Chuyên đề xác định số phức liên hợp luyện thi THPT Quốc Gia

Tìm t ất cả các số thực sao cho t ập hợp các điểm là đường tròn tiếp xúc với trục.. Lời giải Chọn B.[r]

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 ĐỊNH NGHĨA

+ Một số phức là một biểu thức dạng z= +a bi với ,a b∈  và 2

1

i = − ,

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z= +a bi

+ Tập hợp các số phức được kí hiệu là  { 2 }

a bi a b i

+ Chú ý:

- Khi phần ảo b= ⇔ =0 z alà số thực

- Khi phần thực a= ⇔ = ⇔0 z bi zlà số thuần ảo

- Số 0= +0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo

+ Hai số phức bằng nhau: a bi c di a c với , , ,a b c d

b d

=



+ Hai số phức z1= +a bi; z2 = − − được gọi là hai số phức đối nhau a bi

2 S Ố PHỨC LIÊN HỢP

Số phức liên hợp của z= +a bi với ,a b∈  là a bi− và được kí hiệu bởi z Rõ ràng z z=

3 BI ỂU DIỄN HÌNH HỌC

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z= +a bi với ,a b∈  được biểu diễn

bằng điểm M a b( );

4 MƠĐUN CỦA SỐ PHỨC

Mơđun của số phức z= +a bi a b ,( ∈ ) là 2 2

z = a +b

5 CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Cho hai số phức ; z'= +a' b i' với , , ', 'a b a b ∈  và số k∈ 

a) Tổng hai số phức: z+ = + + +z' a a' (b b i')

b) Hiệu hai số phức: z+ = − + −z' a a' (b b i')

c) Nhân hai số phức: z z '=(a+bi)(a'+b i' ) (= a a '−b b ') (+ a b '+a b i' )

d) Chia 2 số phức: + Số phức nghịch đảo: 1

2

1

z

− =

+ Nếu z≠0thì z' z z'.2

z = z , nghĩa là nếu muốn chia số phức 'z cho số phức

z≠0thì ta nhân cả tử và mẫu của thương z'

z cho z

6 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM: Căn bậc hai của số thực a âm là ±i a

7 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Cho phương trình bậc 2: 2

0 (1)

Az +Bz+ =C

Trong đĩ A,B,C là những số phức A≠0

Xét biệt thức 2

4

∆ = − + Nếu ∆ ≠0thì phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: 1 ; 2

Trong đĩ σ là một căn bậc 2 của ∆

+ Nếu ∆ =0thì phương trình (1) cĩ nghiệm kép: z =z = −B

DẠNG TỐN 19: XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC LIÊN HỢP KHI ĐÃ BIẾT SỐ PHỨC

CHÚ Ý:

+ Mọi phương trình bậc n: 1

0 n 1 n n 1 n 0

A z +A z − + +A z− +A = luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt)

+ Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc 2 :

2

0 ( , , ; 0)

Az +Bz+ =C A B C∈ A≠ có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức) Ta có:

1 2

1 2

B

S z z

A C

P z z

A

−

 = + =







 Thực hiện các phép toán

 Tìm phần thực, phần ảo

 Số phức liên hợp

 Tính mô đun của số phức

 Phương trình bậc nhất theo z (và liên hợp của z)

 Hỏi tổng hợp về các khái niệm

BÀI T ẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2 - BDG 2019 - 2020) Số phức liên hợp của số phức z= + là 2 i

A z = − + 2 i B z = − − 2 i C z = − 2 i D z = + 2 i

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định số phức liên hợp khi đã biết số phức

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Số phức z có dạng: z a bi= +

Số phức liên hợp của số phức z có dạng: z a bi= −

3 HƯỚNG GIẢI:

Ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn C

Số phức z= + có số phức liên hợp là 2 i z = − 2 i

Bài tập tương tự và phát triển:

 M ức độ 1

Câu 1 Cho số phức z= − +2 3i Số phức liên hợp của z là

A z = 13 B z = −2 3i C z = −3 2i D z = − −2 3i

Lời giải

Ch ọn D

2 3

= − −

Câu 2 Số phức z thỏa mãn z= − −3 2ilà

A z= − − 3 2i B z= − + 3 2i C z= − 3 2i D z= +3 2i

Lời giải

Ch ọn B

Ta có z= − −3 2i suy ra z= − + 3 2i

Câu 3 Tìm số phức liên hợp của số phức z=(2+i)( )−3 i

A z = − 3 6i B z = + 3 6i C z = − + 3 6i D z = − − 3 6i

Lời giải

Ch ọn B

Ta có: z=(2+i)( )−3i = −3 6i⇒ = + z 3 6i

Câu 4 Tìm số phức liên hợp của số phức z=3 2 3( + i) (−4 2i−1)

A z =10− i B z =10 3+ i C z = − 2 i D z =10+ i

Lời giải

Ch ọn A

Ta có: z=3(2 3 ) 4(2+ i − i− = + − + =1) 6 9 i 8i 4 10 i+ ⇒ =z 10 i−

Câu 5 Tìm số phức liên hợp của số phức z biết z=i z + 2

A 1 i− B − + 1 i C − − 1 i D 1 i+

Lời giải

Ch ọn A

i

i

+

− Vậy z = − 1 i

Câu 6 Cho các số phức z1= + , 2 3i z2 = + Số phức liên hợp của số phức 4 5i w=2(z1+z2) là

A w=28i B w= +8 10i C w=12 16− i D w=12 8+ i

Lời giải

Ch ọn C

Ta có w=2 6 8( + i)=12 16+ i⇒ =w 12 16− i

Câu 7 Kí hiệu ,a b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z= − − Tìm ,4 3i a b

A a= , 4 b= 3 B a= − , 4 b= − 3i C a= − , 4 b= 3 D a= − , 4 b= − 3

Lời giải

Ch ọn D

Câu 8 Cho điểm M là điểm biểu diễn của số phức z Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A Phần thực là 3 và phần ảo là 4− B Phần thực là 4− và phần ảo là 3i

C Phần thực là 3 và phần ảo là 4i− D Phần thực là 4− và phần ảo là 3

Lời giải

Ch ọn D

Câu 9 Cho số phức z có số phức liên hợp z = − Tổng phần thực và phần ảo của số phức 3 2i z bằng

A − 1 B 1 C − 5 D 5

Lời giải

Ch ọn D

Ta có: z= + Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức 3 2i z bằng 5

Câu 10 Cho số phức z= − Tìm phần ảo của của số phức liên hợp 3 2i z

Lời giải

Ch ọn C

Ta có: z= + ⇒3 2i phần ảo của z là 2

 M ức độ 2

y

4

−

3

M

Câu 1 Cho số phức z thoả mãn 1

3 2

z

i

i = − + Số phức liên hợp z là

A z = +5 i B z = − −5 i C z = − −1 5i D z = − +1 5i

Lời giải

Ch ọn A

(3 2 )( )1 5

z= + i − = − i i

Số phức liên hợp z = +5 i

Câu 2 Tìm số phức liên hợp của số phức ( )( )( )2

2 1 2 1

z= +i − +i i+

A z = +5 15i B z = + 5 5i C z = + 1 3i D z = −5 15i

Lời giải

Ch ọn A

2

z= + − +i i i+ = − +i − + i = − i⇒ = +z 5 15i

Câu 3 Số phức liên hợp của số phức ( )3

1

i z

i

−

=

− là

A z= − +4 4i B z= −4 4i C z= − −4 4i D z= +4 4i

Lời giải

Ch ọn A

Ta có: ( )3

1

i z

i

−

=

−

3

=

− + = − − Suy ra 4 4i z= − +4 4i

Câu 4 Tìm số phức z thỏa mãn 2 1 3

1 2

z

+ = − +

− +

A 22 4

25 25i

− + B 22 4

25+25i C 22 4

25−25i D 22 4

25i+25

Lời giải

Ch ọn C

Dùng máy tính: 22 4

25 25

z= + i Vậy 22 4

25 25

z = − i

Câu 5 Cho hai số phức z= +1 3i, w= −2 i Tìm phần ảo của số phức u=z w

Lời giải

Ch ọn C

1 3

z= − i; u=z.w= −(1 3i)(2− = − − i) 1 7i

Vậy phần ảo của số phức u bằng 7−

Câu 6 Cho số phức z thỏa mãn (3 2+ i z) = + Số phức liên hợp 7 5i z của số phức z là

A 31 1

5 5

z= − i B 31 1

13 13

z= − i C 31 1

13 13

z= − + i D 31 1

5 5

z= − + i

Lời giải

Ch ọn B

Ta có: (3 2+ i z) = +7 5i 7 5 31 1

3 2 13 13

i

i

+

⇒ = = +

+

Vậy 31 1

13 13

z= − i

Câu 7 Cho số phức z thỏa mãn: ( )1+i z=14 2− Tổng phần thực và phần ảo của i z bằng

Lời giải

Ch ọn B

1 14 2 6 8 6 8

1

− + = − ⇔ = = − ⇒ = +

+

i

i

Vậy tổng phần thực phần ảo của z là 14

Câu 8 Cho số phức z thỏa mãn: 2

(3 2 )+ i z+ −(2 i) = + Hiệu phần thực và phần ảo của số phức 4 i z

là:

A 0 B 2 C 1 D 3

Lời giải

Ch ọn A

Ta có :

2

(3 2 )+ i z+ −(2 i) = +4 i ( )2

(3 2 )i z 4 i 2 i

⇔ + = + − − ⇔ +(3 2 )i z= +1 5i 1 5

3 2

i z

i

+

⇔ =

+

1

⇔ = +

⇒ phần thực của số phức z là a= , phần ảo của số phức 1 z là b= 1

Vậy a b− = 0

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn (4+7i z) (− −5 2i)=6iz Tìm phần ảo của số phức z?

A 18

18 17

17

17

Lời giải

Ch ọn C

( ) ( ) ( ) 5 2 ( (5 2)( )(4 ) ) 18 13 18 13

4 7 5 2 6 4 5 2

4 4 4 17 17 17

i i

− −

+ − − = ⇔ + = − ⇔ = = = = −

Câu 10 Cho số phức z a bi  Số phức 2

z có phần ảo là?

A.2ab B a b2 2 C a2b2 D 2abi

Lời giải

Ch ọn A

Ta có 2  2 2 2

2

z  abi a  b abi Phần ảo của 2

z là 2ab

 M ức độ 3

Câu 1 Cho số phức z= +(1 i)n, biết n∈ và thỏa mãn log4(n− +3) log4(n+9)= Tìm phần thực 3

của số phức z

A a= − 8 B a= 7 C a= 0 D a= 8

Lời giải Chọn D

13

n

n

=



1 8 8

z= +i = − i Phần thực của z là 8

Câu 2 Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz+ −( )1 i z = − bằng 2i

A − 6 B 2 C − 2 D 6

Lời giải

Ch ọn D

Đặt z x yi= + (x y, ∈  Khi đó ) iz+ −( )1 i z = − ⇔2i i x( +yi) ( )(+ −1 i x−yi)= − 2i

  , suy ra x+ =y 6

Câu 3 Cho hai số phức z1= +1 2i và ( 2 )

z = − +m m − i, (m∈  Tìm tập hợp tất cả các giá trị )

m để z1+z2 là số thực

A { }− 2 B { }2 C {−2; 2} D {− 6; 6}

Lời giải

Ch ọn C

z +z = − +m m − i Để z1+z2 là số thực 2

⇔ − = ⇔ = hoặc m= −2

Câu 4 Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn ( ) (3 )

2 2 1

z+ z= −i −i

Lời giải

Ch ọn C

2 2 1 2 9 13

z+ z= −i − ⇔ +i z z= − − i Đặt z= +a bi a b( , ∈  Khi đó ) ( ) (2 ) 9 13 3 9 3

Câu 5 Cho số phức ( 3 2 )

2

z

=

+ với m là tham số thực Với giá trị nào của m

thì z là số thực

A m= −1, 3m= − B m=4, 5m= C m=1, 3m= D m=2, 4m=

Lời giải

Ch ọn C

2 1 4 3

z= m+ + m − m+ i

z là số thực khi và chỉ khi 2 1

3

m

m

=



Câu 6 Cho hai số phức z=(a−2b) (− a b i− ) và w= − Biết 1 2i z=w i Tính S= + a b

A S = 7 B S = − 7 C S = − 4 D S = − 3

Lời giải

Ch ọn B

Ta có z=(a−2b) (− a b i− ) = −(1 2 i i) = + 2 i

1

a b



⇒ − + =



4 3

a b

= −



⇔  = −

 Vậy S a b= + = − 7

Câu 7 Cho số phức z a bi= + ( với a b, ∈ ) thỏa z(2+ = − +i) z 1 i(2z + Tính S a b3) = +

A S = 7 B S = − 5 C S = − 1 D S = 1

Lời giải

Ch ọn C

z + = − +i z i z+ ⇔ z + + − =i i z + i ⇔ + z + z − i=z + i

Suy ra: ( ) (2 )2 2

1 2+ z + z −3 =5 z ⇔ z = 5

5 2 1 2 3 1 2 11 2 3 4

1 2

i

i

+ + = − + + ⇔ + = + ⇔ = = −

+

Vậy S= + = − = − a b 3 4 1

Câu 8 Cho số phức z bất kỳ, xét các số phức 2 ( )2 ( )

,

z z z z i z z

α = + β = + − Khẳng định nào sau

đây đúng?

A α β là các số thực , B α là số thực, β là số ảo

C α là số ảo, β là số thực D α β là các số ảo ,

Lời giải

Ch ọn A

Đặt z= +a bi, ,(a b∈  )

Vậy: α β là các số thực ,

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn z z− =z 2 và z =2 Số phức 2

3

= − −

w z z i bằng:

A z = −2 3i B z= −6 3i C z= − −1 2i D z= − −1 4i

Lời giải Chọn A

Gọi = +z x yi với x, y∈ 

Mà z z− =z 2 ⇔ z z.( )− =1 2 ⇔ − =z 1 1 ( )2 2 2 2 ( )

1 1 2 0 2

⇔ x− +y = ⇔x +y − x=

Từ ( )1 và ( )2 ta có hệ phương trình

2 2

2 2

0



y

0

=



⇒ =

 =



x

z

2

3 2 3

= − − = −

w z z i i

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn ( )1−i z+4z = − Khi đó, môđun của 7 7i z bằng bao nhiêu?

A z = 5 B z = 3 C z = 5 D z = 3

Lời giải Chọn A

Giả sử z= +a bi a b( , ∈  )

( )1−i z+4z = −7 7i ⇔ −( )(1 i a bi+ ) (+4 a bi− )= − 7 7i

Vậy z = 5

Câu 11 Cho số phức z a bi= + (a b, ∈ ) thoả mãn ( ) 1 7

−i z = i + −i

z Tính P= + a b.

A P= −2 B P=2 C P= −1 D P=1

Lời giải

Ch ọn D

3− = +i + −5

2

−i z = i z+ −i

z

2

+

z

4

8

3z −5 + −1 z = z

z

10 z −32 z +26 z − =8 0⇔ ( ) ( 3 2 )

⇒ z =2 (phương trình 3 2

5 z −6 z + + =z 4 0 vô nghiệm do z ≥0)

Với z =2 thay vào biểu thức ( ) 1 7

−i z = i + −i

1− = +i

i

1

+

=

−

i z

2

2

=



⇒ 

+

 =



a

b

Vậy a b+ =1

Câu 12 Cho số phức z thỏa mãn z− = +4 ( )1 i z − +(4 3z i) Môđun của số phức z bằng

A 4 B 2 C D 16

Lời giải

Ch ọn B

Giả sử z= +a bi a b( , ∈  )

Ta có: z− = +4 ( )1 i z − +(4 3z i) ⇔z(1 3+ i)− + = +4 4i ( )1 i z

2 2

2 2

3 4

3 4

a b a b

 − − = +



⇔ 

+ + = +



2 2

⇔ 

= − −



2

⇔ 

= − −



2

5 8 0

20 64 48 0

2 4

b

b b

a b

− − ≥





⇔ + + =

 = − −



( ) ( )

8 5 2 6 5

b

 ≤ −





= −







⇔  = −



= − −





2 0

b a

= −



⇔  =

Vậy z = 2

 M ức độ 4

Câu 1 Cho a là số thực, phương trình 2 ( )

z + a− z+ a− = có 2 nghiệm z , 1 z G2 ọi M, N là

điểm biểu diễn của z , 1 z trên m2 ặt phẳng tọa độ Biết tam giác OMN có một góc bằng 120° ,

tính tổng các giá trị của a

A − 6 B 6 C −4 D 4

Lời giải

Ch ọn B

Vì O , M, N không thẳng hàng nên z , 1 z 2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời

là số thuần ảo ⇒ z , 1 z là hai nghi2 ệm phức, không phải số thực của phương trình

2

z + a− z+ a− = Do đó, ta phải có: 2

12 16 0

a a

∆ = − + < ⇔ ∈ −a (6 2 5; 6 2 5+ ) Khi đó, ta có:

2 1

2 1









1 2 2 3

MN = z −z = − +a a−

OM ON

( )

2

8 10 1

2 2 3 2

a a a

− +

⇔ = −

−

2

6 7 0

a a

⇔ − + = a= ±3 2 (thỏa mãn)

Câu 2 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− +3 4i ≤ Trong mặt phẳng 2 Oxy tập hợp điểm biểu

diễn số phức w=2z+ −1 i là hình tròn có diện tích

A S =9π B S =12π C S =16π D S =25π

Lời giải

Ch ọn C

1

2 1

2

w i

w= z+ − ⇒ =i z − +

( )

1

3 4 2 3 4 2 1 6 8 4 7 9 4 1

2

w i

− + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ − + − + ≤ ⇔ − + ≤

Giả sử w= +x yi (x y, ∈  , khi đó ) ( ) ( ) (2 )2

1 ⇔ x−7 + y+9 ≤16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; 9− , bán kính ) r=4

Vậy diện tích cần tìm là 2

.4 16

S =π = π

Câu 3 Cho số phức z thỏa mãn z − = Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi 1 5

w= + i z+ + là mi ột đường tròn bán kính R Tính R

A R=5 10 B R=5 5 C R=5 13 D R=5 17

Lời giải

Ch ọn C

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− = là đường tròn 1 5 ( )C tâm I( )1; 0 và bán kính R= Ta có 5 ( )C nhận trục hoành là trục đối xứng nên tọa độ điểm biểu diễn z cũng nằm trên đường tròn này hay z− = 1 5

Ta có

w= + i z+ + i ⇔ =w (2 3+ i) ( )z− + +1 (2 3i)+ +3 4i ⇔ − +w (5 7i) (= 2 3+ i) ( )z−1

⇔ − + = + − ⇔ w− +(5 7i) =5 13

Câu 4 Cho số phức thỏa mãn Biết tập hợp các điểm biểu diễn số

phức là đường tròn tâm và bán kính Giá trị của bằng

A B C D

Lời giải Chọn B

z= +a bi (a b; ∈ ) w= +x yi (x y; ∈ ) (z− +2 i) (z− − =2 i) 25⇔a− + +2 (b 1)i  a− − +2 (b 1)i=25

2 1 25

⇔ − + + = ( )1

w= z− + ⇔ +i x yi= a bi− − + ⇔ +i x yi= a− + − b i

2

2

x a

b

+

 =





( )2

Thay vào ta được:

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường tròn tâm và bán kính

Câu 5 Gọi là điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn Tìm tất cả các số thực

sao cho tập hợp các điểm là đường tròn tiếp xúc với trục

A B C D

Lời giải Chọn B

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là đường tròn tâm và bán

Câu 6 Trong các số phức thỏa mãn Số phức có môđun nhỏ nhất là

Lời giải

Ch ọn D

Đặt Khi đó

(1)

(Theo (1))

Đẳng thức xảy ra (2)

Câu 7 Cho số phức thỏa mãn Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức

A B C D

Lời giải

2 1 25 2 5 100

 −  + +  = ⇔ − + − =

   

   

17

a b c+ + =

5; 3

m= − m= m=5;m= −3 m= −3 m=5

, ,

z= +x yi x y∈

⇔ x+ − +m y+ i = ⇔ x+ −m + y+ =

⇔ x+ −m + y+ =

4

m

5; 3

m= m= −

z z− −2 4i = −z 2i z

3 2

z= +a bi z− −2 4i = −z 2i

⇔ (a− + −2) (b 4)i = + −a (b 2)i

a− + −b =a + −b

⇔ a b+ =4

2 2

z = a +b ( 2 2)( 2 2) ( )2

1 1

BCS

a +b + ≥ a b+

2 2

8 2

a b

2 2

a +b ≥

⇔ z ≥2 2 ⇒ min z =2 2

⇔

1 1

a b

=

2

a b

=



 =

 ⇒ z= +2 2i

3 2 2

3

3

2 2

Ch ọn A

Vậy mô đun nhỏ nhất của số phức là

Câu 8 Cho các số phức thoả mãn Đặt Tìm giá trị nhỏ nhất của

A B C D

Lời giải Chọn D

Mà số phức

Ta có:

(theo )

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính Điểm là điểm biểu diễn của số phức thì đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ

nhất

Do vậy nhỏ nhất bằng

Câu 9 Cho số phức thỏa mãn , số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ

nhất của

Lời giải

Ch ọn D

Gọi biểu diễn số phức thì thuộc đường tròn có tâm , bán kính

biểu diễn số phức thì thuộc đường tròn có tâm , bán kính Giá trị nhỏ nhất của chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn

= + ⇒ = −

z a bi z a bi z− = −1 z i ⇔ − +a 1 bi = +a (b−1)i

⇔ a− +b =a + b− ⇔ − =a b 0

w =2z+ −2 i =2(a+ai)+ − =2 i (2a+2) (+i a−1)

8 4 5

2

= a + a+ ≥

2

z z =2 w= +(1 2i z) − +1 2i w

= +

z a bi a b∈  z = ⇔2 a2+b2 =2 2 2

4

⇔a +b = ( )*

⇔ = +w i a bi+ − + i ⇔ =w (a−2b− +1) (2a b+ +2)i

= +

+ + − = − + +

⇔ x+ + y− =a + b − ab+ a +b + ab

1 2 20

⇔ x+ + y− = ( )*

OM OI IM ⇔OM ≥ 5−2 5 ⇔OM ≥ 5

z−w

( );

1 1

R = ( ; )

2 2

1 2 1; 4

I I = −



1 2 17

I I

⇒ = >R1+R2 ⇒( )C1 ( )C2