MỘT SÔ BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ CHÍNH PHƯƠNG - SỐ LẬP PHƯƠNG

Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p 1− và p 1+ không thể là các số chính phương... Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì các số sau không là số chính phươ

MỘT SÔ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1 và số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2

Bài 13 Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p 1− và

p 1+ không thể là các số chính phương

Bài 14 Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1+ + = Chứng minh rằng ( 2)( 2)( 2)

A= +1 a 1 b+ 1 c+ là số chính phương

Bài 15 Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện a b c 0+ + = Chứng

minh rằng M 12 12 12

= + + là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 16 Cho hai số chính phương có tổng là một số chia hết cho 3 Chứng minh

rằng cả hai số chính phương đó đều chia hết cho 9

Bài 17 Cho n là một số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng

a) A 2n= 2+2n 3+ không thể là một số tự nhiên

b) B 3= n+2019 không thể là một số chính phương

Bài 18 Ta ký hiệu n! là tích của n số nguyên dương đầu tiên Tìm số tự nhiên n

sao cho S 1! 2! 3! n!= + + + + là số chính phương

Bài 19 Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì các số sau không là số chính

phương

a) n2+7n 10+ b) 4n2+5n 2+

Bài 20 Chứng minh rằng số S 2016= 2016+20161000+2016999+ + 20162+2016 không là một số chính phương

Bài 21 Chứng minh rằng A 2018= 2018+20181000+2018999+ + 20182+2018 5+ không là số chính phương

Bài 22 Chứng minh rằng tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp không là số

chính phương

Bài 23 Chứng minh rằng với số tự nhiên n thì các số sau không phải số chính

phương

a) A n= 2+2n 3+ b) B 9n= 2+8n 10+

Bài 24 Cho N là tổng của hai số chính phương

a) Chứng minh rằng 2N cũng là tổng cả hai số chính phương

b) Chứng minh rằng N cũng là tổng của hai số chính phương 2

Bài 25 Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn abc n= 2− và 1

( )2

cba= n 2− với n là một số tự nhiên

Bài 26 Tìm các số tự nhiên m, n sao cho 2m+ là số chính phương 5n

Bài 27 Tìm số tự nhiên n sao cho 13n 3+ là số chính phương

Bài 28 Tìm tất các các số nguyên n để n4+2n3+2n2 + +n 7 là số chính phương

Bài 29 Tìm số tự nhiên có A a a a b b b a a a= 1 2 3 1 2 3 1 2 3 trong đó a1 0 thỏa mãn đồng thời các điều kiện b b b1 2 3 =2.a a a1 2 3và số A viết được dưới dạng 2 2 2 2

A p p p p= với p , p , p , p1 2 3 4 là bốn số nguyên tố

Bài 30 Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được một số chính phương

Bài 31 Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k 3+ không phải là lập phương của một số nguyên

Bài 32 Tìm số các số nguyên n sao cho B n= 2− +n 13 là số chính phương

Bài 33 Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn ( 2 2 ) ( ) (2 )2

a +b −2 a b+ + −1 ab = −4ab Chứng minh rằng 1 ab+ là bình phương của một số hữu tỷ

Bài 34 Tìm số nguyên dương n lớn nhất để 27 2016 n

A=4 +4 +4 là số chính phương

Bài 35 Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết rằng số

đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương khác 0

Bài 36 Cho dãy gồm 2018 số 1 1 1; ; ; ; 1 ; 1

1 2 3 2017 2018 Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kỳ trong dãy và viết thêm vào dãy một số có

giá trị bằng u v uv+ + vào vị trí của u hoặc v Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2017 lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số Vậy số cuối cùng có thể là số chính phương không

Bài 37 Cho dãy các số tự nhiên được xác định bởi công thức ( 2 )

n

u =3 n +n + 7với n 1; 2; 3; = Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là một lập phương đúng

Bài 38 Tìm x nguyên dương để 4x3+14x2+9x 6− là số chính phương

Bài 39 Cho dãy số n; n 2; n 4; ; 2n+ + với n nguyên dương Chứng minh trong dãy có ít nhất một số chính phương

Bài 40 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì (n 2 n 1 n 8+ )( + )( + )

không thể là lập phương của một số tự nhiên

Bài 41 Cho số nguyên tố p lớn hơn 3 và hai số nguyên dương a, b thỏa mãn

p +a =b Chứng minh rằng 2 p a 1( + + ) là số chính phương

Bài 42 Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p a= 3− với a, b là hai số nguyên b3dương phân biệt Chứng minh rằng nếu lấy 4p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được số là bình phương của một số nguyên lẻ

Bài 43 Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân

ngày thành lập đoàn 26 – 3 Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận) Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào Kết thúc giải thì ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội

là 336 Chứng minh rằng số đối bóng tham gia giải là một số chính phương

Bài 44 Cho a là một số tự nhiên Biết rằng ( n )

A 4 a= + là lập phương của một 1

số tự nhiên với mọi số tự nhiên n Chứng minh rằng a 1=

Bài 45

a) Tìm các số nguyên số p để 2p 1+ là lập phương của một số tự nhiên b) Tìm các số nguyên tố p để 13p 1+ là lập phương của một số tự nhiên

Bài 46 Tìm các số nguyên tố p sao cho số 2 ( ) 10 1954

A 1010n= +2010 n p+ +10 với n

là số tự nhiên có thể viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương

Bài 47 Cho năm số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng

không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3 Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương

Bài 48 Cho p là một số nguyên tố Giả sử a ; a ; ; a1 2 m là các số nguyên đương

đôi một khác nhau thỏa mãn

Bài 49 Tìm tất cả các số nguyên tố p ; p ; p ; p ; p ; p ; p1 2 3 4 5 6 7 sao có tổng bình phương của bảy số nguyên tố đó là bình phương của một số nguyên tố

Bài 50 Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu như tổng bình phương

các ước dương của nó (kể cả 1 và n) đúng bằng ( )2

n 3+ a) Chứng minh rằng số 287 là một số điều hòa

b) Chứng minh rằng số n p= 3 (với p là một số nguyên tố) không thể là

số điều hòa

c) Chứng minh rằng nếu số n p.q= (với p và q là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa thì n 2+ là một số chính phương

Bài 51 Tìm các tam giác vuông có độ dài các cạnh là một nguyên dương và diện

tích tam giác vuông đó là một số chính phương

Bài 52 Gọi T là tập hợp các tam giác mà các đỉnh của tam giác có tọa độ nguyên

và các cạnh của tam giác cũng là số nguyên Chứng minh rằng các tam giác cân

thuộc tập hợp T được chia thành hai tam giác vuông bằng nhau cũng thuộc tập hợp T

Bài 53 Cho các số thực x, y âm thỏa mãn

là các số chính phương

Bài 54 Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên

tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương

Bài 55 Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp Chứng minh (a 1 b 1− )( − )

chia hết cho 192

Bài 56 Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn số M=(9a 11b 5b 11a+ )( + )

chia hết cho 17 Chứng minh rằng M chia hết cho một số chính phương

Bài 57 Cho hai số tự nhiên a và b thỏa mãn M=(16a 17b 17a 16b+ )( + ) là một bội số của 11 Chứng minh rằng M chia hết cho một số chính phương

Bài 58 Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng hai chữ số đầu giống nhau và

hai chữ số cuối giống nhau

Bài 60 Tìm các số nguyên dương a, b thoả mãn điều kiện a3+b2 là lập phương của một số nguyên dương Trong đó a là số nguyên tố và ( ) ( )b; 3 = a; b =1

Bài 61 Tìm tất cả các nguyên x để ( )2

x x 1+ +2x 2+ là lập phương của một số nguyên

Bài 62 Tìm các số nguyên k để k4−8k3+23k2−26k 10+ là số chính phương

Bài 63 Tìm các số nguyên dương n sao cho số Sn =1.2.3 7 n n 1 n 7+ ( + ) ( + ) có thể viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương

Bài 64 Chứng minh rằng 4 3 2

A=n +2n +2n +2n 1+ không phải là số chính phương với mọi số tự nhiên n

Bài 65 Cho hai số hữu tỷ a, b thỏa mãn a b ab3 + 3+2a b2 2+2a 2b 1 0+ + = Chứng minh rằng 1 ab− là bình phương của một số hữu tỷ

Bài 66 Tìm số tự nhiên abc thoả mãn điều kiện ( )2

abc= a b 4c+

Bài 67 Tìm tất cả số tự nhiên x để giá trị biểu thức 3 2

P x= +3x + + là lũy thừa x 3của một số nguyên tố

Bài 68 Tìm các cặp số nguyên dương (m; n) thỏa mãn 2 mm 2=9n2−12n 19.+

Bài 69 Tìm các cặp số tự nhiên ( )x; y thỏa mãn các số 2 x( 2 +y2−3x 2y+ )− và 1

5 x +y +4x 2y 3+ + đều là các số chính phương

Bài 70 Tìm các giá trị nguyên của xđể 4 ( )3 2

M x= + x 1+ −2x −2x là số chính phương

Bài 71 Chứng minh không tồn tại số tự nhiên n sao cho 2

n +2018 là số chính phương

Bài 72 Cho x, y, z là các số hữu tỉ thỏa mãn 1 1 1

x+ = Chứng minh rằng giá trị y zcủa niểu thức x2 +y2+z2 là số hữu tỉ

Bài 73 Đặt ( )2 2

A= a b+ −2a và ( )2 2

B= a b+ −2b với a, b là các số nguyên dương Chứng minh rằng A và B không thể đồng thời là các số chính phương

Bài 74 Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 3a2+ =a 4b2− Chứng minh b.rằng a b+ là một số chính phương

Bài 75 Cho 2 2

A=m n −4m 2n− với m và n là các số nguyên dương

a) Tìm tất cả các giá trị của m để với n=2 thì A là số chính phương b) Chứng minh rằng khi n 5 thì A không thể là số chính phương

Bài 76 Tìm tất cả các số nguyên dương ( )x; y thỏa mãn x2+3y và y2+3x là các

số chính phương

Bài 77 Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số của phép

chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương của các chữ số của số đó

Bài 78 Cho p là một số nguyên tố Tìm tất cả các số nguyên n để 4 p 1

A=n +4n − là

số chính phương

Bài 79 Tìm các số nguyên m sao cho 2

m +12 là số chính phương

Bài 80 Chứng minh rằng nếu a và b là các số tự nhiên lẻ thì a2+b2 không phải là

Bài 81 Cho a, b, c là các số nguyên dương nguyên nguyên tố cùng nhau thỏa

Bài 84 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 và n là số tự nhiên khác 0 Chứng minh

rằng p không thể là tổng của hai lập phương của hai số nguyên dương khác n

Bài 87 Cho x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn ( )3 ( )

x y+ =xy 3x 3y 2+ + Chứng minh rằng 1 xy− là một số hữu tỉ

Bài 88 Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là

bình phương của một số tự nhiên n thì n là tổng 2 số chính phương liên tiếp

Bài 89 Tìm số chính phương có bốn chữ số biết rằng khi tăng mỗi chữ số một

đơn vị thì số mới tạo thành là một số chính phương có bốn chữ số

Bài 90 Chứng minh N 2012= 4n+20134n+20144n+2015 không phải là số chính 4n

phương với mọi n là số nguyên dương

Bài 91 Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 2 2− +

4x y 7x 7y là số chính phương Chứng minh rằng =x y

Bài 92 Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn 2+ 2+ = ( + + )

a b 1 2 ab a b Chứng minh a

và b là hai số chính phương liên tiếp

Bài 93 Giả sử m và n là các số nguyên dương với n 1 Đặt = 2 2− +

S m n 4m 4n Chứng minh rằng:

Bài 96 Tìm số tự nhiên bé nhất n 1 sao cho 1 2+ 2 +32 + + n2

n là một số chính phương

Bài 97 Cho các số nguyên a, b và số nguyên tố p thỏa mãn

a bp

+

là số nguyên

Cho biết p là tổng của hai số chính phương Chứng minh rằng a2 +b2

p cũng là tổng của hai số chính phương

Bài 99 Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức

+ + = − 2+ − 2+ − 2

Chứng minh rằng các số ab; bc; ca và ab bc ca là các số chính phương + +

Bài 100 Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn điều kiện −a b là số nguyên tố và

Bài 102 Cho số nguyên dương a1 Ta lập các số nguyên dương a ; a ; a ; ; a2 3 4 2015thỏa mãn điều kiện + = 3 +

a a 2013 , với n 1; 2; 3; ; 2014 Hỏi trong 2015 số =nguyên dương a ; a ; a ; ; a1 2 3 2015 có bao nhiêu số chính phương

Bài 103 Giả sử K là tích của tám số tự nhiên liên tiếp và Q là là một số chính

phương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện Q K Chứng minh rằng  Q K− là một số chính phương

Bài 104 Cho x, y, z là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau theo từng đôi

một và thỏa mãn điều kiện ( − )( − )= 2

x z y z z Chứng minh rằng tích xyz là một

số chính phương

Bài 105 Tìm số tự nhiên lẻ nhỏ nhất sao cho n2 biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp

Bài 106 Tìm số nguyên dương n để (5n 5 4n 2+ )( + ) là một số chính phương

Bài 107 Tìm các số nguyên dương x để 3x−32 là số chính phương

Bài 108 Cho số tự nhiên n sao cho n2−1

3 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng n là tổng của hai số chính phương liên tiếp

Bài 109 Tồn tại hay không số tự nhiên n lẻ sao cho n11+199 là một số chính phương

Bài 110 Chứng minh rằng 2p+ 2q

2 2 không thể là số chính phương với p và q là các số nguyên không âm

Bài 111 Cho a và b là các số tự nhiên Chứng minh rằng nếu ab là số chẵn thì ta

luôn tìm được số nguyên c để a2+b2+c là một số chính phương 2

Bài 112 Cho số nguyên dương n 1 và số nguyên tố p thỏa mãn (p 1 n− ) và

Bài 115 Cho số nguyên dương n có đúng k ước nguyên dương là d ,d , ,d1 2 k

thỏa mãn điều kiện d1+d2 + + dk+ =k 2n 1+ Chứng minh rằng n

2 là số chính phương

Bài 116 Tìm số nguyên tố p và số nguyên dương n sao cho p là tổng các lập nphương của hai số nguyên dương liên tiếp

Bài 117 Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2 + = 2 +

2x x 3y y Chứng minh các số sau đều là số chính phương: x – y; 2x 2y 1; 3x 3y 1 + + + +

Bài 118 Tìm tất cả các số nguyên dương n chỉ có các ước nguyên tố là 2 và 5 thỏa

mãn +n 25 là một số chính phương

Bài 119 Chứng minh rằng nếu số 2n là tổng của hai số chính phương (lớn hơn 1)

phân biệt thì 2+

n 2n là tổng của bốn số chính phương (lớn hơn 1) phân biệt

Bài 120 Tìm số tự nhiên abcd thỏa mãn các điều kiện abcd 72+ là một số chính phương và =( + − )2

abd b d 2a

Bài 211 Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó bằng lập phương

của tổng các chữ số của nó

Bài 122 Tìm tất cả các số nguyên dương N có ba chữ số sao cho tổng của N với

các chữ số của N và số viết được bởi các chữ số của N nhưng theo thứ tự ngược lại thì ta được một số chính phương

Bài 123 Tìm các chữ số a, b, c, d thỏa mãn aa abb bcc c 1+ =(dd d 1 , biết + )3

rằng số lần xuất hiện của a, b, c, d trong các biểu thức trên là như nhau

Bài 124 Tìm các số abcd thỏa mãn abcd=(ab cd + )2

Bài 125 Tìm số có sáu chữ số abc deg biết rằng abc deg=(abc deg + )2

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 Để ý rằng ta có

n

n c/ 1

10 111 1

10 2A

2.10 7C

2 1.3.5 2n-1 n-4 ! 2 n 4 !

2.4.6 2n2n !

2 1.2.3 n n 1 n 2 n 3 n 41

A= −t y t y+ +y = −t y +y =t = x +5xy y+Vậy A là một số chính phương

Bài 13

+ Do p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 3, suy ra p 1− chia 3

có số dư là 2 Vậy p 1− không thể là số chính phương

+ Do p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p là số chẵn hay p chia hết cho 2

và không chia hết cho 4 Như vậy p chia 4 có số dư là 2 nên p 1+ chia 4 có số dư

là 3 Suy ra p 1+ không thể là số chính phương

= + + là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 16 Gọi hai số chính phương là a và 2 b với a và b là các số nguyên Theo đầu 2bài thì ta có a2+b2 chia hết cho 3

Ta biết rằng số chính phương khi chia cho 3 nhận một trong các số dư 0, 1 Mà ta lại có a2+b2 chia hết cho 3 nên a và 2 b cùng chia hết cho 3 Do 3 là số nguyên 2

tố nên cả a và b cùng chí hết cho 3 Như vậy ta được a và 2 b cùng chia hết cho 9 2

Bài 17

A=2n +2n 3 2n n 1+ = + +3 nên A chia 4 có số dư 3 Do đó A không là

số chính phương

b) Dễ thấy với n 0= thì B 2019= không phải là số chính phương và với n 1= thì

B 3 2019 2022= + = không phải là số chính phương

Với n2 thì B 3= n+2019 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 Do đó B

không thể là một số chính phương

Bài 18 Ta có S 1! 2! 3! n!= + + + +

Nhận thấy n 5 ta có n! 1.2.3.4.5 n 10= nên n! có chữ số tận cùng là 0

+ Với n 1= ta được S 1! 1 1= = = là số chính phương 2

+ Với n =2 ta được S 1! 2! 3= + = không là số chính phương

+ Với n 3= ta được S 1! 2! 3! 9 3= + + = = là số chính phương 2

+ Với n =4 ta được S 1! 2! 3! 4! 33= + + + = không là số chính phương

+ Với n 5 ta được S 1! 2! 3! 4! 5! n! 33 5! n!= + + + + + + = + + + có chữ số tận cùng là 3 nên S không là số chính phương

Vậy n 1= hoặc n 3= là các giá trị cần tìm

Bài 22 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là n; n 1; n 2; n 3+ + + với n là một số tự nhiên Khi đó ta có

Bài 23

a) Ta có n2+2n 1 n+  2+2n 3 n+  2+4n 4+

Do đó ta được ( )2 2 ( )2

n 1+ n +2n 3+  n 2+ Suy ra A n= 2+2n 3+ không là số chính phương

b) Nhận thấy với n 0= hoặc n 1= thì B không phải là một số chính phương Xét n2, khi đó ta có ( )2 2 ( )2

3n 1+ 9n +8n 10+  3n 2+ Do đó B cũng không phải là số chính phương

Bài 24 Đặt N a= 2 + với a và b là các số nguyên b2

a) Ta có 2 2 ( 2 2) ( 2 2) ( ) (2 )2

2N=2a +2b = a +2ab b+ + a −2ab b+ = a b+ + a b− Vậy ta có điều cần chứng minh

b) Ta có

N = a +b =a +2a b +b = a −2a b +b +4a b = a −b + 2abVậy ta có điều cần chứng minh

Bài 25 Từ ( )2

cba= n 2− ta được ( )2

100 n 2− 999 nên suy ra 10 n 2 31 − 

Do vậy ta được ( 2 ) ( )2

abc cba− = n − −1 n 2− hay 99 a c( − )=4n 5−

Ta thấy rằng 99 a c( − ) chia hết cho 99 nên 4n 5− chia hết cho 99

Từ đó ta đươc 4.12 5 4n 5 4.33 5−  −  − nên suy ra 4n 5 99− = hay n 26=

Do đó ta được abc 26= 2− =1 675 và ( )2

cba= 26 2− =576

Bài 26

Do 2m+ là số chính phương nên tồn tại số nguyên dương k để 5n m n 2

2 +5 =k + Với m 0= , khi đó ta có n 2

1 5+ =k Dễ thấy n

5 + chia 4 có số dư là 2 nên 1

m 0= không thỏa mãn yêu cầu bài toán

+ Với m 0 , khi đó ta xét các trường hợp sau

Nếu n 0= , khi đó ta có phương trình m 2

ta suy ra được 2.2q =5y−5x =5 5x( y x− − 1) 2q 1+ =5 5x( y x− − suy ra x 01) =

Do vậy 2q 1+ =5n − Khi đó nếu q 11 = thì n

5 − = dẫn đến 1 4 n 1= nên

m 2; k 3= =

Nếu q 1 ta có q 1 3+  nên q 1 3

2 + 2 Trong khi đó với n lẻ thì 5n − =1 52p 1+ − =1 25 5 1p − chia 8 có số dư là 4 và nếu k chẵn thì ta lại có 2p q 1 ( p )( p ) q 1

5 − =1 2 +  5 −1 5 + =1 2 + Do đó ta có các số tự nhiên

c và d thoa mãn 5p− =1 2 ; 5c p+ =1 2d với c d q 1;d c+ = +  Suy ra

c d c

2 2 2= − − nên c 1;d 21 = = nên q 2= Do vậy ta được p

5 − = vô lí 1 2Vậy các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán (m; n) ( ) ( )= 2;1 , 3; 0

Bài 27 Đặt 13n 3 y+ = 2 với y là số tự nhiên Khi đó ta có

13 n 1− =y −1613 n 1− = y 4 y 4+ −Suy ra (y 4 y 4 13− )( + ) mà 13 là số nguyên tố nên y 4 13+ hoặc y 4 13−

Do vậy y 13k 4=  với k là số tự nhiên

Từ đó ta được 10 p 23   p 17,19 nên ta có a a a1 2 3 =289; a a a1 2 3 =361

Vậy các số càn tìm là A 289578289= hoặc A 361722361=

Bài 30 Gọi abcd là số phải tìm với a, b, c, d là các chữ số và a khác 0

Với các số tự nhiên k, m thỏa mãn 31 k m 100   ta có

Thật vậy, ta biểu diễn số a dưỡi dạng a 7m r= + với r0;1; 1; 2; 2; 3; 3− − −  Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3− không chia hết cho 7 Mà 2016k 3

luôn chia hết cho 7 nên ta được điều vô lí Do vậy ta có điều cần chứng minh Bài 32 Ta thấy B là số chính phương nên 4B cũng là số chính phương

Đặt 4B k= 2 với k là số nguyên dương, khi đó ta có

Giải các hệ trên ta được n= −12; n= −3; n 13; n 4= =

Vậy các số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là n − 12; 3; 4;13− 

Bài 33 Biến đổi giả thiết của bài toán ta được

Bài 36 Với hai số thực u, v bất kỳ ta luôn có

(u 1 v 1+ )( + = + +) u v uv 1+ =(u v uv+ + )+1

Với dãy số thực bất kỳ a ; a ; ; a1 2 2018, ta xét “Tích thêm T” là

( 1 )( 2 )( 3 ) ( 2018 )

T= a +1 a +1 a +1 a +1

Áp dụng cách biến đổi dãy như trong đề bài kết hợp với phân tích như trên ta

nhận thấy “Tích thêm T” không thay đổi với mọi dãy thu được Với dãy đã cho ban đầu của bài toán “Tích thêm T”:

Giả sử sau 2017 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu thì dãy còn lại chỉ còn một số là

x thì “Tích thêm T” đối với dãy cuối là T= +x 1 Từ đó ta được x 2018= Vậy sau 2017 lần biến đổi dãy theo đúng yêu cầu của bài toán ta thu được số 2018

không phải là số chính phương

Bài 37 Thử một số trường hợp ta thấy

u =3 3 + + =3 7 43 không phải là lập phương đúng

Ta sẽ chứng minh với số tự nhiên n bất kì thì ( 2 )

n

u =3 n +n + không phải là lập 7phương đúng

Thật vậy, giả sử tồn tại số tự nhiên n để số ( 2 )

n

u =3 n +n + là một lập phương 7đúng

Do ( )3,8 =1 và 3 là số nguyên tố nên ta được k 3 Đặt k 3m= với m là số

nguyên dương Khi đó thay vào 3 n( 2+ +n 2)=8k3+12k2+6k và ta được

3 n + +n 2 =8.27m +12.9m +6.3mn + + =n 2 6 12m +6m +m

Nhận thấy nếu n chia hết cho 3 thì n2+ +n 2 chia 3 có số dư là 2, nếu n chia 3 có

Từ đó ta thấy đẳng thức trên không thỏa mãn

Vậy giả sử trên là sai hay ( 2 )

x +14x +9x 6− = x 2 4x+ +6x 3− nên ta có ( ) ( 2 ) 2

x 2 4x+ +6x 3− =k Đặt (x 2; 4x+ 2+6x 3− )= với d là số nguyên dương d

Bài 39 Ta có các trường hợp sau

+ Trường hợp 1 Nếu n là số chính phương thì bài toán chứng minh xong

+ Trường hợp 2 Nếu n không là số chính phương, khi đó ta luôn tìm được một

số nguyên dương k sao cho 2 ( )2

k  n k 1+

Vì n nguyên dương và n k 2 nên n k 2+ , do vậy ta có 1

+ Khi n 1= ta được A 54= không phải là lập phương của một số tự nhiên

+ Khi n=2 ta được A 120= không phải là lập phương của một số tự nhiên + Khi n2 Ta chứng minh A cũng không phải là lập phương của một số tự nhiên

Bài 42 Ta có p a= 3−b3 =(a b a− ) ( 2+ab b+ 2) là số nguyên tố Mà a và b là các số nguyên dương nên ta được a b 1− = hay a b 1= +

Từ đó ta được ( )3 3 2

p= b 1+ −b =3b +3b 1+ hay 2 ( )

4p 12b= +12b 4 1 mod 3+ 

Nếu lấy 4p chia 3 và loại bỏ phần dư ta được 2 ( )2

A 4b= +4b 1+ = 2b 1+ là số chính phương lẻ

Bài 43 Gọi số trận hòa là x với x nguyên dương Khi đó tổng số điểm của các

trận hòa là 2x Theo giả thiết số trận thắng là 4x nên tổng số điểm của các trận thắng là 12x

Tổng số điểm các đội là 336 nên ta được 2x 12x 336+ = nên x=24 Vậy ta có tất

cả 24 4.24 120+ = trận đấu diễn ra Từ giả thiết có n đội mà mỗi đội đấu với n 1−đội còn lại nên số trận đấu diễn ra là n n 1( − ) Nhưng theo giả thiết thì mỗi đội đấu với nhau đúng 1 lần nên tổng số trận giảm đi một nửa, do đó có tất cả

−

= từ đó ta tính được n 16=

là một số chính phương

Bài 44 Giả sử a 1 Do ( n )

A 4 a= + là lập phương của một số tự nhiên với mọi 1

số tự nhiên n Khi đó chọn n 3= và m 9= ta được ( 3 )

4 a + và 1 ( 9 )

4 a + là lập 1phương đúng của các số tự nhiên Để ý rằng ( 9 ) ( 3 )( 6 3 )

4 a + =1 4 a +1 a −a + Do 1

đó suy ra a6− + là lập phương đúng của một số tự nhiên a3 1

Đặt a6− + =a3 1 m3 với m là một số tự nhiên

Do a 1 nên dễ thấy ( 2 )3 6 3 ( )2 3

a −1 a −a + 1 a nên suy ra a6− + không thể a3 1

là lập phương của một số tự nhiên Vậy a 1=

Vậy số nguyên tố p 13= thỏa mãn bài toán

b) Giả sử 13p 1 n+ = 3 với n là số tự nhiên Khi đó do p 2 nên ta có n 3

13p 1 n+ = 13p= n 1 n− + + Do p và 13 là số nguyên tố Mặt n 1khác từ n 3 ta có n 1 1; n−  2+ + n 1 1 nên n 1 13− = hoặc n2+ + =n 1 13

+ Nếu n 1 13− = ta được n=14, khi đó 13p n= 3− =1 2743 hay p 211= là số nguyên tố

+ Nếu n2+ + =n 1 13 ta được n 3= , khi đó ta được p 2= là số nguyên tố

Vậy các số nguyên tố p 2= hoặc p 13= thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 46 Giả sử tồn tại hai số tự nhiên a và b với a b thỏa mãn yêu cầu bài toán, nghĩa là ta có A 1010n= 2+2010 n p( + )+1010 1954 Để ý rằng A là số chẵn và ta có

a −b =a −ab ab b+ − =a a b− +b a b− = a b a b− +

Lại thấy a b a b 2a+ + − = là số chẵn, do đó a b− và a b+ là các số có cùng là số chẵn Do vậy ta được A chia hết cho 4 Để ý rằng 10101954 chia hết cho 4 nên ta suy

B 1010n= +2010 n p+ chia hết cho 4

Ta có B 1010n= 2+2010 n p( + )=4.252n2+4.502 n p( + )+2 n( 2+ +n p) Do đó từ B chia hết cho 4 ta được ( 2 )

2 n + +n p chia hết cho 4 suy ra n2+ + chia hết cho 2 n p

Mà ta lại thấy 2 ( )

n + =n n n 1+ chia hết cho 2, suy ra p chia hết cho 2 Do p là số nguyên tố nên ta được p 2= Khi đó ta được ( ) (2 )2

A 4k= = k 1+ − k 1− với k là số nguyên dương Vậy p 2= là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 47 Gọi các số đã cho là a ; a ; a ; a ; a1 2 3 4 5 vì các số này không có ứơc số nguyên

tố nào khác 2 và 3 nên các số này đều có dạng x i y i

i

a =2 3 với x ; yi i là các số tự nhiên Xét 5 cặp số (x ; y , x ; y , x ; y , x ; y , x ; y1 1) ( 2 2) ( 3 3) ( 4 4) ( 5 5) mỗi cặp số này nhận giá trị một trong bốn trường hợp sau (số chẵn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số

lẻ) và (số lẻ; số chẵn) nên theo nguyên lí Dirichlet thì có ít nhất 2 cặp số trên nhận cùng một dạng giá trị Không mất tính tổng quát khi giả sử (x ; y , x ; y1 1) ( 2 2) cùng nhận giá trị dạng (số chẵn; số lẻ) Khi đó ta được x1+x2 và y1+y2 đều là số chẵn nên x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2

với b là số nguyên dương Suy ra 2pb=(2p 1 a a a− ) 2 3 m nên (2p 1 a a a− ) 2 3 m

chia hết cho p Do 2p 1− không chia hết cho p và p là số nguyên tố nên trong tích

a a a có một số ai chia hết cho p với i 2 Không mất tính tổng quát ta giả sử

2

a chi hết cho p Khi đó trong các số nguyên dương trên có a1 và a2 là bội của p,

mà số lớn nhất a1 =2p nên ta được a2 =p, đồng thời các số a ; a ; ; a3 4 m không chia hết cho p

nguyên dương Suy ra ta được 2pc=(2p 3 a a a− ) 3 4 m nên ta được

(2p 3 a a a− ) 3 4 m chia hết cho p Nhưng do các số a ; a ; ; a3 4 m không chia hết cho

p Nên 2p 3− phải chia hết cho p Từ đó ta tính được p 3= Như vậy ta có

1

a =2p 6= và a2 = =p 3 nên các số a ; a ; ; a3 4 m phải nhỏ hơn 6 và không chia hết cho 3

Bài 49 Từ yêu cầu bài toán ta có p12+p22+p23+p24+p25+p26+p27=p82 với p8 là một

số nguyên tố Ta thấy với p là số nguyên tố thì nếu p là số chẵn thì p2 = và nếu 4

p là số lẻ thì ( 2 )

p −1 8 Do p ; p ; p ; p ; p ; p ; p ; p1 2 3 4 5 6 7 8 là các số nguyên tố nên ta được p ; p ; p ; p ; p ; p ; p ; p1 2 3 4 5 6 7 8 2

Từ giả thiết p21+p22+p23+p24+p25+p26+p72=p28 ta suy ra được p82 28 nên p8 là số nguyên tố lẻ Từ đó ta được ( 2 )

8

p −1 8 Gọi k là số các số chẵn trong dãy p ; p ; p ; p ; p ; p ; p1 2 3 4 5 6 7 với 0 k 7 

Khi đó ta được p21+p22+p23+p24+p25+p26+p72=4k A+ trong đó A là tổng bình phương của 7 k− số lẻ trong dãy p ; p ; p ; p ; p ; p ; p1 2 3 4 5 6 7

Từ đó ta được ( 2 2 2 2 2 2 2) ( )

p +p +p +p +p +p +p −4k− −7 k  chia hết cho 8 Hay ta được ( 2 2 2 2 2 2 2)

287 3+ = +1 7 +41 +287 nên 287 là số điều hòa

b) Giả sử n p= 3là số điều hòa Vì p là số nguyên tố nên các ước dương của

3

n p= là 1; p; p ; p Khi đó ta có 2 3

p +3 = +1 p +p +p p +6p + = +9 1 p +p +p p p −6b +p = 8

Do đó ta được 8 chia hết cho p mà p là số nguyên tố nên p 2=

Khi đó p p( 3−6p2+p)=28 khác 8 Do vậy đẳng thức trên không xẩy ra với p là

số nguyên tố Nên điều giả sử là sai hay n p= 3 không thể là số điều hòa

c) Ta có n pq= là số điều hòa với p và q là các nguyên tố khác nhau Do đó ta được ( )2 1 2 2 ( )2 ( ) ( )2

  là một số chính phương

Bài 51 Giả sử tồn tại tam giác vuông có cạnh a, b, c (với a là cạnh huyền) thỏa

mãn bài toán Khi đó ta có a2 =b2+ và diện tích ta giác vuông là c2 1 2

S bc k2

hay 2S bc 2k= = 2, với k là một số nguyên dương Trong các tam giác vuông đó ta xét tam giác vuông có cạnh huyền bé nhất và a, b, c đôi một nguyên tố cùng

nhau Ta sẽ chứng minh tồn tại m và n để a m= 2+n ; b m2 = 2−n ; c 2mn2 = với m,

−

là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau

Thật vậy, giả sử a b d

2

+

và a b d2

− thì

− nguyên tố cùng nhau có tích là số chính

+ =

và a b 2

n2

Khi đó từ 2S bc 2k= = 2 ta được (m2 −n mn2) =k2 hay ( )( ) 2

m n m n mn− + =k

Do m, n khác tính chẵn lẻ và nguyên tố cùng nhau nên ta được

(m n, m+ ) (= m n, n+ ) (= m n, m− ) (= m n, n− )=1

Gọi d=(m n, m n+ − ), khi đó d là số lẻ và là ước của 2m, 2n Từ đó suy ra d 1= Như vậy bốn số m n, m n, m, n+ − nguyên tố cùng nhau theo từng đôi một

Mà ta lại có ( )( ) 2

m n m n mn− + =k nên m n, m n, m, n+ − đều là các số chính phương Đặt m n x ; m n y ; m z ; n t+ = 2 − = 2 = 2 = với x, y, z, t là các số nguyên 2

Vậy diện tích các tam giác vuông có các cạnh là các số nguyên không thể là một

số chính phương

Bài 52 Trong tam giác cân thì đường cao hạ từ đỉnh tam giác cân chia tam giác

cân thành hai tam giác vuông bằng nhau Xét tam giác ABC có CA CB x= = và

AB y= với x, y là các số nguyên dương Không mất tính tổng quát ta có thể giả

sử tọa độ các điểm là C 0; 0( ) và A a ; a , B b ; b( 1 2) ( 1 2) với a ; b ; a ; b1 1 2 2 là các số nguyên

Từ đó tọa độ của điểm M là a1 b a1 2 b2

Từ đó dẫn đến M có tọa độ nguyên Từ đó ta được các tam giác vuông CAM và

CBM có các đỉnh có toạn độ nguyên Lại thấy AM BM y

• Nếu a1+b1=0, khi đó 2 ( )2 2 2

a b1

Suy ra CM là bình phương của một số hữu tỉ, mà 2 CM là số nguyên nên suy 2

raCM là số chính phương Do đó CM là số nguyên Vậy bài toán được chứng 2

Bài 54 Gọi số phải tìm là abcd với a, b,c,d N,1 a 9,0 b,c,d 9     Vì abcd

là số chính phương nên d0;1; 4; 5; 6; 9 mà d là số nguyên tố nên d 5=

Đặt abcd k= 2 Do k210000 nên 32 k 100  với k là 1 số có hai chữ số mà k 2

có tận cùng là 5 Suy ra k có tận cùng là 5 và tổng các chữ số của k là một số chính phương ta được k 45= Vậy số cần tìm là abcd 2025=

Bài 55 Do a và b là các lẻ nên (a 1 b 1− )( − ) chia hết cho 4 Đặt

a 1 b 1− − =16k k 1 k 1− + Mà ta lại có k k 1 k 2( + )( + ) chia hết cho 3

Và k k 1 ; k k 1( − ) ( + ) đều chia hết cho 2 nên 2( )( )

k k 1 k 1− + chia hết cho 12 Vậy

Như vậy kết hợp với giả thiết của bài toán suy ra 9a 11b+ và 5b 11a+ cùng chia hết cho 19 Suy ra M chia hết cho số chính phương 19 2

Bài 57 Ta có M=(16a 17b 17a 16b+ )( + ) chia hết cho 11, mà 11 là số nguyên tố nên 16a 17b+ hoặc 17b 16a+ chia hết cho 11 Ta xét tổng sau

T= 16a 17b+ + 17b 16a+ =33 a b+Suy ra T chia hết cho 11 Như vậy khi 16a 17b+ chia hết cho 11 thì 17b 16a+ chia hết cho 11 và ngược lại Như vậy kết hợp với giả thiết của bài toán suy ra

16a 17b+ và 17b 16a+ cùng chia hết cho 11 Suy ra M chia hết cho số chính phương 112

Bài 58 Gọi số chính phương cần tìm là 2( )

aabb n a, b N;1 a 9; 0 b 9=     

Ta có n2 =aabb 11.a0b 11 100a b= = ( + )=11 99a a b( + + )

Dễ thấy rằng aabb chia hết cho 11 nên suy ra a b+ chia hết cho 11 hay a b 11+ = Thay vào đẳng thức trên ta được 2 2( )

n =11 9a 1+ nên suy ra 9a 1+ là số chính phương Thử với các chữ số a1; 2; 3; ; 9 ta được a 7= Từ đó ta được b 4= Vậy số chính phương cần tìm là 7744

Ta đi xét các trường hợp sau

• Trường hợp 1 Với n chia hết cho 4, ta được n=4k k N(  )

2n 1 n 1 n

Như vậy trong hai số an và bn thì an chia hết cho 5

• Trường hợp 2 Với n chia 4 dư 1, ta được n=4k 1 k N+ (  )

( ) ( )

2n 1 n 1 n

2n 1 n 1 n

Như vậy trong hai số an và bn thì bn chia hết cho 5

• Trường hợp 3 Với n chia 4 dư 2, ta được n=4k 2 k N+ (  )

2n 1 n 1 n

Như vậy trong hai số an và bn thì bn chia hết cho 5

• Trường hợp 4 Với n chia 4 dư 3, ta được n=4k 3 k N+ (  )

2n 1 n 1 n

Như vậy trong hai số an và bn thì an chia hết cho 5

Vậy với n là số tự nhiên thì có một và chỉ một trong hai số trên chia hết cho 5 Mà

5 là số nguyên tố và tích a bn n không thể là chia hết cho 25 nên không thể là một

suy ra d 1= hay ( )x; a =1 Lại thấy x a− không chia hết cho 3 vì nếu x a− chia hết cho 3 thì b chia hết cho 3 trái với giả thiết ( )b; 3 =1

k +1 3 hay 2

k chia 3 có số dư là 2, điều này vô lý

• Trường hợp 2 Với 2t 2x a 1+ + = và 2t 2x a 3a− − = 2 Khi đó ta được

a − =3 2 2x a+ =2 2k +3a  a 3− −4k =12 a 3 2k a 3 2k− + − − =12

Từ đó tìm được a 7= , thay vào ta được x 8; b 13= =

Vậy các số nguyên dương ( ) (a; b = 7;13) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 61 Do ( )2

x x 1+ +2x 2+ là lập phương của một số nguyên nên tồn tại số

nguyên dương y thỏa mãn y3 =x3+2x2+3x 2+ Ta xét các trường hợp sau

+ Trường hợp 1 Với x 1, khi đó dễ thấy 2x2+3x 2 0+  Do đó từ phương trình ta suy ra được x3 y3 Mặt khác ( )3 ( 3 2 ) 2

x 1+ − x +2x +3x 2+ =x − 1 0 vì

x 1

Do đó suy ra 3 ( )3

y  x 1+ Kết hợp lại ta được 3 3 ( )3

x y  x 1+ , điều này vô lý vì

x và y là số nguyên Như vậy khi x 1 phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

+ Trường hợp 2 Với x 1, khi đó do x là số nguyên nên ta được x − 1; 0;1

Với x= −1 thay vào phương trình đã cho ta được y 0=

Với x 0= thay vào phương trình đã cho ta được 3

y = , phương trình không có 2nghiệm nguyên

Với x 1= thay vào phương trình đã cho ta được 3

y =  = 8 y 2Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là ( ) (x; y = −1; 0 , 1; 2) ( )

Dễ thấy n n 1 n 7( + ) ( + ) chia hết cho 64 nên suy ra Sn chia hết cho 4 Từ đó suy

Bài 65 Biến đổi giả thiết của bài toán ta được

Do đó 1 ab− là bình phương của một số hữu tỷ

Bài 66 Từ giả thiết bài toán ta có

100a 10b c 4c a b c

4 a b 1 4 a b 1 4 a b 1

 + + +

4 a b+ − là số lẻ Từ đó ta 1

suy ra được ( )2 ( )2

4 a b+ − 1 500 a b+ 125,25 Kết hợp các kết quả trên ta có ( ) 2 

a b+  4; 9; 49; 64 nên a b+ 2; 3; 7; 8