Trong quá trình dạy học môn Toán nói chung và dạy bài tập về tính tích phân trong chương trình trung học phổ thông học sinh thường lung túng không biết hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải, h
Trang 1Trang
1 Mở đầu
- Lý do chọn đề tài 1
- Mục đích nghiên cứu 2
- Đối tượng nghiên cứu 2
- Phương pháp nghiên cứu 2
2 Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2
2.2 Thực trạng vấn đề 3
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã được sử dụng 2.3.1 Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ 4
2.3.2 Một số tích phân cơ bản của hàm số vô tỷ 6
2.3.3 Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác 12
2.3.4 Một số tích phân cơ bản của hàm số mũ và lôgarit 15
2.4 Hiệu quả SKKN 19
3 Kết luận, kiến nghị 19
Trang 21 Mở đầu
- Lý do chọn đề tài
+ Tính tích phân là bài toán thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh vào đại học Rèn luyện cho học sinh có kỹ năng tính tích phân là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng Trong quá trình dạy học môn Toán nói chung và dạy bài tập về tính tích phân trong chương trình trung học phổ thông học sinh thường lung túng không biết hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải, học sinh không biết bài này thì đổi biến hay dùng phương pháp tích phân từng phần
+ Đối với những bài toán như vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi để phát hiện ra lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư duy sáng tạo trong giải toán Chúng ta có thể thông qua những hướng dẫn giải bài toán “bài toán gốc” có trong sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát hiện lời giải Xuất phát từ bài toán “bài toán gốc” định hướng cho học sinh “suy luận” từ đó
“quy bài toán lạ” về “bài toán quen” củng cố lòng tin cho học sinh học toán, say mê với toán và giải toán có hiệu quả Dạy và hướng dẫn học sinh giải toán tích phân ở cấp THPT, tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để giúp học sinh chủ động giải toán tích phân, học sinh tin tưởng là giải được bài toán tích phân có trong sách giáo khoa, các bài toán tích phân trong kỳ thi THPT Quốc gia?”
+ Trong khoảng thời gian giảng dạy và nghiên cứu về tích phân, tôi nhận thấy hiện chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu và chi tiết về cách giải bài tập tích phân cơ bản thường gặp
+ Qua giảng dạy, tôi đúc rút kinh nghiệm và mong muốn trao đổi với đồng nghiệp một số hướng suy nghĩ để giải quyết một số bài tập tích phân cơ bản - dạng quen thuộc (không có ý tìm ra hay đưa ra cách giải tổng quát cho một dạng toán tích phân cụ thể, hay nêu bài toán tổng quát và lời giải tổng quát cho tích phân ấy,
mà tôi chỉ nêu các hướng giúp học sinh “biết định hướng cách giải”, suy luận được
khi giải toán tích phân)
- Mục đích nghiên cứu:
+ Nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản một cách hợp lý và đạt hiệu quả nhanh nhất
+ Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân, cùng với những trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra các giải pháp hữu hiệu vận dụng trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở lớp 12
Trang 3- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tích phân cơ bản thường gặp trong chương trình giải tích lớp 12
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Xây dựng cơ sở lí thuyết
+ Khảo sát thực tế
+ Phương pháp phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh…
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
1) Bảng các nguyên hàm cơ bản, các tính chất của nguyên hàm, các tính chất của tích phân (SGK giải tích lớp 12)
2) Để giải toán tích phân học sinh phải nắm được các vi phân “cơ bản” thường gặp,
Chẳng hạn:dx d x b( ) 1d ax b( )
a
với a 0 ; d e( )x d e( xc) e dx x ; dx d(ln )x
sinxdx d(cos )x d(cosx b ); sinkxdx 1d(cos )kx 1d(coskx b)
Các vi phân phức tạp hơn: sin2 ( 1 )
cos cos
x
dx d
x
x ; 2x 2 dx d( x2 a2)
2 2
2x 2 dx d( a x )
x x
3) Ngoài ra học sinh phải nắm được các vấn đề cốt yếu sau đây: a) Sử dụng thành thạo định lý Niu tơn – Leibnitz(SGK GT 12):
Nếu hàm số y f x ( ) liên tục trên a b; và F x là một nguyên hàm của hàm số
f x thì ( )
b
a
b
a
Chú ý: Giả thiết f x liên tục trên a b; là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định lý Một số học sinh cứ tưởng có được F x là tính được tích phân,
3 4 2 0
3
1 ? 4 0
dx
cos x
Ta đã biết 2
1 os
f x
không
xác định tại x = 0;3
nên I không tồn tại b) Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của nó là định lý sau: Nếu t =( )x đơn điệu trên đoạn a b; thì
( ) ,
( )
b b
c) Phương pháp tích phân từng phần
Trang 4Ta có:
b udv uv vdu
a
(SGK giải tích lớp 12)
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua giảng dạy bài toán tính tích phân, học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó khăn Không biết bài này dùng phương pháp tính nào đổi biến hay tích phân từng phần), nếu đổi biến số thì đổi như thế nào(đặt x t hay t u x ), còn nếu dùng phương pháp tích phân từng phần thì không biết chọn u và dv sao cho thích hợp… Kết quả khảo sát khi tôi dạy phần tích phân cho học sinh lớp 12 năm học
2013-2014 khi chưa áp dụng sáng kiến này:
< 8 Điểm 8
Từ kết quả trên tôi nhận thấy tỉ lệ học sinh có số điểm dưới trung bình là quá
cao, trong khi đó học sinh đạt điểm giỏi lại quá thấp Điều này khiến bản thân tôi phải trăn trở tìm ra phương pháp hướng dẫn học sinh biết cách giải các dạng toán
tích phân cơ bản một cách dễ dàng và hiệu quả nhất
2.3 Các giải pháp được sử dụng trong việc hướng dẫn học sinh giải các tích phân cơ bản.
Thông qua một số dạng tích phân cơ bản tôi hướng dẫn cho học sinh các cách tiếp cận khác nhau, áp dụng vào giải các tích phân đơn giản khác:
Các tích phân “cơ bản” và các cách tính phổ biến (với giả thiết hàm số dưới dấu
tích phân liên tục trong đoạn đang xét):
2.3.1 Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ:
a) Tích phân
' 1
( )
ln ( ) ( )
f x
f x
Ví dụ 1: Tinh tích phân I
3 1 2
x dx
x
Ta c ó: I 1 2
0
1
x
x
= 12x210
1 2 0
x x
(*) = 12 12ln x2110
Chú ý: Tích phân (*) có dạng I1
Bài tập tương tự: Tính
2 1
2 0
1 1
x
x
(Trích ĐH khối D năm 2013)
Trang 5b) - Tích phân I 2
1 2
( )
f x
dx
x x x x
(với bậc của f x nhỏ hơn hai)
Ta viết
1 2
( )
f x
x x x x =
1
A
B
x x
- Tích phân 2
1 0
( )
f x
dx
x x x x
với bậc của f x nhỏ hơn ba
Ta tìm các hệ số A, B, C sao cho: 2
1 0
( )
f x
x x x x =
1
A
B
x x
C
x x
Ví dụ 2: Tính tích phân I 1 2
0
x
dx
Mẫu số là tam thức bậc hai có hai nghiệm:x 1;x 2 , nên ta tìm A B, sao cho:
24 5
x
= 1 2
B x
A
Bằng phương pháp hệ số bất định ta tìm được: A 1;B 3
Vậy: I 1 2
0
x
dx
1
0
1
1dx
x
1
1
dx
x =( ln x 1 3 lnx 2 )10 =
2
ln
2
3
ln
Bài tập tương tự: Tính
2 2 2 1
(Trích ĐH khối B năm 2014)
Ví dụ 3 Tính tích phân I
1
2 2
0
1
dx
x x
Ta có: I
1
2 2
0
1
dx
x x
1
2 0
x x
1
2
0 1
dx
x
1
2
0 2
dx x
1
0
= x11 x21 2ln x x1210
3 4
Ví dụ 4 Tính tích phân I 2 2
0
2
x
dx
Ta tìm A B C; ; sao cho: 2 2
x
= x A1 + 2
Bx C
,
Theo phương pháp hệ số bất định ta có A =1
3; B = 1
3
; C = 2
3 Khi đó:
2
0
1
dx
I
x
2 2 0
( 2)
= 13
2
0 1
dx
x
16
2 2 0
x
2
2 2
0 ( 1) 3
dx
Trang 6Tính
2
2 2
0 ( 1) 3
dx
ta đổi biến: x + 1 = 3tant Từ đó tính được tích phân I
Chú ý : Khi gặp tích phân dạng : 4 2dx 2
I
ta có thể đặt : x a tant hoặc x a tant
Bài tập tương tự: Tính I =
1
3
2
3x dx x
x
(Trích ĐH khối B năm 2012) c) Việc sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản giúp ta định hướng cách giải, chẳng hạn: (1 12)dx (x 1)'dx d x( 1)
x
Ví dụ 5 Tính tích phân sau I =
2
2
1
1
dx x
x
Ta có: 4
2
1
1
x
x
=
2 2
2
1
1 1
x x
x
Nên ta đặt t = x 1x dt = (1 12)dx
x
I
2
3
1t2 2
dt =
3 2
1
2 2 t 2 t 2 dt = =
Ví dụ 6 Tính tích phân: I
2
2
1
dx x x
x
Ta có:
2 2
1
d x
x
x 1 I
5
4 ln
2.3.2 Một số tích phân cơ bản của hàm số vô tỷ:
a) Tích phân J 1
x2 a2
dx
Ta có thể thực hiên theo các cách giải sau:
+) Cách 1: Đổi biến số x a t
sin
+) Cách 2: Đổi biến số x a t
cos
+) Cách 3: Đổi biến số t x x2 a2
+) Cách 4: Đổi biến số t ln(x x2 a2 )
+) Cách 5: Ta viết
a x
a x a x a x
( )
1 1
2
a x
a x
Trang 7Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận.
Ví dụ 7 Tính các tích phân sau : I
4
3
4 x2 4
dx
; J
3
2 x2 1
dx
Đối với tích phân I ta đặt x = sin2t
t
tdt
sin
cos 2
Đổi cận khi x = 43 thì t =
3
còn khi x = 4 thì t = 6 Vậy I 3
6
sin
t
dt
(Ta sẽ nói kỹ về tích phân này ở phần
sau) Đối với tích phân J ta đặt t = x x2 1 thì ta được : x dx dt t
1
Tích phân J =
3 2 2
1 2
dt t
= ln 3 2 2
= ln(1 2) b) - Tích phân J 2
2 2
dx
Ta có thể thực hiện theo các cách giải sau:
+) Cách 1: Đổi biến số x a tant
+) Cách 2: Đổi biến số xcott
+) Cách 3: Đổi biến số t x x2 a2
+) Cách 4: Đổi biến số t ln(x x2 a2 )
+) Cách 5: Đổi biến số x2 a2 a tx
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận
- Tích phân J 3 x2 a dx2
+) Cách 1: Đổi biến số x a tant
+) Cách 2: Đổi biến số x a cott
+) Cách 3: Tích phân từng phần
2 2
2 2
x
Khi đó J =
2
2 2
2 2
x dx
2 2 2
2 2
2 2
= x a2 b2 a2 b dx a2 2 2dx 2
J3 = x x2a2 + a J2 2 (đã có)
Trang 8+) Cách 4: Đổi biến số t x x2 a2
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận
Ví dụ 8 Tính tích phân sau: I
2 3
2 2
dx
Đặt x 2 tant 22
cos
t
và khi x = 2 thì t = 4 , khi x = 2 3 thì t = 3
I 3
2
4
cos
4sin
tdt
t
(tích phân này có thể chuyển về tích phân hàm hữu tỷ khi đặt usint)
Ví dụ 9 Tính tích phân: I =
3 2 2
1
x dx
ta dùng phương pháp tích phân từng phần:
Do biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai , nên ta đặt:
2 1
dv dx
xdx
du
x
v x
I x x 2 1 3
2
3 2 2
2 1
x dx x
= x x 2 1 3
2
3 2 2
1
3 2
2 1
dx x
hay 2I = x x 2 1 3
2
3 2 2
1
(Đây là tích phân đã đề cập phần a) tích phân J1) c) Tích phân 4 2 2
dx J
Đổi biến số x a sint hoặc xacost
Ví dụ 9: Tính tích phân
1
2 2 0
1
Ix x dx Ta đặt xa sint thì I = 2 2 2
0
1 sin cos
Bài tập tương tự: a)
1 2
2 3
0 ( 4 )
x dx x
; b)
1
2 2 0
4 3
(ax )
dx J
với mx2nx p 0, x R
Đổi biến số: ax b 1
t
ta sẽ đưa tích phân J5 về dạng
x2 a2
dx
(Tích phân J2)
Trang 9Ví dụ 10: Tính tích phân
2 3
2
dx I
x x
,(ĐH khối A - 2003)
ta đặt x 1
t
ta có dx dt2
t
Khi đó
1 5 2 1
2 3
dt I
t
(tích phân J2)
Nhận xét: Trong ví dụ 10 nhiều học sinh nghĩ là đặt x 2 tant , nhưng vấp phải việc đổi cận tích phân
Bài tập tương tự Tính tích phân
4 2
dx I
x x
; J =
2
4 2
dx J
e) Tích phân 6 mx n2
(với a0,m0) Cách tính: 6 mx n2
2
Tìm A, B bằng phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 11 Tính tích phân:
3 2 2
x
Ta tìm A ; B sao cho
2
.
5
4
13
I
= 2 2 8 1 2 8 1
4
5 3 2 21 2
Với
3
2
2 2 8 1
dx J
(quen thuộc) f) Khi gặp tích phân dạng: x ax 2 b hoặc dạng ax2 b
x
thì đặt t ax 2 b
còn khi gặp dạng a2 b x2 2 ta đặt x asint
b
sint
Ví dụ 12 Tính tích phân:
1
2
0 4
x
x
+) Cách 1:Đặtt 4 x2 t2 4 x2 tdt xdx và x 0 thì t 2;x 1 thì t 3
Trang 10Vậy:
2
3
2
3
Idt t
+) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a2 x2 nên ta đặt x 2sint dx 2costdt khi đó: 6
0
2 sin
Ví dụ 13 Tính tích phân :
1
2 0
2
Ix x dx (ĐH khối B – 2013)
+)Cách 1: Đặt t 2 x2 t2 2 x2 tdt xdx và x 0 thì t 2 ; khi x 1 thì 3
t Vậy:
2 2 1
It dt =
3 2
3 1
t
= 2 2 1 3
+) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a2 x2 nên ta đặt x 2 sint
2
dx costdt khi đó: 2
0
sin 2
1 cos2t 2 1
Bài tập tương tự Tính tích phân
1
2 0
4 3
Ix x dx;
g) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa n ax b thi ta thường đặt tn ax b
Ví dụ 14: Tính tích phân
2
1 1 1
xdx I
x
(ĐH A-2004)
Đổi biến số dạng 1: Đặt t x 1 t2 x 1 dx 2tdt ;
Đổi cận : khi x 1 thì t 0; khi x 2thì t 1
2
1
0
1
I
t
1 3
0
2 1
t t dt t
(đây là tích phân hàm hữu tỉ, từ đó tính được I ).
Ví dụ 15 Tính tích phân
7 3 3 0
1
x
x
7
3 3 0
1
x
x
7
0
1
= 53 23
7
1 3
15
Trang 11Bài tập tương tự:
9 3 1
1
Ix xdx;
1
2 0
1
Jx xdx
2.3.3 Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác:
a) Tích phân 1
sin
b a
dx K
x
Ta có thể tính bằng các cách đổi biến sau:
2
b a
K
(Đặt t cosx , đưa về cách tính tích
phân hàm phân thức hữu tỷ)
b) Tích phân 2
b a
dx K
cosx
- Cách 1: Đặt tan
2
x
t thay cos 1 22
1
t x
t
1
b a
dt K
t
- Cách 2: Nhân tử và mẫu với cosx, ta có 2 2
(sin )
1 sin
K
(Đặt tsinx, đưa
về cách tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ quen thuộc)
- Cách 3:
2 2
sin
2
d dx
x
x
ln tan
2 4
b x
a
c) Tích phân dang: 3 sin ;cos
b a
K R x x dx(trong đóR là hàm số phân thức hữu tỉ)
Thông thường ta đưa về tích phân của hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến đặt tan
2
x
t
i)Trường hợp đặc biệt:
+) Nếu Rsin ;x cosx là hàm số lẻ đối với sin x thì đặt t cosx
+) Nếu Rsin ;x cosx là hàm số lẻ đối với cosx thì đặt t sinx
+) Nếu Rsin ;x cosx là hàm số đều chẵn đối với sin x và cosxthì ta đặt ttanx ii) Trường hợp tổng quát: Ta hướng dẫn học sinh áp dụng mệnh đề sau:
Trang 12Giả sử phải tính sin ;cos
b a
, ( trong đóR là hàm số phân thức hữu tỉ)
Ta kí hiệu ( )x Rsin ,cosx x dx gọi là vi phân của hàm phải tính
+) Nếu x = x thì ta đổi biến số: u cosx
+) Nếu x = x thì ta đổi biến số: u sinx
+) Nếu x = x thì ta đổi biếnsố: utanx
Ví dụ 16 Tính tích phân: 2
2 0
sin 2
4 cos
x
x
Đặt x = sin 22
4 cos
x dx x
Ta có x = x nên đổi biến số u cosx , đưa tích phân
1 2
0 4
t
t
, đây là tích phân quen thuộc.
Bài tập tương tự: Tính các tích phân 3 3
3 0
sin cos cos
xdx I
;
3
sin
2 cos
x
x
;
Ví dụ 17 Tính tích phân sau: I = 2 3 4
0
cos xsin xdx
Biểu thức trong tích phân cosx có bậc lẻ ( x = x ) nên đặt u sinx, đưa tích phân về dạng:
1
2 4 0
(1 )
I u u du, áp dụng bảng nguyên hàm ta được I 352
Bài tập tương tự: 6 2
0
sin cos
x
x
2
2 3 0
sin os
2
0
( os 1)cos
Ví dụ 18 Tính tích phân sau: 2 4
0
tan cos 2
x
x
( Trích ĐH A – 2008)
Đặt tan4
cos 2
x
x
thì có x x nên ta đổi biến số utanx ,
4
2
0
tan
cos 2
x
x
4 2
2 2 0
tan cos sin
x dx
4 2
0
tan cos (1 tan )
x dx
1 4 2
0 1
t dt t
(Tích phân htỷ)
Bài tập tương tự: Tính
2 4
4 2 4
sin
os (tan 2 t anx 5)
xdx I
6
0 cos sin cos
dx J
Trang 13Ví dụ 19 Tích phân: 6
3
0 os
dx I
(Đề thi HSG tỉnh năm 2005)
Cách 1: Ta có 6
4 0
cos cos
xdx I
x
=
6
2 2 0
(sin ) (1 sin )
x
1 2
2 2
0 (1 )
dt t
(Tích phân hàm hữu tỷ)
Cách 2: Đặt u 1
cosx
và dv dx2
cos x
ta có sin x2
cos
dx du
x
và vtanx
0
1
dx
(Đưa về tích phân cơ bản K2, đã trình bày cách giải)
Ví dụ 20 Tính tích phân: 2
0 4sin 3cos 5
dx I
Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân là bậc nhất đối với sin x và cosx, nên thông thường ta sẽ đặt ttanx 2 2
1
dt dx
t
và
1
2
0( 2)
dt I
t
= 1. 1
2 t 2
1
0= 1
6
Bài tập tương tự: 2
0
sinx 2sin cos
dx I
2
0 2 cos
dx J
x
2.3.4 Tích phân chứa hàm số mũ và lôgarít.
a) Sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản
Chẳng hạn:dx d x b( ) 1d ax b( )
a
với a 0 ; d e( )x d e( xc) e dx x ; dx dlnx
sinxdx d(cos )x d(cosx b ); sinkxdx 1d(cos )kx 1d(coskx b)
Ví dụ 21 Tính tích phân
ln 3
3
0 (1 )
x x
e
e
Ta thấy: e dx d e x ( x 1) nên
ln 3
3 0
(1 ) (1 )
x x
I
e
, từ đó đặt t 1 e x e x= t2 1
tdt
dx
e x 2 Vậy
2 3 2
2tdt
I
t
=
2
2 2
2
t
dt
= 2t 22 = 2 1
Bài tập tương tự:
1 2
0 1
x x
e
e
;
ln 5
ln 2
(1 )
1
x x x
e e
e
( Đề thi TN năm 2006)