũy thừa Trong mục này, ta chỉ xét các hàm số lũy thừa dạng với và với tập xác định là + Hàm số đồng biến trên khoảng nếu + Hàm số nghịch bi

CHƯƠNG II MŨ VÀ LOGARIT

Chủ đề 1: LŨY THỪA

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Luỹ thừa vói số mũ nguyên

 Luỹ thừa với số mũ nguyên dương

Cho số thực và số nguyên dương

Sô được gọi là căn bậc của số nếu

Khi lẻ ; :Tồn tại duy nhất một căn bậc của số là

Khi chẵn và thì không tồn tại căn bậc của số

Khi chẵn; chỉ có duy nhất một căn bậc của số là

Khi chẵn; có 2 căn bậc của số thực là

3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ

Cho số thực và số hữu tỷ , trong đó Khi đó

4 Luỹ thừa vói số mũ vô tỷ

Giả sử là một số dương và là một số vô tỷ và là một dãy số hữu tỷ sao cho

+) Tính chất 3(so sánh lũy thừa khác cơ số): Với thì

II VÍ DỤ MINH HỌA

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Cách 2 : Các em có thể cho và bấm (tại sao

lại làm được như vậy các em học phần Logarit rồi quay lại bàí này nhé )

3 6 2 3 6

2

A b b b= =b + + =b

3 2 6

1 2 1

3 2 2 3

2 3 6 1

(Cách ra đề này nhằm hạn chế việc sử dụng CASIO )

a b

−

=+

1

a b A

a b

+

=

−

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA

I LÝ THUYÉT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Định nghĩa hàm số lũy thừa

+ Hàm sô , với , được gọi là hàm số lũy thừa

2 Tập xác định

+ Hàm số , với a nguyên dương, xác định với

+ Hàm sô , với a nguyên âm hoặc xác định với

+ Hàm số , với a không nguyên, có tập xác định là tập các số thực dương.

Lưu ý Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.

Theo định nghĩa, đẳng thức chỉ xảy ra nếu

Do đó, hàm số không đồng nhất với hàm số

Chẳng hạn, hàm số là hàm số căn bậc ba, xác định với còn hàm

số lũy thừa xác định với

3 Đạo hàm của hàm số lũy thừa

+ Hàm sô lũy thừa có đạo hàm tại mọi điểm và

+ Nếu hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì cũng có đạo

hàm trên J và

Chú ý Ta cần lưu ý hai kết quả sau:

+ Với nếu n chẵn, với nếu n lẻ thì

+ Nếu là hàm số có đạo hàm trên J và với khi n chẵn

với khi n lẻ thì (Với )

4 Vài nét về sự biến thiên về đồ thị của hàm số lũy thừa

Trong mục này, ta chỉ xét các hàm số lũy thừa dạng với và với tập xác định là

+ Hàm số đồng biến trên khoảng nếu

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng nếu

+ Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm

II VÍ DỤ MINH HỌA

n

n n

=+

x y

4 1 23

12

+

=+

x y x

( )2

3 2

1'

1'

y x

( ) ( )

2

2 2

2 ln 1'

y x

( ) ( )

2

2 2

4 ln 1'

y x

( ) ( )

Chọn C.

Để tính biểu thức ? Ta đi trả lời câu hỏi a mũ bao nhiêu thì bằng b

Do vậy Các bạn tính các giá trị còn lại nhé!

Chú ý: +) Khi là cơ số thập phân ta ký hiệu: ( được hiểu là )

Chứng minh: 1 Ta có:

Chứng minh: 2 Đặt

Chứng minh: Ta có: ( vì theo công thức 2)

Hệ quả: Khi cho ta có:

II VÍ DỤ MINH HỌA

2 1

3

33

Cách 2: Cho Nhập vào máy tính ta được kết quả bằng

Hướng dẫn: Chọn A.

Ta có:

Cách 2: Cho nhập vào máy tính ta được

log  2 2 2 =

98

3 4

Ví dụ 7: Cho và ( với ) Vậy bằng:

3 2

5

2 2

log log

b a

b

lo a b

Ví dụ 17: [ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2016]:

Cho Tính giá trị của biểu thức

43

3log log 6 log log 12

Ví dụ 28: Cho Tính giá trị của biểu thức , biết rằng

Hướng dẫn: Chọn C.

Ta có:

2 BIỂU DIỄN LOGARIT

Ví dụ 1: Cho các số dương Khẳng định nào dưới đây là sai.

loga x= −6 loga x= −4 loga x= −2 loga x= −1

3 3

2 2

2loga b+3loga c=loga b c

logb c+loga b=loga c log

Ví dụ 4: Cho các số dương Khẳng định nào dưới đây là sai

loga x+log a y=loga xy loga(x y+ =) loga x+loga y

loga x+loga y=loga xy

2log 3

=

12

2log 18

2 1

+

=+

a

2 2log 18

12

2 2log 18

2

+

=+

a a

( ) ( )

2 2

2log 5=a log 12504

4

4log 1250

5 1

=

5log 15

3 1

=

1log 15

2 1

=

1log 15

5 1

=

−a

2log 7

=

14

2log 49

1

=+

a

2log 49

2

=+

a

2log 49

1

=+a

( )2

14

2

log 49 2log 49

log 2.7 1

+

a a

10

2

4log 5

( ) ( )

2 2

2

2log 3

2 2

log 18 log 2.3 1 2log 3

20log 50

=

2

2 1log 5

2

−

=+

a a

( ) ( )

2 2

log 20 log 2 5 2 log 5

a ab

+

=+

a ab

+

=+

a b

ab a log 1512 2

+

=+

a b

ab b

( ) ( )

ab

2 6

log 45= a − ab

2log 45= +

+

a ab

ab b

2 6

log 5.9 log 3.log 5 2 log 3

log 45

++

log 72 log 2 3= =3log 2 2log 3 3+ = a+2b nophoto3_48x48.

log 3= p;log 5=q log 3015 p q;

15

1log 30= +

+

q

1log 30= +

p q q

b A

ab b

4 22

+

=+

b A a

1

+

=+

b A

ab b

6 6

12

+

a b

2log 100= +

+

a ab

2log 100= +

+

ab b

a b

( ) ( )

2 2 2

1

+

=+

a b

2log 36

1

+

=+

a b

2 2log 36

1

+

=+

a b

2 2log 36

1

+

=+

a b a

( ) ( )

2 2 5

3

+

=+

a b

2log 45

3

+

=+

a b

2 2log 45

3

+

=+

a b

2log 45

3

+

=+

a b a

( ) ( )

2 2

2log 6=a log 53 =b

12log 20

12

2log 20

2 2 2

log 2 5log 20

+

a b

2log 12= +

+

a b

2log 12= +

+

a b

2log 12= +

+

a b

ab a

( ) ( )

=

3

2 1log 90

3

2 1log 90

1

=+

a b a

ab a

+

=+

ab a

1log 10

2

+

=+ +

ab

1log 15

1

+

=+ +

ac

c a c

42

1log 15= +

a

b a

1 loglog

1 log

−

=+

a ab

a

b a

1 loglog

a

b a

1 loglog

b

b a

a b

a

b ab

1 log

+

=+

a

a b

a

b ab

a

a b

a

b ab

2 2log

+

=+

a

a b

a

b ab

Ví dụ 39: Cho các số và Khẳng định nào sau đây là đúng

+ +

=+ +

abc

pq qr rp x

p q r

log

−

b

mn x

+

b

mn x

m n

1 1logb x= −

b

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

Ví dụ 43: [ ĐMH THPT QUỐC GIA 2017] Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn

Khẳng địn nào sau đây là đúng

III BÀI TẬP LUYỆN TẬP

a

a a

n n n

1< <a b

 

 ÷

 

1 813

 

 ÷

 

1 613

540

>

a a≠1

loga xy=log loga x a y log n = log ( >0, ≠0)

n x n a x x n

23log log 16 +log 2

Câu 12: Cho Giá trị của biểu thức là:

Câu 3: Tìm giá trị của biểu thức sau:

Câu 12: Đặt , biểu diễn đúng của theo a và b là:

Câu 19: Gọi x là giá trị thỏa mãn theo thứ tự thành một cấp số cộng và giá trị x được

biểu diễn dưới dạng Tổng bằng

2

+

=+

a

3log 40

2

+

=+

a

2log 40

2

+

=+

a

2log 40

2

+

=+

Câu 22: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Khẳng định nào dưới

đây là đúng về đẳng thức liên hệ giữa a, b, c ?

Câu 23: Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn và

Tam giác chứa ba cạnh a, b, c là tam giác mang tính chất gì?

A. Tam giác vuông B. Tam giác cân C. Tam giác đều D. Tam giác tù

2 1

+

=+

a ab

2log 21

1

+

=+

a ab

a log 2118 2 1

+

=+

a ab a

3log 2

=

2 1

+

=+

x

3 1log 54

2

+

=+

x

3 1log 54

2 1

+

=+

x

3log 54

2

+

=+

x x

- (Do vậy tập giá trị của hàm số mũ là )

- Với khi đó Hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp ta có do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang

- Với khi đó Hàm số luôn nghịch biến

Trong thường hợp ta có do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang

- Đồ thị hàm số nhận trục là tiệm cận ngang và luôn đi qua các điểm (0;1) và (1;a)

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành (Do có tập giá trị là )

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ

Do đó đồ thị hàm số đã cho nhận

đường thẳng (trục Ox) là tiệm cận ngang

01

số đã cho đồng biến trên hàm số đã cho đồng biến trên

Như chúng ta đã biết đồ thị hàm số và nhận trục tung là trục đối xứng

Do đó ta có: Đồ thi hàm số và đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục tung (trục Oy)

Ví dụ 1: Đồ thị hàm số và (hay ) đối xứng nhau qua trục tung

- Với khi đó Hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp này ta có: do đồ thị hàm số nhận trục tung tiệm cận đứng

- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm (1;0) và (a; 1) và nằm phí bên phải trục tung

a a

Như chúng ta đã biết đồ thị hàm số và nhận trục hoành là trục đối xứng

Do đó ta có: Đồ thi hàm số và đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục nhau qua trục

lim lim log

lim lim log

y= x y= −log3x y=log1x

III Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Do vậy GTLN là khi và GTNN là khi

Ví dụ 4: Cho hàm số Khẳng định nào sau đây là sai.

A. Đồ thị hàm số đã cho nằm trên trục Ox

B. Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung là đường tiệm cận

C. Đạo hàm của hàm số đã cho là

D. Đạo hàm đã cho đồng biến trên

.ln

a

u u

Đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng y = 0 (trục hoành) là tiệm cận ngang.

Ví dụ 5: Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

Chú ý tập xác định của hàm số là

Do đó A sai Hàm số có nên nó đồng biến trên miền xác định là

Ví dụ 6: Hàm số nào trong các hàm số sau không có đường tiệm cận

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là

Đồ thị hàm số có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Ví dụ 7: Cho hàm số Khẳng định nào sau đây là sai

A. Đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng là tiệm cận đứng

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

x=

2

;3

 +∞

C. Tập giá trị của hàm số đã cho là

D. Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

Tập giá trị của hàm số đã cho là vì ta có

Ví dụ 8: Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên ℝ

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

Hàm số và có nên nghịch biến trên ℝ

nên hàm số không đồng biến trên ℝ

Ví dụ 9: Cho hàm số Khẳng định nào sau đây là đúng.

A. Đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng là tiệm cận ngang

B. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ

C. Đồ thị hàm số đã cho luôn nằm phía trên trục hoàng

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ

Hướng dẫn: Chọn đáp án A

Dễ thấy đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

và đồng biến trên khoảng

lim ;lim

x x

ln 3log

ln 2

x=

Nhân thấy nên đồ thị đã cho không luôn nằm phía trên trục hoành

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng là tiệm cận ngang

Ví dụ 10: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai.

A. Đồ thị hàm số và đều nhận đường tiệm cận đứng là

Ví dụ 11: Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục hoành ta được đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau

Hướng dẫn: Chọn đáp án D

Khi lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục hoành ta sẽ được đồ thị hàm số

Ví dụ 12: Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục hoành ta được đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau:

Hướng dẫn: Chọn đáp án A

Khi lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục hoành ta sẽ được đồ thị hàm số

Như vậy lấy đối xứng đồ thị hàm số ta được đồ thị hàm số

Ví dụ 13: Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục tung ta được đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau:

2log

y= x

0

x=

2log

2log

y= x

2log

2log

2log

5log

y= x y=5 −x y= −5x

( )

5log

A B C D.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

Khi lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục tung ta sẽ được đồ thị hàm số

Như vậy khi lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục tung ta được đồ thị hàm số

Ví dụ 14: Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục tung ta được đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau:

Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

Hàm số đã cho phải là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là ℝ.(loại A và B)

Hàm số đã cho nhận trục là đường tiệm cận ngang ( loại D )

Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

Hàm số đã cho phải là hàm số đồng biến trên tập

xác định của nó là ( loại A,C và D)

Hàm số đã cho nhận trục là đường tiệm cận ngang

A B.

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

Nhận xét hàm số đã cho là hàm nghịch biến( loại A và D)

Mặt khác đồ thị hàm số đã cho nhận là đường tiệm cận đứng

Ví dụ 18: Trong hình vẽ bên đồ thị (1) là của hàm

x y

x= − a−1 >b−1 ⇔ <a b

1

b a> >

Ví dụ 22: Nhận xét nào sau đây là sai.

A. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng là tiệm cận ngang

x

x x

x x y

x x

x y

22

x x

D x

'ln13

2 1

y x

=+ y'=(2x 21 ln 2)

e e y

x

−+

y= x

2' 3ln

'3

x y

2

x y

x x

+

=+ +

( 2 )

2 1'

x y

2 ln 2

x y

x x

+

=+ +

1

x x

e y

xe

+

=+

1'

1

x y xe

2 1 ln 2

y x

x

−

x x

x y

x y

2 3

x y

x y

1

y x

=

1'

y x= x

3' log 1

y = x+ y' log= 3( )xe y' log= 3 x e+ y' log= 3x−ln 3

f x =

3 1

x x

f x =

+ '( ) 3 ln 32

3 1

x x

f x =

+ '( ) 3 ln 9

3 1

x x

log

2 3

' 3log

33log

x

ln 3

y x

Ví dụ 64: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:

Ví dụ 66: Cho hàm số .Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là và hàm số không có giá trị lớn nhất

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là và giá trị lớn nhất của làm số là

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là và hàm số không có giá trị lớn nhất

Ví dụ 67: Cho hàm số Khẳng định nào sau đây là đúng.

A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là và hàm số không có giá trị lớn nhất

B. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là và hàm số không có giá trị lớn nhất

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là

x y

miny=2 5;maxy=6

[ ] 0;1 [ ] 0;1miny=2 5; maxy=5

Ta có: Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn

miny=y 2 = 7 2ln 2; max− y= y 1 =2

2 7 4 ln 2

P= −

Ví dụ 74: Cho hàm số Khẳng định nào sau đây là đúng.

A. Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất

B. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là

C. Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là

D. Giá trị lớn nhất của hàm số là và giá trị nhỏ nhất là

1min ; max 4 ln 2

e y e= +

[ ]

2 1;

e y= e − max[ ]1; 0

e y=

2 1' 2 ln x 0

Ví dụ 80: Cho hàm số Đẳng thức nào sau đây đúng.

C. Hàm số tăng trên khoảng

D. Hàm số giảm trên khoảng

Câu 2: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số với là một hàm số đồng biến trên khoảng

B. Hàm số với là một hàm số nghịch biến trên khoảng

C. Đồ thị các hàm số và thì đối xứng với nháu qua trục hoành

Câu 8: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Đồ thị các hàm số và thì đối xứng với nhau qua trục tung

B. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm

C. Hàm số với là một hàm số đồng biến trên

D. Hàm số với là một hàm số nghịch biến trên

3 2

x y

x x

4 11

x x

−+

( )3

4 11

x x

x x

A. Hàm số với là một hàm số nghịch biến trên

B. Hàm số với là một hàm số đồng biến trên

C. Đồ thị các hàm số và thì đối xứng với nhau qua trục tung

D. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm

Câu 18: Cho hàm số Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại B. Hàm số tăng trên

C. Đạo hàm D. Hàm số đạt cực tiểu tại

Câu 19: Hàm số đồng biến trên khoảng:

=+

x

=+

x y

Câu 22: Hàm số

A. Có một cực tiểu B. Có một cực đại

C. Không có cực trị D. Có một cực đại và một cực tiểu

Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số sau: :

Câu 27: Cho hàm số , các kết luận sau, kết luận nào là sai?

A. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm

B. Hàm số luôn đồng biến với mọi thuộc tập xác định

C. Hàm số là hàm số lẻ.

D. Hàm số cũng không chẵn không lẻ

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

B. Giá trị gần đúng (với 3 chữ số thập phân) của hàm số tại là

C. Giá trị gần đúng (với 3 chữ số thập phân) của hàm số tại là

y x

=+

x x y

C. Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

Câu 36: Cho Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

''

3 2

y x

−

=+

9''

3 2

y

x

=+

11.B 12.C 13.A 14.D 15.C 16.B 17.C 18.D 19.A 20.B

CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨI.LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta có các dạng bài thường gặp như sau:

+ Đưa về cùng cơ số hoặc lấy hai vế

+ Tư tưởng ẩn phụ

+ Phương pháp hàm số và đánh giá

Cụ thể vấn hơn, ta cùng đến với mục tiếp theo

II VÍ DỤ MINH HỌA

1.Dạng bài đưa về cùng cơ số hoặc lấy hai vế

- Loại thứ nhất có dạng , với hằng số

Ta biến đổi

Giải phương trình và đối chiếu với điều kiện

- Loại thứ hai có dạng , với hằng số

Ta biến đổi

Trường hợp thì phương trình vô nghiệm luôn

Giải phương trình và đối chiếu với điều kiện

S x

x x

+

=  ÷ 

Ví dụ 11: Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt là Tổng có dạng

a

S b

a b

S c

= =

 = −



thực dương Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

20

5

20log9

2

9log20

2

20log9

log

x x

Ta có

Do đó:

Chọn A

Ví dụ 18: Biết rằng phương trình Có hai nghiệm phân biệt là Tổng có dạng

,với và là phân số tối giản Tính

a

S b

77

Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho.

+TH2 , thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho

+TH3 , thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã choTóm lại, phương trình đã cho có nghiệm là