DongThap-09-10-coDA

Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác BMNC.[r]

Trường THPT ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN

Tỉnh Đồng Tháp

-

Câu 1: (5 điểm) (Phương trình, hệ phương trình)

Giải hệ phương trình

1 2

1 2

1

2 7 0 14 2 6 2 7 2 4 4

1 4 1

































































y x y x y x

y x

Câu 2: (4 điểm)(Giải tích)

Cho dãy số (an) thỏa a1 = 1 và n 1 n

n

1

a

   với n2,nN Chứng minh dãy số (an) có giới hạn và tìm giới hạn đó

Câu 3: (5 điểm) (Hình học)

Cho tam giác ABC có góc A nhọn Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N

1.Gọi độ dài đoạn thẳng AM = x Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác BMNC

2.Hãy dựng tam giác cân AMN sao cho M thuộc AB, N thuộc AC, AM = AN và MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Câu 4: (3 điểm)(Số học)

Xác định các số nguyên a, b, c, d, e sao cho

27 9 )

).(

(x2 axb x3 cx2 dxe  x5  x

Câu 5: (3 điểm)(Tổ hợp)

Cho tập hợp X 1,2,3,4,5,6,7,8  Lập một số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N chia hết

99.999 và các chữ số của N được lấy từ các số thuộc tập X Tính trung bình cộng tất cả các số N

tìm được

-Hết -

Trường THPT ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN

Tỉnh Đồng Tháp

-

Câu 1

5 điểm

Giải hệ phương trình

) 1 ( 2 7 ) 2 ( 0 14 2 6 2 7 2 4 4

1 4 1

1 2

1





































































y x y x y x

y x

.Đặt











y x

v

u

2

2

điều kiện u0 ; v0

.Khi đó (2)u2 (v7)uv2 6v140

.Để phương trình có nghiệm thì

0 56 24 4

) 7



3v2 10v70

3

7

0 14 7 )

6 ( )

2

( v2  u vu2  u 

0 56 28 4

) 6



3u2 16u200

3

10

2

7 1 2

1 2 )

1





























v

v u

Xét hàm số

t t

z 2 1 với t 1

0

1 2

/







t

z với t  1

z

 đồng biến khi t 1

.Khi đó

2

7 1 2



u u u

1

1 2



v v v

.Suy ra

2

7 1 2

1



























v

v u u

.Vậy

























0

1 1

2 )

1 (

y

x v

u

là nghiệm duy nhất của hệ

0,5

0,5

0,5 0,5

1,0

0,5 0,5

0,5 0,5

Câu 2

4 điểm

n n 1 n 1

i 2 j 1 j 1



n 1 2

j 1 j

1

a





   Vậy an > 2n 1 , n    2.

2

k

Suy ra:



Suy ra:

j 1 j j 1 j

Vậy: a2n 2n 1 5(n 1) (n 2)

2



Suy ra:

n n



 n

a n n

Câu 3

5 điểm

1.Tìm GTLN của diện tích tứ giác BMNC:

.Dựng BE, CF song song MN (hình vẽ)

c x

bx AN

AG

AD AG

AF AE AN

AC AM AB

AG

AF AN

AC

AG

AE AM

AB

































3 3

2





















c x

bx bc A S

S

S BMNC ABC AMN

3

sin 2

.Khảo sát S BMNC bc sinA

18

5

3

2c

x 

2.Dựng tam giác cân AMN:

AN

b AM

c AN

AC AM AB

Với AM  AN ta có

3

c b

AM  

.Cách dựng :

+Dựng trên AB đoạn

3

c b

AM   , suy ra M +MG cắt AC tại N

+suy ra tam giác AMN cần dựng

.Biện luận : bài toán có nghiệm khi bc c

c 2

Câu 4

3 điểm

.Đồng nhất hai đa thức ta được











































27 9 0 0 0

be

bd ae

e bc ad

d b ac

c a

vì a, b, c, d, e các số nguyên

Nên các khả năng của cặp (b, e) là 1,27 ; 3,9;

Thay a= -c vào (2) , (3), (4) ta có

b

ce c

e bc b

c2     9

.Đưa về phương trình bậc hai theo c, buộc  là số chính phương

.Kết quả a3,b3,c3,d 6, e9

Câu 5

3 điểm

Cho tập hợp X 1,2,3,4,5,6,7,8 Lập một số N gồm 2010 chữ

số thỏa mãn N chia hết 99.999 và các chữ số của N được lấy từ các

số thuộc tập X Tính trung bình cộng tất cả các số N tìm được

.Gọi M là tập hợp các số N thỏa điều kiện đề bài

.Ta xây dựng ánh xạ f như sau :

Nếu N  a1a2 . a2010 thì f(N) b1b2 .b2010 với

i

b  9 (i:1 2010)

.Với cách xây dựng như vậy, ta có :







2010

9 99 )

 f N

Suy ra f là song ánh từ M  M

.Từ đó ta có

 ( ) 9 9 9 99 9 10 1

2010 2010















 N N f N M      

M N M N

.Suy ra trung bình cộng tất cả các số N tìm được là :

2

1

102010 

0,5

1,5

1,0

0,5

Hết