Luyện kĩ năng cho học sinh giải các bài toán cực trị trong số phức bằng việc khai thác các bài toán cực trị trong hình học phẳng

tìm ra ngọn nguồn của bài toán đó sẽ góp phần giúp cho cả giáo viên, học sinhtiếp cận bài toán một cách linh hoạt hơn, từ đó làm tăng tính hiệu quả trong việcgiảng dạy, ôn tập môn Toán n

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,năng động và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó mộtyếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương phápdạy học môn Toán

Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”

Từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi mônToán thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan.Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhàtrường Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắmvững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khảnăng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giảiquyết nhanh nhất đến đáp án Đây thực sự là một thách thức lớn

Trong những năm trước đây, kể từ khi được đưa vào chương trình mới, cácbài toán về số phức xuất hiện thường xuyên trong các đề thi tốt nghiệp THPT,tuyển sinh ĐH – CĐ, trong cấu trúc chung của đề thi giai đoạn này các bài toán

về số phức thường nằm ở mức độ “nhận biết, thông hiểu”, hầu hết học sinh chỉcần nắm chắc kiến thức cơ bản là có thể lấy điểm phần này Tuy nhiên, kể từ khithay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan, phần dànhcho các bài toán về số phức trong đề xuất hiện thêm nhiều bài toán khó ở mức

độ “vận dụng, vận dụng cao”, trong đó có lẽ lớp các bài toán về “cực trị số phức” gây ra không ít khó khăn cho cả người dạy lẫn người học nhất Bởi vậy,

tìm ra ngọn nguồn của bài toán đó sẽ góp phần giúp cho cả giáo viên, học sinhtiếp cận bài toán một cách linh hoạt hơn, từ đó làm tăng tính hiệu quả trong việcgiảng dạy, ôn tập môn Toán nói chung và chủ đề số phức nói riêng.

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề tôi phát hiện ra rằng: rất nhiều bài

toán khó về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính

toán sẽ rất cồng kềnh, phức tạp nên rất khó để giải quyết được vấn đề trong mộtkhoảng thời gian ngắn Đây phải chăng là một hướng tiếp cận khoa học và triệt

để hơn? Áp dụng phương pháp đó có giúp học sinh giải quyết được vấn đề thờigian khi giải toán? Có thể giúp giáo viên tự tạo ra được các bài toán tương tự đểphục vụ cho công tác giảng dạy của mình?

Những câu hỏi đó đã thôi thúc tôi tìm hiểu thông qua các tài liêu; đề thi thử,

chính thức các năm 2017 và 2018 Từ đó tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài “ Rèn Luyện Kĩ Năng Cho Học Sinh Giải Các Bài Toán Cực Trị Trong Số Phức Bằng Việc Khai Thác Các Bài Toán Cực Trị Trong Hình Học Phẳng”.

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

1 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung

vào mối quan hệ giữa các kiến thức về số phức với các kiến thức về hình học tọa

độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán cực trị đặc trưng trong hìnhhọc rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị trong tập số phức

2 Phạm vi nghiên cứu: Để thực hiện đề tài này, tôi đã nghiên cứu dựa trên

các tài liệu viết về số phức, các dạng bài toán về cực trị số phức, cực trị tronghình học phẳng (đã giảng dạy trong chương trình hình học lớp 10) cũng như cácdạng toán có liên quan thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ, đềthi THPT quốc gia Có nhiều phương pháp để giải quyết bài toán cực trị trong sốphức như biến đổi đại số sử dụng kiến thức về hàm số, kiến thức về BĐT, kiếnthức về vectơ, tuy nhiên trong phạm vi nghiên cứu của đề tài tôi chỉ tập trungvào các vấn đề chính như sau:

 Tiếp cận một số bài toán “cực trị trong số phức” theo hướng hình học.

2

 Đưa ra phương pháp xây dựng các bài toán tương tự để làm tài liệu giảng dạy cho GV.

 Đưa ra các ví dụ minh họa cho lập luận của mình.

III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

1 Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh lớp

12 tiếp cận bài toán “cực trị trong số phức” một cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ

đó cung cấp, rèn luyện cho các em các kỹ năng giải và trình bày dạng toán này.Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề số phức thuộc bộ môn Toán ởtrường trung học Phổ thông

2 Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đúc

rút các kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy từ đó xây dựng và trình bày một cách

có hệ thống các kiến thức, phương pháp giải toán và các bài tập điển hình củabài toán “cực trị trong số phức” Ghi chép và tổng hợp các kết quả thực nghiệmthu được từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy

IV GIẢ THIẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:

Trong thực tiễn giảng dạy chủ đề số phức, ta bắt gặp các bài toán “cực trịtrong số phức”, nếu người giáo viên có thể hệ thống một cách ngắn gọn nhưngđầy đủ lý thuyết, đồng thời xây dựng được hợp lý các phương pháp áp dụng lýthuyết đó vào việc giải các bài tập điển hình thì sẽ giúp học sinh chủ động, tự tintiếp cận và giải quyết tốt các bài tập dạng này Từ đó phát huy, khơi dậy khảnăng vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học của học sinh vào việc giải toánđồng thời gây hứng thú học tập cho các em

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Trong quá trình nghiên cứu, đề tài đã sử dụng những phương pháp sau:

Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm

Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnhdạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có rút kinh nghiệm về kết quả

thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và

đi đến kết luận

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của họcsinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của họcsinh để từ đó đưa ra lời giải đúng cho bài toán

VI DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI:

Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi đã áp dụng đề tài của mình và bướcđầu đã thu được những kết quả rất khả quan, hầu hết sau đó các em đều đã kháchủ động và tự tin khi đối mặt với bài toán “cực trị trong số phức” nói chung.Qua đó phát huy được tính tích cực, tư duy độc lập sáng tạo của mình trong việcgiải toán

Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồidưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia

4

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:

I.1 Cơ sở lý thuyết của đề tài:

 Số phức liên hợp của số phức z  a  bi được kí hiệu làz và z  a  bi

Hai số phức bằng nhau: Choz1a1b1i, z

5

c Biểu diễn hình học của số phức và một số mở rộng:

Biểu diễn hình học của hai số phứcz và z là hai điểm đối xứng nhau quatrục Ox nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z và z lần lượt là các hình

C,C 'thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục Ox

 Nếu điểm biểu diễn của hai số phức z1, z2 là A, B thì

 Cho điểm biểu diễn của hai số phức z1 ,z2 là A, B Số phức z

mãnz  z1 z  z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là trung

AB

thay đổi thỏatrực của đoạn

Cho điểm biểu diễn của hai số phứcz1 ,z2 làA,  Số phứczthay đổi thỏa

mãn z  z1 z  z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức zthay đổi thỏa mãn z z0  R  0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z chính là

đường tròn tâm I bán kính R

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức zthay đổi thỏa mãn z z 0  R  0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền

trong đường tròn tâm I bán kính R

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức zthay đổi thỏa mãn z z 0  R  0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền

ngoài đường tròn tâm I bán kính R

 Cho hai số phức z1 , z2 không đổi có điểm biểu diễn là hai điểm A, B Một sốphức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z 2  a  0 Khi đó:

+) Nếu z1  z 2  a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường E-lip

I.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài:

Trong thực tế hiện nay khi gặp các dạng toán “cực trị trong số phức” đượcphát triển từ bài toán “cực trị trong hình học phẳng” thường làm các học sinh kể

cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát hiện nút thắt mấu chốt cho đếncách xử lý Đa số các em không nhận ra “bẫy” trong đề bài, sa đà vào tính toán,gây mất thời gian mà thường không thu được kết quả mong đợi

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian

để biến đổi bài toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cáchphối hợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số

Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình họcthì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giả thiếtkhác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúngtúng cứ như là gặp những bài toán mới

Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũngnhư cách giải đơn giản, thuận lợi để kết thúc bài toán

7

II CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: II.1 VẤN ĐỀ 1: Khai thác từ các bài toán cực trị liên quan đến

đường thẳng, đoạn thẳng:

Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa

Tìm điểm M chạy trên đường thẳng 

chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d 

AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình

của điểm A lên đường thẳng d  và AMmin  AH dM,d

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

Tạo giả thiết:Tạo một điều kiện ràng buộc số phứcz sao cho quỹ tích nó

phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được

một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường thẳng

Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:

+) Cho số phức z  x  yi (x , y  ) sao cho ax by c0 (a,b, c ) +) Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2 với z1 , z2 là hai số phức đã biết

c Bài tập minh họa:

Bài tập 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d :

Với mỗi điểm M x;y biểu diễn số phức z x yi thi

z là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d  và OH

điểm O lên đường thẳng d 

Với mỗi điểm Mx;y biểu diễn số phứcz

là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng

điểm O lên đường thẳng d 

Như vậy bài toán đã trở về dạng giống Bài tâp 4.

Bài tâp 6: [ Thi thử Sở GD – Long An - 2018] Cho các số phức

z  2  4i z  2i Giá trị nhỏ nhất của z 7 i là

z

D 4.

thỏa mãn

1 0

Như vậy bài toán đã trở về dạng giống Bài tâp 4.

Bài tâp 7: Cho số phức z thỏa mãn uz3i z13i

:

y

 1





i

2

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm phân biệt A , B và

đường thẳng d  Điểm M chạy trên đường thẳng d  sao cho tổng độ dài đoạn

AM  BM nhỏ nhất Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính AM  BM

a Hướng dẫn giải: Ta xét hai trường hợp

+) Trường hợp 1 : hai điểm A , B nằm về hai phía đối với đường thẳng d 

1 1

min  AB , đạt được khiMAB

cùng phía đối với đường thẳng

B

(d) M

Cách giải quyết:Gọi điểm biểu diễn của số phứcz , z1  , z2 lần lượt là

M , A, B Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là d  Khi đó bài toán

số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là phát hiện nhanh

yếu tố hình học ở giả thiết và kết luận, vẽ các yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ

để xác định nhanh vị trí của A, B với đường thẳng d 

Ta có A, B nằm về cùng một phía với đường thẳng d  Điểm A' 3; 4 làđiểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d .

1 3

Bài toán trở về: Tìm điểm M (d): x + y – 2 = 0 sao cho P = MA + MB

nhỏ nhất

Ta thấy A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d

Gọi A’(1 ; -1) là điểm đối xứng của A qua d B

Bài tâp 12: Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  2i Tìm

giá tr của biểu thức P z  2i  z  1  2i

Ta còn có thể mở rộng bài toán như sau:

Bài tâp 13: Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  2i Tìm giá trị lớn nhất của

Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

d Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d

 P  MAMB MA'MBA'B

Dấu “=” xảy ra khi M  M’ = A’B  d

14

min IHvà IMmax maxIA;IB.

điểm H nằm ngoài đoạn AB

I

Dễ dàng thấy IM min  min IA; IBvà IMmax max IA; IB

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó

là một đoạn thẳng

1 5

 Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của mô-đun

Cáchgiải quyết:Gọi điểm biểu diễn của số phứcz,z0 lần lượt làM , I.

Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là AB Khi đó bài toán số phức trở

về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được

một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn thẳng Điềukiện kiểu này chủ yếu dựa vào tính chất: điểm M thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉkhi MA  MB AB Tính chất này viết theo ngôn ngữ số phức sẽ có một số dạngsau:

+) Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z 2



a với z1 , z 2 là hai số phức đã biết

và z1  z 2 a.(Đây là dạng suy biến của Elip như đã trình bày ởphần cơ

sởlýthuyết)

+) Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2 nhỏ nhất với z1 ,z2 là hai số phức đãbiết

Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn z là phần đường thẳng bị giới hạn

ở miền trong đường tròn, elip Chẳng hạn như:

+) Cho số phức bị ràng buộc bởi điều kiện để quỹ tích của nó là một đường thẳng, điều kiện còn lại là z  z 0 rhoặc z  z1  z  z 2 2a

c Ví dụ minh họa:

Bài tâp 14: [ Thi thử THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018] Xét số phức z thỏa

mãn z  2  i z  4  7i 6 2 Gọi m, M lần lượt là giá trịnhỏnhất và giá trịlớn

nhất của z 1 i Tính PmM

2 2

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z ,gọi A 2;1 , B 4; 7

I lên đường thẳng AB

nằm trong đoạn AB Lại có: IA  13, IB  73, d ( I ; AB)  5 2

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z

Vì z  2 z  8 8i nên M thuộc đường thẳng

Mà z 5 nên M thuộc miền trong đường tròn

 d : 2x  y  10  0

C : x 2  y2  25

.

1 7

Lại có d  cắt C  tại hai điểm phân biệt A(3; 4), B(5; 0) nên quỹ tích điểm

M là đoạn thẳng AB Gọi I 0; 4 thì z  4i IM.

Vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng

d  nằm ngoài đoạnAB màIA 41, IB  3 nên z  4i min 3

Bài tâp 17: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M+ m.

Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi

Gọi A(-2; 1), B(4; 7), I(1; -1)  z  1  i  MI

I

B

Min z  1  id(I;AB)

II.2 VẤN ĐỀ 2: Khai thác từ các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn.

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A và đường tròn C  có

tâm I bán kính R Điểm M thay đổi trên đường tròn C Xác định vị trí điểm

M để độ dài đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này

18

a Hướng dẫn giải: Ta xét ba trường hợp

+) Trường hợp 1: Điểm A nằm ở miền ngoài đường tròn C 

(C) M

Cách giải quyết:Gọi điểm biểu diễn của số phứcz , z0 lần lượt làM,A.

Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z là C Khi đó bài toán số phức trở

về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được

một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường tròn Điềukiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:

+) Cho số phức z thỏa mãn z  z 0  R với z0 là hai số phức đã biết

+) Cho số phức z thỏa mãn z  z1  k z  z2với z1 , z 2 là hai sốphức đã biết và

 M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; -4) bán kính R 4

 Min z OMminOI  R541

Max z OM maxOIR549

Bài tâp 20: Cho số phức z thỏa mãn: z  2  3i 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

z  1  i

Hướng dẫn giải:

Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi  N(x; - y) là điểm

biểu diễn của z  x  yi

 N thuộc đường tròn (C) tâm I(2; 3) bán kính

2 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn

2 0

 M thuộc đường tròn (C) tâm I(0;-3) bán kính R  10

 Min z OMmin OI  R  10 

3 Max z OM maxOIR 10

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z

Vì z   2  4i   2 nên quỹ tích điểm M là đường tròn

 x  2  5 x



2 1

M N

8

 2 2; 4  4

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z

Vì z 2nên quỹ tích điểmMlà đường

A 3 B 2 C 1 D. 2.

2 2

A nằm ở miền trong đường

1

2

Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d ) và đường tròn

C  có tâmIbán kínhRkhông có điểm chung Điểm Mthay đổi trên đườngtròn C

, điểm N thay đổi trên đường thẳng ( d ) Xác định vị trí hai điểm M , N để độ dàiđoạn MN giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này

2 3

a Hướng dẫn giải:

I

M R

 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z1 sao cho quỹ tích

điểm biểu diễn nó là một đường tròn, tạo một điều kiện ràng buộc số phức z2sao cho quỹ tích điểm biểu diễn nó là một đường thẳng

 Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun z1  z2

 Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z 1 , z2lần lượt là M , N Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z1 là C , đường thẳng biểu diễn sốphức z2 là d  Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Khi học sinh đã nắm vững bài toán 1 và 3 thì cũng sẽ dễ dàng

hình dung được con đường hình học để giải quyết bài toán này

Hướng dẫn giải:

Gọi M ,N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2

Theo bài ra  z  i  z 11 1 , suy ra quỹ tích điểm M là đường thẳng

Vẽ hình trực quan dễ thấy C  và d  không có điểm chung, mà

z1  z 2  MN nên z1  z 2 minmin MN

Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1

biểu diễn của số phức z 2  c  di

I

đường thẳng d : 8x 6y

H

Ta thấy đường thẳng d không cắt (C) và z1  z 2 MN K

Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn (C) :(x 5) 2

y2  25 và N chạy trên đường thẳng d: 8 x 6y 35 Tìm giá trị

nhỏ nhất của MN.

Đường tròn (C) có tâm I(-5; 0), bán kính R = 5

Gọi d’ là đường thẳng qua I, vuông góc với d, cắt đường tròn (C) lần lượt tại

K, L Ta có: MN nhỏ nhất khi M  K, N  H

Khi đó: MNmin = d(I, d) – R = 7,5 – 5 = 2,5

Bài tâp 30: Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1  i 5, z 2  5 z2  7

Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z2

Hướng dẫn giải:

N

d

25

Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn (C) : x 2  ( y  1) 2  25 và N

chạy trên đường thẳng d: 5 x 7y 12  0 Tìm giá trị nhỏ nhất của MN.

Đường tròn (C) có tâm I(0; -1), bán kính R = 5

Gọi d’ là đường thẳng qua I, vuông góc với d, cắt đường tròn (C) lần lượt tại

26

Bài toán 6: Trong hệ tọa độOxy cho đường tròn  C có tâm I bán kính R

C  ĐiểmM thay đổi trên C  Xác định vịtrí

Đoạn AB là một đường kính của

điểm M để tổng độ dài k MA  l MB (với k  l  0 ) đạt giá trịnhỏnhất và tính giá

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó

hai số phức đã biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn của chúng là một đường kính của đường tròn biểu diễn số phức z