Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán lớp 6,7,8,9

giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm; Nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng, tổ giám khảo thống nhất cách ch[r]

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6,7,8,9

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu đúng 0,5 điểm)

Hãy chọn đáp án đúng và ghi vào giấy thi cho các câu sau:

Câu 1 Giá trị của biểu thức 2 7 : 5 3

Câu 2 Số các giá trị x thỏa mãn x2 – 3x = 0 là:

= D 19

A 20

>

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 13 Giá trị của biểu thức 5 4 3 1 13

a) Cho x y , ∈ Z, chứng minh rằng: nếu 7x + 4y  37 thì 13x +18y  37;

b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 - 2x + 1 = 6y2 - 2x + 2

a) Chứng tỏ: M là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy, vẽ các tia Oz, Ot sao cho

yOz 130= , yOt 80 = 0 Chứng tỏ: Oz là tia phân giác của xOt

Câu 4 (1,0 điểm): Cho biểu thức = +

−

2 x 3P

3 x 2 (x ∈ Z) Tìm x ∈ Z để P đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó

––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––

Họ và tên thí sinh SBD

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN 6

a) Cho , x y ∈ Z , chứng minh rằng: nếu 7x + 4y  37 thì 13x +18y  37;

b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2

a) Chứng tỏ: M là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy, vẽ các tia Oz, Ot sao cho

a) Trên tia Ox có OM < OA (vì 1cm < 5cm) nên M n ằm giữa O và A

⇒ OM + MA = OA ⇒ MA = OA – OM = 4cm (1)

0,25 0,25

Vì Ox, Oy đối nhau mà M ∈ Ox, B ∈ Oy nên O nằm giữa B và M 0,25 ⇒ BM = BO + OM = 4cm (2) 0,25

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy, vì xOz xOt < (500 <

1000) nên tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot (1) 0,25

Từ (1) và (2) suy ra: Oz là tia phân giác của xOt 0,25

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Câu 4 (1,0 điểm): Cho biểu thức = +

−

2 x 3P

3 x 2 (x ∈ Z) Tìm x ∈ Z để P đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó

khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- N ếu học sinh giải theo cách khác mà đúng, tổ giám khảo thống nhất cách cho điểm tương ứng như trong đáp án nhưng không làm thay đổi điểm của từng ý, từng câu

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

UBND HUYỆN THANH SƠN

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP CỤM

NĂM HỌC 2017–2018 Môn: Toán 6

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian

phát đề

Đề thi có 02 trang

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu đúng 0,5 điểm)

Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm

Câu 1 Giá trị của x thỏa mãn 11 13 85

Câu 7 Khi phân tích số 112244 ra thừa số nguyên tố thì số 112244

A Có thừa số nguyên tố 5 B Có thừa số nguyên tố 11

C Có thừa số nguyên tố 3 D Có thừa số nguyên tố 2 và

Câu 13 Cho 30 điểm trong đó có đúng m điểm thẳng hàng Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng Số đường thẳng vẽ được là 426 thì:

II TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Trình bày lời giải đầy đủ cho các bài toán sau:

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên x y; sao cho: 1 1

y x

− = ; b) Tìm số tự nhiên a và b biết: a b− = 5 và ( )

−

− đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó

- H ết -

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

Thí sinh được sử dụng máy tính Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP CỤM NĂM HỌC 2017-2018

Môn: TOÁN 6

Hướng dẫn chấm thi gồm 02 trang

( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

a) Tìm các số nguyên x y; sao cho: 1 1

y x

− = ; b) Tìm số tự nhiên a và b biết: a b− = 5 và ( )

[ ],, 16 [ ], 6.( , )

a b

a b = ⇒ = Gọi d = (a,b) suy ra: a = d.a' ;

b = d b' Ta có: a.b = [a,b].(a,b) nên d.a'.d.b' = 6.(a,b).(a,b)

hay d2.a'.b' = 6.d2 ⇒a'.b' = 6 ⇒ a' = 3; b' = 2 hoặc a' = 6; b' =1 (Vì a>b

⇒a'>b' )

Mặt khác a - b = 5 ⇒ d.a' - d.b' = 5 ⇒

TH1: với a' =3; b' =2 thì d(a'

- b') = 5 ⇒ d = 5 Với d = 5 ⇒a = 15; b = 10

TH2: với a' = 6; b' = 1 ta có d.(a' - b') =5 ⇒d.4 = 5 ( không có giá trị nào

của d ⇒ không tìm được a; b

0,5 0,5

0,5 0,5

2

1

<

1 2

- - Hết -

a) Lập luận và tính được AOM =1000

b) Lập luận và chứng minh được

1,0

1 2 2 3 3 4 n 1 n

x Ox =x Ox =x Ox = =x Ox−

Vậy n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó Ox2017 sẽ là tia phân giác

chung của 2017 góc xOx  4034;x Ox1 4033;x Ox2 4032; ;x2016Ox2018

0,5 0,5

Câu 4 (1,0 điểm)

Tìm số tự nhiên n để phân số M = 6 3

n n

−

− =

3(2 3) 6 3 62(2 3) 2 2(2 3)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6 THCS

NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có: 02 trang

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng

Câu 1: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 được kết quả là:

A 930 < a < 950 B 900 < a < 930 C 970 < a < 999 D 950 < a < 970

Câu 12: Trên tia Ox lấy 3 điểm A, B, C sao cho OB = 2OA; OB = 70%OC Biết

AB = 3,5c m Độ dài đoạn OC bằng:

Đề chính thức

Câu 13: Cho đoạn thẳng AB = 121

2 cm, Gọi O là điểm bất kì nằm giữa A và B Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AO và BO Độ dài đoạn MN là:

A 30,25cm B 15,125cm C 60,5cm D Đáp án khác

Câu 14: Cho đoạn thẳng AB = 25 (cm) Gọi M1là trung điểm của đoạn thẳng

AB; M2là trung điểm của đoạn thẳng M1B; M3là trung điểm của đoạn thẳng

M2B; M4là trung điểm của đoạn thẳng M3B; M5là trung điểm của đoạn thẳng

b) Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng (ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng) Qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng Hỏi có tất cả bao

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6

THCS NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN

Hướng dẫn chấm có: 03 trang

A Một số chú ý khi chấm bài

Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải Thí sinh giải cách

khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

B Đáp án và thang điểm

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng, đủ cho 0,5 điểm (không đủ không cho điểm)

Nội dung Điểm

b) Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng (ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng) Qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng Hỏi có tất cả bao

Từ (2) => Tia On và tia Oy nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ot

Do đó: Tia Om và tia On nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ot 0,25

Mà tOn < tOm (350

< 700) => Tia On nằm giữa hai tia Ot và Om (3) 0,25

=> tOn + nOm = tOm

5.(5 – 1) : 2 = 10 (đường thẳng) 0,25 Nếu 5 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 (đường thẳng) 0,25

Do đó số đường thẳng giảm đi là: 10 – 1 = 9 (đường thẳng) 0,25

Vậy vẽ được 435 – 9 = 426 (đường thẳng) 0,5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH SƠN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6 THCS

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có: 02 trang

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm

Câu 1: Giá trị của x thỏa mãn 11 13 85

Câu 13: Cho đoạn thẳng AB = 15cm, trên tia AB lấy điểm C sao cho AC = 1cm Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = 4 cm Độ dài đoạn CD là:

Câu 16: Cho 17 điểm trong đó có đúng 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng Số đường thẳng được tạo thành từ 17 điểm đó là:

Câu 3(3 ,0 điểm)

Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A,

B, C sao cho AB = 6cm, AC = 2cm

a) Tính độ dài BC;

b) Giả sử OAB 80  = 0 Tính OAC;

c) Trên đường thẳng d lấy 2019 điểm phân biệt (khác A, B, C) Tính số góc đỉnh O có cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d

Câu 4(1,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T ab

a b

=+ (ablà số có hai chữ số)

-H ẾT -

Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6

THCS NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN

Hướng dẫn chấm có: 03 trang

A Một số chú ý khi chấm bài

Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

B Đáp án và thang điểm

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng, đủ cho 0,5 điểm (không đủ không cho điểm)

Nội dung Điểm

a) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p 1− và p 1+ là hai số chẵn liên tiếp,

Trong 3 số nguyên liên tiếp: p, p 1− và p 1+ luôn tồn tại một số chia hết 0,75

cho 3, mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, suy ra

trong hai số p 1− và p 1+ có một số chia hết cho 3

Tức là: (p 1 p 1 3− )( + ) (2)

Từ (1), (2) và (3, 8) =1⇒(p 1 p 1 24− )( + ) 0,50 b) Gọi d là ước chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 2 (n N∈ *) 0,50

12n 1 d

5 12n 1 2 30n 2 d30n 2 d

Câu 3(4,0 điểm)

Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A,

B, C sao cho AB = 6cm, AC = 2cm

a) Tính độ dài BC;

b) Giả sử OAB 80  = 0 Tính OAC;

c) Trên đường thẳng d lấy 2019 điểm phân biệt (khác A, B, C) Tính số góc đỉnh O có cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d

Nội dung Điểm

Hình 1:

O

A 80°

Hình 2:

Vậy: OAC 80 = 0hoặc OAC 100 = 0

c) Trên đường thẳng d có 2022 điểm (kể cả 3 điểm A, B, C) Cứ 2 điểm

phân biệt trên đường thẳng d nối với đỉnh O thì được một góc đỉnh O thỏa

Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là:

Nội dung Điểm

Nhận xét: ablà số có hai chữ số nên 0 a 9; 0 b 9 a,b N< ≤ ≤ ≤ ( ∈ ) 0,25

a b

=

+ nhỏ nhất khi và chỉ khi b

a lớn nhất Khi đó: a = 1; b = 9 0,25 Vậy: Giá trị nhỏ nhất của phân số là 19

- HẾT -

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn đáp án đúng và ghi vào giấy thi cho các câu sau:

Câu 13 Tam giác ABC cân, biết AB = 8cm, AC = 5cm Chu vi tam giác ABC đó là:

Câu 15 Cho ∆ABC đều, đường trung tuyến AM và đường phân giác BD cắt nhau tại I

Kẻ IH ⊥ AB (H ∈AB) Biết AM = 6cm, thì IH bằng bao nhiêu?

A 6cm B 4cm C 2cm D 3cm

Câu 16 Có 10 viên bi đỏ, 11 viên bi xanh, 9 viên bi vàng và 4 viên bi trắng để trong cùng một hộp Không nhìn vào hộp, phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn lấy được 6 viên bi cùng màu

19 2 6 12 306 342b) Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn: a = b = c = d

5b 5c 5d 5a Tính giá trị của biểu thức: = + +

19a 5b 1890c M

c) Chứng minh: Điểm O cố định khi D thay đổi (D nằm giữa B và C)

Câu 4 (1,0 điểm): Cho a, b, c là các số nguyên dương Chứng tỏ rằng:

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN 7

b) Một số nguyên tố p chia cho 26 có số dư r là hợp số Tìm r?

a) Vì y là số tự nhiên nên 3y là số lẻ, suy ra 2 80x + là số chẵn 0,50

Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 13

=> r là hợp số không chia hết cho 2; 13 và r < 26 0,50

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Tìm x, biết:x− 1 = + +1 1 1 + + 1 + 1

19 2 6 12 306 342

b) Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn: a = b = c = d

5b 5c 5d 5a Tính giá trị của biểu thức:

+ +

+ +

19 5 1890 1914M

19 5 2018 2042

0,75

Câu 3 (4,0 điểm) Cho ∆ABC cân tại A Lấy điểm D nằm giữa B và C Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại M, từ E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại N Gọi I là giao điểm của MN

C B

A

Mà NCE ACB = (đối đỉnh) nên ABC NCE = 0,25

b) - Chứng minh: ∆ABO= ∆ACO c.g.c( ) => OB = OC 0,25

- Chứng minh: ∆MDI= ∆NEI ch gn( − )⇒MI NI= 0,5

- Chứng minh: ∆ MIO = ∆ NIO (hai cạnh góc vuông) ⇒ MO NO = 0,5

c) Ta có: ∆BMO= ∆CNO c.c.c( )⇒MBO NCO = 0,25

Mà MBO ACO = (do ∆ABO= ∆ACO) nên NCO ACO =

Ta lại có: NCO và ACO là hai góc kề bù nên: NCO ACO 90 = = 0

0,25

+ + + không ph ải là một số nguyên?

Vì a, b, c là các s ố nguyên dương nên áp dụng tính chất:

khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- N ếu học sinh giải theo cách khác mà đúng, tổ giám khảo thống nhất cách cho điểm tương ứng như trong đáp án nhưng không làm thay đổi điểm của từng ý, từng câu

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn đáp án đúng và ghi vào giấy thi cho các câu sau:

Câu 13 Tam giác ABC cân, biết AB = 8cm, AC = 5cm Chu vi tam giác ABC đó là:

Câu 15 Cho ∆ABC đều, đường trung tuyến AM và đường phân giác BD cắt nhau tại I

Kẻ IH ⊥ AB (H ∈AB) Biết AM = 6cm, thì IH bằng bao nhiêu?

A 6cm B 4cm C 2cm D 3cm

Câu 16 Có 10 viên bi đỏ, 11 viên bi xanh, 9 viên bi vàng và 4 viên bi trắng để trong cùng một hộp Không nhìn vào hộp, phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn lấy được 6 viên bi cùng màu

19 2 6 12 306 342b) Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn: a = b = c = d

5b 5c 5d 5a Tính giá trị của biểu thức: = + +

19a 5b 1890c M

c) Chứng minh: Điểm O cố định khi D thay đổi (D nằm giữa B và C)

Câu 4 (1,0 điểm): Cho a, b, c là các số nguyên dương Chứng tỏ rằng:

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN 7

b) Một số nguyên tố p chia cho 26 có số dư r là hợp số Tìm r?

a) Vì y là số tự nhiên nên 3y là số lẻ, suy ra 2 80x + là số chẵn 0,50

Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 13

=> r là hợp số không chia hết cho 2; 13 và r < 26 0,50

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Tìm x, biết:x− 1 = + +1 1 1 + + 1 + 1

19 2 6 12 306 342

b) Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn: a = b = c = d

5b 5c 5d 5a T ính giá trị của biểu thức:

+ +

+ +

19 5 1890 1914M

19 5 2018 2042

0,75

Câu 3 (4,0 điểm) Cho ∆ABC cân tại A Lấy điểm D nằm giữa B và C Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại M, từ E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại N Gọi I là giao điểm của MN

C B

A

Mà NCE ACB = (đối đỉnh) nên ABC NCE = 0,25

b) - Chứng minh: ∆ABO= ∆ACO c.g.c( ) => OB = OC 0,25

- Chứng minh: ∆MDI= ∆NEI ch gn( − )⇒MI NI= 0,5

- Chứng minh: ∆ MIO = ∆ NIO (hai cạnh góc vuông) ⇒ MO NO = 0,5

c) Ta có: ∆BMO= ∆CNO c.c.c( )⇒MBO NCO = 0,25

Mà MBO ACO = (do ∆ABO= ∆ACO) nên NCO ACO =

Ta lại có: NCO và ACO là hai góc kề bù nên: NCO ACO 90 = = 0

0,25

+ + + không ph ải là một số nguyên?

Vì a, b, c là các s ố nguyên dương nên áp dụng tính chất:

khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- N ếu học sinh giải theo cách khác mà đúng, tổ giám khảo thống nhất cách cho điểm tương ứng như trong đáp án nhưng không làm thay đổi điểm của từng ý, từng câu

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

UBND HUYỆN THANH SƠN

PHÒNG GD&ĐT THANH

SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP CỤM

NĂM HỌC 2017–2018 Môn: Toán 7

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát

đề

Đề thi có 02 trang

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu đúng 0,5 điểm)

Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm

Câu 1 Giá trị của x thỏa mãn 2

Câu 7 Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm M(2;3), A(x;6) và B nằm trên trục

hoành Khi MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất thì x bằng:

Câu 10 Với x, y thỏa mãn x2

+ y2 = 5 thì giá trị của đa thức A = 4x4

+ 7x2y2 + 3y4 + 5y2bằng:

ba người là:

A 9,5 triệu đồng B 10,5 triệu đồng

C 10 triệu đồng D 9 triệu đồng

II TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Trình bày lời giải đầy đủ cho các bài toán sau:

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Chứng minh rằng số có dạng abcabcluôn chia hết cho 11;

b) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3

+

=+

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE,

K là giao của AB và DC

a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE

b) Chứng minh rằng: DIB = 600

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh ∆AMN đều

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE

Câu 4 (1,0 điểm) Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2017; a + 2b =

2018 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c

- H ết -

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

Thí sinh được sử dụng máy tính Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP CỤM NĂM HỌC 2017-2018

Môn: TOÁN 7

Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang ( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi ý đúng được 0,5 điểm,

nếu học sinh chưa tìm, thiếu hoặc thừa kết quả đều không được điểm

II TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Chứng minh rằng số có dạng abcabcluôn chia hết cho 11;

b) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của

0,5 b) Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm (a, b, c ∈ N)

Câu 3 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao

của CD và BE, K là giao của AB và DC

a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE

b) Chứng minh rằng: DIB = 600

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh ∆AMN đều

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE

I K A

a) Ta có: AD = AB; DAC   = BAE và AC = AE

Suy ra ∆ADC = ∆ABE (c.g.c)

b) Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a)⇒ ABE   = ADC,

mà BKI   = AKD(đối đỉnh)

Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK suy ra BIK   = DAK = 600 (đpcm)

c) Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và ACM   = AEN

⇒∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và CAM   = EAN

 

MAN = CAE = 600 Do đó ∆AMN đều

d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ⇒ ∆BIJ đều ⇒ BJ = BI và

0,5

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2017; a + 2b = 2018 Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 THCS

NĂM HỌC: 2017-2018 MÔN:TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 2 Số các giá trị của n thỏa mãn: 9 n 9

Câu 6 Cho tam giác có các cạnh là a, b, c tỉ lệ thuận với ba số 6; 8; 11 và 2b2 = c2 +

28 Chu vi tam giác đó bằng:

Câu 9 Cho tam giác ABC có Â = 400 và I là giao điểm của các đường phân giác trong

BD, CE Số đo của góc BIC là:

Đề chính thức

Câu 10 Cho F(x) thỏa mãn điều kiện: x.F(x - 2) = (x - 4).F(x) Nghiệm của đa thức F(x) là:

2) Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2+ cx + d Với a, b, c, d là các hệ số nguyên

Biết f(x) chia hết cho 5 với mọi số nguyên x Chứng minh rằng a, b, c, d cũng chia hết cho 5

Câu 3(2 điểm) Một giá sách được chia thành 3 ngăn: ngăn I, ngăn II, ngăn III Biết

rằng 2

3 số sách ở ngăn I bằng 3

4 số sách ở ngăn II bằng 4

5 số sách ở ngăn III và số sách

ở ngăn III ít hơn số sách của hai ngăn còn lại là 57 cuốn Tính số sách trong mỗi ngăn

Câu 4(4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC Lấy D

bất kì thuộc cạnh BC H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI tại N Chứng minh rằng:

a) BH = AI b) DN ⊥ AC c) IM là phân giác của góc HIC

Câu 5(1,5 điểm) a) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:

Hết

Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./