Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh M N và P Q vào phía trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy.[r]
Trang 11 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
a) Thể tích khối lăng trụ V = B · h với B : diện tích đáy, h: chiều cao
b) Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM Khi đó
BC2 = AB2+ AC2
AB · AC = AH · BC; AM = 1
2BC sin’ABC = AC
BC; cos’ABC = AB
BC; tan’ABC = AC
AB; cot’ABC = AB
AC
BH · BC = AB2; CH · CB = CA2 1
AH 2 = 1
AB 2 + 1
AC 2 c) Đường chéo của hình vuông cạnh a có độ dài bằng a √
2 d) Đường cao của tam giác đều cạnh a có độ dài bằng a
√ 3
2 e) Diện tích tam giác thường
S4ABC = 1
2 · a · ha = 1
2 · b · hb= 1
2 · c · hc, trong đó ha, hb, hc là các đường cao hạ từ các đỉnh
A, B, C
S4ABC = 1
2 · b · c · sin A = 1
2 · a · c · sin B = 1
2 · a · b · sin C
S4ABC =pp(p − a)(p − b)(p − c), trong đó p = a + b + c
2
S4ABC = p · r, trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp 4ABC f) Trường hợp đặc biệt
Diện tích tam giác vuông S = 1
2 · AB · AC Diện tích của tam giác đều cạnh a là S = 1
2 · AH · BC = a
2 √ 3
4 g) Diện tích hình chữ nhật S = a · b
h) Diện tích hình vuông S = a2
i) Diện tích hình thoi S = 1
2 · AC · BD, trong đó AC và BD là hai đường chéo
j) Diện tích hình thang S = (đáy lớn + đáy bé) · h
2 , trong đó h là chiều cao của hình thang
Trang 2k) Diện tích hình bình hành ABCD là S = AH · CD, trong đó AH là chiều cao
l) Định lí hàm số sin a
sin A =
b sin B =
c sin C = 2R m) Định lí hàm số côsin
a2= b2+ c2− 2bc · cos A
b2= a2+ c2− 2ac · cos B
c2 = a2+ b2− 2ab · cos C
n) Công thức đường trung tuyến
m2a = b
2 + c2
2 − a
2
4
m2b = a
2 + c2
2 − b
2
4
m2c = a
2 + b2
2 − c
2
4
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy là
hình thoi cạnha, BD = a √
3 và AA0 = 4a (minh họa như hình bên) Thể tích của khối lăng trụ đã cho
bằng
A
B
D
C
A0
B0
C0
D0
A 2 √
3a3 B 4 √
√ 3a3
√ 3a3
3
Lời giải
Trang 3Phân tích hướng dẫn giải
I DẠNG TOÁN: Đây là dạng tính thể tích khối lăng trụ đứng
II HƯỚNG GIẢI:
1 Nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = B · h với B : diện tích đáy, h: chiều cao
2 Gọi I = AC ∩ BD Từ đó: Tính BI và AC
3 Tính diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = 2S4ABC = 2 · 1
2BI · AC
4 Tính thể tích khối lăng trụ: VABCD.A0 B 0 C 0 D 0 = SABCD· AA0
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi I = AC ∩ BD Ta có AC ⊥ BD, BI = BD
2 =
a √ 3
2 Xét tam giác vuông BAI vuông tại I
AI2 = BA2−BI2= a2−
Å
a √ 3 2
ã2
= a2−3a
2
4 =
a2
4 ⇒ AI = a
2 ⇒ AC = a.
Diện tích hình bình hành ABCD
SABCD = 2S4ABC = 2 · 1
2BI · AC = 2 ·
1 2
a √ 3
2 · a = a
2 √ 3
2 . Thể tích khối lăng trụ cần tìm là
VABCD.A0 B 0 C 0 D 0 = SABCD· AA0 = a
2 √ 3
2 · 4a = 2√3a3.
A
B
D
C I
A0
B0
C0
D0
Chọn phương án A
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EF GH có đáy là hình thoi cạnh a, tam giác ABD là tam giác đều và AE = 2a Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho
A V = a
3 √ 3
3 √ 3
3 √ 3
3 D V = a3√
3
Lời giải
Trang 4Ta có
SABCD = 2S4ABD = 2 · a
2 √ 3
4 =
a2√ 3
2 . Khi đó
V = AE · SABCD = 2a · a
2 √ 3
2 = a
3 √ 3.
F E
B A
Chọn phương án D
Câu 2 Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A0B0C0D0, biết A0C = a √
6
A V = 2a3√
3 √ 3
3 C V = 3a3√
2 D V = 2a3√
6
Lời giải
Đường chéo hình lập phương
A0C = AB √
3 ⇒ AB = A
0 C
√
3 =
a √ 6
√
3 = a
√ 2.
Cạnh hình lập phương là
AB = a √
2 ⇒ V =Äa √
2ä3= 2a3√
2
B A
B0
A0
Chọn phương án A
Câu 3 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EF GH có đáy là hình bình hành biết AB = a, AD = 4a, góc BAD = 60’ ◦, cạnh AE = a Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho
A V = 2a3√
3 B V = a3√
3 C V = a3 D V = 2a3
Lời giải
Ta có
S4ABD = 1
2AB · AD · sin’BAD =
1
2a · 4a · sin 60
◦ = a2√
3.
Suy ra
SABCD= 2S4ABD = 2a2√
3.
Khi đó
V = AE · SABCD = a · 2a2√
3 = 2a3√
3.
F E
B A
Chọn phương án A
Câu 4
Trang 5Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 biết mặt đáy là hình thoi
cạnh2a và ’ABC = 60◦ Cạnh bên của hình lăng trụ là 3a (minh hoạ
như hình bên) Thể tích V của khối lăng trụ là
D A
D0
A0
A V = 12a3√
3 B V = 6a3 C V = 12a3 D V = 4a3√
3
Lời giải
Do ABCD là hình thoi và ’ABC = 60◦⇒ 4ABC là tam giác đều
SABCD = 2S4ABC = 4a2√
3 ⇒ VABCD.A0 B 0 C 0 D 0 = AA0· SABCD = 3a · 4a2√
3 = 12a3√
3.
Chọn phương án A
Câu 5
Cho khối lăng trụ đứngABC.A0B0C0cóAB0= a √
10, đáyABC là tam giác vuông cân tại A và BC = a √
2 (minh hoạ như hình bên) Thể tích V của khối lăng trụ đã cho bằng
A
B
C
A0
B0
C0
A V = 3a
3
3
2 C V = 3a3 D V = a3
Lời giải
4ABC vuông cân tại A ⇒ AB = AC = BC√
2 = a Xét 4ABB0 vuông tại B, có BB0 = √
AB02− AB 2 = 3a
V = BB0· S4ABC = 3a ·1
2a
2 = 3a
3
2 Chọn phương án A
Câu 6 Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37 cm; 13 cm;30 cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 Tính thể tích V của lăng trụ đó
A V = 2160 cm3 B V = 360 cm3 C 720 cm3 D V = 1080 cm3
Lời giải
Trang 6Nửa chu vi đáy P = 37 + 13 + 30
2 = 40 Diện tích đáy là
S = p40 · (40 − 37) · (40 − 13) · (40 − 30) = 180 cm2.
Gọi x là độ dài chiều cao của lăng trụ
Vì các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật nên ta có
Sxq= 13 · x + 37 · x + 30 · x = 480 ⇒ x = 6.
Vậy thể tích của lăng trụ là V = 6 · 180 = 1080 cm3
A
B
C
A0
B0
C0
13
37 30
Chọn phương án D
Câu 7 Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình vuông, cạnh bên bằng AA0 = 3a và đường chéo AC0= 5a (minh hoạ như hình bên) Tính thể tích V của khối hộp này
D
B0
A0
C
A V = 4a3 B V = 24a3 C V = 12a3 D V = 8a3
Lời giải
Xét ∆ACC0 vuông tại C, có AC = √
AC02− CC 02 = 4a Hình vuông ABCD có AC = 4a ⇒ SABCD= AC
2
2 = 8a
2
V = AA0· SABCD = 24a3
Chọn phương án B
Câu 8 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a, A0B = 3a Thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 là
A 2a3 B a3√
3 √ 2
Lời giải
Trang 7Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒ AB = AC = BC√
2 = a
√
2 Tam giác A0AB vuông tại A ⇒ AA0 = √
A0B2− AB 2 =
√
9a 2 − 2a 2 = a √
7
⇒ VABC.A0 B 0 C 0 = AA0·SABC = a √
7·1
2AB·AC =
a √ 7
2 ·a√2·a √
2 =
a3√
7
B0
B
A0
A
C0
C
Chọn phương án B
Câu 9 Các đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 bằng √10, √
26, √
34 Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đó
D
B0
A0
C
Lời giải
Gọi x, y, z với x, y, z > 0 lần lượt là độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật
Theo đề, ta có hệ phương trình
x2+ y2= 10
x2+ z2= 26
y2+ z2= 34
⇔
x2= 1
y2= 9
z2= 25
⇔
x = 1
y = 3
z = 5.
V = x · y · z = 15
Chọn phương án C
Câu 10 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình vuông cạnh a √
2 Biết góc giữa A0B với mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A a
3 √
6
3 √ 6
3 √ 3
6
Lời giải
Trang 8D
B0
A0
C
30◦
SABCD= (a √
2)2= 2a2
AA0 ⊥ (ABCD) ⇒ Góc giữa A0B với mặt phẳng (ABCD) là ’A0BA = 30◦
Tam giác A0AB vuông tại A ⇒ A0A = AB · tan ABA = a‘ √
2 · tan 30◦ = a
√ 6
3 Thể tích khối lăng trụ là V = AA0· SABCD = a
√ 6
3 · 2a2 = 2a
3 √ 6
3 Chọn phương án B
Câu 11 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình thang vuông tại A và B, biết
AD = 2a, AB = BC = a và góc giữa mặt phẳng (A0CD) với mặt đáy bằng 60◦ (minh họa như hình bên) Thể tích khối lăng trụ bằng
C0
B0
A 3a
3
√ 6a3
√ 6a3
3
2 √
6
Lời giải
C0
B0
Trang 9Diện tích đáy là
S = SABCD = (AD + BC) · AB
(2a + a) · a
3a2
2 .
Ta có
AC ⊥ CD, A0C ⊥ CD ⇒ (A0CD), (ABCD)= (A0C, AC).
Do đó, chiều cao lăng trụ
h = AA0 = AC · tan 60◦ = a √
2 · √
3 = a √
6.
Thể tích khối lăng trụ: V = S · h = 3a
2
2 · a√6 = 3
√ 6a3
2 Chọn phương án C
Câu 12 Cho khối lăng trụ đứngABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình bình hành với AB = a, BC = a √
7
và góc ’BAC = 60◦, AA0= 2a Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
B
A
C
D
A0
B0
C0
D0
A
√
3
2 a
√ 3
3 a
√ 3
3 a
3
Lời giải
Gọi AC = x (x > 0) Xét tam giác ABC có
BC2 = AB2+ AC2− 2 · AB · AC · cos BAC’ ⇔ 7a2= a2+ x2− ax
⇔ x2− ax − 6a2 = 0
⇔
ñ
x = 3a
x = −2a(loại). Suy ra
SABCD = 2 · S4ABC = 2 · 1
2AB · AC · sin A = a · 3a · sin 60
◦ = 3
√ 3a2
2 .
Do đó
VABCD.A0 B 0 C 0 D 0 = AA0· SABCD = 2a ·3
√ 3a2
2 = 3
√ 3a3. Chọn phương án B
Trang 10Câu 13 Cho khối lăng trụ đứngABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AA0 = √
3a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A0BD) = 3
√ 13a
13 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
B
A
C
D
A 0
B 0
C0
D0
A 3 √
3
√ 3
3 a
3a3
Lời giải
B
A
C
D
A0
B0
C0
D0
I H
Kẻ AI ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (A0AI)
Trong (A0AI) kẻ AH ⊥ A0I ⇒ AH ⊥ (A0BD) ⇒ d (A, (A0BD)) = AH = a
√ 13
13 Xét ∆ABD có 1
AI 2 = 1
AB 2 + 1
AD 2 Xét ∆A0AI có 1
AH 2 = 1
AA02 +
1
AI 2 Suy ra
1
AH 2 = 1
AA 02 + 1
AB 2 + 1
AD 2 ⇔ 1
AD 2 = 1
AH 2 − 1
AA 02 − 1
AB 2 Hay
1
AD 2 = 1
Å
3 √ 13
13 a
ã2 − 1 (a √ 3) 2 − 1
a 2 = 1 9a 2 ⇒ AD = 3a.
Suy ra SABCD = AB · AD = a · 3a = 3a2
Vậy thể tích cần tính V = AA0· SABCD = a √
3 · 3a2= 3 √
3a3
Trang 11Chọn phương án A
Câu 14 Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông tạiA, AC = a,’ACB = 60◦ Đường chéo BC0 của mặt bên (BCC0B0) tạo với mặt phẳng (ACC0A0) một góc bằng 30◦ Tính thể tích của khối lăng trụ theo a
A a3√
3 √ 3
3 √ 6
3
Lời giải
B
A0
B0
C0
Đường chéo BC0 của mặt bên (BCC0B0) tạo với mặt phẳng (ACC0A0) một góc bằng 30◦
Nên (BC¤0, (ACC0A0)) = (BC⁄0, AC0) = BC’0A = 30◦
Ta có
B0C0 = AC
cos 60◦ = 2a; AB =
p
BC 2 − AC 2 = a √
3; C0B = AB : sin 30◦= 2a √
3 ⇒ BB0 = 2a √
2. Vậy
V = BB0· SABC = 2a √
2 ·1
2a
√
3 · a = a3√
6.
Chọn phương án B
Câu 15 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 cóAB = a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC0)
và (ABC) bằng 60◦ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
A 3
√
3
4 a
√ 3
4 a
√ 3
8 a
√ 3
8 a
3
Lời giải
Trang 12B
A0
B0
C0
H
Gọi H là trung điểm của AB Ta có
CH = a
√ 3
2 và ((ABC¤0 ), (ABC)) = (HC⁄0 , HC) = CHC’0 = 60◦. Xét tam giác CHC0 vuông tại C ta có
tan 60◦= CC
0
CH ⇒ CC0 = CH · tan 60◦ = a
√ 3
2 ·√3 = 3a
2 . Vậy
V = CC0· SABC = 3a
2 · a
2 √ 3
4 =
3a3√ 3
8 . Chọn phương án C
Câu 16 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có AB = a, đường thẳng AB0 tạo với mặt phẳng (BCC0B0) một góc 30◦ Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho
A V = a
3 √
6
3 √ 6
12 C V = 3a
3
3
4
Lời giải
B
A0
B0
C0
M
GọiM là trung điểmBC, do tam giácABC đều nênAM ⊥ BC, màAM ⊥ BB0nênAM ⊥ (BCC0B0) Suy ra hình chiếu vuông góc của AB0 trên (BCC0B0) là B0M
Trang 13Vậy góc giữa đường thẳng AB0 và mặt phẳng (BCC0B0) là góc ÷AB0M và ÷AB0M = 30◦
Ta có
AM = a
√ 3
2 ⇒ AB0 = a √
3 ⇒ AA0 =pAB02− A 0 B02= a √
2.
Vậy V = a
3 √ 6
4 Chọn phương án A
Câu 17 Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a, góc nhọn 60◦ và đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp Thể tích của khối hộp đó là
√ 3a3
√ 6a3
2
Lời giải
60◦
A0
A
B0
D0
C0
D
Ta có AC = BD0 = a √
3; BB0 = √
BD02− BD 2 = a √
2 Vậy thể tích khối hộp đứng bằng
V = B · h = 1
2a · a
√
3 · a √
2 = a
3 √ 6
2 . Chọn phương án D
Câu 18 Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm, AB = 40cm Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh M N và P Q vào phía trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng
60cm
P
A ≡ D
B ≡ C
Trang 14A 4000 √
3cm3 B 2000 √
3cm3 C 400 √
3cm3 D 4000 √
2cm3
Lời giải
Đáy của lăng trụ là tam giác cân có cạnh bên bằng x, cạnh đáy bằng 60 − 2x
Đường cao tam giác đó là AH =
…
x 2 −60 − 2x
2
2
= √ 60x − 900, với H là trung điểm N P Diện tích đáy là
S = SAN P = 1
2AH · N P =
√ 60x − 900 · (30 − x) = 1
30
p (60x − 900)(900 − 30x)(900 − 30x).
Suy ra
S ≤ 1 30
…
900 3
3
= 100 √
3cm2. Diện tích đáy lớn nhất là 100 √
3cm2 nên thể tích lớn nhất là V = 40 · 100 √
3 = 4000 √
3cm3 Chọn phương án A
Câu 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnha và AB0 vuông góc với BC0 Thể tích của lăng trụ đã cho là
A a
3 √
6
3 √ 6
3 √ 6
3 √ 6
24
Lời giải
B
A0
B0
C0
I H
Gọi I là trung điểm BC Vì ABC.A0B0C0 là lăng trụ tam giác đều nên AI ⊥ (BB0C0C) ⇒ AI ⊥
BC0
Lại có giả thiết AB0⊥ BC0 nên suy ra BC0⊥ (AIB0) ⇒ BC0⊥ B0I
Gọi H = B0I ∩ BC0
Ta có 4BHI đồng dạng 4C0HB0 ⇒ HI
B 0 H =
BI
B 0 C 0 = 1
2 ⇒ B0H = 2HI ⇒ B0I = 3HI Xét tam giác vuông B0BI có
BI2 = HI · B0I = 3HI2 ⇒ HI =
…
BI2
3 =
…
a2
12 =
a √ 3
2 . Suy ra
BB0=pB0I 2 − BI 2 =
s Å
a √ 3 2
ã2
−a 2
2
= a
√ 2
2 .
Trang 15Vậy
V = S4ABC · BB0 = a2
√ 3
4 · a
√ 2
2 =
a3√ 6
8 . Chọn phương án C
Câu 20 Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A0B0C0 Biết khoảng cách từ điểmC đến mặt phẳng (ABC0) bằnga, góc giữa hai mặt phẳng (ABC0)và (BCC0B0)bằng αvới cos α = 1
3 (tham khảo hình dưới đây) Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng
B
A0
B0
C0
A 9a
3 √
15
3 √ 15
3 √ 15
3 √ 15
10
Lời giải
B
A0
B0
C0
H
N
Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC
Ta có
®
CC0 ⊥ AB
CM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (CC0M ) ⇒ (CC0M ) ⊥ (ABC0).
Mà (CC0M ) ∩ (ABC0) = C0M nên nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên C0M thì H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC0) ⇒ d (C; (ABC0)) = CH = a
Dựng đường thẳng đi qua G và song song với CH, cắt C0M tại điểm N
Trang 16Ta có
®
GN ⊥ (ABC0)
AG ⊥ (BCC0B0) nên góc giữa hai mặt phẳng (ABC0) và (BCC0B0) là góc AGN = α’
GN = 1
3CH =
a
3; AG =
GN cos α = a ⇒ AB = AG
√
3 = a √
3;
1
CC 02 = 1
CH 2 − 1
CM 2 = 5
9a 2 ⇒ CC0 = 3a
√ 5
5 ; S4ABC = (a
√ 3)2·
√ 3
4 =
3a2√ 3
4 . Vậy thể tích khối lăng trụ bằng V = CC0· S4ABC = 9a
3 √ 15
20 Chọn phương án A
Trang 17BẢNG ĐÁP ÁN