DẠNG TOÁN: Đây là dạng tính tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian Oxyz.. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt2[r]
Trang 1KHÔNG GIAN
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
a) Tọa độ véc-tơ và tọa độ điểm
#»a = (a1; a2; a3) ⇔ #»a = a1#»i + a2#»j + a3#»k.
M (x; y; z) ⇔ # »
OM = (x; y; z).
+ #»a ± #»b = (x ± x0; y ± y0; z ± z0).
+ k #»a = (kx; ky; kz).
x = x0
y = y0
z = z0 c) Tích vô hướng của hai véc-tơ
+ | #»a | =px2+ y2+ z2.
+ #»a · #»b = xx0+ yy0+ zz0.
+ cos( #»a ,#»
b ) =
#»a · #»b
| #»a | · |#»
b | =
xx0+ yy0+ zz0 p
x2+ y2+ z2·px02+ y02+ z02 d) Mối liên hệ tọa độ điểm và tọa véc-tơ
+ # »
AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA).
# »
AB
xI = xA+ xB
2
yI = yA+ yB
2
zI = zA+ zB
2 .
xG= xA+ xB + xC
3
yG = yA+ yB + zC
3
zG= zA+ zB + zC
e) Tích có hướng
Cho #»a = (a1; a2; a3), #»b = (b1; b2; b3) Khi đó î#»a ,#»bó
=
Ç
a2 a3 b2 b3
;
a3 a1 b3 b1
;
a1 a2 b1 b2
å
f) Ứng dụng
Trang 22
î# »
AB,# »
ACó
6
î# »
AB,# »
ACó· # » AD
= #»
0.
· #»c = 0.
2 BÀI TẬP MẪU
#»a ·Ä#»a +#»bä
bằng
Lời giải.
Phân tích hướng dẫn giải
2 HƯỚNG GIẢI:
.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau
#»a +#»b = (−1; 2; 8) Suy ra #»a Ä#»a + #»bä
= −1 · 1 + 2 · 0 + 8 · 3 = 23.
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ MỞ RỘNG
Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 3), B(3; 2; −4) Véc-tơ # »
A (1; −3; −7) B (1; 3; −7) C (−1; 3; −7) D (−1; −3; −7).
Lời giải.
AB = (3 − 2; 2 − (−1); −4 − 3) Vậy # »
AB = (1; 3; −7).
Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −2; 3) Hình chiếu vuông góc của điểmA trên mặt
A M (1; −2; 0) B M (0; −2; 3) C M (1; 0; 0) D M (1; 0; 3).
Lời giải.
Trang 3Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; −2; 3) và B(−1; 2; 5) Tìm tọa độ
A I(2; −2; −1) B I(−2; 2; 1) C I(1; 0; 4) D I(2; 0; 8).
Lời giải.
xI = xA+ xB
2 = 1
yI = yA+ yB
2 = 0
zI = zA + zB
2 = 4
⇒ I(1; 0; 4).
Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểmA(1; 2; 4), B(2; 4; −1) Tìm tọa độ trọng
A G(1; 2; 1) B G(2; 1; 1) C G(2; 1; 1) D G(6; 3; 3).
Lời giải.
xG = xA+ xB + xO
3
yG= yA+ yB + yO
3
zG = zA+ zB + zO
3
⇔
xG= 1
yG = 2
zG= 1
⇒ G(1; 2; 1).
Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−3; 5; 1).
A D(−2; 8; −3) B D(−2; 2; 5) C D(−4; 8; −5) D D(−4; 8; −3).
Lời giải.
AD = # »
BC ⇔ (xD− 1; yD − 2; zD+ 1) = (−5; 6; −2) ⇔
xD− 1 = −5
yD − 2 = 6
zD+ 1 = −2
⇒ D(−4; 8; −3).
Câu 6 Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A(1; 2; −1) và điểm B(2; 1; 2).
2; 0; 0
2; 0; 0
3; 0; 0
3; 0; 0
Lời giải.
Gọi M (x; 0; 0) ∈ Ox.
2 ⇒ M3
2; 0; 0
Câu 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #»u (2; 3; −1) và #»v (5; −4; m) Tìm
m để #»u ⊥ #»v.
Lời giải.
Trang 4Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho A(−1; 2; 4), B(−1; 1; 4), C(0; 0; 4) Tìm số đo của
Lời giải.
BA = (0; 1; 0), # »
BC = (1; −1; 0) ⇒ cos’ABC =
# »
BA · # » BC
BA · BC = −
1
√
2 ⇒’ABC = 135O.
Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ ÄO;#»
i ;#»
j ; #»
A #»a · #»b = −13. B #»a · #»b = 5. C #»a · #»b = −10. D #»a · #»b = −11.
Lời giải.
b = (1; 0; −3) nên #»a · #»b = 2 − 12 = −10.
Câu 10 Trong không gian Oxyz, điểm N đối xứng với M (3; −1; 2) qua trục Oy là
A N (3; 1; 2) B N (−3; −1; −2) C N (3; −1; −2) D N (−3; 1; −2).
Lời giải.
Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; −4; −5) Tọa độ điểm A0 đối xứng
A (1; −4; 5) B (−1; 4; 5) C (1; 4; 5) D (1; 4; −5).
Lời giải.
Câu 12 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(−2; 1; −3) và B(1; 0; −2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng
Lời giải.
11.
Câu 13 Cho #»u = (−1; 1; 0), #»v = (0; −1; 0), góc giữa hai véc-tơ #»u và #»v là
Lời giải.
(−1)2+ 12+ 02·p02+ (−1)2+ 02 =√
2 Vậy cos ( #»u , #»v ) =
#»
u · #»v
| #»u | · | #»v | = −
1
√
2 ⇒ ( #»u , #»v ) = 135◦.
Trang 5Câu 14 Trong không gian Oxyz cho hai véc-tơ #»a = (1; −1; 2) và #»b = (2; 1; −1) Tính #»a · #»b.
A #»a · #»b = (2; −1; −2). B #»a · #»b = (−1; 5; 3). C #»a · #»b = 1. D #»a · #»b = −1.
Lời giải.
Câu 15 Cho các véc-tơ #»a = (1; 2; 3); #»b = (−2; 4; 1); #»c = (−1; 3; 4) Véc-tơ #»v = 2 #»a − 3#»b + 5 #»c có tọa độ là
A #»v = (23; 7; 3). B #»v = (7; 23; 3). C #»v = (3; 7; 23). D #»v = (7; 3; 23).
Lời giải.
b = (6; −12; −3), 5 #»c = (−5; 15; 20) ⇒ #»v = 2 #»a − 3#»
b + 5 #»c = (3; 7; 23).
Câu 16 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho #»u = (1; 2; −1) và #»v = (2; 3; 0) Tính [ #»u , #»v ].
A [ #»u , #»v ] = (3; 2; −1) B [ #»u , #»v ] = (3; −2; 1).
C [ #»u , #»v ] = (3; −2; −1) D [ #»u , #»v ] = (−3; 2; 1).
Lời giải.
Ç
2 −1
3 0
,
−1 1
0 2
,
1 2
2 3
å
= (3; −2; −1).
Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho các véc-tơ #»a = (m; 1; 0),#»b = (2; m − 1; 1), #»c = (1; m + 1; 1).
2 Lời giải.
= 1; −m; m2− m − 2
⇒î#»a ;#»bó
· #»c = −2m − 1.
· #»c = 0 ⇔ −2m − 1 = 0 ⇔ m = −1
2.
Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #»a = (0; 3; 1), #»b = (3; 0; −1).
.
= 1
100 B cosÄ#»a ,#»bä
= − 1
10 C cosÄ#»a ,#»bä
= 1
10 D cosÄ#»a ,#»bä
= − 1
100 Lời giải.
=
#»a · #»b
| #»a | ·
#»
b
= √ 0 · 3 + 3 · 0 + 1 · (−1)
02+ 32+ 12·p32+ 02+ (−1)2 ⇔ cosÄ#»a ,#»bä
= −1
10.
Câu 19 Cho hai vec tơ #»a = (1; −2; 3), #»b = (−2; 1; 2) Khi đó tích vô hướng Ä#»a + #»bä
·#»
b bằng
Lời giải.
· #»
b = −1 · (−2) + (−1) · 1 + 2 · 5 = 11.
Trang 6Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giácABC cóA(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
A
√
11
√ 7
√ 6
√ 5
2 Lời giải.
AB = (−1; 0; 1), # »
AC = (1; 1; 1) ⇒ î# »
AB; # »
ACó= (−1; 2; −1)
⇒ S4ABC = 1
2
î# » AB;# »
ACó
√ 6
2 .
Trang 7BẢNG ĐÁP ÁN
1 B 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7 D 8 B 9 C 10 B
11 D 12 C 13 C 14 D 15 C 16 C 17 D 18 B 19 C 20 C
... 23.3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ MỞ RỘNG
Câu Trong không gian< /h3> Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 3), B(3; 2; −4) Véc-tơ # »
A... class="text_page_counter">Trang 5
Câu 14 Trong không gian< /h3> Oxyz cho hai véc-tơ #»a = (1; −1; 2) và #»b... M3
2; 0; 0
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #»u (2; 3; −1) và #»v