b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Do đó... Vậy bất đẳng thức * luôn đúng với mọi giá trị dương của a, b, c... Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu... Bất đẳng thức đã được chứng minh...
Trang 1(3) (4) Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được chứng minh.
b) Áp dụng BĐT (1) với
Ta có : abc = 3 + , xyz = 3- , a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2
Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
Trang 2Bất đẳng thức sau cùng đúng nên bất đẳng thức đầu đúng
Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Do đó Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =1 Vậy .
Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
Trang 3Vậy bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi giá trị dương của a, b, c
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Nên Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Dấu “=” xảy ra khi : hay x = y = z
Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương y, x + 1 ta có:
.Dấu “=” xảy ra khi
Trang 4Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho (1) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
Trang 5Vậy Min Q = -2 khi m =-2, n =1 hoặc m =1, n = -2.
Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
a) Với , chứng minh rằng (1)
Với , (1)
(2) đúng nên (1) đúng Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
b) Cho a, b, c là ba số dương nhỏ hơn sao cho a + b + c = 3.
Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
Trang 6.Vậy (1) đúng Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Trang 7
Đẳng thức xảy ra
Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)
Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng
.Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bất đẳng thức đã cho tương đương
Trang 8Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)
a) Hàm số xác định với mọi x
y là một giá trị của hàm số
phơng trình y= x+1
x2+x +1 (ẩn x tham số y) có nghiệm y(x2 + x + 1) = x+ 1 y.x2 + (y - 1)x + y - 1 = 0 (1)
+) y = 0 thì x = - 1 (có nghiệm)
+) y 0 (1) có nghiệm 0
Trang 9+) Ta dễ dàng chứng minh đợc với ba số dơng x, y, z ta có
x + y + z 3 √3 xyz hay xyz≤ ( x+ y+z
27 - 9(a + b + c) + 3(ab + bc + ca) - abc 1
abc 3(ab + bc + ca) - 28
Do đó 3(a2 + b2 + c2) +2abc 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) - 56
Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho ba số dương và thoả món Chứng minh rằng:
Ta cú:
Trang 10Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Từ Gt suy ra:
Nên ta có:
Trang 11Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
Áp dụng bất đẳng thức với các số x, y không âm.
Ta có
Dấu “=” xảy ra, chẳng hạn khi Vậy GTLN của P là
Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)
a)P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1
Ta đưa về PT bậc 2 với ẩn x : 3x2 – 2x.(y + 1) + 11y2 + 6y – 1 – P = 0 (1)
Để tồn tại nghiệm x thì PT (1) phải có:
.Đẳng thức xảy ra khi Vậy P nhỏ nhất bằng – 2 khi
b)Dự đoán dấu = xảy ra khi a = b = c = Từ đó ta áp dụng BĐT Cô-Si như sau:
Trang 14Từ hai trường hợp, ta có được: apq + bqr + crp 0
Do đó Q
Do đó 2P 10 P 5 Dấu “=” xảy ra a + b + c = 3, , 2c = a + b, abc = 2abc
b = 0, c = 1, a = 2
Trang 15
Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)
Biến đổi biểu thức P và chú ý đến ta được
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là , đạt được tại
Bài 28: ( HSG TĨNH GIA – THANH HÓA NĂM HỌC 2013– 2014)
= (x+y)2 + (x-y)2 (x+y)2 => (x+y)
Cộng vế theo vế ta được M (x+y+z) =
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi x = y = z =
Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: nên:
Trang 16
Mặt khác:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)
Trang 17
Luôn đúng vì a, b, c là các số dương Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c
Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)
Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau: (1)
Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: nên:
Trang 18
Gọi vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là P, ta cần chứng minh P (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương, ta có:
Trang 19
Vậy 2F ¿54(x+ y+ z)− 34 (x+ y+z)= x+ y+z2 =12⇒ F≥ 14
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =
Từ (1) và (3) suy ra: .Dấu “=” xảy ra khi: a=1 và
Vậy: Đạt được khi a = 1 và
Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010)
Vậy GTNN của A là đạt được
Bài 39: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)
Trang 20Vậy GTNN của C là 7 khi a = 2; b = 1; c = 1
Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)
Trang 21
( theo (1)) Vậy M đạt GTLN là khi x = y = z = 3( theo (1))
Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017)
Vậy M , dấu đẳng thức có khi a = b = c = 1
Bài 42: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018– 2019)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Từ đó suy ra:
(1)
Trang 22Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)
Với x là số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “ =” xảy ra khi x = 2
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:
Trang 23
Suy ra:
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Bài 44: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)
ViÕt l¹i:
VËy , DÊu b»ng x¶y ra t¹i a=1; b=4, KL ……
Bài 45: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)
Ta có:
Xét hệ
+ Nếu thì hệ có nghiêm duy nhất
Khi đó đạt được khi
Đẳng thức xảy ra khi
Trang 24
Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011)
a)Áp dụng bất đẳng thức (với x,y > 0)
Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1
Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)
Tìmgiá trị nhỏ nhất của
Ta có:
Trang 26Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:
Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho { a,b ,c>0
a+2b+3c≥10 , chứng minh rằng : a+b+c+ 3 4 a+ 98b+ 1c≥132
Trang 27
a+ 1 a≥2 ⇒ 34(a+ 1 a)≥32
2(b+ 9 4b)≥ 32 c+ 4 c≥2√4=4 ⇒ 14(c+ 4 c)≥1
Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 28
Từ (*) và (**) ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 33
Dấu “=” xảy ra khi
Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)
P là biểu thức đối xứng nên ta có thể dự đoán minP = m khi a = b = c = Ta đi tìm m
Tương tự :
Dấu “=” xảy ra khi b = c
Dấu “=” xảy ra khi c = a
Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)
Ta có là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:
Trang 29Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)
Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên ta có
Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)
Từ giả thiết:
Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Bài toán được phát biểu lại
Trang 30Vậy đpcm dấu “ =” xảy ra khi
Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019)
Trang 31Vậy giá trị lớn nhất của y là 9/2 khi x=
Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 34
P≤ 1 9 ( ac +bc
a+b + ab+ac b+c + bc+ab a+c + a+b+c 2 ) = a+b+c 6
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Trang 35Nên A≥x √3x+ y √3 y+z3√ z
Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy dãy 1 : √3 x2;3√ y2;3√ z2
2(xy+ yz+xz )+ x2+ y2+z2=3( x+ y+z)2
( x+ y+z)2 =3≥xy+ yz+ xz
do:( x+ y+z )2≤3(x2+ y2+z2)=9⇒ x+ y+z≤3=x2+ y2+z2;
Trang 36
⇔ ( a+b
a−b )2
+ ( b+c b−c )2
+ ( c+a c−a )2
2+a2(c−a)2)=(a+b)2+(a−b)2
+ ( c a−b )2
+ ( c a−b )2
Trang 37
đúng đúng Suy ra
Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn
Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)
Trước hết ta chứng minh với thì
Thật vậy:
(do a > 0)
Từ (*)
Trang 38Dấu ‘=’ xãy ra khi
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 1 khi
Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)
Biến đổi giả thiết của bài toán ta được
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta thu được
Do đó bất đẳng thức đã cho được chứng minh
Trang 39
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi hay
Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)
Với a, b > 0 ta có:
(a – b)2(a + b) ≥ 0 ⇔a3 ≥ ab(a + b) - b3 ⇔
a3
b ≥ a(a + b) – b2 = a2 + ab – b2
Tương tự ta có 3 BĐT và cộng chúng lại ta suy ra đpcm
Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014)
Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018)
Vì a,b,c có vai trò như nhau và nên giả sử 2 ≥ a ≥b ≥ c ≥ 1
Khi đó: (b-a)(b-c) ≤ 0
b2 +ac ≤ ab+bc (*) ( chia 2 vế (*) cho bc)
và ( chia 2 vế (*) cho ab)
Để chứng minh (1) ta tiếp tục chứng minh 7 (2)
Ta có: 2 ≥ a ≥ c ≥ 1
(2) x+ 2x25x+2 0 (x2)(2x1) 0 ( đúng vì
(2) được chứng minh (1) được chứng minh
Dấu “=”xảy ra khi a = 2, b = c = 1 hoặc a = b = 2, c = 1 và các hoán vị của nó
Trang 40Vậy giá trị nhỏ nhất của M là , đạt được khi x = y =
Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014)
Ta có :
Tương tự :
Nhân các bất đẳng thức vừa nhận được ta có :
Hay : abc Dấu = xãy ra khi a = b = c = Vậy maxQ =
Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
Chứng minh tương tự ta được
Suy ra
Dấu bằng xảy ra (Trái với giả thiết)
Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm.
Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)
√ 3
a a 3
Trang 41Tơng tự, chứng minh đợc: 21a + (3/a) 64 với a 3.
(<=> (a-3)(21a-1) 0) Dấu bằng xảy ra <=> a = 3
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013 – 2014)
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của T là đạt được tại a = b =
Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Đặt x = 1 + a => y = 1- a => x5 + y5 = (1+a)5 + (1-a)5 = 10a4 + 20a2 + 2 ≥ 2 ( vỡ a4 ≥ 0; a2 ≥ 0 vớimọi a)
=> x5 + y5 ≥ 2 Dấu “=” xóy ra a = 0 x = y = 1
Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BèNH NĂM HỌC 2012 – 2013)
Trang 42
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx+ c Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0
Chứng minh rằng:
Từ giả thiết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0 suy ra được
Vì P(x) > 0 với mọi x thuộc R nên P(-1)>0
( do a 1) Nên có a 3 < 2 suy ra a6 < 4 Nên có 3 < a6 < 4
Suy ra
Đặt
suy ra
Trang 43
Suy ra
Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011)
Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014)
Gọi Bo là một giá trị của B, khi đó, x, y để:
3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + 1 = 0 (1)
Để tồn tại x, y thì (1) phải có nghiệm xy = Bo – 8Bo + 4 0
Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B > 0 Do đó ta có:
Trang 44Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi
Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017)
Trang 45
( vì , theo (*) ) Nên
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là Đạt được khi
Từ và suy ra điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi
Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019)
Trang 47
Dấu “=” xảy ra:
Vậy , đạt được tại
Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017)
• Áp dụng bđt Cauchy, ta có
•
Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)
Theo điều đề bài ta có: 1- a > 0 ; 1- b > 0 ; 1- c > 0 Nên theo BĐT Cô-si, ta có:
Trang 48
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 92: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009)
Từ đó
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy thì
Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi …
Trang 49b) Nhận xét Nếu thì
Từ nhận xét trên ta có
Do đó
Dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi
Trang 50
Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)
a) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18 M = 18 – 4a2 – 4b2 – 8ab = 18 – 4(a + b)2 ≤ 18
Dấu “=” xảy ra a = –b thay vào đẳng thức: 10a2 – 8a2 = 18 a2 = 9 a = ±3Vậy: max M = 18 (a ; b) = (3 ; –3) hoặc (–3 ; 3)
b) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18 9(a2 + b2) = 18 + 4(a – b)2 ≥ 18 9M ≥ 18 M ≥ 2
Dấu “=” xảy ra a = b thay vào đẳng thức: a = b = ±1Vậy: min M = 2 a = b = ±1
Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007)
(Do m ≥ 1 và n ≥ 1 nên: ) Dấu “=” xảy ra m = n = 1
Bổ xung: có thể thêm yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A