Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là[r]
Trang 1Điểm biểu diễn số phức:
Số phức z = a + bi (a, b ∈R) được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Ví dụ 1 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = (1 + 2i)2 là điểm nào dưới đây?
A P (−3; 4) B Q(5; 4) C N (4; −3) D M (4; 5)
Lời giải
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định điểm biểu diễn của một số phức
Phương pháp
Đưa số phức z về dạng z = a + bi (a, b ∈R)
Số phức z = a + bi (a, b ∈R) được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính z = (1 + 2i)2 đưa về dạng z = a + bi (a, b ∈R)
B2: Tìm điểm biểu diễn của số phức z
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Ta có: z = (1 + 2i)2= 1 + 4i + 4i2= −3 + 4i
Vậy điểm biểu diễn số phức z = −3 + 4i có tọa độ là (−3; 4)
Chọn phương án A
Câu 1 Điểm M trong hình vẽ bên là biểu thị cho số phức
A 2 − 3i
B 3 + 2i
C 3 − 2i
x
y
−2
M
3
Lời giải
Hoành độ, tung độ của điểm M tương ứng là phần thực, phần ảo của số phức từ hình vẽ suy ra
z = −2 + 3i
Trang 2Chọn phương án D
Câu 2 Cho số phức z = 1 + 2i Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = z + iz trên mặt phẳng toạ độ?
Lời giải
Ta có w = z + iz = 1 + 2i + i(1 − 2i) = 3 + 3i Vậy điểm biểu diễn của số phức w = z + iz là M (3; 3) Chọn phương án B
Câu 3 Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z1, z2 Khi đó độ dài của # »
AB
bằng
A |z1| − |z2| B |z2+ z1| C |z2− z1| D |z1| + |z2|
Lời giải
Giả sử z1 = a + bi, z2= c + di, (a, b, c, d ∈R)
Theo đề bài ta có A(a; b), B(c; d) ⇒ AB =p(c − a) 2 + (d − b) 2
z 2 − z 1 = (a − c) + (d − b)i ⇒ |z 2 − z 1 | =p(c − a)2+ (d − b)2
Vậy
# »
AB
= |z2− z1|
Chọn phương án C
Câu 4 Cho các số phức z1 = −1 + i, z2 = 2 + 3i, z3 = 5 + i, z4 = 2 − i lần lượt có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M, N, P, Q Hỏi tứ giác M N P Q là hình gì?
A Tứ giác M N P Q là hình thoi B Tứ giác M N P Q là hình vuông
C Tứ giác M N P Q là hình bình hành D Tứ giác M N P Q là hình chữ nhật
Lời giải
Từ giả thiết ta có tọa độ các điểm biểu diễn của z 1 = −1 + i, z 2 = 2 + 3i,
z3 = 5 + i, z4 = 2 − i lần lượt là M (−1; 1), N (2; 3), P (5; 1), Q(2; −1)
Ta có # »
M N = (3; 2), # »
QP = (3; 2), # »
M P = (6; 0), # »
N Q = (0; −4) suy ra
®# »
M N = # »
QP
# »
M P ⊥ # »
N Q
Vậy tứ giác M N P Q là hình thoi
x
y
O M
N
P
Q
−1 1 3
3
Chọn phương án A
Câu 5 Cho số phức z = m + (m − 3)i, m ∈R Tìm m để điểm biểu diễn của số phức z nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai
2
Lời giải
Ta có Đường phân giác góc phần tư thứ hai làd : y = −x Điểm biểu diễn của số phứcz = m+(m−3)i
là M (m; m − 3) Khi đó theo dề bài ta có M ∈ d ⇔ m = 3 − m ⇔ m = 3
2 Chọn phương án D
Câu 6 Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 6 − 3i; (1 + 2i)i; 1
i Tìm số
Trang 3A z = −8 + 3i B z = −8 − 4i C z = 4 − 2i D z = 8 − 5i
Lời giải
Ta có điểm biểu diễn của số phức6 − 3i là A(6; −3), (1 + 2i)i = −2 + i có điểm biểu diễn là B(−2; 1)
và 1
i = −i có điểm biểu diễn là C(0; −1)
Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi # »
AD = # »
BC ⇔
®
x − 6 = 2
y + 3 = −2 ⇔
®
x = 8
y = −5.
Vậy D là điểm biểu diễn của số phức z = 8 − 5i
Chọn phương án D
Câu 7 Gọi M, N theo thứ tự là các điểm biểu diễn số phức z 6= 0 và 1 + i
2 z Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
A ∆OM N là tam giác đều B ∆OM N là tam giác tù
C ∆OM N là tam giác vuông cân D ∆OM N là tam giác nhọn
Lời giải
Gọi z = a + bi (a, b ∈R) Khi đó z có điểm biểu diễn M (a; b)
Ta có 1 + i
2 (a + bi) =
1
2a −
1
2b +
1
2a +
1
2b
i có điểm biểu diễn là M
Å
a
2 − b
2;
a
2 +
b 2
ã
Suy ra OM = √
a 2 + b 2 ; ON =
…
a2+ b2
2 ; M N =
…
a2+ b2
2
Ta có OM2+ M M2= OM2 nên ∆OM M là tam giác vuông cân
Chọn phương án C
Câu 8 Cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn cho các số phức z 1, z 2, z 3 Biết |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | và
z1+ z2 = 0 Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?
C Tam giác ABC cân tại C D Tam giác ABC vuông cân tại C
Lời giải
Vì z1+ z2 = 0 nên z1, z2 là hai số phức đối nhau, do đó hai điểm A, B đối xứng qua gốc O
Lại có |z1| = |z2| = |z3| ⇔ OA = OB = OC ⇒ CO = AB
2 Vậy ∆ABC có độ dài đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên vuông tại C
Chọn phương án B
Câu 9 Cho các số phức z thỏa mãn |z + 1 − i| = |z − 1 + 2i| Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng Phương trình đường thẳng đó là
A 4x − 6y − 3 = 0 B 4x + 6y + 3 = 0 C 4x − 6y + 3 = 0 D 4x + 6y − 3 = 0
Lời giải
Gọi z = x + yi Ta có |z + 1 − i| = |z − 1 + 2i| ⇔ p(x + 1) 2 + (y − 1) 2 = p(x − 1) 2 + (y + 2) 2 ⇔ 4x − 6y − 3 = 0
Chọn phương án A
Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn |z + 2i − 1| = |z + i| Tìm số phức z có biểu diễn là điểm M sao cho M A ngắn nhất với A(1, 3)
Trang 4Lời giải
Gọi z = x + yi (x, y ∈R) suy ra điểm biểu diễn của z là M (x, y)
Số phức 1 − 2i có điểm biểu diễn là E(1, −2)
Số phức −i có điểm biểu diễn là F (0, −1)
Ta có: |z + 2i − 1| = |z + i| ⇔ M E = M F ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực
EF : x − y − 2 = 0
Để M A ngắn nhất khi M A ⊥ EF tại M ⇔ M (3, 1) ⇒ z = 3 + i
Chọn phương án A
Câu 11 Trong mặt phẳng phứcOxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn
z2+ (z)2+ 2|z|2
=
16 là hai đường thẳng d1, d2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 là bao nhiêu?
A d(d1, d2) = 4 B d(d1, d2) = 1 C d(d1, d2) = 6 D d(d1, d2) = 2
Lời giải
Gọi M (x, y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈R)
Ta có
z2+ (z)2+ 2|z|2
= 16 ⇔ x2+ 2xyi − y2+ x2− 2xyi − y2+ 2x2+ 2y2 = 16
⇔ 4x2 = 16
⇔ x = ±2.
suy ra d(d 1 , d 2 ) = 4 Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = −2 song song với nhau
Chọn phương án A
Câu 12 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn điều kiện|z+2−5i| = 6
là đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là
A I(2; −5), R = 6 B I(−2; 5), R = 36 C I(2; −5), R = 36 D I(−2; 5), R = 6
Lời giải
Gọi z = x + yi (x, y ∈R, i2 = −1) Khi đó
|z + 2 − 5i| = 6 ⇔ |x + 2 + (y − 5)i| = 6 ⇔p(x + 2) 2 + (y − 5) 2 = 6 ⇔ (x + 2)2+ (y − 5)2 = 36.
Vậy biểu diễn của số phức z là đường tròn có tâm I(−2; 5), R = 6
Chọn phương án D
Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn |iz − (−3 + i)| = 2 Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là hình vẽ nào dưới đây?
x
y
O 1 2
1
2
3
x
y
O 1 2 3 1
2 3
Trang 5C
x
y
O 1 2 3
1
2
3
x
y
O 1 2 3 1
2 3
Lời giải
Đặt z = x + yi, (x, y ∈R) Ta có
|iz − (−3 + i)| = 2 ⇔ |i(x + yi) − (−3 + i)| = 2
⇔ |xi − y + 3 − i| = 2
⇔ |(−y + 3) + (x − 1)i| = 2
⇔p(−y + 3)2+ (x − 1)2 = 2
⇔ (x − 1)2+ (y − 3)2 = 4.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1; 3) bán kính R = 2
Chọn phương án C
Câu 14 Trên mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + i| = |2¯ z − i|
là một đường tròn có bán kính là R Tính giá trị của R
3
Lời giải
Đặt z = x + yi (x, y ∈R) ⇒ z = x − yi Ta được
|z + i| = |2¯ z − i| ⇔ |x + yi + i| = |2(x − yi) − i|
⇔ x2+ (y + 1)2 = 4x2+ (2y + 1)2
⇔ x2+ (y + 1)2 = 4x2+ (2y + 1)2
⇔ 3x2+ 3y2+ 2y = 0
⇔ x2+ y2+2
3y = 0
Suy ra R = 1
3 Chọn phương án D
Câu 15 Biết số phức z thõa mãn |z − 1| ≤ 1 và z − z có phần ảo không âm Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là
Lời giải
Trang 6Đặt z = x + yi ⇒ z = x − yi khi đó ta có
|z − 1| ≤ 1 ⇔ |(x + yi) − 1| ≤ 1 ⇔ |(x − 1) + yi| ≤ 1 ⇔ (x − 1)2+ y2 ≤ 1 (1)
z − z = (x + yi) − (x − yi) = 2yi có phần ảo không âm suy ra y ≥ 0 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra phần mặt phẳng biểu diễn số phức z là nửa hình tròn
tâm I(1; 0) bán kính r = 1
Diện tích của nó bằng 1
2 · r 2 π = π
2 (đvdt)
x
y
O 1
−1
1
2
Chọn phương án C
Câu 16 Cho số phức z thỏa mãn |z − 3 + 4i| = 2 và w = 2z + 1 − i Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I, bán kính R Khi đó
A I(−7; 9), R = 4 B I(7; −9), R = 16 C I(7; −9), R = 4 D I(−7; 9), R = 16
Lời giải
Giả sử z = x + yi(x, y ∈R)
Từ giả thuyết |z − 3 + 4i| = 2 ⇔ |x + yi − 3 + 4i| = 2 ⇔ (x − 3)2+ (y + 4)2 = 4(∗)
Từ w = 2z + 1 − i = 2(x + yi) + 1 − i = (2x + 1) + (2y − 1)i
Giả sử w = a + bi(a, b ∈R) Ta có a + bi = (2x + 1) + (2y − 1)i ⇔
®
2x + 1 = a 2y − 1 = b ⇔
x = a − 1 2
y = b + 1
2 .
Thay x, y vào phương trình (∗), ta có a − 1
2 − 3
2 +
Å
b + 1
2 + 4
ã2
= 4 ⇔ (a − 7)2+ (b + 9)2 = 16 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(7; −9), bán kính R = 4
Lưu ý: có thể giả sử w = x + yi(x, y ∈R), từ giả thuyết suy ra z = w − 1 + i
x − 1
y + 1
2 i Thay
z vào điều kiện |z − 3 + 4i| = 2 ta có kết quả như trên
Chọn phương án C
Câu 17 Cho z1, z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 5 − 3i| = 5, đồng thời
|z1− z2| = 8 Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = z1+ z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?
A (x − 10)2+ (y − 6)2= 36 B (x − 10)2+ (y − 6)2 = 16
C x − 5
2
2 +y − 3
2
2
2
2 +y − 3
2
2
= 9
4
Lời giải
Gọi A, B, M lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2, w Khi đó A,
B thuộc đường tròn (C) : (x − 5)2+ (y − 3)2= 25 và AB = |z1− z2| = 8
(C)có tâm I(5; 3) và bán kínhR = 5, gọi T là trung điểm của AB khi
đó T là trung điểm của OM và IT = √
IA 2 − T A 2 = 3 Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy ra J (10; 6) và IT là đường
trung bình của tam giác OJ M, do đó J M = 2IT = 6
Vậy M thuộc đường tròn tâm J bán kính bằng 6 và có phương trình
(x − 10)2+ (y − 6)2= 36
x
y
B
I
J
M T
Chọn phương án A
Trang 7Câu 18 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z + 2|trên mặt phẳng tọa
độ là một
Lời giải
Giả sử z = x + yi(x, y ∈R) ⇒ z = x − yi ⇒ z + z = 2x
Ta có
2|x − 1 + yi| = |2x + 2| ⇔ 2p(x − 1) 2 + y 2 = |2x + 2|
⇔ (x − 1)2+ y2 = (x + 1)2
⇔ x2− 2x + 1 + y2 = x2+ 2x + 1
⇔ y2= 4x.
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z + 2| trên mặt phẳng tọa độ
là một parabol
Chọn phương án C
Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z − 2| = 8 Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm
M biểu diễn cho số phức z là
A (C) : (x + 2)2+ (y − 2)2 = 64 B (E) : x
2
16 +
y2
12 = 1
C (E) : x
2
12 +
y2
16 = 1 D (C) : (x + 2)2+ (y − 2)2 = 8
Lời giải
Gọi M (x; y), F1(−2; 0), F2(2; 0) Ta có
|z + 2| + |z − 2| = 8 ⇔px 2 + (y + 2) 2 +px 2 + (y − 2) 2 = 8 ⇔ M F 1 + M F 2 = 8.
Do đó điểmM (x; y)nằm trên elip (E)có2a = 8 ⇔ a = 4, 2c = F1F2 = 4 vàb2 = a2− c2 = 16 − 4 = 12 Vậy tập hợp các điểm M là elip (E) : x
2
16 +
y2
12 = 1 Chọn phương án B
Câu 20 Trong mặt phẳng phức, gọi A,B,C, Dlần lượt là các điểm biểu diễn số phức z 1 = −1 + i,
z2 = 1 + 2i, z3 = 2 − i, z4 = −3i Gọi S là diện tích tứ giác ABCD Tính S
A S = 17
2
Lời giải
Trang 8Ta có z 1 = −1 + i nên A(−1; 1), z 2 = 1 + 2i nên B(1; 2), z 3 = 2 − i nên
C(2; −1) và z4 = −3i nên D(0; −3) Khi đó # »
AC = (3; −2), AC = √
13 và
#»
n = (2; 3) là vectơ pháp tuyến của AC Phương trình đường thẳng AC là
2(x + 1) + 3(y − 1) = 0 ⇔ 2x + 3y − 1 = 0
Khoảng cách từ B đến AC là
d(B; AC) = |2 + 3 · 2 − 1|
√
7
√
13 ⇒ S4ABC = 1
2d(B; AC) · AC =
1
2 ·√13 · √7
13 = 7
2
Khoảng cách từ D đến AC là
d(D; AC) = |0 − 9 − 1|
√
10
√
13 ⇒ S4ADC = 1
2 ·d(D; AC)·AC = 1
2 · √10
13 ·√13 = 5 Vậy S = S4ABC+ S4ADC = 7
2 + 5 =
17
2
x
y
O
−1 1
2
−3
−1
2 1 A
B
C
D
Chọn phương án A
Trang 9BẢNG ĐÁP ÁN
1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 B 9 A 10 A
11 A 12 D 13 C 14 D 15 C 16 C 17 A 18 C 19 B 20 A
... D điểm biểu diễn số phức z = − 5iChọn phương án D
Câu Gọi M, N theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z 6= 0... cạnh huyền nên vuông C
Chọn phương án B
Câu Cho số phức z thỏa mãn |z + − i| = |z − + 2i| Tập hợp điểm biểu diễn số phức z... điểm biểu diễn E(1, −2)
Số phức −i có điểm biểu diễn F (0, −1)
Ta có: |z + 2i − 1| = |z + i| ⇔ M E = M F ⇒ Tập hợp điểm biểu