Tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức đến từ kì tuyển sinh lớp 10 chuyên toán

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1.. Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh.. Vậy bất đẳng thức được chứng minh... Vậy bất đẳng thức đã ch

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Bài 1 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 1+ + = Chứng minh rằng:

Bài 2 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2 3y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

+ + + hay P 1

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x 1; y 2; z 1= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được tại x 1; y 2; z 1= = =

• Lời giải 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được tại x 1; y 2; z 1= = =

Bài 3 Với x, y là các số thực thỏa mãn ( )( ) 9

x 2 y 1

4+ − = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nghệ An năm học 2019 – 2020

Bài 5 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 a b 5 1 b c 5 1 c a 5P

• Lời giải 1 Dự đoán được giá trị nhỏ nhất của P là 5, đạt được tại a b c 1= = = Khi

đó ta quy bài toán về chứng minh

 − = Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5, đạt được tại a b c 1= = =

Bài 6 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 2019xyz+ + = Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ giả thiết x y z 2019xyz+ + = ta được

2

2 x xy xz2019x

Bất đẳng thức được chứng minh hoàn tất Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z= =

Bài 7 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn (a4 +b4)(b4+c4)(c4+d4)= Chứng minh 8rằng:

Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được

Do vậy ta được a4+b4+6a b2 2 4ab a( 2+b2)

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xẩy ra kh và chỉ khi a b=

Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được ( 2 2)2 4 4 ( 2 2)2 4 4

Bài 8 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1

a 1 b 1 c 1+ + + + + Tìm giá trị nhỏ

3 a +b +c  a b c+ +Bất đẳng thức cuối cùng là một đánh giá quen thuộc

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được

3 3

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2, đạt được tại a b c 2= = =

• Lời giải 2 Áp dụng kĩ thuật AM – GM ta được

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2, đạt được tại a b c 2= = =

Bài 9 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

a b c+ + 27 a +b +c ab bc ca+ +Lấy căn bậc hai hai vế bất đẳng thức trên ta được

Bài 10 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 3+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5, đạt được tại a 2; b 0; c 1= = = và các hoán vị

Bài 11 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y z 3+ + = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x2−6x 25+ + y2−6y 25+ + z2−6z 25+

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2019 – 2020

Lời giải

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M

Trước hết ta phát biểu và chứng minh bổ đề: Với a, b, x, y là các số thực không âm ta luôn có:

a +x + b +y  a b+ + x y+

Thật vậy, bình phương hai vế ta được

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 1= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 6 5, đạt được tại x y z 1= = =

+ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M

Do x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 3+ + = nên ta được 0 x; y;z 3 

Vậy giá trị lớn nhất của M là 14, đạt được tại x 3; y 0; z 0= = = và các hoán vị

Bài 12 Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn 1 1 1 3

a+ +  Tìm giá trị lớn nhất của b cbiểu thức

Đến đây thì ta thu được VT 1 3 3 2

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hà Nội năm học 2018 – 2019

Lời giải + Lời giải 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá sau

  + + + +   Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng được

Thật vậy do xyz 1= nên ta có biến đổi

2xy

− + + Chứng minh hoàn toàn tương

tự ta có

Bài 16 Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn 12x 10y 15z 60+ +  Tìm giá trị lớn nhất của: T x= 2+y2+z2−4x 4y z− −

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thái Bình năm học 2018 – 2019

( ) ( ) ( )

5x x 6, 4 5y y 6 5z z 4 05T 12x 10y 15z 0 5T 12x 10y 15z 60 T 12



Vậy giá trị lớn nhất của T là 12, xẩy ra tại x y 0; z 4= = = hoặc x z 0; y 6= = =

Bài 17 Cho các số x, y dương thỏa mãn điều kiện ( 2)( 2)

x+ 1 x+ y+ 1 y+ =2018 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y= +

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thái Bình năm học 2018 – 2019

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2017

11a 11b 12c2

ab bc ca+ + 3 ab.bc bc.ca ca.ab+ + =3abc a b c+ + = 9

Do đó ta được ab bc ca 3+ +  Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

8 a b c 27 a b c 98

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 2

4 , đạt được tại a b c 1= = =

Bài 22 Cho các số thực không âm x, y, z thay đổi thỏa mãn

x +y +z +x y +y z +z x = 6Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y z= + +

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2018 – 2019

Lời giải

+ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x y2 2+ 1 2xy; y z2 2+ 1 2yz; z x2 2+ 1 2zx

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 2 2

2xy x +y Do x, y, z là các số thực không âm nên ta lại có 2xy x y+ 2 2x2+y2+x y2 2x2+y2+z2+x y2 2+y z2 2+z x2 2 = 6

Do vậy ta có bất đẳng thức x y2 2+2xy 6 0− 

Đến đây ta suy ra được xy 7 1−  9 1 2− =

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng được yz 2; zx 2 

Chú ý đến x, y, z không âm thì ta có 2xy x y ; 2yz y z ; 2zx z x 2 2  2 2  2 2 Do đó ta có đánh giá 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x +y +z +2 xy yz zx+ + x +y +z +x y +y z +z x =6

Hay ta được 2 ( )2

Q = x y z+ +  nên 6 Q 6 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x= 6; y z 0= = và các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của Q là 6, xẩy ra tại x= 6; y z 0= = và các hoán vị

Bài 23 Với a, b là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a 2b 2 b

3+ = +

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M a b

Bất đẳng thức cuối cùng trên luôn đúng Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn

+ Lời giải 2 Xét biểu thức M b a b b

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ta khi và chỉ khi a b c= =

Bài 25 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx x y z+ +  + + Chứng minh rằng:

x y zy

Vậy bài toán được chứng minh hoàn tất, Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 1= = =

Bài 26 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a 7b 7c= =

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 19

++ + + Áp dụng y]ơng tự ta được

ab bc ca

+ +

=+ +

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2018 – 2019

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, xẩy ra tại a b c 1= = =

+ Cũng do 0 a, b,c 2  nên ta có (a 2 b 2 c 2− )( − )( − )0 hay ta được

abc 2 ab bc ca− + + +4 a b c+ + − 8 0Kết hợp với a b c 3+ + = thì ta được 2 ab bc ca( + + )abc 4+

Để ý rằng do a, b, c là các số không âm nên ta lại có abc 0 Do đó suy ra abc 4 4+ 

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2; b 1; c 0= = = và các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5

2, xấy ra tại a 2; b 1; c 0= = = và các hoán vị

Bài 29 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ( )2

a b c+ − =ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y 1= =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2, xẩy ra tại x y 1= = hay a b c= =

Bài 30 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Đặt x b; y c; z a

= = = , khi đó ta được x, y, z dương và xyz 1= Bất đẳng thức cần

chứng minh trên được viết lại thành 1 2 1 2 1 2 1

1 x x +1 y y +1 z z + + + + + + Biến đổi tương đương ta được

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi x, y, z dương

Do vậy phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 31 Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện

(a b c d+ )( + )=2; a c b d( + )( + )=3; a d b c( + )( + )=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a= 2+b2+ + c2 d2

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Phú Thọ năm học 2018 – 2019

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương ương với

xy 1+ 1 xy  2

Đặt

2 2 24x y1

Khi đó

2 2 2

Ta cần chứng minh 3xy 3

1 xy2+ hay

1xy

+

Thật vậy, từ giả thiết c a ta được a 1 1

c =xy Do đó 3 3

1xy

+

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xẩy ra tại a b c= =

Bài 33 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

+ ++ Áp dụng tương tự ta được

5z 3x 2y 5y 3y 2z 5x 3z 2x5z 3x 2y 5x 3y 2z 5y 3z 2x

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 34 Cho các số thực a, b thoả mãn a 2; b 2 Chứng minh rằng:

+ Lời giải 1 Biến đổi biểu thức P ta có

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Theo nguyên lý Dirichlet ta có trong 3 số 1 3x;1 3y;1 3z− − − có ít nhất hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử 1 3x;1 3y− − cùng dấu

Khi đó ta có (1 3x 1 3y− )( − ) 0 9xy 3x 3y 1 0− − +  9xyz 3xz 3yz z + −

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Biến đổi biểu thức P ta được

16 12

Dấu bằng xẩy ra khi x 1; y z 0= = =

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1, xẩy ra tại x 1; y z 0= = = và các hoán vị

Bài 36 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b4 4+b c4 4+c a4 4 =3a b c4 4 4 Chứng minh rằng:

Từ đó suy ra 4 6 8

a +b +c  a + b + c

Từ đó ta quy bài toán về chứng minh a + b + c 2 Do vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1 a b c 1−     Ta đi xét các trường hợp sau

+ Nếu 1 a b c 0−     , khi đó ta được a + b+ = − + +c (a b c)=0

Do đó suy ra a + b+ c 2 nên ta được a4+b6+  c8 2

+ Nếu 1 a b 0 c 1−      , khi đó a + b + = − − + = − + + +c a b c (a b c) 2c=2c2

Do đó suy ra a + b+ c 2 nên ta được a4+b6+c8 2

+ Nếu 1 a 0 b c 1−      , khi đó ta được

a + b + = − + + = − +c a b c 2a a b c+ + +2c= −2a2

Do đó suy ra a + b+ c 2 nên ta được a4+b6+  c8 2

+ Nếu 0 a b c 1    , khi đó ta được a + b + = + + c a b c 0, mâu thuẫn với giả thiết Do đó trường hợp này không xẩy ra

Vậy a4 +b6+c8  a + b + c 2, dấu bằng xẩy ra khi a= −1; b 0; c 1= = chẳng hạn

Bài 38 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( )

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bình Phước năm học 2017 – 2018

Do đó ta suy ra được T 8 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

yx

yx

y 1 x 1

y 1 x 1 x y 24

Bài 39 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 2 2 2

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z 6 2

   , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3

+ + + , khi đó ta thu được xy yz zx 1+ + =

Biểu thức M được viết lại thành

z 2x 1

+ +

Do đó ta được P 3

4

 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 1= = = hay a b c= =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

4, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

+ Cách 2 Tương tự như trên ta đi chứng minh

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

4, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y 1 = = hay a b c = =

Có thể thấy được hình thức đơn giản của biểu thức P, tuy nhiên khi đi vào đánh giá ta thấy được sự khó khăn Do vậy để hoàn thành được bài toán đòi hỏi phải phải nẵm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và phải làm nhiều mới có kinh nghiệm khi xử lý các bất đẳng thức khó

Bài 44 Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3+ + = Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi vào chỉ khi a b c 1= = =

Bài 45 Cho các số duơng x, y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta dự đoán được với x y z 3= = = thì P 9= Như vậy ta chuyển bài toán về chứng

minh P 9 Ta đi chứng minh 2x3 3y3 xy

x 4y

+

+ Thật vậy

Như vậy ta được P xy+ yz+ zx Ta cần chứng minh đươc xy+ yz+ zx 9

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho giả thiết ta thu được

Vậy ta có P 9 nên giá trị nhỏ nhất của P là 9, dấu bằng xẩy ra tại x y z 3= = =

Bài 47 Với x, y là những số thực thỏa mãn các điều kiện 0 x y 2; 2x y 2xy   +  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x x= 2( 2+ +1) (y y2 2 + 1)

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2016 – 2017

Vậy giá trị lớn nhất của P là 22, đạt được tại x 1; y 2= =

Bài 48 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Bài 49 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3+ + = Chứng minh rằng:

a b b b c c c a a

+ + +

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a b c 1= = =

Bài 50 Cho a, b,c 0 và a b c 9+ +  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a 1; b 3; c 5= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 15, đạt được tại a 1; b 3; c 5= = =

Bài 51 Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ac abc 4.+ + +  Chứng minh rằng:

4 abc ab bc ac 4 a b c + + +   1 abc + + a b c 3 abc3 a b c

Bất đẳng thức tương đương với 2 2 2 3 2 2 2 ( )

a +b + +c 3 a b c 2 ab bc ac+ +Đặt 3 2 3 2 3 2 ( )

Do vai trò x, y,z như nhau, giả sử x  y z z z x z y( − )( − )0

Bài 52 Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 12 12 12 1

Bài 53 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 54 Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ( )3

a b+ +4ab 12 Chứng minh bất đẳng thức:

Dễ dàng chứng minh được 1 1 2

1 a 1 b+ 1 ab+ + + , a, b 0,ab 1   Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1= =

Bài 55 Cho a, b,c là các số thực Chứng minh: ( 2 )( 2 )( 2 ) 3 a b c( )2

2a +2 2b +2 2c +2 3 2a+ 2b+ 2cĐặt x a 2; y b 2; z c 2.= = = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

4 x y z 2 x y 2z 3 x y z2

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bài toán được chứng minh

Bài 56 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

3 a +b +c  a b c+ +Bất đẳng thức cuối cùng là một đánh giá quen thuộc

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

+ Cách 3 Ngoài hai lời giải trên ta có thể tham khảo thêm lời giải bằng phương pháp

biến đổi tương đương như sau: Vì a, b là các số thực dương nên ta có

Bài 57 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = Chứng minh rằng:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có 3 a b3 4 2 =3 a ab.ab a3 2  2+ab ab+

Hoàn toàn tương tự ta được ( ) ( )2

3 4 2 3 4 2 3 4 2 a b c1

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Bài 58 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 2+ + = Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x= = =y z 2

Bài 59 Cho hai số x, y thỏa mãn x y 2+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )2 ( ) (2 )2 ( )( )

a +x + b +y  a b+ + x y+ 2 a +x b +y 2ab 2xy+

- Nếu ab xy 0+  , bất đẳng thức hiển nhiên đúng

- Nếu ab xy 0+  , khi đó bất đẳng thức trên tương đương với

a +x b +y  ab xy+  ay bx− 0Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ay bx; ab xy 0= + 

Trở lại bài toán Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 5 4− , đạt được tại x y 1= =

Bài 60 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2 =3xyz Chứng minh rằng: