Bài tập phương trình mặt phẳng liên quan đến đường thẳng ôn thi THPT môn Toán - THI247.com

và khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt phẳng (P ) là lớn nhất.[r]

ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

y − y0

z − z0

d = (a; b; c) và một điểm

M (xo; yo; zo) ∈ d.

#»

n = (A; B; C).

(∆)

P

∆

#»

n(P )

#»

u(∆)

(P ) = #»u(∆).

.

2 BÀI TẬP MẪU

2 =

y − 2

2 =

z − 1

A 2x + 2y + z + 3 = 0 B x − 2y − z = 0.

C 2x + 2y + z − 3 = 0 D x − 2y − z − 2 = 0.

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng viết phương trình mặt phẳng.

2 HƯỚNG GIẢI:

B2: (P ) ⊥ ∆ nên mặt phẳng (P ) nhận #»u

(P ) = #»u(∆).

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

LỜI GIẢI CHI TIẾT

2 =

y − 2

2 =

z − 1

(∆) = (2; 2; 1). (P ) ⊥ ∆ nên mặt phẳng (P ) nhận #»u

(P ) = #»u(∆) = (2; 2; 1).

(P ) : 2(x − 1) + 2(y − 1) + 1(z + 1) = 0 ⇔ 2x + 2y + z − 3 = 0

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1) và B(1; 3; 2) Viết phương

A x + 2y + z − 9 = 0 B x + 2y + z − 3 = 0 C x + 4y + 3z − 7 = 0 D y + z − 2 = 0.

Lời giải.

AB = (1; 2; 1).

AB = (1; 2; 1) làm

(x − 0) + 2(y − 1 + (z − 1) = 0 ⇔ x + 2y + z − 3 = 0

Câu 2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1; 0; −3), B(3; 2; 1) Mặt phẳng trung trực đoạn

A x + y + 2z − 1 = 0 B 2x + y − z + 1 = 0 C x + y + 2z + 1 = 0 D 2x + y − z − 1 = 0 Lời giải.

AB = (2; 2; 4) có phương trình 2(x − 2) + 2(y − 1) + 4(z + 1) = 0 ⇔ x + y + 2z − 1 = 0.

Câu 3 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau x − 1

−2 =

y + 2

1 =

z − 4 3

và x + 1

y

−1 =

z + 2

A −2x − y + 9z − 36 = 0 B 2x − y − z = 0.

C 6x + 9y + z + 8 = 0 D 6x + 9y + z − 8 = 0.

Lời giải.

−2 =

y + 2

1 =

z − 4

1 = (−2; 1; 3).

1 =

y

−1 =

z + 2

2= (1; −1; 3).

#»

n = [ #»u1, #»u2] = (6; 9; 1) Phương trình mặt phẳng (P ) là

(P ) : 6(x − 1) + 9(y + 2) + (z − 4) = 0 ⇔ 6x + 9y + z + 8 = 0

Câu 4 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (α) : x −

y + 2z − 1 = 0 có phương trình là

A x + y = 0 B x + 2y = 0 C x − y = 0 D x + y − 1 = 0.

Lời giải.

α= (1; −1; 2).

k = (0; 0; 1).

= (−1; −1; 0) làm véc-tơ pháp tuyến Do đó có phương trình −x − y = 0 ⇔ x + y = 0.

Câu 5 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d: x − 1

2 =

y

1 =

z + 1

(Q) : 2x + y − z = 0 Mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)có phương trình là

A −x + 2y − 1 = 0 B x − y + z = 0 C x − 2y − 1 = 0 D x + 2y + z = 0.

Lời giải.

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng thẳng d : x + 1

2 =

y

1 =

z − 2

A (P ) : y − z + 2 = 0 B (P ) : x − 2y + 1 = 0 C (P ) : x − 2z + 5 = 0 D (P ) : y + z − 1 = 0 Lời giải.

#»

i (1; 0; 0).

= (0; 1; −1).

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng chứa hai điểm A(1; 0; 1), B(−1; 2; 2) và

A y − 2z + 2 = 0 B x + 2z − 3 = 0 C 2y − z + 1 = 0 D x + y − z = 0 Lời giải.

Do (P ) k Ox nên (P ) : by + cz + d = 0.

®

c + d = 0 2b + 2c + d = 0 ⇒ 2b + c = 0.

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1: x − 2

y − 6

−2 =

z + 2

1 và

d2: x − 4

y + 1

3 =

z + 2

d2 là

A (P ) : x + 5y + 8z − 16 = 0 B (P ) : x + 5y + 8z + 16 = 0.

C (P ) : x + 4y + 6z − 12 = 0 D (P ) : 2x + y − 6 = 0.

Lời giải.

1= (2; −2; 1).

1, #»u2] = (1; 5; 8).

là

x + 5y + 8z − 16 = 0

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa trục Oz và điểm M (1; 2; 1).

A (P ) : y − 2z = 0 B (P ) : 2x − y = 0 C (P ) : x − z = 0 D (P ) : x − 2y = 0 Lời giải.

k = (0; 0; 1) và # »

OM = (1; 2; 1).

#»

n =î#»

k ,# »

OMó= (−2; 1; 0).

Câu 10 Cho A(1; −1; 0) và d : x + 1

y − 1

z

là

A x + 2y + z + 1 = 0 B x + y + z = 0 C x + y = 0 D y + z = 0.

Lời giải.

#»

n =î#»u ,AM# »ó

= (6; 6; 6).

x + y + z = 0.

Câu 11 Cho hai đường thẳng chéo nhau d1: x − 2

y − 1

−1 =

z

2 và d2:







x = 2 − 2t

y = 3

z = t

Mặt phẳng

A x + 5y − 2z + 12 = 0 B x + 5y + 2z − 12 = 0.

C x − 5y + 2z − 12 = 0 D x + 5y + 2z + 12 = 0.

Lời giải.

1 = (1; −1; 2).

1, #»u2] = (−1; −5; −2)

⇒ (α) : x + 5y + 2z + m = 0.

d (d1, (α)) = d (d2, (α)) ⇔ d (M1, (α)) = d (M2, (α))

⇔ |m + 7|√

30 =

|m + 17|

√

30 ⇔ m = −12

Vậy (α) : x + 5y + 2z − 12 = 0.

Câu 12 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1: x − 1

y + 2

1 =

z − 1

−2 , d2:

x − 1

y − 1

z + 2

d .

34 hay S = −4 Lời giải.

1 = (2; 1; −2).

2 = (1; 3; 1).

ñ

d = 34

d = −2

34 hay S = −4.

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)2+ (y + 1)2+ z2 = 11 và

y + 1

z − 1

2 , d2: x + 1

y

2 =

z

A 3x − y − z + 7 = 0 B 3x − y − z − 15 = 0.

C 3x − y − z − 7 = 0 D 3x − y − z + 7 = 0 hoặc 3x − y − z − 15 = 0 Lời giải.

11.

d1 qua A(5; −1; 1) và có véc-tơ chỉ phươngu#»

1 = (1; 1; 2).

d2 qua B(−1; 0; 0) có véc-tơ chỉ phương u#»

2= (1; 2; 1).

#»

n = [ #»u1, #»u2] = (−3; 1; 1).

A /∈ (P ) ⇔ d 6= 15; B /∈ (P ) ⇔ d 6= −3.

N (0; 0; 1) ⇔ | − 3 − 1 + 0 + d|

√

9 + 1 + 1 =

√

11 ⇔ | − 4 + d| = 11 ⇔

ñ

d = 15

d = −7

• d = 15 (loại)

• d = −7, ta có phương trình mặt phẳng (P ) là −3x + y + z − 7 = 0 ⇔ 3x − y − z + 7 = 0.

Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x − 1

y

1 =

z − 2

2 và điểm M (2; 5; 3) Mặt phẳng (P ) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ M đến (P ) lớn nhất có phương trình là

A x − 4y − z + 1 = 0 B x + 4y − z + 1 = 0 C x − 4y + z − 3 = 0 D x + 4y + z − 3 = 0 Lời giải.

P

d

A

H

I

Gọi I (1 + 2t; t; 2 + 2t) là hình chiếu vuông góc của A trên d.

d = (2; 1; 2).

AI · #»ud = 0(2t − 1)2 + (t − 5) + (2t − 1)2 = 0 ⇔ t = 1 suy ra I(3; 1; 4).

AI = (1; −4; 1) làm véc-tơ pháp tuyến.

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độOzyz cho điểmA(2; −1; −2)và đường thẳng(d)có phương

y − 1

−1 =

z − 1

với mặt phẳng nào sau đây?

C x − 2y − 3z − 1 = 0 D 3x + z + 2 = 0.

Lời giải.

P

A

H

Gọi K(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của A lên d Tọa độ của K là nghiệm của hệ







− x + 1 = y − 1

y − 1 = −z + 1

x − y + z − 1 = 0

⇔







x = 1

y = 1

z = 1

⇔ K(1; 1; 1)

KA.

KA.

Câu 16 Trong không gian Oxyz, gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d : x − 2

y − 1

2 =

z

−1

A x + 2y + 5z − 5 = 0 B x + 2y + 5z − 4 = 0 C x + 2y − z − 4 = 0 D 2x − y − 3 = 0.

Lời giải.

d = (1; 2; −1).

®

A ∈ Ox ⇒ A(a; 0; 0)

B ∈ Oy ⇒ B(0; b; 0) ⇒ # »

AB = (−a; b; 0).

AB · #»ud = 0 ⇔ −a + 2b = 0 ⇔ a = 2b ⇒ # »

AB = (−2b; b; 0)

⇒ #»u = (−2; 1; 0) là một VTCP của AB.

Ta có

®#»u = (−2; 1; 0)

#»

ud = (1; 2; −1)

⇒ [ #»u , #»ud] = (−1; −2; −5) ⇒ #»n = (1; 2; 5) là một VTPT của (P ).

Câu 17 Tìm tất cả các mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d: x

1 =

y

−1 =

z

(P ): 2x − z + 1 = 0 góc 45◦.

A (α): 3x + z = 0 B (α): x − y − 3z = 0.

C (α): x + 3z = 0 D (α): 3x + z = 0 hay (α): 8x + 5y + z = 0.

Lời giải.

(P ): 2x − z + 1 = 0 vtpt #»

k = (2; 0; −1).

Ta có

cos 45◦=

#»n ·#»k 

| #»n | ·

#»

k

⇔ p |2a − c|

5 (a2+ b2+ c2) =

√ 2

2 ⇔ 10 a2+ b2+ c2
= (4a − 2c)2

⇔ 10 b2+ 6bc + 9c2+ b2+ c2
= (4b + 12c − 2c)2 ⇔ 10 2b2+ 6bc + 10c2
= (4b + 10c)2

⇔ 4b2− 20bc = 0 ⇔

ñ

b = 0

b = 5c

X b = 0 ⇒ a = 3c ⇒ (α): x + 3z = 0.

X b = 5c, chọn c = 1 ⇒ b = 5, a = 8 ⇒ (α): 8x + 5y + z = 0.

Câu 18 Trong không gian Oxyz,d : x

−1 =

y + 1

2 =

z − 2

là

A x − z − 2 = 0 B x + z − 2 = 0 C 3x + y + z − 1 = 0 D x + y − z + 3 = 0 Lời giải.

Q

P

d

A K E

H



◊ (P ), (Q)



=AHE = α’ Xét cos α = HE

HA ≤ HK

HA.

Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 1) và B(3; −1; 5) Mặt phẳng(P ) vuông góc

A 2x − 3y + 4z ±√3

2 = 0.

C 2x − 3y + 4z ± 12 = 0 D 2x − 3y + 4z ± 6 = 0.

Lời giải.

Vì AB ⊥ (P ) nên mặt phẳng (P ) có một véc-tơ pháp tuyến là # »

AB = (2; −3; 4), do đó phương trình

2; 0; 0), E(0;d

3; 0), F (0; 0; −d

2 , OE = |d|

3 , OF = |d|

4 .

VODEF = 1

6OD · OE · OF ⇔

(|d|)3

144 =

3

2 ⇔ |d| = 6 ⇔ d = ±6

 BẢNG ĐÁP ÁN 

1 B 2 A 3 C 4 A 5 C 6 A 7 A 8 A 9 B 10 B

11 B 12 D 13 A 14 C 15 D 16 C 17 D 18 D 19 D

Lời giải.

Vì AB ⊥ (P ) nên mặt phẳng< /h3> (P ) có véc-tơ pháp tuyến là # »

AB = (2; −3; 4), phương trình< /h3>

2; 0; 0), E(0;d... HK

HA.

Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 1) và B(3; −1; 5) Mặt phẳng< /h3>(P ) vng góc