CD4 cần hoàn chỉnh he phuong trinh

Dạng 4: Hệ phương trình chứa phương trình tích Phương pháp: Biến đổi các phương trình về dạng phương trính tích nếu được sau đó chia thành các trường hợp Ví dụ: Bài tập: Bài 1.. * Địn

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ Dạng 1: Dạng cơ bản

Phương pháp: Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế

Bài 1

a)

x y

d)

x y

1

10 0

Bài 3:

a)

( 2 1) 1

x y

2 3 1

x y





  



x y

e)

2 3 3 2 1

1

x y

Bài 4:

a)

6( ) 8 2 3

5( ) 5 3 2

( 2)( 1) ( 8)( 2)

d) ( 1) 2( 2) 5

3( 1) ( 2) 1







    



Dạng 2: Hệ phương trình chứa một phương trình bậc nhất

Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất rút biến này theo biến kia và thế vào phương trình còn lại

Ví dụ:

 

 



  

 



x 5 2y

x 5 2y

Phương trình (2) là phương trình bậc hai có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm là y1 1; y2 c 2

a

Với y = y1 = 1 thay vào (1) ta có x = 5 – 2.1 = 3

Với y = y2 = 2 thay vào (1) ta có x = 5 – 2.2 = 1

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x ; y ) là ( 3 ; 1 ) và ( 1 ; 2 )

Bài tập: Giải các hệ phương trình sau

x y

3 1

1 0

x y

x y

e)

2 2 2 2 23 0

3 3 0

2

Dạng 3: Đặt ẩn phụ

Phương pháp: Tìm điều kiện xác định của hệ (nếu có) sau đó tìm cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản Các ví dụ:

Ví dụ 1:

2

1







Điều kiện x0, y2

Đặt 1 a , 1 b

x  2 y 

 ta có hệ phương trình :

b 2a 1 2 1

 





Do đó

x 5





( thỏa mãn các điều kiện )

Vậy hệ phương trình có nghiệm là   11

x;y 5;

3

  

Ví dụ 2: (I)

2

2x 1 1 3y

20







Điều kiện x2, y 3

(I)

Đặt ẩn phụ và làm tiếp Đối chiếu điều kiện, nghiệm là (3; -4)

Bài tập:

Bài 1 (Mỗi ẩn phụ chứa một biến)

a)

2

b)

1 12

3 12

x y

x y

1

d)

2

1

e)

2

2

2 2

g)

3

2 6

Bài 2 (Mỗi ẩn phụ chứa cả hai biến)

a)

2

2

3

1

b)

2

1

2

8

(vn) c)

;



d)

1 12

2 12

y y

4

f)

g)

5 2 10 3

h)

1

2

i)

3

1

Bài 3 ( Ẩn ở cả tử và mẫu)

a)

2

5

1 3 2

9

b)

2

3 2

5

y

c)

2

2

1 2 3

13

1 2 3

( Gợi ý câu c: Nhân hai vế phương trình thứ nhất với 2 rồi làm tương tự)

Bài 4 ( Ẩn ở cả tử và mẫu)

a)

;

y



b)

3

4;

5

2 4 6

x



c)

3

2

0;

x

y



2

;

2

y



e)

1

5

;

7

x



2

2;3

4 3

4

x

y





Bài 5 ( Ẩn ở cả tử và mẫu)

2 1 1

6

3; 2

6



2 1

1

2; 0

4 2

2

y







2 4

2

2;3

1

x







d)

5 3

15

4;

4

x

x





1

4; 5

16



2 1 4

1

2 1 2 1

1;1

5

2 1 2 1







Dạng 4: Hệ phương trình chứa phương trình tích

Phương pháp: Biến đổi các phương trình về dạng phương trính tích (nếu được) sau đó chia thành các

trường hợp

Ví dụ:

Bài tập:

Bài 1

a) 2 2

1 0 22

x y xy

( 2 1)( 2 2) 0

3 1 0

c)

(2 3 2)( 5 3) 0

3 1

( 2)(2 2 1) 0

e)

2

5 0

( 1) ( 1) 0

3 5 0

g)

2

2

2

Dạng 5: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp

* Định nghĩa

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:

ax bxy cy d

a x b xy c y d







* Cách giải thông thường:

- Nhân hai vế của các phương trình với một số phù hợp để hạng tử tự do của hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau

- Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình được phương trình đẳng cấp bậc hai

- Giải phương trình đẳng cấp bậc hai: phân tích thành phương trình tích để có được hai phương

trình bậc nhất ( Dùng phương pháp nhẩm a.c hoặc dùng máy tính bỏ túi để phân tích)

- Với mỗi phương trình bậc nhất tìm được, rút một biến theo biến kia và thay vào một trong hai phương trình trong hệ để được một phương trình một ẩn

- Giải phương trình một ẩn tìm được, từ đó tìm ẩn còn lại

* Ví dụ:

Bài 1 Giải hệ phương trình:

 

 



x xy y

( Dùng máy tính hoặc phương pháp a.c tìm hai số a và b sao cho: a.b = 32.(-15) = -480 và a + b = 14)

 



 



2

15

y

 Với y = 2x Thay vào phương trình (2) ta có :

 

Với x = 1, thay vào y = 2x ta có y = 2

Với x = -1, thay vào y = 2x ta có y = -2

 Với 16

15

x

y

Thay vào phương trình (2) ta có : làm tương tự như trường hợp trên

Tóm lai hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) là :

   

15 16; , 15 ; 16 , 1;2 , 1; 2

Bài 2 Giải hệ:

2

Hệ có bốn nghiệm:   0; 5 , 0; 5 , 2; 1 ,    2;1

Bài tập: Giải hệ phương trình :

a)

2

2

21

2 9 0

x xy y

d)

2

2

xy x

g)

Dạng 6: Hệ phương trình đối xứng loại 1

* Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y

đó thì từng phương trình của hệ không đổi

* Cách giải

- Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2  4P

- Giải hệ để tìm S và P

- Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình: t2 – St + P = 0

* Ví dụ: Giải hệ phương trình:

a) 2 2

5 10

x y xy

x y ( Hệ có bốn nghiệm:  5; 5 ,  5; 5 , 3; 1 ,    1;3)

b)

x y ( Hệ có hai nghiệm:    3;1 , 1;3 )

* Bài tập:

Bài 1) Giải các hệ phương trình sau:

12 0

x y xy

5 5

x xy y

8 7

17 65

7 13

x y xy

3

0

Bài 2) Giải các hệ phương trình sau:

a) 2 2

3( )

160

x y xy

2

x xy y

1 6

d)

69

5 7

x y xy

3 3

2 2

9 3

x y

x y xy

Bài 3) Giải các hệ phương trình sau:

a)

3 3 9

1

x y

1

7 133

x y

d)

11

11

xy x y

xy

7 10 3

xy x y

30 35

x y y x

x x y y

g)

2 2 2 ( 3) 2 ( 3) 9 0

x y xy

* Một số bài vận dụng :

Giải phương trình

x x x x  b) ( 7 48 )x( 7 48 )x 14

Gợi ý : a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ : 2 2 9

17

a b ab

a b





 

 Phương trình có hai nghiệm : x = 1, x = 4

b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ : 14

1

a b ab

 



 

 Phương trình có hai nghiệm : x = 2, x = -2

Dạng 7: Hệ phương trình đối xứng loại 2

* Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y

thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại

* Cách giải

- Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn

- Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích

- Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)

- Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn

- Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ

* Ví dụ: Giải hệ phương trình

2 2





3 3

6 13

6 13







* Bài tập

a)

3

3

2 2

d)

2

2

2 2

3

3

g)

3 3

2 2

x y x

y x y

* Một số bài vận dụng:

Giải phương trình

1 2 2 1

x   x b) 2x22x 1 4x1 c) x2 4 4x 5 5

Gợi ý: a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ:

3 3

1 2

1 2

  





 

4x 4x 2 2 4x 1 2x1  1 2 4x1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ:

2 2

1 2

1 2

  





 



Lưu ý: Câu b có thể biến đổi như sau:

 2

4x 4x 2 2 4x 1 4x 4x 1 2 4x   1 1 0 4x  4x 1 1 0

Câu c cũng có thể biến đổi tương tự, tức có hai cách giải

PHẦN 2 DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

I Một số chú ý:

1) Để xét số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta thường dùng phương pháp cộng hoặc thế để được một phương trình bậc nhất một ẩn Số nghiệm của phương trình này chính là số nghiệm của hệ phương trình

2) Số nghiệm của phương trình dạng ax = b được xác định như sau:

- Phương trình có nghiệm duy nhất khi: a0

- Phương trình vô nghiệm khi: a 0

b 0





 



- Phương trình vô số nghiệm khi: a 0

b 0





 



II Bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn một hệ thức

Ví dụ: ax + by = c; ax + by > c; ax + by < c; xy < 0; xy > 0; x 2 + y đạt giá trị nhỏ nhất; x, y là các số

* Phương pháp giải:

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Thay nghiệm (x,y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện K

Bước 3: Giải điều kiện K tìm m

Bước 4: Đối chiếu với điều kiện nếu có và trả lời yêu cầu bài toán

Bài 1 Cho hệ phương trình:  

 

mx 4y 20 1







Tìm m đề hệ phương trình:

a Vô nghiệm

b Vô số nghiệm

c Có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm duy nhất đó

Hướng dẫn học sinh:

- Để tìm được phương trình bậc nhất ta nên dùng phương pháp thế hay phương pháp cộng?

- Nên dùng phương pháp thế vì phương pháp cộng phải nhân hai về với m nhưng lại chưa biết m bằng 0 hay khác 0

Giải:

Từ (2) ta có x = 10 – my thay vào (1) ta có:

(m2 – 4)y = 10m – 20 (*)

a Hệ phương trình vô nghiệm khi phương trình (*) vô nghiệm, điều kiện là:

2

10m 20 0

  





( Lưu ý giải thích cách lấy được m = -2)

b Hệ phương trình vố số nghiệm khi phương trình (*) vô số nghiệm, điều kiện là:

2

10m 20 0





c Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất, điều kiện là:

2

Khi đó từ (*) ta có: y 10

m 2



 thay vào (2) ta tìm được

20 x

m 2





Dẫn dắt: Ở câu c, nếu đề bài hỏi : tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y =

2 ta làm thế nào? Ta có bài tiếp theo:

Bài 2 Cho hệ phương trình:  

 

   





  



Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: y2 = 4x

Giải:

Với m1 hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = 1; y = -m – 1

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: y2 = 4x khi m = 1 hoặc m = -3

Đối chiếu với điều kiện m1 ta được m = -3 là giá trị cần tìm

Bài 3 Cho hệ phương trình: 2 1  

I

x y m



   

 a) Giải hệ phương trình với m = 5

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn x = 3y + 1

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn x2 + y2 = 5

d) Tìm m để hệ có nghiệm ( x, y) sao cho K = x2 + 2y có giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó

Giải:

b Theo câu a, hệ phương trình luôn có nghiệm (x,y) = ( m; m + 1)

Hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x = 3y +1 khi thoả mãn:

m = 3(m + 1) +1  m = 3m + 4  m = - 2

Vậy với m = -2 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm (x,y) thoả mãn x = 3y + 1

c Theo câu a, hệ phương trình có nghiệm (x,y) = ( m; m + 1)

Hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 + y2 = 5 khi:

 2

d x = m, y = m + 1 vậy:

K = x2 + 2y = m2 + 2(m+1) = m2 + 2m + 2 = (m+1)2 + 1 ≥ 1

Vậy Knhỏ nhât = 1 khi m = -1

Chú ý: Ở bài này ta nhận thấy với mọi m thì hệ luôn có nghiêm duy nhất (x,y) = ( m; m + 1), do đó đề bài có thể hỏi: Chứng tỏ với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất

Bài 4 Cho hệ phương trình:  

 

mx y

x my





a) Chứng minh với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm duy nhất đó

b) Tìm m để nghiệm (x;y) của hệ thỏa mãn x + 4y = 8

Kết quả:

a) Hệ luôn có nghiệm duy nhất 32 1 6; 2

b) Tìm được m = 1 hoặc m = -9/8

Bài 5 Cho hệ phương trình:    

 







a) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 5

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn 2x + y = 1

c) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 2

Kết quả:

a) Với m = 2, hệ vô số nghiêm x – y = 5

Với m khác 2, hệ có nghiệm (x,y) = ( -3; -3m - 2) Thay vào tìm được m = 2 ( loại) Kết luận m = 2

b) Với m = 2, hệ vô số nghiêm x – y = 5 Hệ có nghiêm (2; -3) thỏa mãn yêu cầu

Với m khác 2, hệ có nghiệm (x,y) = ( -3; -3m - 2) Thay vào tìm được m = -3 Kết luận m = 2 hoặc m = -3 c) Với m = 2, hệ vô số nghiêm x – y = 5 Không thỏa mãn yêu cầu

Với m khác 2, hệ có nghiệm (x,y) = ( -3; -3m - 2) Thay vào tìm được m = 1 (tm) Kết luận m = 1

Bài 6 Cho hệ phương trình:  

x my







Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + 2y = 4

Kết quả: Hệ luôn có nghiệm 27 6 ; 23 2

Chú ý: Đề bài có hoặc không có chữ duy nhất thì lời giải vẫn không đổi

Bài 7 Cho hệ phương trình:      

 







Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất nguyên

Kết quả:

Với m  -3, hệ có nghiệm duy nhất   4 3

m

x y



  nên với m nguyên, nghiệm của hệ nguyên khi m+3 đồng thời là ước của 4

và 6 Do đó m   3  2; 1;1; 2 Tìm được m     5; 4; 2; 1

Bài 8 Cho hệ phương trình với tham số m : 2

1

x my m

 



   

Tìm m đề hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm, có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất

Đáp án:

+)Với m ≠ ±1 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:

1 1

1

x m m y m

 

 

 

 +)Với m = 1 hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

2

x R

y mx





   

 +) Nếu m = -1 hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 9 Cho hệ phương trình với tham số m :    







a) Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x + y = 2

b) Tìm m để hệ có nghiệm 3x – 4y = 13

c) Tìm m để hệ có nghiệm x + y = 3

Đáp án:

a) Với m = 2, hệ có vô số nghiệm thỏa mãn x + y = 2

Với m khác 2 và m khác 0 hệ có nghiệm duy nhất x 3m 2, y m 2

Thay vào x + y = 2 ta tìm được m = 2 ( không thỏa mãn) Vậy m = 2 là giá trị cần tìm

b) m = 2, hệ có nghiệm (3;-1) thỏa mãn yêu cầu

c) m = 4 là giá trị cần tìm

Bài 10 Cho hệ phương trình với tham số m :  

  2







Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x2 – 2x – y > 0

Đáp án: x = m; y = 2 m > 1 + 3 hoặc m < 1 - 3

Bài 11 Cho hệ phương trình với tham số m :  

 







Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x + y < 1

Đáp án: Hệ luôn có nghiệm duy nhất m 7 33

2



2











Tìm m đề hệ phương trình có vô số nghiệm ( Đáp án: m = 3)

Bài 13 Cho hệ phương trình với tham số m :  







Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 0

Đáp án: m = 0 ( loại), m = 1 (thỏa mãn)

Bài 14 Cho hệ phương trình với tham số m :    







Tìm m đề hệ phương trình có vô số nghiệm

Bài 15 Cho hệ phương trình với tham số m :  







a Tìm m đề hệ phương trình vô nghiệm ( không có giá trị nào của m)

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y = - 2

Đáp án câu b Nghiệm duy nhất x 1 , y 2m 6



  thay vào tìm được m = 1 (loại)

Dạng 2: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m

* Phương pháp giải:

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Bằng cách áp dụng qui tắc cộng đại số hoặc qui tắc thế ta làm mất tham số m: Thường rút m theo x và y từ nghiệm và cho hai biểu thức tìm được bằng nhau

Bước 3: Trả lời yêu cầu bài toán

* Ví dụ:

Bài 1 Cho hệ phương trình với tham số m :  

 

x (m 2)y 1 1







a Giải hệ phương trình với m = -1 ( hệ vô nghiệm)

b Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) Tìm hệ thức độc lập giữa x và y

Đáp án:

b Với m 1 và m3, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

3

x

m 1

1

y

m 1

 

 



3

x 1

y

  





Chú ý: Các phép biến đổi trên là tương đương vì ta nhận thấy: x 3 0

m 1

 và

1

m 1





Nhận xét: Vì nghiệm duy nhất của hệ luôn thỏa mãn phương trình x + 3y = 1 nên với câu b có thề hỏi:

Chứng minh rằng với m 1 và m3 hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) và các điểm (x; y) nằm trên một đường thẳng cố định

Bài 2 Cho hệ phương trình:  

 

mx 4y 20 1







Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) Chứng tỏ các điểm A(x; y) nẳm trên một đường

Hướng dẫn:

Từ (2) ta có x = 10 – my thay vào (1) ta có: (m2 – 4)y = 10m – 20 (*)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất, điều kiện là:

2

Khi đó từ (*) ta có: y 10

m 2



 thay vào (2) ta tìm được

20 x

m 2





Tìm được m 2 10

y

  và m 2 20

x

  Do đó ta có 10 20

y  x hay x - 2y = 0 Vậy với m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) và các điểm A(x; y) nẳm trên đường thẳng cố định x - 2y = 0

Bài 3 Cho hệ phương trình với tham số m :    







Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) Tìm hệ thức độc lập giữa x và y

Đáp án: Với m khác 2 hệ có nghiệm duy nhất

2 3m 2

m x

x 3 m

2

m 2

m y

y 1 m









Do đó x – 3 = y – 1 hay x – y = 2

Bài 4 Cho hệ phương trình với tham số m :  







Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) Tìm hệ thức độc lập giữa x và y

Đáp án: Nghiệm duy nhất

1 1

x

x

2y 6 2m 6

m y

y 2





nên 1 2 2y 6



  



* Bài tập: