Bài tập tiệm cận của đồ thị hàm số ôn thi THPT môn Toán - THI247.com

Dựa trên giả thiết tính giới hạn của hàm số tại vô cực để tìm tiệm cận ngang.. Bước 2.[r]

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Đường tiệm cận đứng

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim

x→x+0

f (x) = +∞; lim

x→x+0

f (x) = −∞; lim

x→x−0

f (x) = +∞; lim

x→x−0

f (x) = −∞.

2 Đường tiệm cận ngang

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim

x→+∞ f (x) = y0; lim

x→−∞ f (x) = y0.

!

2 BÀI TẬP MẪU

2 − 4x − 1

x2− 1

là

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

2 HƯỚNG GIẢI:

Bước 1 Dựa trên giả thiết tính giới hạn của hàm số tại vô cực để tìm tiệm cận ngang

Bước 2 Tính giới hạn dần ra vô cực của hàm số để tìm tiệm cận đứng

LỜI GIẢI CHI TIẾT

TXĐ: D =R\ {−1; 1}

x→+∞

5x2− 4x − 1

x 2 − 1 = 5 ; x→−∞lim

5x2− 4x − 1

x 2 − 1 = 5 ⇒ đường thẳng y = 5 là đường tiệm cận

ngang của đồ thị hàm số

x→−1 +

5x2− 4x − 1

x 2 − 1 = x→−1lim+

(x − 1)(5x + 1) (x − 1)(x + 1) = x→−1lim+

(5x + 1) (x + 1) = −∞ ⇒ đường thẳng x = −1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1 Đồ thị hàm số y = x

2 + x + 1

−5x 2 − 2x + 3 có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải

5

o

x→+∞

x2+ x + 1

−5x 2 − 2x + 3 = −

1

5; lim

x→−∞

x2+ x + 1

−5x 2 − 2x + 3 = −

1

cận ngang của đồ thị hàm số

x→−1 +

x2+ x + 1

−5x 2 − 2x + 3 = +∞ ⇒ đường thẳng x = −1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x→35+

x2+ x + 1

−5x 2 − 2x + 3 = −∞ ⇒ đường thẳng x =

3

Câu 2 Đồ thị hàm số y = x

2 − 3x + 2

Lời giải

TXĐ: D =R\ {−1; 1}

Ta có

x→(−1) + y = −∞ nên đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x→1 + y = −1

2 và lim

x→1 − y = −1

Câu 3 Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2x − 1

x 2 + 1

Lời giải

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

x→±∞ y = 0 ⇒ Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 0

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận

Câu 4 Đồ thị hàm số y =

√ 5x 2 + x + 1

√ 2x − 1 − x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang?

Lời giải

Điều kiện







5x2+ x + 1 ≥ 0 2x − 1 ≥ 0

√ 2x − 1 − x 6= 0

⇔







x ≥ 1 2 2x − 1 6= x2

⇔







x ≥ 1 2

x 6= 1.

x→+∞

√

5x 2 + x + 1

√

2x − 1 − x = x→+∞lim

…

5 + 1

x+

1

x 2

…

2

x − 1

x 2 − 1

= − √

5

x→1 +

√

5x 2 + x + 1

√

2x − 1 − x = −∞ và lim

x→1 −

√ 5x 2 + x + 1

√ 2x − 1 − x = −∞ nên đồ thị hàm số có một đường tiệm

Câu 5 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới Hỏi đồ thị hàm số y = f (x) có bao nhiêu đường tiệm cận?

x y

y0

−∞

1 +∞

−2

+∞

−∞

3

Lời giải

Từ bảng biến thiên, ta được

lim

x→+∞ y = 3 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3

lim

x→(−1) + y = +∞; lim

Câu 6 Đồ thị hàm số y = √x + 2

9 − x 2 có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải

Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang

x→−3 + y = −∞; lim

x→3 − y = +∞ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = −3; x = 3

Câu 7 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

√

−x 2 + 2x

x − 1 là

Lời giải

x→1 − y = −∞ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = 1

Câu 8 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = √ x

x 2 + 1 là

Lời giải

x→+∞

x

√

x 2 + 1 = limx→+∞

1

…

1 + 1

x 2

= 1 và lim

x→−∞

x

√

x 2 + 1 = limx→+∞

1

−

…

1 + 1

x 2

= −1

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang

Câu 9 Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x +

√ x

√

x 2 − 1.

bằng

Lời giải

x→1 +

x + √ x

√

x 2 − 1 = limx→1 +

x + √ x

p

(x − 1)(x + 1) = +∞

x→+∞ y = lim

x→+∞

x + √ x

√

x 2 − 1 = 1.

Vậy đồ thị hàm số đã cho hai đường tiệm cận

Câu 10 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

√

x + 3 − 2

x2− 1 là

Lời giải

x→+∞ y = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x→1 y = lim

x→1

x − 1 (x − 1) (x + 1) √

x + 3 + 2
= limx→1

1 (x + 1) √

x + 3
=

1 4

⇒ x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x→−1 − y = −∞; lim

x→−1 + y = +∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng

Câu 11 Đồ thị hàm số y =

√

x 2 + x + 1

Lời giải

x→0 −

√

x 2 + x + 1

x→0 −

√

x 2 + x + 1 = 1 > 0 ; lim

x→0 − x = 0 và x < 0 ⇒ lim

x→0 −

√

x 2 + x + 1

x = −∞ Vậy x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

lim

x→+∞

√

x 2 + x + 1

x = limx→+∞

|x|

…

1 + 1

x +

1

x 2

x = limx→+∞

x

…

1 + 1

x +

1

x 2

Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x→−∞

√

x 2 + x + 1

x = −1 ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận

Câu 12 Đồ thị hàm số y =

√

x − 1 + 1

x 2 − 4x − 5 có tổng số bao nhiêu đường tiệm cận ngang và đứng?

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi

®

x − 1 ≥ 0

x2− 4x − 5 6= 0 ⇔







x ≥ 1

x 6= −1

x 6= 5

⇔

®

x ≥ 1

x 6= 5.

x→+∞ y = lim

x→+∞

√

x − 1 + 1

x2− 4x − 5 = 0 ⇒ đường thẳng y = 0là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x→5 − y = lim

x→5 −

√

x − 1 + 1 (x − 5) (x + 1) = −∞; lim

x→5 + y = lim

x→5 +

√

x − 1 + 1 (x − 5) (x + 1) = +∞ ⇒ đường thẳngx = 5

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x→1 + y = −∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Câu 13

Cho đồ thị một hàm số có hình vẽ như hình bên Hỏi đồ thị trên có bao

nhiêu đường tiệm cận?

x y

O

Lời giải

Nhìn đồ thị ta thấy nhánh bên phải có một tiệm cận đứng, một tiệm cận ngang và nhánh bên trái

Câu 14 Cho đồ thị có hình vẽ như hình dưới đây

x

y

O 1 1

phương án trả lời đúng

A y = 2x + 1

x − 1 B y = x − 3

x − 1 C y = x − 1

x + 1 D y = x + 1

x − 1 Lời giải

x − 1

x − 1 có y0 = 2

(x − 1)2 > 0, hàm số đồng biến trên các khoảng xác định, mà nhìn đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến nên loại đáp án này

x − 1 có y = −2

(x − 1)2 < 0, hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định, thỏa mãn đồ thị đã cho

Câu 15 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

x y

O 1

−2

A y = 1 và y = −2 B y = −1 và y = −2 C y = 1 và y = 2 D y = 2

Lời giải

x y

O 1 2

Câu 16 Cho hàm số y = f (x)xác định trên R\ {0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

x y

y0

+∞

−1 −∞

2

−∞

Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải

Câu 17 Cho hàm số y = f (x) xác định trên R\ {−1; 1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

x

y0

y

−2

−∞

+∞

−∞

+∞

2

−1

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Lời giải

là tiệm cận đứng

Câu 18 Cho hàm số y = f (x)xác định trên R\ {1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

x y

y0

− 0 + +∞

2 −3

10

Số tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải

Câu 19 Giả sử đường thẳng (d) : x = a, (a > 0) cắt đồ thị hàm số y = 2x + 1

x − 1 tại một điểm duy

Lời giải

x − 1 là I



a;2a + 1

a − 1

 với a > 0

ñ

a = 2 (thỏa mãn)

a = 0 (loại) ⇒ y0= 5

Câu 20 Cho hàm số y = 2x − 3

x − 2 (C) Gọi M là điểm bất kỳ trên(C), d là tổng khoảng cách từ M

Lời giải

Cách 1: Giải theo tự luận



x0;2x0− 3

x0− 2



|x0− 2|.

|x0− 2| ≥ 2.

Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm

min d = 2

…

|ad − bc|

c 2 = 2

…

|2 · (−2) − (−3) · 1|

 BẢNG ĐÁP ÁN 

1 B 2 B 3 C 4 D 5 A 6 A 7 A 8 B 9 A 10 D

11 B 12 D 13 A 14 D 15 C 16 B 17 D 18 A 19 B 20 D