Phương pháp biên nhúng và bộ giải số mô phỏng tương tác giữa vật thể và dòng chảy hai pha

Tổng quan phương pháp biên nhúng IBM, phương pháp thể tích chất lỏng, openFOAM; phương pháp số; triển khai trong OPENFOAM; kiểm nghiệm bộ giải INTERIBMFOAM. Tổng quan phương pháp biên nhúng IBM, phương pháp thể tích chất lỏng, openFOAM; phương pháp số; triển khai trong OPENFOAM; kiểm nghiệm bộ giải INTERIBMFOAM.

i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ĐỖ QUỐC VŨ

PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG VÀ BỘ GIẢI SỐ MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC

GIỮA VẬT THỂ VÀ DÒNG CHẢY HAI PHA

ii

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên tác giả luận văn: Đỗ Quốc Vũ

Đề tài luận văn: Phương pháp biên nhúng và bộ giải số mô phỏng tương tác giữa

vật thể và dòng chảy hai pha

Chuyên ngành: Kỹ thuật Cơ khí động lực

Mã số HV: CBC18009

Tác giả, Người hướng dẫn khoa học và Hội đồng chấm luận văn xác nhận tác giả đã sửa chữa, bổ sung luận văn theo biên bản họp Hội đồng ngày12/09/2019 với các nội dung sau:

- Chỉnh sửa lỗi chế bản, theo mẫu tiêu chuẩn

- Bổ sung trích dẫn tài liệu tham khảo

Giáo viên hướng dẫn

TS Phạm Văn Sáng

Ngày tháng năm 2019

Tác giả luận văn

Đỗ Quốc Vũ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TS Vũ Đình Quý

iii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi – Đỗ Quốc Vũ, học viên lớp Cao học Kỹ thuật Cơ khí Động lực khóa CLC2018B Trường Đại học Bách khoa Hà Nội – cam kết luận văn này là công trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Văn Sáng– Viện Cơ khí Động lực – Đại học Bách khoa Hà Nội Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Hà Nội, ngày tháng năm 2019

Tác giả

Đỗ Quốc Vũ

iv

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Hà Nội, ngày tháng năm 2019

Giảng viên hướng dẫn

TS Phạm Văn Sáng

v

MỤC LỤC

DANH MỤC BẢNG BIỂU vii

KÍ HIỆU VÀ CỤM TỪ VIẾT TẮT viii

LỜI MỞ ĐẦU x

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG 1

1.1.Phương pháp biên nhúng – Immersed Boundary Method (IBM) 1

1.2 Phương pháp thể tích chất lỏng 3

1.3 OpenFOAM 6

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SỐ 8

2.1 Phương pháp biến nhúng – Cách tiếp cận Direct Forcing 8

2.2 Phương pháp thể tích chất lỏng sử dụng trong OpenFOAM 11

2.3 Mô hình chuyển động của vật rắn 14

CHƯƠNG 3: TRIỂN KHAI TRONG OPENFOAM 16

3.1 Bộ giải hai pha interFoam trong OpenFOAM 16

3.2 Bộ giải interIBMAMRFoam 17

3.3 Thư viện IBMlib 20

3.4 Tính toán song song 21

3.5 Thuật toán multi-direct forcing 22

CHƯƠNG 4: KIỂM NGHIỆM BỘ GIẢI INTERIBMFOAM 29

4.1 Bài toán vỡ đập 29

4.2 Tương tác của hình trụ tròn với mặt thoáng 32

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

vi

Hình 3.1: Sơ đồ khối bộ giải interFoam cho dòng hai pha trong OpenFOAM 17Hình 3.2 Sơ đồ thuật toán của bộ giải interIBMAMRFoam tại mỗi bước thời gian 19Hình 3.3: Cấu trúc thư viện IBMlib 21Hình 3.4: Miền tính toán của bài toán với L = 10D chia đều thành 128 128 phần tử lưới 23Hình 3.5: Giá trị vận tốc dọc theo trục X của miền tính toán tại các số Courant khác nhau Tại số Co = 0.05 cho giá trị vận tốc trên biên là chính xác 24Hình 3.6: Giá trị sai số giữa vận tốc thực tế và vận tốc mong muốn ở các số Courant khác nhau tại 40 điểm Lagrange 25Hình 3.7: Sai số khi làm mịn lưới và khi tăng số Re Cả ba trường hợp đều được thực hiện ở điều kiện số Courant = 0.6 Sai số của vận tốc trên biên gần như không hề giảm khi làm mịn lưới và giảm mạnh khi ta tăng số Re 25Hình 3.8: Kết quả vận tốc dọc trục X và sai số ε tại bề mặt vật thể sau khi thêm vòng lặp Multi-forcing: (a) nf = 1 ; (b) nf = 3 Giá trị sai số giảm đáng kể chỉ sau ba vòng lặp multidirectforcing 27Hình 4.1: Kích thước miền tính toán của bài toán vỡ đập 29Hình 4.2: Kết quả mô phỏng tại các bước thời gian sử dụng bộ giải interIBMFoam 30Hình 4.3: Kết quả mô phỏng (trái) và thực nghiệm (phải) được thực hiện bởi Ubbink 31Hình 4.4: Lưới tính toán đều, không sử dụng AMR (trái, 160.000 phần tử) và lưới tính toán sử dụng AMR (phải, ~30.000 phần tử) 32Hình 4.5: Mô hình bài toán chuyển động nổi lên chìm xuống của hình trụ tròn 33Hình 4.6: Kết quả bài toán chuyển động ra khỏi mặt thoáng (water exit) tại các bước thời gian khác nhau (a) Kết quả của bộ giải hiện tại, (b) mô phỏng của (P Lin, 2007) 34Hình 4.7: Kết quả bài toán chuyển động (water entry/sinking) của hình trụ tại các mốc thời gian T (a) Kết quả của bộ giải hiện tại, (b) mô phỏng của (P Lin, 2007) 35Hình 4.8: So sánh profile mặt thoáng thu được bởi bộ giải hiện tại với các nghiên cứu trước của (M Greenhow, S Moyo, 1997) và (P Lin, 2007) 35

vii

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 4.1: So sánh thời gian tính toán cho hai loại lưới sử dụng cho bài toán vỡ đập 31Bảng 4.2: So sánh thời gian tính toán cho hai loại lưới sử dụng cho bài toán chuyển động nổi lên khỏi mặt thoáng của hình trụ tròn 36

viii

CFD Computational Fluid Dynamics Tính toán động lực học chất lưu

IBM Immersed Boundary Method Phương pháp biên nhúng

FVM Finite Volume Method Phương pháp thể tích hữu hạn

STL Stereolithography Định dạng lưới bề mặt tam giác

PISO Pressure Implicit Split Operators Thuật toán PISO

AMR Adaptive Meshing Refinement Chia lưới thích ứng

Ba thành phần tọa độ theo ba phương của điểm Euler

Ba thành phần tọa độ theo ba phương của điểm Lagrange

ix

Vận tốc góc của vật thể

Hàm cửa sổ Delta Khối lượng riêng

Độ nhớt động lực học của chất lỏng

Độ lớn bước thời gian

Toán tử

Gradient Divergence Laplacian

và sẽ là một phần không thể thiếu trong các nghiên cứu về dòng chảy

Trong mô phỏng động lực học chất lỏng (CFD), cách tiếp cận truyền thống là các phương trình mô tả dòng chảy được giải trên một miền tính toán được rời rạc hóa thành nhiều phần tử lưới Miền này thường được bao quanh bởi tường rắn hoặc chứa các vật rắn bên trong Để thỏa mãn chính xác điều kiện biên không trượt tại bề mặt tường rắn, lưới

tính toán thường được chia bám theo bề mặt vật thể (body-conformal) để dễ dàng áp đặt

điều kiện biên vận tốc tại đó bằng không Mặc dù phương pháp này có thể giải quyết hiệu quả các bài toán vật thể đứng yên và lưới tính toán là lưới tĩnh, vấn đề sẽ trở nên khó khăn hơn rất nhiều khi vật thể chuyển động hoặc có biến dạng do yêu cầu phải chia lại lưới tại mỗi bước thời gian để bắt theo chuyển động của vật thể Khi các bài toán có xem xét tới dòng chảy hai pha, lưới tính toán cần thiết để mô phỏng được mặt thoáng sắc nét yêu cầu lưới tính toán có độ phân giải rất cao tại bề mặt mặt thoáng Sự phức tạp của quá trình chia lại lưới phi cấu trúc và quá trình chuyển đổi lời giải sang lưới tính toán mới, cùng với sai số tính toán lớn khi lưới bị xô lệch nhiều khiến cho phương pháp truyền thống gặp phải nhiều khó khăn khi đối mặt với các bài toán mô phỏng chuyển động và biến dạng của vật thể tương tác với dòng chảy hai pha

Trong nội dung của luận văn, một bộ giải số mới đã được phát triển bằng việc sử dụng phương pháp biên nhúng (IBM) để mô tả chuyển động của vật thể rắn, mặt thoáng của hai pha được xây dựng dựa trên phương pháp thể tích chất lỏng (VoF) Mô hình chia

xi

lưới thích ứng (Adaptive Meshing Refinement) cũng được tích hợp vào bộ giải nhằm tối

ưu hóa việc chia lưới tại những vùng yêu cầu mật độ lưới dày đặc như tại mặt thoáng hay

bề mặt vật rắn Bộ giải được kiểm nghiệm bằng một số bài toán phổ biến và cho kết quả tương đồng với các nghiên cứu trước đây với thời gian rút ngắn hơn nhiều so với phương pháp thông thường, qua đó thể hiện tính chính xác và hiệu quả của bộ giải Bộ giải có thể được ứng dụng trong việc mô phỏng các lớp bài toán tương tác giữa dòng chảy hai pha và vật thể chuyển động

Luận văn được trình bày theo bốn chương Chương 1 giới thiệu tổng quan về lịch sử phát triển của phương pháp biên nhúng, phương pháp thể tích chất lỏng và giới thiệu về phần mềm tính toán động lực học chất lỏng OpenFOAM Chương 2 trình bày chi tiết về phương pháp biên nhúng, cụ thể là cách tiếp cận direct forcing Phương pháp thể tích chất lỏng được chỉnh sửa so với phương pháp truyền thống cho phép xây dựng mặt thoáng một cách sắc nét mà không cần tới những phương pháp đặc biệt Ở chương 2 cũng đề cập tới

mô hình chuyển động sử dụng trong luận văn để mô phỏng vật rắn chuyển động Chương

3 trình bày quá tình triển khai thuật toán kết hợp giữa phương pháp IBM và phương pháp VOF trong OpenFOAM để tạo nên bộ giải mới Ở chương 4, bộ giải mới được kiểm nghiệm tính đúng đắn bằng các bài toán kiểm định phổ biến

để minh họa đó là mô phỏng bài toán cavity nhưng có một vật chuyển động bên trong miền tính toán, vật thể này sẽ có thể phải va chạm với các biên xung quanh và khi đó ta sẽ không thể thực hiện được khi sử dụng lưới bám bề mặt và các bộ giải lưới động

Phương pháp IBM được áp dụng lần đầu tiên bởi (C Peskin, 1972) để mô phỏng bài toán tương tác rắn lỏng trong hệ thống tim mạch của con người, cụ thể là tương tác giữa van tim và dòng máu chảy qua Ý tưởng trong phương pháp của Peskin là xây dựng một trường lực tác động lên dòng chảy dựa trên sự chuyển động và độ đàn hồi của van tim Trường lực này sẽ được đặt tại một tập các điểm phân bố bất kì trên bề mặt của van tim Sau đó sử dụng một hàm cửa sổ Delta để tính toán tác động của trường lực này lên các điểm lưới nền xung quanh, từ đó tạo ra tương tác đến dòng chảy giống như khi có sự hiện diện của van tim thật Việc xây dựng được một hàm Delta phù hợp chính là điểm đặc biệt quan trọng trong nghiên cứu của Peskin vì nó cho phép kết nối giữa các giá trị biến môi trường tại các nút của lưới nền với các điểm phân bố trên biên vật thể, vì hai tập hợp điểm lưới này được định nghĩa độc lập với nhau

Chương 1 Giới thiệu chung

2

Trong phương pháp IBM, điều kiện biên không trượt tại bề mặt vật thể sẽ được áp đặt thông qua một thành phần lực thể tích thêm vào trong phương trình Navier-Stokes Thành phần lực này sẽ được tính toán dựa trên tương tác của môi trường và bề mặt vật thể Tuy nhiên việc áp đặt chính xác được điều kiện biện trên bề mặt vật thể là không hề

dễ dàng nếu so sánh với phương pháp chia lưới thông thường Do vậy, rất nhiều nghiên cứu đã được thực hiện để mở rộng và cải tiến độ chính xác của phương pháp IBM, dẫn đến sự ra đời của rất nhiều các thuật toán dựa trên IBM và cho độ chính xác cao hơn Phương pháp IBM có thể được phân loại thành hai cách tiếp cận chính đó là continuous forcing và discrete forcing, phụ thuộc vào việc thành phần lực thể tích được thêm vào phương trình Navier-Stokes ở dạng liên tục hay rời rạc Hai phương pháp này đều có những điểm mạnh và điểm yếu

Continuous Forcing

Cách tiếp cận continuous forcing, được sử dụng lần đầu trong nghiên cứu của Peskin, có lợi thế rất lớn trong việc mô phỏng các bài toán có biên đàn hồi vì trường lực khối đại diện do tương tác dòng chảy và vật thể được tính toán dựa trên độ đàn hồi của về mặt vật thể Lợi thế thứ hai đó là cách triển khai đơn giản, do vậy nó được sử dụng nhiều trong các ứng dụng mô phỏng trong các nghiên cứu về sinh học Tuy nhiên phương pháp này lại gặp nhiều vấn đề khi xử lý các loại biên cứng Một cách đơn giản ta có thể suy luận rằng có thể sử dụng continuous forcing để mô phỏng được vật thể có biên cứng bằng cách giảm độ đàn hồi của vật thể xuống nhất nhỏ, hay nói cách khác tăng độ cứng lên rất lớn Tuy nhiên trên thực tế điều này sẽ dẫn tới sự mất ổn định của bộ giải, và nếu độ cứng của vật thể không đủ lớn kết quả mô phỏng của bài toán sẽ mất tính chính xác (M.Lai, C.Peskin, 2000)

Discrete Forcing

3

Đối với cách tiếp cận discrete forcing, thành phần lực tương tác giữa vật thể và dòng chảy được thêm vào phương trình Navier-Stokes dạng rời rạc, do đó nó cho phép ta áp đặt các điều kiện ràng buộc trực tiếp lên lưới tính toán tại các vị trí biên của vật thể, khiến biên của vật thể trở nên sắc nét và rõ ràng hơn, điều này có lợi khi mô phỏng các bài toán

ở số Reynolds lớn đòi hỏi độ chính xác cao hơn tại vùng gần biên của vật thể Tuy nhiên kết quả của cách tiếp cận này lại phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp rời rạc hóa được sử dụng Đặc điểm này của cách tiếp cận direct forcing cũng có thể coi là một điểm mạnh vì

nó cung cấp một cách để kiểm soát trực tiếp độ chính xác và tính ổn định của lời giải Trong nội dung của luận văn, cách tiếp cận direct forcing, phát triển bởi (M Uhlmann, 2005) sẽ được kết hợp với phương pháp thể tích chất lỏng (VOF) để phát triển một bộ giải số cho phép mô phỏng được các bài toán tương tác giữa vật rắn và dòng chảy hai pha

1.2 Phương pháp thể tích chất lỏng

Việc mô phỏng biến đổi của bề mặt thoáng giữa hai chất lỏng là một vấn đề quan trọng kể từ những ngày đầu phát triển của CFD Có hai phương pháp chính để giải quyết vấn đề này Phương pháp Lagrangian sử dụng những điểm đánh dấu, (markers) có hoặc không cần kết nối với nhau, được đặt dọc theo bề mặt thoáng Những điểm này được dịch chuyển bằng cách tích phân trực tiếp phương trình chuyển động của các hạt chất lỏng, từ

đó làm mặt thoáng dịch chuyển theo Phương pháp front tracking (S.O Unverdi, G Tryggvason, 1992) là một phương pháp Lagrangian và rất thường được sử dụng trong mô phỏng dòng chảy hai pha Mặt khác, phương pháp Eulerian thường sử dụng một hàm chỉ định phân bố trong miền tính toán Hàm này có mang theo thông tin về mặt thoáng và được khuếch tán theo trường vận tốc của chất lỏng Do đó phương pháp Eulerian không cho biết chính xác vị trí mặt thoáng mà cần phải xây dựng lại mặt thoáng từ hàm chỉ định

Chương 1 Giới thiệu chung

4

Phương pháp thể tích chất lỏng (volume of fluid - VOF) là một phương pháp Eulerian rất phổ biến

Phương pháp VoF được trình bày lần đầu tiên bởi (C.W Hirt, B.D Nichols, 1981)

và tạo nên một xu hướng mới trong lĩnh vực mô phỏng dòng chảy hai pha Phương pháp này dựa trên việc định nghĩa một hàm chỉ định (indicator function), cho phép xác định việc phần thử lưới nằm trong vùng của một chất lỏng duy nhất hay nằm tại mặt tiếp xúc giữa hai hay nhiều chất lỏng cùng lúc

Trong phương pháp được đề xuất hởi Hirt & Nichols, một phương trình vận chuyển cho hàm chỉ định thể hiện tỉ lệ thể tích của một chất lỏng tại các phần tử lưới được giải đồng thời phương trình liên tục và phương trình momentum,

chứa cả hai pha và do đó mang thông tin về mặt thoáng T là thành phần tensor ứng suất

được tính bằng công thức:

với và biểu thị tương ứng cho pha lỏng hay pha khí

Một vấn đề quan trọng của phương pháp VOF là việc đảm bảo hàm tính bảo toàn và

bị chặn của hàm tỉ lệ thể tích, nghĩa là cần giữ cho nằm đúng trong khoảng Trong những bài toán mô phỏng dòng chảy có khối lượng riêng lớn, chỉ một sai số nhỏ của cũng có thể dẫn tới sai số tính toán rất lớn Việc tính toán chính xác phân bố của hàm tỉ lệ thể tích cũng đóng vai trò quan trọng trong việc ước lượng độ cong mặt thoáng cần thiết cho việc tính toán lực căng bề mặt và gradient áp suất dọc bề mặt thoáng Thông thường vùng tiếp xúc giữa hai pha chỉ tồn tại trong một vài phần tử lưới nên rất nhạy cảm với độ phân giải lưới Điều này đòi hỏi một số lượng lưới đủ nhỏ tại bề mặt thoáng hoặc cần sử dụng một phương pháp đặc biệt cho phép xây dựng mặt thoáng một cách sắc nét Việc đảm bảo tính bị chặn và bảo toàn của hàm tỉ lệ thể tích là không hề đơn giản và

đã có rất nhiều các nghiên cứu về vấn đề này Hơn nữa, cách định nghĩa một vận tốc

Chương 1 Giới thiệu chung

1.3 OpenFOAM

OpenFOAM là một phần mềm mã nguồn mở tính toán động lực học được phát triển

từ cuối những năm 1980 ở Imperial College, London, với mục đích phát triển một nền tảng mô phỏng số mạnh và linh hoạt thay thế cho nền tảng Fortran khi đó Do vậy, OpenFOAM được phát triển theo hướng đối tượng dựa trên những tính năng mới nhất của ngôn ngữ C++ và mang những đặc điểm nổi bật như: (i) Là phần mềm tính toán khoa học lớn đầu tiên viết bằng ngôn ngữ C++ và được phát hành dưới dạng mã nguồn mở (ii) Sử dụng các toán tử được overload cho phép mô tả các phương trình vi phân từng phần một cách trực quan và dễ hiểu (iii) Cung cấp một công cụ chia lưới lục diện mạnh có thể sử dụng cho hầu hết các ứng dụng trong công nghiệp, ngoài ra rất nhiều các tool chuyển đổi lưới cho phép giao tiếp dễ dàng với các phần mềm CAD CAM hiện nay

OpenFOAM cung cấp rất nhiều bộ giải số có sẵn cho phép thực hiện các bài toán

mô phỏng ở rất nhiều lĩnh vực như: tính toán động lực học chất lỏng cho dòng một pha, hai pha hay nhiều pha, truyền nhiệt, cháy, điện từ, động học chất rắn hay thậm chí cả tài chính Do vậy nó được sử dụng rộng rãi cho nghiên cứu trong cả môi trường học thuật và công nghiệp Quan trọng nhất là OpenFOAM cho phép người dùng tùy biên mã nguồn một cách tiện lợi để tạo ra các thư viện và bộ giải mới Đây là lý do chính để lựa chọn OpenFOAM là môi trường lập trình cho luận văn

7

Hệ phương trình Navier-Stokes mô tả dòng chảy thường được giải bằng hai cách tiếp cận phổ biến đó là giải đồng thời (coupled approach) và giải tuần tự (segregated approach) Phương pháp giải đồng thời xây dựng một ma trận đại số cho tất cả các phương trình trong hệ để giải cùng một lúc Điều này dẫn tới yêu cầu về bộ nhớ và thời gian tính toán lâu, thường chỉ áp dụng đối với các bài toán có lưới nhỏ và số lượng các phương trình không quá nhiều Trong khi đó phương pháp giải tuần tự giải các phương trình một cách lần lượt, thích hợp cho các bài toán lớn giúp giảm thiểu chi phí tính toán Hai thuật toán giải tuần tự cơ bản và phổ biến nhất để giải quyết tính coupling giữa biến vận tốc-áp suất là SIMPLE (R.I Issa, 1986) và PISO (S.V Patankar, 1981) Hai thuật toán này đều sử dụng cách tiếp cận dự đoán – hiệu chỉnh (prediction – correction) và đều được sử dụng trong các bộ giải phát triển bởi OpenFOAM, trong đó SIMPLE được sử dụng cho các bài toán steady-state và PISO cho các bài toán transient Cách tiếp cận dự đoán – hiệu chỉnh giải hệ phương trình Navier-Stokes thông qua hai bước Bước đầu tiên

là giải lặp để dự đoán vấn tốc dựa vào các giá trị vận tốc và áp suất ở bước trước đó hoặc lấy từ điều kiện biên Bước thứ hai là giải phương trình Poisson để thu được phân bố áp suất, sau đó sử dụng giá trị áp suất này cho việc hiệu chỉnh lại vận tốc dự đoán được ở bước trước

Trong nội dung luận văn, một thư viện hoàn toàn mới được phát triển cho phương pháp IBM Đồng thời thuật toán PISO cũng được thay đổi để tích hợp được với phương pháp IBM Thư viện và bộ giải mới đã chạy thành công trên các phiên bản OpenFOAM-3.0.1 và cao hơn

Chương 2: Phương pháp số

8

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SỐ

2.1 Phương pháp biến nhúng – Cách tiếp cận Direct Forcing

Trong cách tiếp cận direct forcing, phương trình Navier-Stokes được rời rạc hóa trên lưới Euler cố định, các điểm tính toán của lưới này gọi là điểm Euler, kích thước cạnh của

một ô lưới bằng h Bề mặt của vật thể nhúng trong dòng chảy được rời rạc thành một tập

hợp các điểm Lagrange Các điểm này không bắt buộc phải trùng với các điểm lưới Euler

và có thể di chuyển tự do trong không gian miền tính toán Chính điều này tạo nên điểm đặc biệt của phương pháp IBM giúp cho việc mô phỏng chuyển động đơn giản hơn rất

nhiều Ta cũng định nghĩa một thể tích rời rạc ΔV l gắn với mỗi điểm Lagrange sao cho

tổng hợp của những thể tích này tạo thành một thể tích có chiều dày chính bằng h phủ kín

bề mặt của vật thể, nó cho phép tính được lực thể tích tại mỗi điểm Lagrange Theo một

nghiên cứu khác của (M.Uhlmann, 2004), để tối ưu thì ΔV cần xấp xỉ bằng thể tích của một ô lưới nền, tức h 2 hoặc h 3 tương ứng với bài toán 2D hoặc 3D, nghĩa là số lượng điểm Lagrange nên được lựa chọn sao cho phù hợp với kích thước lưới Euler, vì việc tăng thật nhiều điểm Lagrange không cải thiện kết quả đáng kể

Hình 0.1: Lưới tính toán cố định Euler

và lưới Lagrange mô tả biên dạng vật thể trong dòng chảy

Tương tác giữa vật thể và dòng chảy hai pha được thể hiện bằng thành phần f ib trong (17c) Vì các điểm Euler và các điểm Lagrange được định nghĩa một cách độc lập với

9

nhau, việc tính toán f ib yêu cầu phải có hàm nội suy qua lại giá trị các biến số giữa các điểm Lagrange và các điểm Euler Quá trình tính toán gồm hai bước chính được trình bày sau đây

Tương tác dòng chảy và vật thể tại các điểm Lagrange

Giả thiết không có sự tồn tại của vật thể trong dòng chảy, khi đó tại vị trí của các điểm Lagrange, vận tốc dòng chảy là Do các điểm Lagrange được định nghĩa độc lập với các điểm Euler, vận tốc này cần được nội suy từ vận tốc của các điểm Euler trong vùng lân cận với nó như sau:

Với là số lượng điểm Euler lân cận tham gia quá trình tính toán; là vận tốc của

dòng chảy tại các điểm Euler; x e , X l lần lượt là vị trí của điểm Euler và điểm Lagrange;

ΔV là thể tích một phần tử của lưới nền Euler Khi số điểm Euler - n dùng cho phép nội

suy càng nhiều, độ chính xác của phép nội suy càng chính xác Tuy nhiên, ảnh hưởng của vận tốc tại các điểm Euler lên vận tốc tại điểm Lagrange sẽ giảm mạnh khi khoảng cách giữa chúng càng lớn Do vậy, ta chỉ lấy các điểm Euler trong một bán kính đủ nhỏ xung quanh điểm Lagrange để giảm khối lượng tính toán Bán kính này được xác định bằng hàm delta có dạng:

Đặt là khoảng cách giữa các điểm Euler tới điểm Lagrange tính theo kích thước một ô lưới thì ta có:

đa tới điểm Lagrange là 1.5 lần kích thước ô lưới, và các điểm Lagrange nếu không có

can thiệp gì từ bên ngoài sẽ chuyển động với vận tốc là Ul

Trên thực tế, ta cần vật rắn chuyển động với một vận tốc mong muốn nào đó Vận tốc này có thể là vận tốc tịnh tiến hoặc quay với một giá trị không đổi, hoặc cũng có thể thay đổi liên tục trong quá trình di chuyển (chuyển động sáu bậc tự do) Giả sử tại điểm

Lagrange thứ l vận tốc mong muốn là U b

l, ta cần tác động lên điểm đó một thành phần lực

khối Fl sao cho sau khi tổng hợp tác dụng của lực này với vận tốc sẽ cho ra vận tốc

mong muốn Ub

l Lực khối này sẽ được tính theo công thức:

Vậy ta có thể hiểu rằng, đại diện cho tác động của dòng chảy lên bề mặt của vật thể đặt trong nó, tại một số điểm xác định (điểm Lagrange), và Fl chính là tác động của

vật thể ngược trở lại dòng chảy tại vị trí các điểm Lagrang đó khi nó di chuyển với vận

11

Tương tác của vật thể lên chất lỏng tại các điểm Euler

Tại mỗi điểm Lagrange, vật rắn tác động ngược trở lại dòng chảy một lực Fl, lực này

sẽ lan truyền đến các điểm Euler lân cận tạo nên một trường lực f ib được xác định bằng công thức:

Khi sử dụng phương pháp IBM, việc tính toán lực nâng lực cản lên vật thể đặt trong dòng chảy không thể được thực hiện theo cách thông thường do biên vật lý vật rắn thực tế

không tồn tại Do đó ta cần tích phân giá trị Fl tại tất cả các điểm Lagrang để thu được lực tác động của dòng chảy lên bề mặt vật thể

2.2 Phương pháp thể tích chất lỏng sử dụng trong OpenFOAM

Xuất phát từ mô hình Eulerian cho dòng chảy hai pha, trong đó hàm tỉ lệ thể tích được giải riêng rẽ cho từng pha Do vậy phương trình vận chuyển hàm tỉ lệ thể tích cho mỗi pha có dạng:

(12)

(13)

Giả thiết đóng góp của vận tốc từng pha tới sự biến đổi của mặt thoáng tỉ lệ thuận với hàm tỉ lệ thể tích và định nghĩa một vận tốc cho toàn miền tính toán được tính bằng bình quân gia số của vận tốc pha lỏng và khí:

(14)

có thành phần Thêm thành phần này vào (10a) ta được:

Phương trình (16) được sử dụng làm phương trình cho hàm tỉ lệ thể tích , với sự có mặt thêm của thành phần Thành phần này không có ý nghĩa gì ở vùng bên trong từng pha nhưng tại mặt thoáng khi , nó có tác dụng “nén” mặt thoáng

13

để cho ta một mặt thoáng sắc nét hơn Do vậy thành vần vận tốc còn được gọi là thành phần vận tốc nén

Trong phương pháp VOF kết hợp với IBM, f b là tổng lực khối tác động lên các phần

tử chất lỏng trong miền tính toán, bao gồm trọng lực, lực căng bề mặt tại mặt thoáng và lực tương tác của vật rắn bên trong dòng chảy:

(17) Lực căng bề mặt được xác định dựa trên mô hình lực bề mặt liên tục (continuum surface force) (J U Brackbill et al., 1992):

với (19) Định nghĩa một thành phần áp suất loại bỏ đi ảnh hưởng của áp suất thủy tĩnh: