Tuyển chọn 111 bài toán bất đẳng thức hay và khó phần 2

Chứng minh rằng: + +  + + a b c ab bc ca Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta thấy giả thiết là một bất đẳng thức nên để có các đánh giá hợp lí ta cần nghĩ đến việc đánh gi

Trang 1

Bài 51 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 0 a, b,c 1 và  ab bc ca 1 Chứng + + =minh rằng:

Phân tích và lời giải

Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy được sự phức tạp của bài toán, để có các đánh

giá hợp lý trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại = = =a b c 1

3 Bất đẳng thức có tính đối xứng nên ta sẽ đi phân tích một biểu thức rồi áp dụng tương tự

1 a b a b lại trội hơn nên muốn đánh giá vế đại lượng lớn hơn sẽ rất khó khăn Từ đó ta nghĩ đến việc tìm ra mối liên hệ giữa tử và mẫu Để ý là ta chứng minh được ( − 2)( − 2) −( )2

Bây giờ ta biến đổi tương tự xem ta sẽ thu được kết quả như thế nào?

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Trang 2

Điều này dẫn tới 9xyz 7 xy yz zx ( + + )−2

Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh xong

Bài 52 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + 

1

a b 1 b c 1 c a 1 Chứng minh rằng:

+ +  + +

a b c ab bc ca

Quan sát bất đẳng thức ta thấy giả thiết là một bất đẳng thức nên để có các đánh giá hợp lí ta cần nghĩ đến việc đánh giá lại bất đẳng thức giả thiết trước Quan sát giả

Trang 3

thiết ta thấy có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki nên ta thử xem có đánh giá được hay không

a b cHay ( + + )2 ( + + 2) (+ + + 2) (+ + + 2)

a b c a b c b c a c a b hay + + a b c ab bc ca + +

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong Dấu đẳng thức xẩy ra tại = = =a b c 1

Cách 2 Cũng bắt đầu với giả thiết nhưng ta biến đổi tương đương điều kiện ta được

Biến đổi tương đương và thu gọn ta được ab bc ca a b c + +  + +

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Trang 4

Nhận xét Ngoài hai cách như trên ta có thể tham khảo thêm cách chứng minh phản chứng sau

đây: Giả sử tồn tại các số dương a, b, c thỏa mãn

ab bc ca1

a b c

+ +

+ ++ +

Từ đó ta được 1 1 (vô lí) Vậy điều giả sử là sai

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra tại = = =a b c 1

Bài 53 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + =a b c 1 Chứng minh rằng:

1 ab 1 bc 1 ca 8

Trang 5

Lời giải

Từ giả thiết + + =a b c 1 ta suy ra abc 1

27 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Hay 8 3 2 ab bc ca − ( + + )+abc27 1 −(ab bc ca+ + )+abc a b c− 2 2 2

Hay 3 11 ab bc ca− ( + + )+19abc 27a b c− 2 2 2  0 4 3 19abc 27a b c + − 2 2 244 ab bc ca ( + + )

Từ bất đẳng thức quen thuộc (a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − )abc suy ra

Quan sát bất đẳng thức ta thấy có số 7, vậy thì số 7 này có ý nghĩa gì trong bài toán Để ý đến giả thiết a2+b2+c2=3 và các đại lượng bậc hai trong bất đẳng thức, ta có thể viết được 7 1 2 a= + ( 2+b2+c Khi đó ta có 2)

Trang 6

Chú ý là nếu trên tử có đại lượng 2ab thì ta có thể kết hợp với a2+b để tạo ra 2 ( + )2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi = = =a b c 1

Nhận xét Ngoài ra ta có thể quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức

Trang 7

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh

Bài 55 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3+b3+c3=3 Chứng minh rằng:

Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại = = =a b c 1, Khi đó để ý đến phép biến đổi b3+ =8 (b 2 b+ ) ( 2−2a 4 và cả chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá + )

Trang 8

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Bất đẳng thức cuối luôn đúng, do đó bài toán được chứng minh

Bài 56 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng

( + + )

+ ++ +

2

abc a b c a b c

Quan sát bất đẳng thức ta thấy có các đại lượng ( + + )2 2+ 2+ 2

a b c ; a b c , ta cần đánh giá đại lượng abc về ab bc ca để tìm xem có mối liên hệ nào với các đại lượng + +trên hay không Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau ( + + ) ( + + )2

Trang 9

Bài 57 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn + + =a b c 1 Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức này không xẩy ra dấu bằng tại a b c , cũng không xẩy ra tại = =

a b; c 0 nà đẳng thức xẩy ra tại =a 1; b c 0 và các hoán vị của nó Do đó ta nghĩ = =đến việc sắp thứ tự biến Tuy nhiên ta cần tiệt tiêu được các dấu căn bậc hai bên vế trái Ngoài ra để ý là với dấu đẳng thức xẩy ra như trên thì ta dự đoán −  +b c b c Do đó ta

Trang 10

Vậy bài toán được chứng minh xong

Bài 58 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

+ ++ + + + + 

4 a b c

b c c a a b

Dễ dàng dự đoán đươc dấu đẳng thức xẩy ra tại = =a b c Quan sát bất đẳng thức

ta nhận thấy cần phải khử các căn bậc hai, do đó ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki Tuy nhiên để áp dụng các bất đẳng thức này ta cần tạo ra tích các đại lượng Do đó ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh như sau

Trang 11

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1

Bài 59 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + =a b c 3 Chứng minh rằng

Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại = = =a b c 1 Quan sát bất đẳng thức

ta liên tưởng đến một đánh giá quen thuộc

Mà + + =a b c 3 nên ta có ( + + )6 = ( + + )2

a b c 81 a b c Suy ra ( + + )2 ( 2+ 2+ 2) ( + + )2

Nhận xét Ngoài cách chứng minh trên ta có thể tham khảo thêm các cách chứng minh sau đây

Trang 12

a b c , bất đẳng thức luôn đúng trong trường hợp này

+ Trương hợp 2 Giải sử cả 3 số a, b, c đều lớn hơn 1

+ Trường hợp 2 Nếu có một trong 3 số a, b, c lớn hơn hoặc bằng +1 2

Không mất tính tổng quát giả sử   a b c , khi đó suy ra

Trang 13

Từ đó suy ra + +  2+ 2+ 2

1 1 1

a b c

Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại = =a b c Quan sát biểu thức thứ nhất bên vế trái ta thấy cả tử và mẫu cùng chứa đại các đại lượng a; b c , tuy nhiên +dưới mẫu lại là tổng nên nếu đánh giá mẫu được về tích thì có cơ hội rút gọn được Chú

ý đến chiều bất đẳng thức và dấu đẳng thức xẩy ra ta có đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy là

Đại lượng thu được trong đánh giá trên làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức

Bunhiacopxki dạng phân thức, Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta có

Nhận xét Cũng nhận định như trên, nhưng ta chú ý đến các phép biến đổi sau

Trang 14

( )

++

Và ta chứng minh hoàn toàn tương tự

Trang 15

Quan sát bất đẳng thức trên ta viết được vế trái thành

a b c để có thể thu gọn được hai vế, chú ý đến chiều bất đẳng thức ta áp dụng bất

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =a b c

Bài 62 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+ b+ c=1 Chứng minh rằng:

Trang 16

Để có các đánh giá hợp lí ta viết lại vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành

Trang 17

( − ) (3 + ) (+ − ) (3 + ) (+ − ) (3 + ) 

8

1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 1 b

Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là cố gắng đơn giản

hóa các đại lượng dưới dấu căn rồi tiến tới loại bỏ căn bậc hai Trước hết ta ta biến đổi

đơn giản hóa các biểu thức trong căn Chú ý đến giả thiết + + =a b c 1 ta viết được

Trang 18

Quan sát bất đẳng ta nhận thấy vế trái có ba phân thức phía sau đồng bậc nên ta đánh giá ba phân thức đó trước Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

( + )+ ( + )+ ( + ) 3 2 2 2( + )( + )( + )

3

ab a b cb c b ac a c a b c a b c b a c Trong biểu thức dước dấu căn ta chú ý đến đại lượng (a b b c c a+ )( + )( + ) có thể đánh giá về + +a b c Như vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta được

Ngoài ra chú ý đến đại lượng 2+ 2+ 2

a b c ở dưới mẫu của phân thức thứ nhất, để đánh giá được vế trái về ( + + )2

a b c thì ta cần đánh giá đại lượng a b c và 2 2 2 ab bc ca + +

Trang 19

Bất đẳng thức không xẩy ra dấu bằng tại = =a b c , do đó ta dự đoán xẩy ra tại một

biến bằng không và hai biến còn lại bằng nhau Thay vào bất đẳng thức ta có dấu đẳng

Trang 20

a b b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( )=  

1 1a; b; c ; ; 0

Trước hết ta phân tích các giả thiết của bài toán, từ M in a b; b c; c a + + + 0 ta suy ra được trong các tổng trên không có tổng nào bằng không và từ giả thiết thứ hai ta thu được trong các biến a, b, c chỉ có có thể có một biến bằng 0 Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại =a b; c 0 và các hoán vị của nó Quan sát bất đẳng thức ta nhận =thấy không thể đánh giá trực tiếp tử hoặc mẫu của các biểu thức Do đó ta hướng đến

biến đổi các biểu thức trước Chú ý đến phép biến đổi ( + )

a b a b Để đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra ta nhân với 2 Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành

Trang 21

Đến đây áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được ( + )

Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng

thức Cauchy Ở đây ta thực hiện đổi biến và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xem

có thể chứng minh được không

Từ giả thiết ab bc ca 2abc suy ra ++ + = 1 1+ =1 2

a b c Đặt =x 1; y= 1; z=1

a b c, khi đó ta có + + =x y z 2

Trang 22

Bất đẳng thức được viết lại là

4 x y z 12xyz; x y y x x z 3xyz; z x y z z y 3xyz

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

( 3+ 3+ 3)+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 

4 x y z x y y x x z z x y z z y 18xyz

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 3

2

Trang 23

Bài 68 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab a b 3 Chứng minh rằng: + + =

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = =a b 1

Bài 69 Cho a, b, c là các số thực không âm tùy ý Chứng minh rằng:

Trang 24

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunhiacopxki quen thuộc

Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là P, áp dụng bất đẳng thức trên ta được

Trang 25

162

Trang 26

Bài 72 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Bài 73 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Trang 27

a b c4a 4b a 4b 4c a 4b 4c a

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

;4b 4c a 2b c 2c a 4b 4c a 2c a 2a bCộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = =a b c

Lời giải Cách 1 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Trang 28

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được

( + + ) (2 + + ) ( + + )2+ ( + + )

ab bc ca a b c 2abc a b c 3abc ab bc ca

Cách 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Ta cần chứng minh + + 

2a b c 2b c a 2c a b 4Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Trang 29

Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1 Bất đẳng thức có chứa căn bậc ba nên suy nghĩ rất tự nhiên là đánh giá làm mất căn bậc ba Tuy nhiên ta không đánh giá theo hướng đó được vì đại lượng trong căn có dạng tích nên không thể dùng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá, ngoài ra ta cũng không thể sử dụng phép đặt ẩn phụ vì như vậy đại lượng ngoài căn sẽ có bậc cao

ab bc ca a b c

3 a b c abc 3abc3

Trang 30

Cộng theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được

Trang 31

Bài 77 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2+ 2+ 2 =

a b c có thể đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau

( 2+ + ) ( + + ) ( + + )2

Khi đó ta được  + +

+ ++ +

a 1 b c b 1 c a c 1 a b

3

a b c Hay a 1 b c b 1 c a c 1 a b+ + + + + + + +  3 a b c ( + + )

Từ đó ta có a 1 b c b 1 c a c 1 a b+ + + + + + + +  3 a b c ( + + )

Cách 2 Trước hết để làm mất các dấu căn bậc hai ta chú ý đến đánh giá

Trang 32

a b c b c a c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 78 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2+ 2+ 2 =

Trang 34

Bài 79 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + =a b c abc Chứng minh rằng:

Trang 35

Cách 2 Để ý đến giả thiết + + =a b c abc ta được 2( + ) (= + ) (= + + + )

Bài 80 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh rằng: + + =

( + 2) (+ + 2) (+ + 2)

4

b 1 a c 1 b a 1 c

Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại = = =a b c 1

3 Bất đẳng thức cần chứng minh có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, do đó ta thử tiếp cận với bất đẳng thức đó xem sao?

Trang 36

( + + )   ( + ) (+ + ) (+ + )

9 a b c 4 ab 1 a bc 1 b ca 1 c Bất đẳng thức trên không đồng bậc và ta cần phải đánh giá đại lượng có bậc 4 về phải về đại lượng trội hơn, tuy nhiên đánh giá không khả thi, nên ta tạm dừng đánh giá này ở đây

Chú ý đến giả thiết ab bc ca 1 khi đó ta viết được + + = + 2 =( + )( + )

1 a a b c a , hoàn toàn tương tự ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành

27 27 và ( + + ) ( + + ) =

2

ab bc ca 1abc a b c

Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 Quan sát bất = = =đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là làm mất các căn bậc hai Để ý đến chiều bất đẳng thức ta có các đánh giá như sau

Trang 37

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

Tuy nhiên đánh giá quá phức tạp, như vậy cách thứ nhất không khả thi

+ Với đánh giá thứ hai ta được bất đẳng thức

Như vậy bài toán được chứng minh

Bài 82 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + =a b c 3abc Chứng minh rằng:

Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại = = =a b c 1 Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy được sự phức tạp của bài toán Bất đẳng thức trên có một số ý tưởng tiếp cận như đổi biến, sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Cách 1 Trước hết ta tiếp cận bài toán với ý tưởng đổi biến

Nhận thấy giả thiết của bài toán có thể viết lại được 1 + 1 + 1 =3

ab bc ca , đến đây

hoàn toàn tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến =x 1; y= 1; z=1

a b c khi đó giả thiết được viết lại thành xy yz zx 1 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành + + =

Trang 38

Cũng từ giả thiết ta thử đổi biến =x 1 ; y= 1 ; z= 1

bc ca ab xem sao? Việc ta cần làm

đó là đánh giá sao cho xuất hiên các đại lượng ab; bc; ca

Cách 2 Nhận thấy bất đẳng thức có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng

phân thức, khi đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Trang 39

Để ý đến giả thiết + + =a b c 3abc ta quy bài toán về chứng minh

Vậy bài toán được chứng minh xong

Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại = = =a b c 1 Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành

Định dạng
Số trang	73
Dung lượng	1,23 MB