Chuyên đề 5. Một số bài toán về số chính phương, số lập phương-đã chuyển đổi

Để chứng minh A là một số chính phương ta cần viết A về dạng bình phương của một số tự nhiên, điều này đồng nghĩa với việc biến đổi A thành lũy thừa... Những bài toán chứng minh số chín

Chuyên đề 5 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG – SỐ LẬP PHƯƠNG

Suy ra số có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 thì không phải là số chính phương

+ Tính chất 2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các

thừa số nguyên tố với số mũ chẵn

+ Tính chất 3 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1

Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 với n là số nguyên

+ Tính chất 4 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1

Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 với n là số nguyên

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

+ Tính chất 7 Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số

chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương

+ Tính chất 8 Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một

trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0

+ Tính chất 9 Hai số chính phương a và 2 ( + )2

a 1 được gọi là hai số chính phương

liên tiếp Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào

2 Số lập phương

• Định nghĩa Một số nguyên được gọi là số lập phương đúng nếu nó viết được thành lập

phương của một số nguyên

• Một số tính chất cần nhớ

+ Tính chất 1 Nếu số nguyên a chia 3 có số dư là 1 thì a chia 9 có số dư là 1 3

+ Tính chất 2 Nếu số nguyên a chia 3 có số dư là −1 thì a chia 9 có số dư là 3 −1

+ Tính chất 3 Số lập phương chia hết cho số nguyên tố thì chia hết cho lập phương

số nguyên tố đó

+ Tính chất 4 Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số lập

phương thì mỗi số đếu là số lập phương

+ Tính chất 5 Hai số chính phương a và 3 ( )3

a 1+ được gọi là hai số chính phương liên tiếp Giữa hai số lập phương liên tiếp không có số lập phương nào

II Một số dạng bài toán liên quan đến số chính phương, số lập phương

1 Dạng 1 – Chứng minh một số hay biểu thức là số chính phương, số lập phương

Cơ sở của phương pháp Để chứng minh số A là một số chính phương, số lập

phương ta có các hướng như sau

+ Hướng 1.Viết số A về dạng bình phương của một số tự nhiên, lập phương của một số tự nhiên Ta cần để ý đến các hằng đẳng thức đáng nhớ

• Định hướng tư duy Để chứng minh A là một số chính phương ta cần viết A về dạng

bình phương của một số tự nhiên, điều này đồng nghĩa với việc biến đổi A thành lũy thừa

của một số tự nhiên khác Để ý rằng 10n− =1 999 99 nên ta sẽ biến đổi A làm xuất hiện các lũy thừa của 10, từ đó áp dụng các hằng đẳng thức như trên

• Định hướng tư duy Tương tự như trên ta cũng sử dụng biến đổi 10n − =1 999 99

biến đổi B làm xuất hiện các lũy thừa của 10, từ đó áp dụng các hằng đẳng thức như trên

• Định hướng tư duy Để chứng minh dãy số trên là dãy số chính phương ta cần chứng

minh số tổng quát của dãy là số chính phương Muốn vậy ta phân tích số đó thành bình

phương của một số tự nhiên khác Chú ý đến biến đổi n

Ví dụ 5 Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu Sn = +12 22+ + n 2 Chứng minh rằng 24 2n 3 S( + ) n+1 là số chính phương

• Định hướng tư duy Tương tự như ví dụ trên ta tính được

( )( )

2a + =a 3b + b 2a – 2b + − =a b b  a b 2a 2b 1− + + =b

Như vậy để chứng minh các số a b − và 2a 2b 1+ + là số chính phương ta cần chứng minh

được các số a b − và 2a 2b 1+ + nguyên tố cùng nhau

Lời giải

a b 2a 2b 1− + + =b Suy ra (a b 2a 2b 1− )( + + ) là số chính phương

Gọi (a b; 2a 2b 1− + + =) d, khi đó ta được a b− và 2a 2b 1+ + cùng chia hết cho d

a b 2a 2b 1 d− + + hay ta được b d nên b d 2 2Mặt khác do a b d− nên suy ra a d Mà ta lại có 2a 2b 1 d+ + nên 1 d hay d 1= Suy ra (a b; 2a 2b 1− + + =) 1 nên a b− và 2a 2b 1+ + đều là số chính phương

Ví dụ 7 Cho a và b là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp c và d

Gọi d là ước chung lớn nhất của −a b và c a b( + )+1 a b− và c a b( + )−1 cùng chia

a b c a b−  + −1 d Do đó từ ( ) ( ) 2

a b c a b−  + −1=b

ta suy ra được b d hay b chia chết cho d Mà ta có −2 2 a b d nên suy ra được a d

Do đó a b d+ Kết hợp với c a b( + )−1 d ta suy ra được 1 d nên =d 1 Từ đó ta có

Từ đó ta được a2 −bc 0= hoặc b c 0 − = Hai kết quả này đều cho kết quả bc là số chính

2 2

+ Khi a2−bc 0= bc a= nên bc là một số chính phương 2

+ Khi b c 0− =  = nên bc cũng là một số chính phương b c

rằng 72A là lập phương đúng của một số tự nhiên

• Định hướng tư duy Tương tự như trên ta cũng sử dụng biến đổi n

n c/s 1 n c/s 7 n c/s 9 n 1 c/s 1

n c/s 2 3n c/s 1 2n c/s 6 n 1 c/s 1

là lập phương đúng của một số tự nhiên

• Định hướng tư duy Nhận thấy tổng S là tổng của một dãy số có tính quy luật, do đó ta

cần tính được tổng S trước Ta có phân tích tổng S như sau

Ta có ( ) 2019.2019.20201.2019 2.2019 2019.2019 2019 1 2 3 2019

Do vậy 6S 2020 2020+ = 3 nên ta có điều cần chứng minh

Ví dụ 12 Giả sử m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3+ = 3+

4m m 12n n Chứng minh

• Định hướng tư duy Để ý ta có biến đổi

• Định hướng tư duy Để ý ta có biến đổi

Do a, b, c là các số nguyên dương nên ta được a b c 0 + +  nên ta được a b c = = Thay

vào A ta được A là lập phương của một số nguyên dương

Ví dụ 14 Cho a, b, c là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp c và d

a b a c b c b− = − + Chứng minh rằng a b− là lập phương của một số nguyên

• Định hướng tư duy Để ý ta có biến đổi

Như vậy để chứng minh các số a b − là lập phương của một số nguyên ta cần chứng minh

được các số −a b và c a b( + )+1 nguyên tố cùng nhau

Lời giải

Biến đổi giả thiết của bài toán ta được

Gọi p là ước nguyên tố của −a b và c a b( + )+1

Khi đó ta có a b− và c a b( + )−1 cùng chia hết cho p, nên ta được b chia hết cho p, 3

từ đó dẫn đến b chia hết cho p Mà ta có a b− chia hết cho p nên suy ra được a chia hết cho p Do đó ta được a b+ chia hết cho p Kết hợp với c a b( + )+1 d ta suy ra được 1 chia hết cho p nên p 1= Điều này vô lý vì p là số nguyên tố Do vậy ta được (a b,c a b− ( + )+ =1) 1 Do đó a b− là lập phương của một số nguyên

Ví dụ 15 Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a b c 3

( ) ( )( ) ( ( )( ) ) ( ( )( ) )

Do a, b, c là các số nguyên dương nên suy ra a b c= =

Biến đổi biểu thức P đã cho ta có

• Nhận xét Trong các ví dụ trên ta chủ yếu chứng minh một số là số chính phương, số

lập phương bằng hai hướng đã nói trong phân mở đầu Tuy nhiên trong một số trườn hợp

ta phải sử dụng nhiều đến phép biến đổi đại số Thực chất các ví dụ này là các bài toán đại

số được áp dụng cho bài toán số học Những bài toán chứng minh số chính phương, số lập phương thường là khó và có sự kết hợp với nhiều kiến thức khác, do đó với dạng bài tập này

ta cần phải phân tích kỹ để khai thác tiệu để có hiệu quả giả thiết của bài toán cũng biến đổi biểu thức của bài toán về dạng đơn giản hơn

2 Dạng 2 – Chứng minh một số hay biểu thức không thể là số chính phương, số lập phương

Cơ sở của phương pháp Để chứng minh một số tự nhiên A không phải là số là số

chính phương, số lập phương ta có các hướng sau

+ Hướng 1 Chứng minh số tự nhiên A các các tính chất mà số chính phương, số lập phương không có

+ Hướng 2 Chứng minh A nằm giữa hai số chính phương hoặc hai số lập phương liên tiếp

Ví dụ 1 Chứng minh N 2017= 4n+20184n+20194n+20204n+20214n− không phải 1

là số chính phương với mọi n là số nguyên dương

• Định hướng tư duy Quan sát biểu thức N ta nhận thấy chữ số tận cùng của N là 8, do

đó N không thể là số chính phương Từ đó ta đi tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa để chứng minh bài toán

Lời giải

Giả sử tồn tại số n tự nhiên để 2018 n+ 2 là số chính phương, khi đó tồn tại số tự nhiên m để 2018 n+ 2 =m2 Suy ra 2018 m= 2−n2 hay 2018=(m n m n− )( + ) Như vậy trong hai số m n− và m n+ phải có ít nhất một số chẵn Mà ta lại có

(m n− ) (+ m n+ )=2m nên suy ra hai số m n− và m n+ cùng tính chẵn lẻ Từ các kết quả trên suy ra hai số m n− và m n+ là hai số chẵn Do vậy ta suy ra được

(m n m n− )( + ) chia hết cho 4 Mà 2018 không chia hết cho 4 nên điều giả sử là sai Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2018 n+ 2 là số chính phương

Ví dụ 3 Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là

một số chính phương

• Định hướng tư duy Ta có tích của bốn số tự nhiên liên tiếp là n n 1 n 2 n 3( + )( + )( + )

hay ta được (n2+3n n)( 2+3n 2+ ) Dễ thấy ngay

t  +t 2t +t 1 nên t2+ không thể là số chính phương 2t

Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 4 Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp

không thể là một số chính phương

• Định hướng tư duy Ta có tổng bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp là

( ) (2 ) (2 ) (2 )2 2

chia hết cho 5 Lại có n2+4n 6+ không chia hết cho 5 với mọi n Như vậy A không chia hết

cho 25 nên A không phải là số chính phương

Lời giải

Gọi năm số tự nhiên liên tiếp là n; n 1; n 2; n 3; n 4+ + + + Ta có tổng bình phương

A=n + n 1+ + n 2+ + n 3+ + n 4+ =5n +20n 30+ =5 n +4n 6+ Khi đó ta có A chia hết cho 5

+ Nếu n chia hết cho 5, khi đó ta có n2+4n 6+ không chia hết cho 5

+ Nếu n chia 5 có số dư là 1 thì n chia 5 có số dư là 1 và 4n chia 5 có số dư là 4 Do

đó n2+4n 6+ không chia hết cho 5

+ Nếu n chia 5 có số dư là 2 thì 2

n chia 5 có số dư là 4 và 4n chia 5 có số dư là 3 Do

đó n2+4n 6+ không chia hết cho 5

+ Nếu n chia 5 có số dư là 3 thì 2

n chia 5 có số dư là 4 và 4n chia 5 có số dư là 2 Do

đó n2+4n 6+ không chia hết cho 5

+ Nếu n chia 5 có số dư là 4 thì 2

n chia 5 có số dư là 1 và 4n chia 5 có số dư là 1 Do

đó n2+4n 6+ không chia hết cho 5

Như vậy n2+4n 6+ không chia hết cho 5 với mọi n nên suy ra A không chia hết cho 25 Vậy A không phải là số chính phương

• Nhận xét Ta có cách gọi khác để bài toán được giải quyết một cách đơn giản hơn

Gọi năm số tự nhiên liên tiếp là n 2; n 1; n; n 1; n 2− − + + với n là số tự nhiên và

n2 Khi đó ta có ( ) (2 )2 2 ( ) (2 )2 ( 2 )

A= n 2− + n 1− +n + n 1+ + n 2+ =5 n +2 Nhận thấy

A chia hết cho 5 Lại có n2 chia 5 có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4 nên n2+2 không chia hết cho

5 Do đó A không chia hết cho 25 nên suy ra A không thể là số chính phương

Ví dụ 5 Cho A=n6−n4+2n3+2n2 với n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng A không phải là số chính phương

• Định hướng tư duy Ta có 6 4 3 2 2( )2( 2 )

Như vậy a2+b2 chia cho 4 có số dư là 2 Mà ta biết số chính phương chia 4 không

có số dư là 2 Vậy a2+b2 không là thể số chính phương

Ví dụ 7 Cho B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2= + + + + ( + )( + ) với mọi n là số nguyên dương Chứng minh rằng B không thể là số chính phương

• Định hướng tư duy Nhận thấy tổng B là tổng của một dãy số có tính quy luật, do đó ta

cần tính được tổng B trước Ta có phân tích tổng B như sau

thể là số chính phương nên B không thể là số chính phương

Ví dụ 7 Chứng minh rằng 3n + không là số chính phương với mọi n là số tự 4nhiên

• Định hướng tư duy Biểu thức bài toán cho là dạng lũy thừa có số mũ thay đổi, do đó

giá trị của biểu thức lại thay đổi theo số mũ của biểu thức Giả sử n 2

3 + =4 m khi đó ta viết được n ( )( )

3 = m 2 m 2− + và để ý rằng 3 là một số nguyên tố nên ta dễ dàng suy ra được m 2 3 ; m 2 3− = p + = q với p, q là các số tự nhiên thỏa mãn p q n+ = Từ đó dẫn đến

4 3= − , đây là điều vô lí với p, q là các số tự nhiên khác 0 Như vậy ta có điều cần 3

chứng minh, tuy nhiên để p và q khác 0 ta cần xét các trường hợp n 0 = và n 1= trước rồi

mới biến đổi như trên

Lời giải

Ta xét các trường hợp sau

+ Trường hợp 1 Với n 0= ta có n 0

3 + =4 3 + = không là số chính phương 4 5

+ Trường hợp 2 Với n 1= ta có 3n+ = + = không là số chính phương 4 31 4 7

+ Trường hợp 3 Với n2 Giả sử 3n+ là số chính phương Khi đó tồn tại số tự 4

m − =4 3  m 2 m 2− + =3

Do 3 là số nguyên tố nên ta có m 2 3 ; m 2 3− = p + = q với p, q là các số tự nhiên thỏa

m 2+ − m 2− =3 −3 hay 4 3= q− , điều này 3p

vô lí vì 4 không chia hết cho 3 còn 3q− lại chia hết cho 3 Như vậy không tồn tại 3p

số tự nhiên n2 thỏa mãn n

3 + là số chính phương 4Vậy 3n + không thể là số chính phương với mọi số tự nhiên n 4

Ví dụ 8 Chứng minh rằng 7n +24 không là số chính phương với mọi số nguyên dương n

Lời giải

7 +24 là số chính phương Khi đó tồn tại số nguyên dương a để 7n+24 a= Ta xét các trường hợp sau 2

+ Trường hợp 1 Với n là số lẻ, khi đó ta có n 2k 1= + với k là số tự nhiên Từ đó tồn tại số nguyên dương a để 7n+24 49 7 24 a= k + = Ta có 49 chia 4 có số dư là 1 2nên 49 chia 4 có số dư là 1, suy ra k 7.49 choa 4 có số dư là 3 Từ đó suy ra k

7 +24 49 7 24= + chia 4 có số dư là 3 Mà một số chính phương khi chia 4 có số

dư là 0 hoặc 1 Do đó n lẻ không thỏa mãn

+ Trường hợp 1 Với n là số chẵn, khi đó ta có n 2k= với k là số nguyên dương Từ

đó tồn tại số nguyên dương a để 7n+24 7= 2k+24 a= 2 hay ( k)( k)

Như vậy số tự nhiên n chẵn không thỏa mãn

Ví dụ 9 Chứng minh rằng số

4041 c/s 9 2021 c/s 9

A 999 99 5.999 99 7= + + không thể là lập phương

của một số nguyên dương

• Định hướng tư duy Biểu thức A làm ta nghĩ đến phép biến đổi qua lũy thừa của 10, do

đo ta có biến đổi

Với mỗi số nguyên dương a bất kì ta có

+ Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 3

+ Nếu a chia 3 có số dư là 1 thì a chia 9 có số dư là 1 3

+ Nếu a chia 3 có số dư là 2 thì a chia 9 có số dư là 8 3

Như vậy một lập phương đúng khi chia cho 9 nhận một trong các số dư là 0, 1, 8

Biến đổi số tự nhiên A ra được

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n; n 1; n 2+ + với n là số tự nhiên Khi đó ta có tích

A=n n 1 n 2+ + =n +3n +2n

Do n là một số tự nhiên nên ta có n3+3n2+2n n 3

Như vậy ta có 3 3 2 ( )3

n n +3n +2n n 1+ Do đó A n= 3+3n2+2n không thể là lập phương đúng của một số tự nhiên

Ví dụ 11 Chứng minh rằng A 3n= 2+3n 2009− không thể là lập phương đúng của một số nguyên với mọi số nguyên n

• Định hướng tư duy Ta có A 3n= 2+3n 2009− chia 3 có số dư là 1 Do đó nếu A là một số lập phương thì A có dạng ( )3

A= 3k 1+ Như vây thì ta thu được đẳng thức

3 n + −n 673 + =1 27k +27k +9k 1 3 9k+ = +9k +3k + 1

n + =n 9k +9k +3k 673 3 3k+ = +3k + +k 672 + Điều này dẫn đến tích hai 1

số tự nhiên liên tiếp n n 1( + ) chia 3 có số dư là 1, ta có điều vô lí

n +n chia 3 có số dư là 1 hay n n 1( + ) chia 3 có số dư là 1

Mà n và n 1+ là hai số nguyên liên tiếp nên tích n n 1( + ) chia 3 có số dư là 0 hoặc

2 Do đó ta có mâu thuẫn Suy ra không tồn tại số nguyên để A là lập phương của một số nguyên Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 12 Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không

• Định hướng tư duy Ta sẽ chứng minh 3 2 ( )3

Ví dụ 13 Chứng minh rằng biểu thức ( )( )2

A= a 2b a 2b 1+ + + +2a 4b 1+ + không thể lập phương đúng của một số nguyên với a và b là các số nguyên dương

• Định hướng tư duy Để ý ta có biến đổi giả thiết

Đặt x a 2b= + là số nguyên dương Khi đó ta được A x= 3+2x2+3x 1+

Giả sử tồn tại số nguyên dương x để A là lập phương của một số nguyên Khi đó tồn tại số nguyên y để y3 =x3+2x2+3x 1+

A không thể là lập phương đúng của một số nguyên

Ví dụ 14 Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương x để A=x4+2x2 là lập phương đúng của một số nguyên

• Định hướng tư duy Giả sử 4 2

A=x +2x là lập phương đúng của một số nguyên khi

đó ta có x4+2x2 =y3, quan sát biểu thức ta viết lại được thành

y 1 a ; y – y 1 b với ( )a; b =1 Như vậy để giả quyết được bài toán

ta đi tìm các số nguyên dương a và b thỏa mãn các điều kiện trên

• Khi y d thì kết hợp với +y 1 d ta suy ra được =d 1 Do đó (y 1; y – y 1+ 2 + =) 1 Khi đó do (y 1 y – y 1 là số chính phương nên ta đặt + =+ ) ( 2 + ) y 1 a ; y – y 1 b 2 2 + = 2

trong đó a, b là các số nguyên dương và ( )a; b =1 Tứ đó ta được

• Nhận xét Đặc điểm chung của các bài toán chứng minh một số không phải là số chính

phương, số lập phương đó là chỉ ra những tính chất mà các số chính phương, số lập phương không có hoặc sử dụng tính chất kẹp giữa hai số chính phương, hai số lập phương liên tiếp Tuy nhiên mỗi bài toán có những đặc điểm riêng nên ta cần phải phân tích kĩ giả thiết của như biểu thức của bài toán để có nhận dự đoán phù hợp

3 Dạng 3 – Tìm giá trị của biến để biểu thức là một số chính phương, số lập

phương

Cơ sở của phương pháp Sử dụng các tính chất liên quan đến số chính phương, số

lập phương để tìm giá trị của các biến sao cho biểu thức nhận giá trị là một số chính phương, số lập phương Có thể thấy bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức là một số chính phương, số lập phương chính là một dạng phương trình nghiệm nguyên liên quan đến số chính phương, số lập phương

Ví dụ 1 Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng 2n 1+ và 3n 1+ đều là các số chính phương

• Định hướng tư duy Do n là số tự nhiên có hai chữ số nên ta có 10 n 99  Từ đó ta được 2n 1+ là số lẻ và 21 2n 1 199 +  Do 2n 1+ là số chính phương lẻ nên ta suy ra

được 2n 1+ 25; 49; 81;121;169 suy ra n12; 24; 40; 60; 84 Đến đây thay các giá trị

n trong tập hợp trên vào biểu thức 3n 1 + để kiểm tra

Vậy với n 40= thì 2n 1 81+ = và 3n 1 121+ = đều là các số chính phương

Ví dụ 2 Tìm số tự nhiên n sao cho n2+2n 12+ là số chính phương

• Định hướng tư duy Do 2

n +2n 12+ là số chính phương nên tồn tại số tự nhiên k thỏa

k − n 1+ =11 k n 1 k n 1+ + − − =11 Đến đây ta giải phương trình nghiệm nguyên để tìm giá trị n thích hợp

Kiểm ta lại ta thấy n=4 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 Tìm số tự nhiên n sao cho n n 3( + ) là số chính phương

• Định hướng tư duy Do n n 3( + ) là số chính phương nên tồn tại số tự nhiên k thỏa

k − n 1+ =11 k n 1 k n 1+ + − − =11 Đến đây ta giải phương trình nghiệm nguyên để tìm giá trị n thích hợp

Kiểm ta lại ta thấy n 1= thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4 Tìm số nguyên dương n sao cho n 2n 1( − )

• Định hướng tư duy Giả sử số tự nhiên q để ( − )

v + chia hết cho 4 hay 1 2

v chia 4 dư 3, điều này vô lí Do đó trường hợp này không xẩy ra

+ Xét trường hợp k 13u ; 4k 1 v= 2 − = 2 Khi đó ta được = 2+

trên thì trường hợp này cũng không xẩy ra

Vậy không tìm được n thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 5 Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A=(n 2018 n 2019 n 2020− )( − )( − ) là một số chính phương

• Định hướng tư duy Nhận thấy rằng nếu một trong ba thừa số của A bằng 0 thì A là số

chính phương Nếu cả ba thừa số của A khác 0 thì các thừa số đó là ba số nguyên liên tiếp, khi đó ta thấy có hai trường hợp xẩy ra

+ Nếu n là số lẻ thì ba thừa của A nguyên tố cùng nhau theo từng đôi một nên không thể cùng là số chính phương

+ Nếu n là số chẵn thì (n 2018; n 2020− − )=2 và hai thừa số chẵn nguyên tố cùng nhau với n 2019− Từ đó để A là số chính phương thì các thừa số có dạng n 2018 2a ;− = 2

2 2

n 2019 b ; n 2020 2c− = − = với a, b, c là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau

Từ đó lập luận để trường hợp này không xẩy ra

Lời giải

Ta xét các trường hợp sau

• Trường hợp 1 Xét =n 2010 hoặc =n 2011 hoặc =n 2012 thì đều thỏa mãn thỏa

mãn yêu cầu bài toán

• Trường hợp 1 Xét không thuộc tập hợp 2018; 2019; 2020 Khi đó ta có các khả năng sau

Không thỏa mãn do a, b, c nguyên dương

Vậy n2018; 2019; 2020 là các số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Do x là số nguyên dương nên x 0; 2 không thỏa mãn

Phương trình trên vô nghiệm

Vậy các số nguyên x − 2; 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 8 Tìm tất cả các số hữu tỷ x sao cho = 2+ +

• Định hướng tư duy Nhận thấy với các giá trị nguyên x thì A nhận giá trị nguyên và ta

cần chứng minh chỉ khi x nguyên thì A mói nhận giá trị nguyên Từ đó ta giải bài toán tương tự như các ví dụ trên

Lời giải

Dễ thấy x= −1; x 0; x 1= = không thỏa mãn Với x khác các giá trị này, trước hết ta

chứng minh x phải là số nguyên

ước nguyên lớn nhất là 1, suy ra m chia hết cho n (mâu thuẫn với m và n có ước nguyên lớn nhất là 1) Do đó x phải là số nguyên

Đến đây ta có các trường hợp sau

+ Trường hợp 1 Với 2k 2x 1 23; 2k 2x 1 1+ + = − − = ta được k 6; x 5= =

+ Trường hợp 2 Với 2k 2x 1 1; 2k 2x 1 23+ + = − − = ta được k 6; x= = − 6

+ Trường hợp 3 Với 2k 2x 1+ + = −23; 2k 2x 1− − = −1 ta được k= −6; x= − 6

+ Trường hợp 4 Với 2k 2x 1+ + = −1; 2k 2x 1− − = −23 ta được k= −6; x 5=

Thử lại ta được x − 6; 5 là các giá trị cần tìm

Ví dụ 9 Tìm tất cả các số nguyên m sao cho 4+ 3+

• Định hướng tư duy Giả sử tồn tại số n để 4+ 3+ = 2

m m 1 n Để tìm giá trị nguyên của

m thỏa mãn bài toán ta cần giới hạn được các giá trị của m và n, điều này làm ta nghĩ đến cách tiếp cận bài toán như các ví dụ trên Chú ý đến lũy thừa của m trong đẳng thức ta có

biến đổi vế trái của đẳng thức về dạng ( 2 )2

am +bm c+ , muốn vậy ta nhân hai vế của đẳng thức với các số chính phương chẵn Sau quá trình biến đổi ta có được biến đổi hợp lí như

đó ta thấy 8m 63 0+  khi m −8 và 8m 63 0+  khi m  − Từ đây ta xét các trường 8

hợp như trên để giải bài toán Lai nhận thấy m 0 = là một giá trị thỏa mãn bài toán, do đó

Đến đây thì ta tìm được giá trị nguyên m

+ Với m −8 ta lập luận tương tự thì được ( )2 ( 2 + − )2

Kiểm tra trực tiếp ta thấy m − − 2; 1; 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

• Định hướng tư duy Giả sử tồn tại số a để 8 11 n 2

2 +2 +2 = Khi đó biến đổi đẳng thức a

2 =a −48 = a 48 a 48− + Để ý rằng 2 là số nguyên tố nên suy ra được có các số tự nhiên p và q để a 48 2 ;a 48 2+ = p − = q Đến đây ta được 2p−2q =96 và từ đó ta giải được bài toán

Từ đó dẫn đến 2p−2q =96 hay q( p q ) 5.3

2 2 − − =1 2 Do vậy ta được q 5= nên p 7= Vậy n=12 là số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 11 Tìm tất cả các số nguyên dương n để 3n+n2 là một số chính phương

• Định hướng tư duy Giả sử ta có 3n+n2=m với m là một số nguyên dương Do đó ta 2

Từ đó để 3k =2k 1 thì =+ k 0 hoặc =k 1 , từ đó ta tìm được n 1= hoặc =n 3

• Trường hợp 2 Nếu −n 2k 2 , khi đó ta được  − − k n k 2 nên k  n k 2 − −

Từ đó suy ra 2n 8 1 2 n k 2  + ( − − ) hay ta được 8k 12 7n + 

Mặt khác ta lại có n 2k 2 nên + 7n 14k 14 Do đó ta được + 8k 12 14k 14 , +  +điều này vô lí Do đó trong trường hợp này không có số tự nhiên n thỏa mãn

Vậy các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là n 1= hoặc =n 3

Ví dụ 12 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n+

Lời giải

Do n +

7 147 m

7 147 là số chẵn với mọi số thự nhiên n, do đó m là số chẵn Do n, k là các số

tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau

• Trường hợp 1 Xét n là số lẻ, khi đó ta đặt n 2k 1= + với k là một số tự nhiên

Từ đó ta được 2k 1+ +

hoặc dư 1 Do đó n lẻ thì phương trình không có nghiệm tự nhiên

• Trường hợp 2 Xét n là số chẵn, khi đó ta đặt n 2k= với k là một số tự nhiên

Do m, k là các số tự nhiên nên m 7+ k 0 nên m 7− k 0 và m 7+ k m 7− k 0 Để

ý rằng 147 1.147 3.49 7.21 nên từ đó ta có bảng giá trị như sau: = = =

Ví dụ 13 Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho 5x+12x là một số chính phương

• Định hướng tư duy Giả sử tồn tại số tự nhiên y để 5x+12x=y2 Nhận thấy với x 1=

phương trình không có nghiệm nguyên Chú ý rằng khi x là số chẵn thì ta chuyển vế và viết được phương trình về dạng phương trình ước số Lại thấy với x 2 thì từ phương trình đã

ta suy ra được y là số lẻ nên y chia 8 dư 1 Lại thấy 2 x

12 chia hết cho 8, do vậy 5 phải x

chia 8 dư 1, từ đây suy ra x là số chẵn Khi đó đặt ( *)

dạng 2k ( k)( k)

Chú ý rằng 5 là số nguyên tô nên ta viết phương trình thành hệ

2.12 =5 5 − − , điều này dẫn đến m 01 = suy ra y 12= k+ 1

Đến đây thay vào một trong các phương trình trên ta tìm được k và bài toán được giải

Lời giải

5 +12 =y Nhận xét x 1= không thoả mãn phương trình Khi đó ta có x 2 Từ phương trình ta thấy y lẻ nên 2

y chia 8 dư 1 Mặt khác 12 8 nên suy ra x 5 chia 8 dư 1, từ đó suy ra x phải là số chẵn x

Đặt x 2k= với k là số nguyên dương, khi đó ta thu được 52k =(y 12− k)(y 12+ k)

Do 5 nguyên tố nên tồn tại tự nhiên m 2k sao cho y 12+ k =52k m− ; y 12− k =5m

lại có 2.12 5 nên suy ra m 0k m = và ta được y 12= k+ Thay vào phương trình ta 1

Ví dụ 14 Tìm tất cả các số nguyên dương ( )x; y sao cho x2+8y và y2+8x đều là

số chính phương

• Định hướng tư duy Dễ thấy vai trò của x và y trong bài toán như nhau nên ta có thể

giả sử xy, khi đó ta có 2 2 2 ( )2

x +8y x +8x x +8x 16+ = x 4+ Để ý là x2 x2+8y

Như vậy ta được 2 2 ( )2

x x +8y x 4+ Do x2 +8y là số chính phương nên ta có thể suy