(THCS) phương trình nghiệm nguyên và một số phương pháp giải các bài toán lớp 9

Nhiều học sinh cho rằng môn Toán là môn học khó biến đổi phức tạp nên không say mê với môn học,tâm lý chung còn sợ học Toán. Một số em không dám tham gia vào đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường cho rằng môn toán là bộ môn là khó, kiến thức rộng và phải đòi hỏi phải liên kết nhiều kiến thức từ nhiều lớp học dưới.

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng chấm sáng kiến Huyện

Nơi công tác (hoặc

nơi thường trú)

Chức danh

Trình độ chuyên môn

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến (ghi rõ đối với

từng đồng tác giả, nếu có)

1

Trường THCS

Giáo viên Đại học 100%

1.2 Tên sáng kiến:

“ Phương trình nghiệm nguyên và một số phương pháp giải các bài toán lớp 9 ”

2 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

- Họ và tên:

- Địa chỉ: Trường THCS

3 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục – Môn Toán lớp 9

4 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

Tháng 9 năm 2016 tại trường THCS - -

5 Mô tả bản chất của sáng kiến

5.1 Về nội dung của sáng kiến

5.1.1 Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

Ở địa bàn tôi công tác đa số gia đình các em học sinh là làm nghề nông lạiphân bố không đồng đều, nhận thức của một số người dân trong việc giáo dụchọc tập cho con em mình chưa cao Mặt khác, các em học sinh ở đây cũng phải

phụ giúp gia đình nhiều công việc nên đa số học sinh không dành nhiều thờigian cho học tập đặc biệt là những bài toán khó, nâng cao ngoài sách giáo khoa.

Nhiều học sinh cho rằng môn Toán là môn học khó biến đổi phức tạp nênkhông say mê với môn học,tâm lý chung còn sợ học Toán Một số em khôngdám tham gia vào đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường cho rằng môn toán là

bộ môn là khó, kiến thức rộng và phải đòi hỏi phải liên kết nhiều kiến thức từnhiều lớp học dưới

Ngay từ đầu năm học 2016-2017, tôi đã khảo sát chất lượng của 75 emhọc sinh khối 9 của nhà trường thông qua bài kiểm tra kiến thức phần Đại số và

có số liệu cụ thể như sau:

Ngoài ra, Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán nói chung và chủ đề Phương trình nghiệm nguyên (thuộc phân môn Đại số) nói riêng vô cùng đa

dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát Mỗi bài toán, với số liệuriêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp Khó khăn của học sinh làchưa hiểu được cơ sở lý thuyết, chưa biết kết hợp các kiến thức cơ bản có liênquan như: tập hợp các số nguyên, tính chất và các phép toán trên tập hợp sốnguyên; các kiến thức về phép chia, tính chất chia hết, kiến thức về lí thuyếtđồng dư và cả những kiến thức liên quan đến các bất đẳng thức, cách giải cácphương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất…Các kiến thức này lạixuyên suốt quá trình học toán bậc THCS mà đôi khi học sinh lại bị quên hoặcchưa biết cách khai thác vào quá trình giải bài toán

* Về phía Giáo viên

Trong khung chương trình môn Toán thời gian để học sinh củng cố kiếnthức trong sách vừa đủ nên giáo viên chưa giành được nhiều thời gian cho cácbài tập nâng cao Ngoài ra tôi nhân thấy, một bộ phận thầy cô chưa thật sự tâmhuyết với nghề chỉ lên lớp dạy đủ nội dung sách viết mà chưa khuyến khích sựtìm tòi ham học của học sinh Còn một số thầy cô do tuổi nghề còn ít chưa đủkinh nghiệm, phương pháp giảng dạy nên đó cũng là nguyên nhân làm cho họcsinh không yêu thích bộ môn dẫn đến chất lượng học sinh chưa cao, số lượnghọc sinh đạt giải trong các kỳ thi học sinh giỏi thấp

5.1.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

Trong nhiều năm thực hiện công tác dạy học và bồi dưỡng, bản thân tôi

đã phải khắc phục nhiều khó khăn Dành các buổi chiều đến bồi dưỡng, vì các

em học sinh khi học đến lớp 9 gần như các kiến thức cũ các em đã quên, nêntôi đã phải mất rất nhiều thời gian để ôn lại kiến thức cũ Để học sinh có nhiềuthời gian ôn tập và tham khảo kiến thức trên mạng internet, đồng thời được sựđồng ý của Ban giám hiệu nhà trường, tôi đã xin phép phụ huynh học sinh, chocác em thời gian và xin thêm một số buổi chiều để học sinh đến trường ôn luyện

để các em có thêm những lượng kiến thức nhất định trước khi bước vào kì thihọc sinh giỏi cấp huyện.

Để giải quyết những khó khăn trong thực tiễn công việc bồi dưỡng

HSG phần Phương trình nghiệm nguyên trước hết giáo viên cần xây dựng kế

hoạch và phân bổ thời gian hợp lí giữa các phần kiến thức giảng dạy, trong đó

chú ý đến chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên Giáo viên cần tích cực tìm

hiểu, nghiên cứu các tài liệu, kiến thức và phương pháp giải phương trìnhnghiệm nguyên; xây dựng, cập nhật kiến thức bổ sung cho chuyên đề phươngtrình nghiệm nguyên ngày càng đầy đủ và có chiều sâu đáp ứng được các bàigiảng có chất lượng cho học sinh

Đổi mới trong cách dạy theo hướng tích cực, hình thành và phát triển chohọc sinh ý thức tự học, tự tìm tòi khám phá kiến thức; thực hiện dạy học theonhóm, dạy học theo hợp đồng Trong từng giờ dạy, giáo viên gần gũi chia sẻcùng học sinh các chủ đề kiến thức, các phương pháp giải cho từng dạng toán;

có sự tranh luận đưa ra nhiều cách giải cho một bài toán, khuyến khích học sinhphát hiện cách giải mới, hay và hiệu quả

Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, bản thântôi đã nghiên cứu các tài liệu liên qua qua các sách tham khảo,các tạp trí tôi thấy

rằng chủ đề Phương trình nghiệm nguyên là chủ đề thường được nhắc tới

trong các bài tập ở sách giáo khoa và các đề thi chọn học sinh giỏi Các tài liệu

bồi dưỡng chủ đề Phương trình nghiệm nguyên thì rất nhiều nhưng chỉ nêu ra

cách chung chung nên học sinh khó phân biệt được hướng giải các phương trìnhnghiệm nguyên chính xác Chính vì vậy tôi đã bản thân tôi đã nghiên cứu, tiếp

thu, lựa chọn, chắt lọc bổ sung và tìm ra một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên cơ bản phù hợp với tư duy và nhận thức của học sinh tại

nơi tôi công tác Bên cạnh đó, sáng kiến còn đưa ra một cố ví dụ áp dụng, cácbài tập tự luyện với mục đích người đọc có thể hiểu và vận dụng các phươngpháp giải phương trình nghiệm nguyên vào các bài toán cụ thể

5.1.3.1 Phương pháp phân tích

Phương pháp này còn có thể hiểu là phương pháp đưa về phương trình tíchhay hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào tính chia hết Tư tưởng chính củaphương pháp là chúng ta hiện đưa phương trình về một trong các dạng sau:1) Biến đổi về phương trình dạng A A A1 2 3 A n k , trong đó A i i 1, ,n

là các đa thức với hệ số nguyên và k Z Viết k k k k k k 1 .2 3 n  jZ j; 1, ,ndẫn đến giải hệ A i k j( ,i j chạy từ 1, ,n).

2) Biến đổi phương trình về dạng 2 2 2 2

2 2

2 1

x y

* Nhận xét: Đây là một bài toán cơ bản và thể hiện rõ ý tưởng của

phương pháp phân tích ở dạng thứ nhất trong bài toán giải phương trình nghiệmnguyên

Bài toán 2:Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

* Nhận xét: Bài toán thứ hai này cũng là một bài toán giải phương trình

nghiệm nguyên bằng phương pháp phân tích ở dạng thứ nhất Tuy nhiên, ở bài

toán này có độ phức tạp nhất định đó là việc học sinh cần biết đặt ẩn phụ đểchuyển bài toán về dạng cơ bản, học sinh biết đánh giá giữa các biểu thức chứa

ẩn để lựa chọn các giá trị thích hợp giúp lời giải ngắn gọn, chính xác rút ngắnthời gian làm bài

Bài toán 3: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:x y   ;    2; 2 , 2;6 , 3; 7 , 3;1         

y y

* Nhận xét: Đây là một bài toán cơ bản và thể hiện rõ ý tưởng của phương pháp

phân tích ở dạng thứ hai trong bài toán giải phương trình nghiệm nguyên Cáchgiải này còn gọi theo tên khác là phương trình nghiệm nguyên giải được bằng

phương pháp “Tổng”.

c) Một số bài toán tự luyện

Bài toán 4 : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

(Đề thi năm 2012- PT chuyên ĐH KHTN HN)

Bài toán 5 : Tìm các số nguyên thỏa mãn:

Bài toán 6:

Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: x2  y2 xy x y  .

(Đề thi năm 2011- PT chuyên ĐHSP TP.HCM)

5.1.3.2 Phương pháp sắp thứ tự các ẩn số

a) Nội dung phương pháp

Phương pháp này còn có thể hiểu là phương pháp dồn biến Tư tưởng chính củaphương pháp là:

1) Khi giải phương trình đối xứng với các ẩn, để tìm nghiệm nguyên dương,không giảm tính tổng quát, ta thường giả sử x  y z và bắt đầu từ việc tìm

x

2) Ở một số phương trình nghiệm nguyên, ta quan tâm đến một ẩn sao cho cóthể phân chia tập hợp số của ẩn đó thành các tập con không giao nhau để giảiđược phương trình trong từng tập con đó

+ Nếu xy   1 x y 1 Thay vào phương trình  1 : 1 1 z  z Phương trình

vô nghiệm

+ Nếu xy  2 x 1;y 2 Thay vào phương trình  1 : 1 2   z 2z z 3 + Nếu xy   3 x 1;y 3 Thay vào phương trình  1 : 1 3   z 3z z 2.Loại vì giả thiết y z

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là:

x y z ; ;   1;2;3 , 1;3;2 , 2;1;3 , 2;3;1 , 3;1;2 , 3;2;1            

* Nhận xét: Đây là một bài toán cơ bản và thể hiện rõ ý tưởng của phương

pháp sắp thứ tự các ẩn ở dạng thứ nhất trong bài toán giải phương trình nghiệmnguyên Bài toán này còn cách giải khác khá hay mà vẫn sử dụng phương phápsắp thứ tự các ẩn, mong bạn đọc nghiên cứu tìm lời giải thứ hai

Bài toán 8: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2 3 2014 2014

Giải:

Với x 0 hoặc x 1 thì y 1.

Với x 0 ta có x2014  y2014 1 x2014, phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: x y   ;    1; 1 , 1;1 , 0; 1 , 0;1         

* Nhận xét: Đây là một bài toán cơ bản và thể hiện rõ ý tưởng của phương

pháp sắp thứ tự các ẩn ở dạng thứ hai trong bài toán giải phương trình nghiệmnguyên

c) Một số bài toán tự luyện

Bài toán 9: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Tư tưởng chính của phương pháp là:

1) Thường sử dụng tính chất chia hết để chứng minh một phương trình vônghiệm bằng cách chỉ ra hai vế của phương trình chia cùng một số tự nhiên m

có số dư khác nhau

2) Một số tính chất của số nguyên tố thường sử dụng khi giải phương trìnhnghiệm nguyên:

Với plà số nguyên tố và a là số tự nhiên thì a p  a p Nếu plà số nguyên tố

027

   

280

27

n

   Vì n Znên n 0 hoặc n 1

* Nhận xét: Đây là một bài toán cơ bản và thể hiện rõ ý tưởng của phương

pháp sử dụng tính chất chia hết và số nguyên tố; việc chỉ ra 3 và 28 nguyên tốcùng nhau là một chốt quan trọng trong việc tìm lời giải tiếp cho bài toán

Bài toán 12: Có tồn tại hay không các số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện:

1993 1994

Giải

* Trường hợp 1: Với y chẵn thì 1992x1993  1993y1994 là số chẵn x Z  Do đóphương trình 1992x1993  1993y1994  1995. không có nghiệm nguyên với y chẵn

* Trường hợp 2: Với y lẻ thì y là số lẻ, giả sử 997 y997 2k 1, khi đó:

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm x y, nguyên

Bài toán 13: Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình

Nhận thấy vế phải 1740 khi chia cho 17 có số dư là 6 (1740 17.101 6   ) Do đó,

vế phải của phương trình  1 có dạng 17k 6, song vế trái x2 khi chia cho 17trong mọi trường hợp đều không có số dư là 6

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

* Nhận xét: Bài toán số 12 và 13 cơ bản thể hiện rõ ý tưởng của phương

pháp sử dụng tính chất chia hết và số nguyên tố ở dạng thứ nhất

Bài toán 14: Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình: 2x6 y2  2x y3  320  1

Giải:

 1   x3 2 x3  y2  320

Từ phương trình suy ra u v, cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Nếu u v, cùng lẻ thì u2 v2  2 mod 4 , do đó đẳng thức  1 không xảy ra

2

3 3

2 2

1 1

u u

v v

* Nhận xét: Đây là bài toán đã vận dụng kiến thức đồng dư thức trong việc

phát hiện tính chất các ẩn là số chẵn, từ đó chúng ta có cơ sở lập luận và kết hợp

với các phương pháp có sử dụng nguyên tắc cực hạn, phương pháp “Tổng” để

tìm ra nghiệm của phương trình

Bài toán 15: Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình  y2x2  1 y2 (Đềthi năm 2001- PT chuyên ĐH KHTN HN)

Giải

Phương trình  y2x2  1 y2  1 không có nghiệm nguyên với y 2, nên

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x y ;   0; 1 , 0;1     

c) Một số bài toán tự luyện

Bài toán 16: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 1x y 1p trong đó

p là số nguyên tố

Bài toán 17: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 8x4  4y4  2z4 t4

Bài toán 18: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a b c, , thỏa mãn:

a) Nội dung phương pháp

Tư tưởng chính của phương pháp là sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ( BĐT về trị tuyệt đối, BĐT Côsi, BĐT Bunhiakôpxki, …) để chứng minh một

vế của phương trình không nhỏ hơn vế còn lại Tiếp theo tìm giá trị của ẩn đểbất đẳng thức trở thành đẳng thức

Vế trái của phương trình là tổng của các hạng tử không âm nên không nhỏ hơn

vế phải, vì vậy phương trình có nghiệm khi:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là x y z ; ;  3;2;1996

* Nhận xét: Đây là bài toán đã vận dụng các bất đẳng thức cơ bản bất

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x y ;  1;0

* Nhận xét: Trong bài toán này bằng kĩ thuật đánh giá bất đẳng thức của

biểu thức chứa biến x y, kết hợp với tính chất về tổng bình phương của hai sốnguyên liên tiếp mà ta có cách giải hợp lí cho bài toán Qua bài toán, cần chú ýđến tính chất bình phương của các số nguyên liên tiếp như sau:

Bài toán 22: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức x2 xy y 2 x y2 2

(Đề thi năm 2003- PT chuyên ĐH KHTN HN)

Dễ thấy, nếu phương trình có nghiệm x 0 thì y 0 và ngược lại.

Xét y 0thì từ  1  x2   3 x  1;1

- Với x 1, thay vào phương trình đã cho ta được: 1  y  0 y 1

- Với x 1, thay vào phương trình đã cho ta được: 1 y  0 y 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là x y ;   1; 1 , 0;0 , 1;1       

Cách 2: Ta chứng minh phương trình không có nghiệm với x 2, y 2 Thậtvậy , với x 2 và y 2ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là x y ;   1; 1 , 0;0 , 1;1       

* Nhận xét: Trong bài toán này chúng ta đã sử dụng bất đẳng thức về giá

trị tuyệt đối xx, x kết hợp với các bất đẳng thức khác để có một lời giảihợp lí

Bài toán 23: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 8x y2 2 x2 y2  10 xy

(Đề thi năm 2006- PT chuyên ĐH KHTN HN)

Giải:

Ta có: 8x y2 2 x2  y2 10xy 8xy xy  1  x y 2 0  1

Do đó, nếu x y; là nghiệm nguyên của phương trình thì

- Nếu xy 0 thì từ phương trình  1 ta thu được nghiệm x y 0

- Nếu xy 1 thì từ phương trình  1 ta thu được nghiệm x y 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là x y   ;    1; 1 , 0;0 , 1;1      

c) Một số bài toán tự luyện

Bài toán 24: Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2000 x2000  2003 2000

Bài toán 26: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 14 x 14 y3(Đềthi năm 2007-PT chuyên ĐHKHTN Hà Nội)

5.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến

“Phương trình nghiệm nguyên và một số phương pháp giải các bài toánlớp 9” thực sự giúp giáo viên trong quá trình thực hiện nhiệm vụ bồi dưỡng họcsinh giỏi môn toán trong nhà trường trong năm học vừa qua và những năm họctiếp theo Ngoài ra sáng kiến còn áp dụng với các trường trong toàn huyện vàtỉnh vì chủ đề Phương trình nghiệm nguyên còn là một chủ đề hay được nhắc tớitrong các đề thi Chọn học sinh giỏi cấp tỉnh và các đề thi chọn vào trường THPTchuyên

6 Những thông tin cần được bảo mật: không

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

7.1 Đối với học sinh

Cần có lòng yêu thích môn học, có yêu thích mới có hứng thú trong học

tập Đây là một trong những yếu tố rất cần thiết để học tốt môn học này Phảisay sưa, chăm chỉ, có kiến thức hệ thống, học đến đâu nắm chắc và vận dụngthực hành đến đó

Luôn tìm tòi mở rộng kiến thức, chương trình trong sách giáo khoa vốn làkiến thức chuẩn, căn bản nhưng không thể giải thích cặn kẽ hết mọi vấn đề vìthời lượng chương trình không cho phép.

7.2 Đối với giáo viên

Cần nhiệt tình dành nhiều thời gian cho chuyên môn như: dạy theochuyên đề 1 buổi/ tuần vào các buổi chiều

Giáo viên cần phải lựa chọn đúng đối tượng học sinh vào bồi dưỡng vàphải tự soạn thảo chương trình bồi dưỡng một cách hợp lý, khoa học, sáng tạo.Ngoài ra, giáo viên cần tập cho các em có phương pháp tự học, tự đọc và tựnghiên cứu tài liệu ở nhà, hướng cho các em có ý chí, quyết tâm, biết đặt ra mụctiêu của mình cần vươn tới, đạt được cái đích mà mình đã đặt ra

7.3 Đối với nhà trường và gia đình

Nhà trường cần tạo điều kiện về cơ sở vật chất, cân đối; khen chê kịp thời.Phải quan tâm nhiều việc học tập của học sinh, động viên kịp thời Bổ sung vàothư viện những tài liệu tham khảo hướng dẫn rõ về bồi dưỡng học sinh giỏi cấpTHCS Phổ biến về những đề tài bồi dưỡng HSG ở THCS

8 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

Sau khi áp dụng sáng kiến vào thực tế dạy học, tôi thấy thông qua đề tàigiúp học sinh phân loại được các dạng phương trình nghiệm nguyên điều màtrước đó rất khó khăn với học sinh và học sinh cũng đã giải quyết tốt được cáckiến thức liên quan Học sinh đã biết vận dụng linh hoạt những kiến thức chủ đề

để tự lực giải quyết thành công những phương trình cụ thể khác nhau từ dạng dễđến khó Từ đó gây hứng thú học tập cho học sinh , các em không còn thấy “sợ”,thấy khó ngại phức tạp Qua đó làm tiền đề cho một số học sinh đăng ký vào cáctrường PTTH chuyên trong tỉnh

Qua một năm thực hiện theo sáng kiến hiệu quả tôi thấy rõ được là sựthành công của các đội tuyển tham gia thi các kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏimôn toán cấp huyện, cấp tỉnh trong các năm học của đơn vị mình