Bài toán min – max liên quan hàm số mũ – logarit nhiều biến

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 2 thuộc tập hợp nào dưới đây?... Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của... Biết rằng biểu thức = đạt giá trị nhỏ nhất khi =... Tìm

Trang 1

MIN-MAX LIÊN QUAN HÀM MŨ, HÀM LÔ-GA-RÍT (NHIỀU BIẾN)

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT

DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG

+ ÁP DỤNG HÀM SỐ + ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Trang 2

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT

Câu 1: Xét các số thức , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = √ Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức = + 3 thuộc tập hợp nào dưới đây?

Lời giải Chọn B

Câu 2: Cho hai số thực , đều lớn hơn 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +

√

bằng

Câu 4: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = √ Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức = + 2 thuộc tập hợp nào dưới đây?

Trang 3

Lời giải Chọn D

Điều kiện ≠ 2 Từ + 4 + 12 = 4suy ra:

Trang 4

Câu 7: Cho , là các số thực dương, thỏa mãn  2

1 2

Dấu bằng xảy ra khi = 3 + √ , = 6 + √

Câu 8: Cho = √ với > 1, > 1 và = + 16 Tìm sao cho đạt giá trị

nhỏ nhất

Lời giải Chọn C

Câu 9: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = Biết giá trị nhỏ

nhất của biểu thức = + 3 + 2 có dạng + √14 (với , là các số tự nhiên), tính

Trang 5

Nếu 0 < 3 + 2 < 1 thì từ giả thiết ( + 2 ) ≥ 1 ta suy ra + 2 ≤ 1

Do đó ≤ + = Dấu “=” xảy ra khi ( ; ) = ; 1

Vậy đạt được khi ( ; ) = ; 1

Câu 11: Xét các số thực , thỏa mãn ( − 1) + ( − 1) = 1 Khi biểu thức = 2 + 3 đạt

giá trị nhỏ nhất thì 3 − 2 = + √3 với , ∈ ℚ Tính =

Trang 6

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 √

Trang 7

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 √

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức côsi cho 4 số dương ta có:

1

13

2

13

1

23

Câu 14: Xét các số thực dương , , , , , thỏa mãn > 1, > 1, > 1 và = = = √

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + + + thuộc tập hợp nào dưới đây?

Trang 8

2P4 log a blogb aloga clogc alogb clogc b

Vì > 1, > 1, > 1 nên loga b 0, logb c 0, logc a 0, logb a 0, logc b 0, loga c 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được

loga blogb a2 loga b.logb a hay loga blogb a2

Tương tự loga clogc a2 và logb clogc b2

Do đó 2 ≥ 10 hay ≥ 5 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi = =

Vậy giá trị nhỏ nhất Pmin 5

Câu 15: Cho hai số thực dương , thỏa mãn ( + + 2) = 1 + + Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức = với , ∈ ℕ, ( , ) = 1 Hỏi + bằng bao nhiêu

Từ giả thiết ta đặt = − 2 , ∈ ℝ

Nhận thấy = 2là nghiệm phương trình

Ta chứng minh = 2là nghiệm duy nhất của phương trình

Xét > 2: 7 > 49và 9 > 49nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình vô nghiệm Xét < 2: 7 < 49và 9 < 49nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô nghiệm

Trang 9

Vậy = − 2 = 2 ⇔ = thay vào = =

Dấu bằng đạt được khi = ⇒ = 4

Câu 17: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = Biết giá trị nhỏ

nhất của biểu thức = 3 + 2 + có dạng + √30 (với , là các số tự nhiên), tính =+

Chúng ta nắm bắt được dạng thì sẽ có cách giải như sau:

= −5 + 4Thế vào biểu thức , ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của là: = −19

Câu 19: Cho hai số thực dương , lớn hơn 1 và biết phương trình = 1 có nghiệm thực Biết

giá trị nhỏ nhất của biểu thức log   4

Trang 10

Ta có: P log2019a log2018b  log20192018 log2018a log20182019 log2019b

Trang 11

Câu 22: Cho > 0, > 0 thỏa mãn  2 2   

= 3

Câu 23: Cho , , > 0; , , > 1 và = = = √ Giá trị lớn nhất của biểu thức = +

− thuộc khoảng nào dưới đây?

= 21

Trang 12

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

;( ) = 5 khi =

Từ giả thiết, ta có ≤ 4 − 1 nên ≤ −

Trang 13

⇔ 3 − 8 + 4 = 0 ⇔ = (thỏa mãn) hoặc = 2(loại)

Cho , là các số thực thỏa mãn 1 < < Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( − 1) +

Trang 14

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( − 1) + 8 √

√ là 27 đạt được khi = 4 ⇔

Câu 28: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn = 3 + 4 và ∈ [4; 2 ] Gọi , lần lượt là

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 4 + Tính tổng = +

Trang 15

Vậy

Trang 16

Câu 32: Cho , là các số thực dương thoả mãn + ≥ ( + ) Tìm giá trị nhỏ nhất của =

+

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2( − 1) = = √2 ⇔ = 1 +√

Câu 33: Tính giá trị của biểu thức = + − + 1 biết rằng 4 = 14 − ( −

Câu 34: Xét các số thực , thỏa mãn > 0và + − 3 = (1 − 2 ) Giá trị lớn nhất của

biểu thức = + thuộc tập hợp nào dưới đây?

Trang 17

= 0Vậy 0; 3)

Câu 35: Gọi là tập các cặp số thực ( , ) sao cho ∈ [−1; 1] và ( − ) − 2017 = ( − ) −

2017 + Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức = ( + 1) − 2018 với ( , ) ∈ đạt được tại ( ; ) Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Lời giải Chọn A

Nên ( ) nghịch biến trên đoạn [−1; 1],

mà (−1) = + 2018 > 0, (0) = 2019 − 2018 < 0 nên tồn tại ∈ (−1; 0) sao cho ( ) = 0 và khi đó

[ ; ] ( ) = ( ) Vậy lớn nhất tại ∈ (−1; 0)

Câu 36: Cho , thỏa mãn ( + ) + ( − ) ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 2 −

Trang 18

( ) = 0 ⇔ 2 − + 4 = 0 ⇔ ≥ 0

√

Câu 37: Cho hai số thực , thỏa mãn 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ và (11 − 2 − ) = 2 + 4 − 1 Xét

biểu thức = 16 − 2 (3 + 2) − + 5 Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Khi đó giá trị của = (4 + ) bằng bao nhiêu?

Trang 19

2∉ (1; +∞)Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

( ; )ℎ( ) = 9 khi = Suy ra: ≥

( ; )ℎ( ) = 9

Câu 39: Cho các số thực , , , thỏa mãn điều kiện > 1, > 1, > 0, > 0, + = Biết rằng

biểu thức = đạt giá trị nhỏ nhất khi = Khẳng định nào sau đây đúng ?

Câu 40: Với hai số thực , bất kỳ, ta kí hiệu : ( ; )( ) = | − | + | − | + | − 2| + | − 3| Biết

rằng luôn tồn tại duy nhất số thực để

∈ℝ ( ; )( ) = ( ; )( ) với mọi số thực , thỏa mãn = và 0 < < Số bằng

Trang 20

Trước tiên ta xét , thỏa mãn = và 0 < <

Do đó: ( )< 0

Hàm số ( ) nghịch biến trên (0; 4]

Vậy 6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = 4

= 2

= Khi đó: = ; = 6 nên = 81

Câu 42: Xét các số thực dương , thỏa mãn = 3 + − 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

= +

√

Trang 21

Trang 22

Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được:

Câu 45: Cho , là các số dương thỏa mãn + 1 + − 10 + 9 ≤ 0 Gọi , lần

lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của = Tính = 10 −

= 2(1) = ; (2) = 5 ; (9) =

Trang 23

Câu 47: Cho các số thực , thỏa mãn 0 ≤ , ≤ 1và + ( + 1)( + 1) − 2 = 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của với = 2 +

Vậy giá trị nhỏ nhất của là 1 đạt được khi = 0; = 1

Câu 48: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn = + 3 − 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 24

Câu 51: Cho hai số thức , thỏa mãn 16 2 = ( ) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức =

+

Từ giải thiết suy ra 1 − 2 > 0 Theo bài ra:

Câu 52: Cho hai số dương , thỏa mãn = 3 − 2 − 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức = 2 − 18 + 72 − 45 trên nửa khoảng 0; 5

Ta có:

+

Trang 25

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của P là 15

Câu 53: Cho hai số thực dương , thỏa mãn 6 3 + + 1 = 3 + ( + 3 ) Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức = bằng

Câu 54: Cho hai số thực , thỏa mãn hệ thức log , = 4 + 4 − − − 2 Gọi và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 3 + 4 + 12 Giá trị biểu thức ( + 2 ) tương ứng bằng

 Ta sẽ đưa phương trình về dạng log = − ⇔ ⇔ = (với > 1)

Trang 26

 Suy ra giá trị nhỏ nhất của là: = 9; = −1 ⇒ ( + 2 ) = 27.

Câu 55: Cho , , là các số thực thỏa mãn = ( − 2) + ( − 2) + ( − 2) Tìm

giá trị lớn nhất của Cho ; là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5 + + + 1 =+ 3 + ( − 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +

Xét hàm số ( )= 5 − 3 + trên ℝ

Vì ( )= 5 5 + 3 3 + 1 > 0; ∀ ∈ ℝnên hàm số ( )đồng biến trên (2)

Từ (1)và (2)ta có + 4 = − 1(3) Dễ thấy = 4không thỏa mãn (3)

Với ≠ 4, (3) ⇔ = kết hợp điều kiện > 0suy ra > 4

Câu 56: Cho các số thực , với ≥ 0 thỏa mãn + + ( + 1) + 1 = + −

3 Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 2 + 1 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Ta có ( )= + + 1 ⇒ ( ) > 0 với ∀ ∈ ℝ Suy ra hàm số ( ) đồng biến trên ℝ

Trang 27

Khi đó (∗) được viết lại thành

Câu 58: Cho các số dương , thỏa mãn + 3 + 2 ≤ 4 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= 6 + 2 + + bằng

= 6 + 2 +4+9

Trang 28

⇒GTNN của = 19, dấu “ = ” xảy ra ⇔

Câu 59: Cho các số thực , với ≥ 0 thỏa mãn 5 + 5 + ( + 1) + 1 = 5 + −

3 Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 2 + 1 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trang 29

Câu 61: Cho hai số thực ; thỏa mãn: √ ( + 8 + 16) + [(5 − )(1 + )] =

Trang 30

Câu 62: Cho hai số thực , thỏa mãn 0 ≤ , ≤ 1 trong đó , không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và

+ ( + 1) ( + 1) − 2 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của với = 2 +

Từ điều kiện đề bài và > 0; 1 − ≠ 0 ⇒ + > 0; 1 − > 0khi đó

Câu 63: Cho ; là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5 + + + 1 = + 3 +

( − 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +

Xét hàm số ( )= 5 − 3 + trên ℝ

Vì ( )= 5 5 + 3 3 + 1 > 0; ∀ ∈ ℝ nên hàm số ( ) đồng biến trên ℝ (2)

Từ (1) và (2) ta có + 4 = − 1(3) Dễ thấy = 4 không thỏa mãn (3)

Với ≠ 4, (3) ⇔ = kết hợp điều kiện > 0 suy ra > 4

Trang 32

+ Nếu = 2 thì = 2 ⇔ = 11 Thay vào (1) ta được: + 3 + 90 = 0 (vô lý)

Từ giả thiết ta đặt = − 2 , ∈ ℝ

Nhận thấy = 2 là nghiệm phương trình

Ta chứng minh = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

 Xét > 2: 7 > 49 và 9 > 49 nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình vô nghiệm

 Xét < 2: 7 < 49 và 9 < 49 nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô nghiệm

Dấu bằng đạt được khi = ⇒ = 4

Câu 66: Cho hai số thực , thay đổi thỏa mãn đẳng thức . + ( − 1) 2 = 0 Tìm giá trị

lớn nhất của , biết rằng > 1

Trang 33

Từ bảng biến thiên suy ra: = −3

Câu 67: Cho hai số thực , không âm thỏa mãn + 2 − + 1 = Giá trị nhỏ nhất của

Xét hàm số ( )= + , ( > 0); ( ) = 1 +

. > 0, ∀ > 0 Suy ra 2( + 1) = 2 + 1 ⇒ 2 = 2( + 1) − 1

ĐK: −1 < < 5, ≠ −4 Ta có:

2

2 2

Câu 69: Cho các số thực , , thỏa mãn điều kiện = ( − 2) + ( − 2) +

( − 2) Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức = bằng?

Trang 34

A.− B C.− D.

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức = bằng

Câu 70: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức: (2 − 1)4 = ( + +

1)2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 35

Dựa vào bảng biến thiên suy ra tại = 2

Câu 71: Cho ; là các số thực dương thỏa mãn = + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

√

Từ giả thiết suy ra 1 − > 0

Xét hàm số ( )= 2 với ∈ (0; +∞) = Dễ thấy hàm số ( )liên tục trên và

( ) = 2 + 2 2 > 0, ∀ ∈ suy ra ( )là hàm số đồng biến trên

(1)⇔ + = 2 − 2 ⇒ (1 + 2 ) = 2 − (2) Từ (2), suy ra 2 − > 0 ⇒ < 2

Theo bất đẳng thức Cô – si, ta được = (2 − ) ≤ ( ) = 1

Vậy = 1, đạt được khi và chỉ khi =

= 1

Trang 36

Câu 73: Cho , là các số thực dương thỏa mãn 5 + + + 1 = + 3 + ( − 2) Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +

Chỉnh lại bbt cho em,chỉ xét với > 2nhé,kết quả không thay đổi

Từ bảng biến thiên ta thấy √3 tại = 2 + √3

Câu 74: Cho hai số thực , dương thỏa mãn hệ thức 3 log + log + 1 − = 0

Khi biểu thức = − − + + 1 đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức = ( − 1) + 2 bằng

⇔ ( ) = + + 1 Với hàm số: ( ) = 3 log ; ′( ) = 3 log ln3 + 3

Câu 75: Xét các số thực dương , thoả mãn 2018 =

( ) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 2 − 3 bằng

Trang 37

Trang 38

Câu 78: Cho 0 ≤ ; ≤ 1 thỏa mãn 2017 = Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của biểu thức = (4 + 3 )(4 + 3 ) + 25 Khi đó + bằng bao nhiêu?

Từ bảng biến thiên, ta có

=[ ; ] ( ) =

=

191 16

12

2- 3 4

+

191 16

1 0

12

2+ 3 4

y y' x

1 2

25 2

Trang 39

Câu 79: Cho các số thực , thỏa mãn log = ( − 2) + ( − 2) + ( − 2).

Giá trị lớn nhất của biểu thức = bằng

Câu 80: Cho hai số thực , thỏa mãn hệ thức log = 5 + 2 − 5 + 1 Giá trị nhỏ nhất của

 Điều kiện xác định: > 0.(*)

Trang 40

 Khi = 5 ⇒ = ⇒ thỏa mãn điều kiện (*).

 Suy ra giá trị nhỏ nhất của là: = 1990

Câu 81: Cho , > 0 thỏa 2019 −

( ) = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của = 2 − 4

Trang 41

Ta đổi biến giả thiết như sau:

Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức là: =

Câu 84: Xét các số thực , thỏa mãn > 0 và + − 3 = (1 − 2 ) Giá trị lớn nhất của

biểu thức = ln + thuộc tập hợp nào dưới đây?

⇔ = = 1 hay = 1= 0Vậy = 0 ∈ [0; 3)

Câu 85: Cho hai số thực , lớn hơn 1 và thỏa mãn ( ) ≥ ( ) Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 42

A.√ B.2√2 C √ D. √

Hàm số ( ) đồng biến trên 1; +∞) nên ( ) > (1) = 1 > 0, ∀ > 1

Xét hàm số ( ) = + trên (1; +∞), có ′( ) = ( )> 0, ∀ > 1, nên ( ) đồng biến trên (1; +∞).Với , > 1 thì (1) ⇔ ( ) ≥ ( ) ⇔ ≥

Đặt = Do ≥ > 1 nên ≥ 1 Ta có = ℎ( ) = + Nhận thấy ℎ′( ) = , nên ℎ′( ) = 0 khi = √2, ℎ′( ) < 0 khi 1 ≤ < √2, ℎ′( ) > 0 khi > √2 Dẫn tới = ℎ( ) ≥ ℎ √2 =

√

, ∀ ≥ 1, đẳng thức xảy ra khi = √2

Vậy = √ , đạt được khi = √ và > 1

Câu 86: Cho hai số thực dương , thỏa mãn hệ thức: 2 − ≤ ( + 6 ) Tìm giá trị

Trang 43

DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Câu 87: Cho hai số thực , thỏa mãn đồng thời các điều kiện + ≤ 4 và log (2 + 2 +

3 − 4) ≥ 1 Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số để tồn tại một cặp số thực ( ; ) thỏa mãn bài toán Số phần tử của tập là:

Miền điều kiện + ≤ 4 là miền nằm trong hình tròn ( ) tâm là gốc toạn độ (0; 0) bán kính =

Để tồn tại một cặp số thực ( ; ) thỏa mãn đềtoán thì xảy ra hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Đường tròn ( ) có = 0 coi như chỉ là một điểm và điểm này sẽ nằm trong hoặc trên ( )

Ta có điều kiện tương ứng:

Trường hợp 2: Đường tròn ( ) tiếp xúc ngoài với đường tròn ( )

Ta có điều kiện tương ứng:

13

(C 2 )

(C 1 )

O I

(C 2 ) (C 1 )

Trang 44

Câu 89: Cho hai số thực , thỏa điều kiện log (2 + + 1) ≥ 1, + ≤ 6 Gọi giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 2 + lần lượt là và Giá trị của biểu thức = + bằng:

Đây là dạng toán max-min trên miền điển hình

Từ giả thiết suy ra: log (2 + + 1) ≥ 1

Trang 45

Ta xác định rõ được hai giao điểm của hai đường cong tạo nên miền là:

= 4; = 2 ⇒ (4; 2)Tiếp đó ta xử lý tới biểu thức max-min: = 2 + ⇔ = −2 + ; đây là một họ đường thẳng song song với nhau ta gọi họ đường thẳng Δ

Trong đó mỗi cặp ( ; ) thỏa mãn điều kiện bài tọa đã cho sẽ ứng với một điểm ( ; ) ∈

Điều kiện là đường thẳng Δ phải cắt miền (có ít nhất một điểm chung với miền )

Bằng trực quan trên đồ thị, ta có thể xác định được trường hợp đường thẳng Δ đi qua điểm ứng với

Trang 46

Do đó (1) ⇔ −(2 + ) =

Gọi ( ; ), suy ra thuộc đường thẳng có phương trình 2 + + 2 = 0

( , ) =| √ |= 2√5 > 2 ⇒ đường thẳng không cắt đường tròn ( )

Do đó ngắn nhất khi là hình chiếu của điểm trên đường thẳng và điểm là giao điểm của đoạn thẳng với đường tròn ( )

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2√5 − 2

Câu 91: Cho các số thực dương , thỏa mãn ( )( + ) ≤ 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức

= 48( + ) − 156( + ) + 133( + ) + 4 là

=Bảng biến thiên

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	3,69 MB