BAO CAO NHOM giáo dục toán thực tế RME trong dạy học toán

Giáo dục toán học thực tế (giáo dục toán học bằng thực tế) được hình thành từ những năm 1970 ở Hà Lan bởi Hans Freudenthal với tên gọi Realistic Mathematics Education (RME). Về sau, lý thuyết này được ứng dụng mạnh mẽ trong giáo dục Toán học ở Anh, Mỹ,… RME còn được biết đến với tên gọi Mathematics in Context (MiC) (tên gọi này khá phổ biến ở Anh thay vì RME). Từ năm 1971, viện Freudenthal ở Hà Lan ra đời với chức năng nghiên cứu hướng dẫn ứng dụng RME trong học tập và giảng dạy toán học. Đến năm 2003, viện Freudenthal ở Mỹ được thành lập nhằm cải thiện tình trạng giáo dục trong toán học và các phân ngành khoa học khác, mà trọng tâm là nghiên cứu giảng dạy và phát triển các chương trình giảng dạy với xu hướng gắn kiến thức toán học với thực tế cuộc sống. Theo Freudenthal toán học phải liên hệ với thực tiễn, gần gũi với trẻ em và liên quan đến xã hội. Việc học toán không nên và không cần thiết là sự truyền đạt từ người thầy cho người trò những kiến thức trừu tượng, khó hiểu. Môn toán được học thông qua việc “phát minh lại” (reinvent) kiến thức bằng một ngữ cảnh cụ thể với một vài hướng dẫn cần thiết từ giáo viên. Việc lặp đi lặp lại quy trình, giải thuật, của một bài toán trên giấy không thể tạo cảm hứng sáng tạo cho học sinh và vấn đề ứng dụng nó ra thực tế đang được quan tâm sâu sắc trong thế giới nghiên cứu hiện đại. Từ năm 1987, Treffers đã phát triển phong phú tư tưởng giáo dục toán học bằng thực tế của Freudenthal.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠKHOA SAU ĐẠI HỌC

DANH SÁCH NHÓM

CÁC TỪ VIẾT TẮT

RME Realistic Mathematics Education

MiC Mathematics in Context

Phần 1: LÝ THUYẾT GIÁO DỤC TOÁN HỌC THỰC TẾ

CỦA FREUDENTHAL

1 Giới thiệu

Giáo dục toán học thực tế (giáo dục toán học bằng thực tế) được hình thành

từ những năm 1970 ở Hà Lan bởi Hans Freudenthal với tên gọi Realistic Mathematics Education (RME) Về sau, lý thuyết này được ứng dụng mạnh mẽ

trong giáo dục Toán học ở Anh, Mỹ,… RME còn được biết đến với tên gọi

Mathematics in Context (MiC) (tên gọi này khá phổ biến ở Anh thay vì RME) Từ

năm 1971, viện Freudenthal ở Hà Lan ra đời với chức năng nghiên cứu hướng dẫnứng dụng RME trong học tập và giảng dạy toán học Đến năm 2003, việnFreudenthal ở Mỹ1 được thành lập nhằm cải thiện tình trạng giáo dục trong toán học

và các phân ngành khoa học khác, mà trọng tâm là nghiên cứu giảng dạy và pháttriển các chương trình giảng dạy với xu hướng gắn kiến thức toán học với thực tếcuộc sống

Theo Freudenthal toán học phải liên hệ với thực tiễn, gần gũi với trẻ em vàliên quan đến xã hội Việc học toán không nên và không cần thiết là sự truyền đạt từngười thầy cho người trò những kiến thức trừu tượng, khó hiểu Môn toán được họcthông qua việc “phát minh lại” (reinvent) kiến thức bằng một ngữ cảnh cụ thể vớimột vài hướng dẫn cần thiết từ giáo viên Việc lặp đi lặp lại quy trình, giải thuật,của một bài toán trên giấy không thể tạo cảm hứng sáng tạo cho học sinh và vấn đềứng dụng nó ra thực tế đang được quan tâm sâu sắc trong thế giới nghiên cứu hiệnđại

Từ năm 1987, Treffers đã phát triển phong phú tư tưởng giáo dục toán họcbằng thực tế của Freudenthal

2 Một số khái niệm về RME

Ý tưởng chính của RME là trẻ em nên được trao cơ hội sáng tạo lại kiến thứctoán học dưới sự hướng dẫn của giáo viên Ngoài ra các kiến thức toán học mới còn

1 Địa chỉ website: http://www.fius.org/ ntc 27/02/2015

được phát triển từ những hiểu biết vốn có của trẻ em (Treffers, 1991a) Theo quanđiểm này việc học toán cần sự tương tác cao và giáo viên xây dựng bài học dựa trên

ý tưởng của học sinh Tiếp cận thực tế toán học như một hoạt động mà trong đó việchọc toán cũng giống như thực hành toán, nghĩa là sẽ giải quyết các vấn đề trongcuộc sống hàng ngày theo từng ngữ cảnh Theo Freudenthal (1971) hoạt động giảiquyết vấn đề, tìm kiếm vấn đề, cũng là một hoạt động trong việc tổ chức đối tượng

Đó có thể là vấn đề từ thực tế nó có thể được tổ chức theo mô hình toán học, nhữngkết quả mới hoặc cũ của riêng bạn hay của người khác thì đều được tổ chức lại theomột ý tưởng mới, để hiểu rõ hơn, trong bối cảnh rộng lớn hơn bằng một phươngpháp tiên đề Tổ chức hoạt động đó gọi là hoạt động toán học toán học hoá(mathematizing2) Các đề cập của Freudenthal về các hoạt động toán học như mộtquá trình quan trọng trong việc giáo dục toán học bởi hai lý do

Thứ nhất, làm việc với các hoạt động toán học không chỉ là nhiệm vụ của cácnhà toán học, mà nó còn giúp học sinh làm quen với cách tiếp cận toán học thôngqua tình huống xảy ra hàng ngày Ví dụ trong các hoạt động của toán học để giảiquyết vấn đề theo ngữ cảnh, nó ám chỉ một quan điểm toán học là học sinh nên biếtđược ưu điểm và hạn chế của một phương pháp giải quyết bài toán, biết được khinào thì tiếp cận bài toán là phù hợp Thứ hai, giai đoạn cuối cùng, toán học đượcchính xác hoá bằng lý thuyết Cuối cùng, Freudenthal cho rằng, giáo dục toán họccho học sinh là một quá trình tái tạo lại kiến thức có hướng dẫn của giáo viên, đểcác em trải nghiệm lại quá trình sáng tạo toán học như những nhà phát minh toánhọc thực thụ

Quá trình khái niệm hoá toán học được miêu tả cụ thể trong hình sau (theoLange (1996), dẫn lại từ tài liệu [1]) Hình 1 lý giải tại sao bối cảnh thực tế lại trởnên quan trọng và là bước khởi đầu khi học tập môn toán De Lange cho rằng quátrình phát triển các khái niệm toán học đều xuất phát từ thực tế và các giải pháp cuốicùng cũng để đem ra thế giới thực Vì vậy những gì chúng ta cần làm trong giáo dục

2 regard or treat (a subject or problem) in mathematical terms (chú ý và luận giải một chủ đề hoặc vấn đề trong thuật ngữ toán học)

toán học là đem những gì từ thế giới thực biến thành các hoạt động toán học và sau

đó trả về với thế giới thực Quá trình này dẫn đến việc hình thành khái niệm toánhọc

3 Các nguyên tắc chính của RME

Theo Gravemeijer (1994, 1997) thì có 3 nguyên tắc chủ chốt:

3.1 Hướng dẫn tái tạo để tiến tới toán học hoá

Theo de Lange (1987), trong RME thế giới thực được khám phá đầu tiênbằng trực giác Sau đó, tổ chức và cơ cấu lại vấn đề, cố gắng xác định các khía cạnh

Trừu tượng và hình thức hoá

Hoạt động toán học

trong ứng dụng

Hoạt động toán học

Và sự phản ánh Thế giới thực

Figure 1 Toán học hoá khái niệm

( theo Lange (1996), dẫn lại từ tài liệu [1])

toán học để khám phá tìm ra quy luật Đây là bước đầu của quá trình sáng tạo lạitoán học Tiêu chí hàng đầu của RME trong giảng dạy: đó là hướng dẫn sáng tạo lạitoán học thông qua các hoạt động.

Trong các nguyên tắc của việc sáng tạo lại kiến thức toán học là học sinhđược trao cơ hội tương tự như các nhà toán học đã trải qua để khám phá ra kiếnthức toán học Ban đầu học sinh sẽ phải tưởng tượng ra con đường giải quyết vấn đề

và phỏng đoán xem giải pháp đó có phù hợp không Quá trình này thì quan trọnghơn là việc đạt được kết quả

Theo Gravemeijer (1994, 1997) thì có 2 điều cần chú ý khi hướng dẫn họcsinh tái tạo lại kiến thức toán học Thứ nhất từ lịch sử toán học chúng ta có thể tìmhiểu được bằng cách nào mà một số kiến thức toán học được phát triển Điều nàygiúp cho các nhà thiết kế chương trình đặt ra các bước trung gian để học sinh tái tạokiến thức Thứ hai là đưa ra ngữ cảnh có vấn đề để học sinh hoạt động toán học giảiquyết chúng Muốn vậy các nhà thiết kế phải tìm ra các ngữ cảnh có vấn đề cùngcác giải pháp để chỉ rõ một lộ trình giải quyết các vấn đề đó

Trong quá trình học tập cần các nhà thiết kế chương trình giảng dạy tìm mộtloạt các ngữ cảnh có vấn đề liên tiếp và nối kết với nhau Trong đó việc giải quyếtcác ngữ cảnh có thể bằng các phương pháp khác nhau

Có hai quan điểm khác nhau trong việc ứng dụng hình thức toán học để giảiquyết các vấn đề thực tế Xem hình 2

Figure 1 Quá trình toán học hoá trong xử lý thông tin và cách tiếp cận thực tế

Ở mô hình thứ nhất (hình bên trái) một vấn đề thực tế được đưa vào toán học

và bằng các công cụ của toán học, người ta giải quyết chúng trên giấy sau đó trả kếtquả trở về tình huống gốc Gravemeijer chỉ trích việc giải quyết vấn đề theo hìnhthức này, vì nó có thể làm giảm đi thông tin của tình huống gốc khi toán học hoá

Do đó khi kết quả được trả trở về thực tế, nó sẽ dẫn đến sự sai lệch nhất định vìnhiều khía cạnh thực tế đã không được chú ý giải quyết trong quá trình toán họchoá Nó dẫn đến sự không phù hợp nào đó so với thực tế Ở mô hình thứ hai, giảiquyết một vấn đề thực tế trải qua 3 giai đoạn Khi một vấn đề nào đó trong thực tếnảy sinh, nó được mô tả lại chính thức hơn, ở cấp độ đó nó được giải quyết, sau đócác kết quả sẽ được chuyển về bối cảnh thực Phương pháp này giúp giải quyết vấn

đề thực tế một cách đầy đủ hơn

Treffers (1987, 1991a) đưa ra một quan điểm về toán học hoá khi giải quyếtvấn đề thực tế đó là toán học hoá theo chiều ngang và chiều dọc Freudenthal (1991)giải thích khái niệm này như sau: Toán học hoá theo chiều ngang dẫn từ thế giớithực tế vào thế giới của các biểu tượng Toán học hoá theo chiều dọc là quá trìnhthao tác trong thế giới các biểu tượng để mô tả lại, định hình, giải quyết và phản ánhlại thực tế De Lange (1987) phân biệt toán học hoá theo chiều ngang và chiều dọcmột cách chi tiết hơn dựa vào các hoạt động toán học Các hoạt động toán học hoátheo chiều ngang, liên quan đến việc xác định một vấn đề toán học cụ thể trong ngữcảnh chung, sơ đồ hoá và hình dung vấn đề theo nhiều cách khác nhau, để tìm ra cácmối quan hệ, các quy luật, tìm ra những khía cạnh tương đồng trong các vấn đềkhác nhau, để chuyển một vấn đề từ thế giới thực sang thế giới toán học và mô hìnhtoán học tương ứng đó được biết đến từ trước Trong khi đó toán học hoá theo chiềudọc là các hoạt động ngay trong các công thức toán học để chứng minh các quy luật,điều chỉnh và thu gọn hình thức thể hiện của chúng, sử dụng các hình thức khácnhau, kết hợp nhiều hình thức, xây dựng khái niệm toán học mới và khái quát hoá

chúng Hình 3 mô tả quá trình giải quyết vấn đề thực tế bằng mô hình toán học theochiều dọc và chiều ngang.

Figure 2 Quá trình Toán học hoá theo chiều ngang và chiều dọc

(theo Gravemeijer, 1994)

(Toán học hoá theo chiều ngang: (- - - ), toán học hoá theo chiều dọc ())

Quá trình tái tạo kiến thức toán học được Gravemeijer (1994) mô tả như sau:

Vấn đề theo ngữ cảnh

Thuật toán

Mô tả Ngôn ngữ toán học

Giải quyết

Figure 3 Quá trình tái tạo kiến thức toán học

Trong hình 4 quá trình tái tạo lại kiến thức diễn ra theo hình mũi tên, trongthực tế quá trình này lặp đi lặp lại Nói cách khác, trước khi phát minh lại kiến thứctoán học học sinh cần phải trải qua bước mô tả và giải quyết vấn đề trong thế giới

ký hiệu toán học Quá trình này sẽ làm hình thành ngôn ngữ toán học và các giảithuật

De Lange (1987), đưa ra đánh giá về cách tiếp cận toán học hoá theo chiềudọc và chiều ngang như sau:

Table 1 Các cách tiếp cận toán học theo chiều dọc và chiều ngang

(theo De Lange (1987), dẫn từ tài liệu [1])

Toán học hoátheo chiều ngang

Toán học hoátheo chiều dọc

(Dấu + là có ảnh hưởng, dấu – là không có ảnh hưởng)

3.2 Hiện tượng có tính giáo khoa

Ngược lại với hiện tượng bài xích sách giáo khoa, Freudenthal ủng hộ nhữnghiện tượng có tính giáo khoa (nhằm mục đích giảng dạy và giáo dục đạo đức).Trong toán học cũng vậy, cần chọn những hiện tượng thực tế có ý nghĩa với họcsinh để tổ chức giải quyết và học tập sau đó Có hai lý do giải thích tại sao phải chú

ý đến tính giáo khoa của một hiện tượng Đầu tiên, các hiện tượng phải có liên quanđến một khía cạnh toán học mà giáo viên dự định cho học sinh tái tạo Thứ hai, cần

có những điểm phù hợp nhất định giữa các hiện tượng với các chủ điểm toán học để

có thể tiến đến quá trình toán học hoá Nguyên tắc căn bản mà nhà thiết kế chươngtrình cần chú ý đó là vấn đề được chọn phải có thật và có ý nghĩa đối với học sinh.Đôi khi các nhà giáo dục hiểu nhầm thuật ngữ “thực tế” trong RME với tính “thực”

Họ giải thích điều đó như là một đối tượng thực sự, hoặc một tình huống trong môitrường xung quanh Gravemeijer (1999) đã giải thích rõ điều này: Từ “thực tế”trong RME đề cập đến một nền tảng toán học mà nó là kinh nghiệm thực tế của họcsinh Bối cảnh trong RME không nhất thiết là tình huống thực tế trong cuộc sốnghàng ngày của học sinh Nhưng những thực tế đó phải nằm trong kinh nghiệm củahọc sinh, để các em có thể ngay lập tức thông hiểu nó Dĩ nhiên mục tiêu cuối cùngvẫn là toán học và nó giúp học sinh có kinh nghiệm trước những bối cảnh trongthực tế cuộc sống

3.3 Tự phát triển các mô hình

Nguyên tắc then chốt thứ ba cho việc giảng dạy theo RME là tự phát triểncác mô hình, hoặc các mô hình mới xuất hiện Điều này thu hẹp khoảng cách giữacác kiến thức có tính hình thức và các kiến thức ứng dụng thực tế Nghĩa là chúng taphải tạo điều kiện để các em có cơ hội phát triển những hình thức, những phươngpháp và mô hình giải quyết vấn đề riêng của các em Lúc đầu đó là những mô hìnhquen thuộc chung, sau quá trình khái quát hoá và chính thức hoá nó trở thành củariêng của học sinh Gravemeijer (1994) gọi đây là quá trình chuyển đổi các mô hìnhtoán học Sau quá trình lập luận, các mô hình này có thể được sử dụng chính thứccho quá trình lý luận toán học (Gravemeijer, 1994, 1999; Treffers, 1991a) Sau đây

là một minh hoạ cho việc sử dụng các mô hình trong ba cách tiếp cận khác nhau đểgiáo dục toán học.

4 Các nguyên tắc giảng dạy và học tập bằng RME

Khi đã hiểu được RME, việc ứng dụng vào giảng dạy là điều được xét đếnsau đây Treffers (1991a) đề xuất 5 nguyên lý cho việc dạy và học bằng RME là:

xây dựng và cụ thể hoá, các mức độ và các mô hình, sự phản ánh và các nhiệm vụ đặc biệt, bối cảnh xã hội và sự tương tác, việc cấu trúc và đan xen vào nhau Những

nguyên tắc dạy học song song với 5 nguyên lý trên được de Lange (1987) đề ra:

Việc sử dụng những bối cảnh thực tế cuộc sống, việc sử dụng các mô hình ứng dụng, học sinh tự do tạo ra các sản phẩm, tương tác, gắn bó

4.1 Xây dựng và cụ thể hoá

Nguyên lý đầu tiên của việc học bằng RME là học toán xem như một hoạtđộng có tính xây dựng, nó khá mâu thuẫn với việc tiếp thu kiến thức theo kiểutruyền thống Một ý kiến cho rằng, sự hướng dẫn nên bắt đầu với một định hướng

cụ thể có tính cơ sở Nói cách khác các hướng dẫn này phải được nhấn mạnh thông

Mô hình

Kiến thức chính thống

Tình huống

Mô hình

Kiến thức chính thống

Tình huống

Mô hình khác

Mô hình này

Kiến thức chính thống

trung gian

Thực tế

Figure 4 Quá trình sử dụng mô hình với ba cách tiếp cận khác nhau

(theo Gravemeijer (1994), dẫn lại từ tài liệu [1])

qua một thăm dò đối với các hiện tượng Từ hiện đó cần tổ chức những bước khởiđầu, giáo viên có thể kích thích học sinh sử dụng các phương tiện của việc tổ chức.

4.2 Các mức độ và các mô hình

Về nguyên tắc này việc học tập một khái niệm hoặc một kỹ năng toán họcđược xem như là quá trình diễn ra trong thời gian dài, mức độ trừu tượng tăng dần(từ không hình thức thức đến hình thức, từ trực quan đến lý luận) Việc thu hẹpkhoảng cách giữa các mức độ thường được giải quyết bằng các công cụ theo chiềudọc Gravemeijer (1994) chủ trường rằng nên mở rộng sự chú ý đến các mô hìnhtrực quan, tình huống có tính mô hình, lượt đồ, những thứ phát sinh từ việc giảiquyết các hoạt động vì nó giúp học sinh lần lượt trải qua các cấp độ khác nhau

4.3 Sự phản ánh và các nhiệm vụ đặc biệt

Nguyên tắc thứ ba liên quan đến việc nâng cao trình độ của quá trình học tập.Quá trình nâng cao dần được thúc đẩy thông qua sự phản ánh, do đó cần nghiêm túcquan tâm đến các công trình và sản phẩm riêng của học sinh Trên nguyên tắc họcsinh phải thường xuyên có cơ hội và được kích thích ở những thời điểm quan trọngtrong buổi học, để phản ánh các chuỗi vấn đề gặp phải trong học tập và dự đoánnhững tiến triển của nó ở phía trước Để thực hiện nguyên tắc này chúng ta cầncung cấp cho học sinh những bài tập đặc biệt ví dụ như các vấn đề mâu thuẫn đểkích thích sự sáng tạo của học sinh

4.4 Bối cảnh xã hội và sự tương tác

Nguyên tắc học tập thứ tư liên quan đến tầm quan trọng của bối cảnh xã hội,như Treffers (1991a) đã nói rằng việc học không phải là một quá trình đơn độc xảy

ra trong xã hội mà nó được hướng dẫn và kích thích bởi bối cảnh văn hoá xã hội.Làm việc theo nhóm là một ví dụ, học sinh được trao đổi ý kiến và tranh luận vớinhau để học hỏi từ người khác Nguyên tắc này hàm ý rằng giáo dục toán học nên

có tính tương tác tự nhiên Nó bao gồm sự thoả thuận công khai, sự can thiệp, thảoluận, hợp tác và đánh giá trở thành cần thiết trong quá trình học hỏi mang tính xâydựng này

4.5 Việc cấu trúc và đang xen vào nhau

Nguyên tắc cuối cùng có liên quan đến nguyên tắc đầu tiên Việc học tậpmôn toán không phải là việc hấp thu các kiến thức và kỹ năng toán học mà là việcxây dựng nên cấu trúc của nó Ngoài ra việc học tập lý thuyết và ứng dụng thực tếphải được kết hợp với nhau, đan xen với nhau Thứ ba, bối cảnh liên quan đến việcthiết lập và các tình huống Việc thiết lập được nói đến trong các khung vật lý khácnhau của các hoạt động

5 Vai trò của ngữ cảnh trong RME

Roth (1996) đề cập đến 3 loại ngữ cảnh Thứ nhất, bối cảnh liên quan đếnviệc bổ sung kiến thức, điều đó thì cần thiết để hiểu rõ một vấn đề toán học Bốicảnh có thể là một câu chuyện chứa các vấn đề, nhưng không được nói ra hay viết

ra Thứ hai, bối cảnh đề cập đến hiện tượng của thế giới thực, cái mà sẽ được môhình hoá trong toán học Thứ ba, bối cảnh liên quan đến hoàn cảnh và thiết lập thậmchí một tình huống đã bao gồm tất cả các mặt của xã hội, vật lý, lịch sử và thời gian.Thực tế nội tại của toán học hay thế giới thực trong trí tưởng tượng của học sinhcũng là những nguồn để phát triển các khái niệm toán học Figueiredo cho rằng, ngữcảnh cần có đặc tính như: dễ tưởng tượng, dễ nhận ra và hấp dẫn; quen thuộc vớihọc sinh; đáp ứng yêu cầu của việc tổ chức toán học; không tách rời với quá trìnhgiải quyết vấn đề và phải dẫn học sinh đi đến giải pháp Các chức năng của ngữcảnh trong RME:

+ Giúp học sinh hiểu được mục đích vấn đề nhanh chóng;

+ Cung cấp cho học sinh các chiến lược dựa trên kinh nghiệm riêng, và kiếnthức không chính thống

+ Cho học sinh nhiều cơ hội để chứng minh khả năng của mình

+ Mời gọi học sinh giải quyết vấn đề (yếu tố động lực)

Phần 2: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GIÁO DỤC TOÁN HỌC THỰC TẾ CỦA FREUDENTHAL VÀO GIẢNG DẠY

Phần 3: GIỚI THIỆU HAI BÀI BÁO QUỐC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GIÁO DỤC TOÁN HỌC THỰC TẾ CỦA

Dick SLETTENHAAR

Faculty of Science and Technology (TO), Twente University, The Netherlands

P.O Box 217, 7500 AE Enschede, The Netherlands

Tjeerd PLOMP

Faculty of Science and Technology Twente University, The Netherlands

P.O Box 217, 7500 AE Enschede, The Netherlands

ABSTRACT

This paper presents a case study about employing Realistic Mathematics Education(RME)-approach to teach mathematics in Indonesian primary schools Many obstacles,such as the very dependent attitude of the pupils, the pupils who were not used to working

found when the pupils, who were used to the traditional way of teaching, dealt with thenew approach (RME) The discussion in this paper is focused on these obstacles and theefforts undertaken to overcome them

1 Introduction

There is a number of problems in mathematics instruction in Indonesian primaryschools For example, the approach that is used to teach mathematics is very theoretical,and many abstract concepts and formulas are introduced without paying much attention on

3 In: 2nd International Conference on the Teaching on Mathematics, ICTM 2002, July 1-6, 2002, Hersonissos, Crete, Greece (Hội nghị quốc tế lần thứ 2 về giảng dạy về Toán, ICTM 2002, tháng 1-6, 2002, Hersonissos, Crete, Hy Lạp)

aspects such as logic, reasoning, and understanding (Karnasih & Soeparno, 1999; Soedjadi,

centered) way (Somerset, 1997)

The conditions above make mathematics more difficult to learn and understand andpupils become afraid of mathematics Moreover, the conditions also create unfavorableclimate for mathematics instruction in the classrooms In general, the climate in Indonesianclassrooms is similar to those in several African countries as was summarized by de Feiter

at all (1995) and Ottevanger (2001) as follow: pupils are passive through out the lesson;

‘chalk and talk’ is preferred teaching style; emphasis on factual knowledge; questionsrequire only single words, often provided in chorus; lack of learning questioning; onlycorrect answers are accepted and acted upon; whole-class activities of writing/there is nohands work is carried out

In our research project (started in 1998 and is partly reported in this paper) weexplored the extent to which Realistic Mathematics Education (RME) could address some

of the problems in mathematics education in Indonesia, more specifically in the geometryinstruction This aim is realized by developing and implementing the student book andteacher guide based on RME theory through development research (see Akker & Plomp,1993; Richey & Nelson, 1996)

The paper reports about the very first experiences in Indonesia to teach geometry

according to the RME approach, and addresses specifically the research question ‘what are

the obstacles when introducing the RME approach and how can they be overcome?’ In the

next section, the characteristics of RME will be summarized Then, the RME-basedintervention for teaching geometry topics to grade 4 classroom will be described followed

by the design of this research The report of the research findings is followed by someconclusions and reflections relevant for further work in this area

2 Realistic Mathematics Education (RME)

RME is an approach in which mathematics education is conceived as humanactivity (see Freudenthal, 1973; Treffers, 1987; Gravemeijer, 1994; De Lange, 1987,1998) In RME, learning mathematics means doing mathematics, of which solving everyday life problems (contextual problems) is an essential part

There are three key principles of RME for instructional design namely guided

reinvention and progressive mathematizing, didactical phenomenology, and self developed models (Gravemeijer, 1994) Even for teaching learning process, RME has five learning

and teaching principles: constructing and concretizing, level and models, reflection and

special assignment, social context and interaction, structuring and interweaving (see De

Lange, 1987; Streeflands, 1991; Gravemeijer, 1994) So, in RME-based lessons, pupilsshould be given the opportunity to reinvent mathematical concepts, and teaching learningprocess would be highly interactive The main role of teachers is to determine in whichway an optimal result can be obtained, for example by organizing pupils’ interaction,individual work, group work, classroom discussion, pupil presentation, teacherpresentation, and/or other activities

Given its characteristics, RME is considered a very promising approach to changethe classroom’ climate in order to improve mathematics teaching and make it morerelevant for pupils

in Indonesia

The Intervention: a series of lessons on topic ‘area and perimeter’

To investigate whether and under what conditions RME can be utilized inIndonesian primary schools, a series of 10 lessons have been designed for pupils at grade 4(age 9 – 11) on the topic ‘area and perimeter’ There are two potentials of RME-basedlessons on this topic compare to traditional lessons Firstly, Indonesian curriculum for topicarea and perimeter school contains only the most minimal concept of area that is area as

“length times width’ or area as counting the squares centimeters in a rectangle or square.Even in the RME-based lessons the concept of area is broaden to other shapes, by relatingarea to other “magnitudes’ (costs, weight, paint, rice, cake, etc.); investigating the relationbetween area and perimeter; connecting measurement units to reality; integrating somegeometry activity (re-shaping, tessellation, etc.) Secondly, the lessons for topic area andperimeter in Indonesian curriculum emphasize only on applying the formulas (after theformulas are introduced deductively using chalk and talk method) In other hand,RMEbased lessons would create the situations that due to learning and teaching principlesand RME characteristics mentioned above such as pupils centered instruction, pupils activelearning (interactivity), pupils free production (reinvention and self-developed models),etc The principle ‘free production’ would stimulate pupils’ reasoning because the pupils

have to share or discuss concepts they reinvent or models they develop in solvingcontextual problems.

Related to the potentials of RME-based lessons, pupils are expected not only tomaster the mathematical concepts related but also to pay much attention on the processrelated They are expected to know how to work in groups, be active and creative inreinventing the concepts related and developing their model in solving a contextualproblem, understand the importance of giving an explanation for a solution The same casefor teachers, they are expected to be able to attract the pupils to solve the contextualproblems, stimulate the pupils when they are working in groups, to react upon the pupils’contribution, and to guide the classroom discussions

As there was no information at all about how Indonesian pupils would react on

such a new approach, it was decided to use an ‘emergent’ design approach: the series of

lessons was only planned in general terms of what content, methods and learner activitiesshould be applied in the lesson series, while the detailed plan for each lesson would bestrongly determined by the events and experiences of the preceding lesson(s) Thisapproach implies that only the first lesson a detailed plan was designed

3 Design of the research

Given the research question and its context, the research reported here has anexploratory character The research was conducted in a primary school in Surabaya (EastJava) As no teacher in Indonesia has experience with teaching RME-based lessons the firstauthor taught the pupils himself, even the teacher and the second author taking the role ofobservers The data collection focused on pupils’ activities and reactions when they dealtwith RME-approach The instruments used to collect the data were observation scheme,logbook, and interview guidelines The data analysis in this exploratory research wasqualitative and judgmental

4 Research Findings

Below is described what happened in the consecutive lessons to the classroom Thedata are presented in narrative form to be able to convey the richness of the interactionsand other processes that took place As the first author acted as the teacher, researcher(formative evaluator) and developer of the lessons, this part of the paper is written in a

‘personalistic style’

Finding from lesson 1

The topic for the first lesson is “the sizes of shapes” in which pupils wouldcompare and order the sizes of various shapes To do these activities, I prepared materialssuch as: worksheet, tracing papers, drawing papers, and scissors An important goal of thelesson is to see how pupils would react and act to the change in roles: from passivelistening and making exercises towards active working on mathematics tasks In thismeeting pupils worked in groups of 4, in which pupils who sat next to each other were inthe same group The pupils were grouped to make it easier to observe their activities Atthe beginning I explained what the lesson is about, what expectations I had from the lesson(the changes of pupils’ and teacher’s role, compare to traditional method), what activitiesthe pupils would do, and what the nature of the materials was which I provided for Thiswas what happened when the pupils dealt with the first contextual problem.

Hand Size-fingers

Draw the outlines of your hand size-fingers on a piece of paper then find out who

has the smallest hand size-fingers? Explain your answer!

After reading the contextual problem the pupils kept silent It seemed they did notknow what to do and were waiting for instruction I tried to explain and encouraged them

to use any materials in order to solve the problem, but there was none of the pupils started

to work Because of that, I explained how to draw hand size-fingers on a drawingpaper/tracing paper Then, I gave a clue how to use those drawings to find the member ofgroups who had the smallest hand size-fingers (by putting one drawing on top of theothers) Some groups were not interested and just observed their drawings then decidedabout the answers (without giving any reasoning) When I asked them `how do you know it

is the smallest?’, they just looked at each other Because most pupils were still confuse, Iasked them to cut out their drawings in order to make easier to compare the drawings Allgroups did this but only two groups (out of ten) succeeded on this task

Initially I thought the problem was because of poor reading ability After askingsome pupils I discovered that the problem was not in reading but that the pupils neverworked on story problems Besides, they were used to a situation in which the teacherwould give first an example, after which the pupils do the tasks that similar to the example

Working in groups was not running smoothly because only one or two pupils ineach group

were working seriously, while the others were waiting for the answers Moreover,the pupils in the mixed groups (boys and girls) did not enjoy working together.

From the first lesson, the following points emerged as lessons learned:

were not self-confident in solving a problem Every time after they finished a task,they always asked me (the teacher) to come closer and check if what they did werecorrect or not

asking for helps The classroom was also too small so that I could not move easilyfrom one group to he others to give guidance

how they did it, or why they did it, neither orally nor in written

culture In their everyday life, it is rarely seen that boys and girls are doingactivities together So they were shy to work together in one group

Finding from lesson 2

The tasks in lesson 2 were similar to those in the lesson 1 Dealing with theproblems found

before, I made a plan for this lesson as follow:

the process of solving the contextual problems;

pupils;

something

However, this planning did not go well It was the first time the pupils followed aninstruction using OHP Some pupils came closer to see the OHP and played with its light,and the others were laughing when seeing the shadows were moving on the screen Pupilsfrom other grades (they did not have lessons at that time) were also curious, especiallyabout the use of OHP and presence of the observers in the classroom They stood in front

of the door and made noise

Most pupils still asked ‘what should they do now and next?’ I tried to motivatethem to think themselves by giving hints and/or rising stimulating questions This effortworked for most of the pupils, but still did not work for some pupils who were very weak

in basic mathematical concepts (they could not draw a simple geometry objects; they alsostill used their fingers to count 3 x 4, and did not know the results of 8 x 7, a half of 6, ahalf of 9, etc.) These pupils really needed guidance step by step in solving a problem

The frequency of pupils’ shouting in asking for helps and clues was reduced,although sometimes they forgot the rule The motivation of most pupils to work in groupswas increased, and they also started to give the reasons for their solutions orally as well as

in writing, although most of those reasons were not relevant to the questions It was alsofound pupils’ tendency just to get the results and did not pay attention to the process insolving a problem For example, some groups preferred dividing the tasks among the groupmembers in order to get the answers as soon as possible, rather than having a discussion tofind the answers together

The findings mentioned above can be seen as the effects of the traditional way ofteaching as these pupils were almost never work on contextual problems and the teachernever conducted working group As a consequence, the activity and creativity of the pupilswere not developed well because lack of opportunities

I learned from the two lessons that the pupils needed time to get used to the newapproach (RME), therefore some more efforts had to be done to realize it Below issummarized the efforts were done in the next lessons (3 –10) and the impacts that thesehad

Lesson 3-7: the efforts and impacts

Firstly, the effort related to the condition where the pupils were not used to thecontextual problems In the third meeting I read the contextual problems for the pupilsorally, instead of just let them read and solve the contextual problems by themselves.Sometimes I changed the context (became not exactly the same with those in their book) tomake the problems more interesting so that the pupils could come inside the problem andthen they feel responsible or have motivation to solve them After reading a contextual

problem, I took some times to rise questions; for example: Who can explain what the

problem is about? Who get an idea to solve the problem? Who has another idea? This

tactic could work well The pupils started to give their contribution in solving a problem,though their opinions were frequently not relevant But by emerging democratic condition(not just saying right or wrong for what the pupils said) in the classroom, the pupils werenot afraid anymore to mention their idea

The positive impact of this effort was found in the fourth meeting In this meetingthe pupils worked in groups of 4 with special assignment in which a member in a groupshould write down the answers on the blackboard I observed that most pupils were veryenthusiast in doing this task Each group had a discussion to find the answers instead of

dividing the tasks among the group members (as they did before) They were glad whenthey finished one task then could show the result on the blackboard directly (the groupscompeted each other).

Secondly, the effort related to pupils’ tendency just to get the results and did notpay attention to the process I succeeded to stimulate them in changing that attitude afterapplying some rules in the class I told the pupils that they would not get a maximum mark

if they could not show or explain the process and reasons in solving a problem Moreover,

I also wrote the notes in pupils’ exercise books, asking them to explain the processes andreasons every time they worked on their homework This effort had an impact in that thepupils started to give explanations or reasons Even at the beginning most of theirreasoning was very weak, but after few meetings most pupils showed an improvement Thenext example shows an improvement of a pupil (Astrid)

In the first two meetings, Astrid was very weak in reasoning Every time she

compared “the size of shapes” she wrote ‘…… is bigger than……., because it is looked

bigger or when I measure it, it is bigger’ In the third meeting she wrote ‘when I compare

it, and tried to trace it, I found……’ eight times in solving the problems However, in the

seventh meeting she could come with nice idea when she worked on the problem below

Rini, Eko, Tuti Salim and Rahmad drew the shapes below Did they draw shapes with area

five square units? Explain your answers.

She used reallotment strategy to explain her answer on this problem:

Astrid found that the drawing of Salim was 5 units square, Rahmad was 4 units square units, and Tuti was 3 units square using reallotment strategy.

Attitudes of the pupils and parents

There were also found interesting facts related to pupils’ and parents’ attitude.Firstly, in checking the solutions of the exercises or homework, the pupils preferred to do itclassically so that they could express their happiness (by shouting) if their answers werecorrect They also asked me to put the mark on their exercise book every time they finished

an exercise or homework This was not only for the proud of the pupils themselves(especially when they get 10) but also because the parents always ask the marks thechildren get every time they back home from the school

Secondly, some parents helped their children doing the homework But the mainreason for this was only to increase the mark of the pupils (the marks for the homeworkused to be considered in determining the final mark) They did not pay attention on pupils’understanding, because when I asked the pupils about what their parents told them theycould not explain The next is an example of what the parents taught their children

To determine the areas of shaded figures above, the parents told the children to usethe formulas of parallelogram (for the figure on the left) and kite (for the figure on theright) It seemed that the parents only think about topic ‘area’ as merely playing with theformulas (at this moment the pupils have not learned the formulas yet) In fact, theproblems could solve easily using reallotment strategy or by halving (without knowing theformulas)

5 Conclusion

There were many obstacles in applying RME in Indonesian mathematics education.Nevertheless, this first pilot with RME had many positive impacts on the teaching-learningprocess in the classrooms The difference in the learning behavior of the pupils found fromday to day showed that RME is a potential approach for teaching and learningmathematics Based on the interviews with a number of pupils it was know that they likethe new approach They realized that

there were some positive changes on themselves especially in reasoning, activityand creativity The teacher himself admitted that there were positive changes on the pupils’behavior after they dealt with RME-based lessons

In conclusion, RME is an approach to mathematics education developed in theNetherlands, but the exploratory research reported here shows that this approach is notsomething impossible to utilize in Indonesia But to realize this, a big effort is needed in

the areas of curriculum development, assessment practices, and teacher (in-service)training, all supported by focused development research and formative evaluation to assurethat ‘local’ relevancy will be obtained The efforts needed should not be underestimated asthe change touches on the roots of mathematics education in Indonesia: it is necessary thatall stakeholders understand that not only a new curriculum and a new pedagogy is needed,but above all that the notion of what is good mathematics education has to change (seeFullan, 1991) Therefore, a process of changing to the mathematics curriculum and culturetowards introducing RME in Indonesia is only possible with the support of thegovernment The government has to play an important role, in the first place by providingthe budget that is needed to facilitate the research and development in all three areasmentioned above But also in order to develop a policy on mathematics education thatprovides the formal and ‘administrative’ support that such a change of the nationalcurriculum and assessment approach needs Moreover, the teacher training institutes maybecome the first “targets’ for change, as they have to play a central role in preparing theteachers to be capable of teaching and disseminating RME.

References

- Akker, J van den & Plomp, Tjeerd., 1993, Development Research in Curriculum: Propositions and

Experiences, The Netherlands: University of Twente.

- Feiter, Leo de At al., 1995, Towards more effective teacher development in Southern Africa, Amsterdam:

VU University Press.

- Freudenthal, H., 1973, Mathematics as an educational task, Dordrecht: Reidel.

- Fullan, M., 1991, The new meaning of educational change, London: Cassel.

- Gravemeijer, K.P.E., 1994, Developing realistic mathematics education, Culenborg: Technipress.

- Karnasih, I and Soeparno, 1999, Teaching mathematics has to focus on logic, Indonesia: Kompas May 17th

2000.

- Lange, Jan de., 1987, Mathematics Insight and Meaning, Utrecth: Rijkuniversiteit

- Lange, Jan de., 1998, Using and applying mathematics in education: International Handbook of

Mathematics Education, London: Kluwer Academic Publisher

- Ottevanger, W., 2001, Teacher support materials as a catalyst for science curriculum implementation in

Namibia, Enschede: PrintPartners Ipskamp.

- Richey, R.T & Nelson, W.A., 1996, Development Research In D Jonassen (Ed.) Educational

Communications and Technology, London: Macmillan.

- Soedjadi, 2000, Teaching mathematics has to focus on thinking process, Indonesia: Kompas April 17th 2000.

- Somerset, A., 1997, Strengthening quality in Indonesian junior secondary school: An overview of issues

and initiatives, Jakarta: MOEC.

- Streefland, L., 1991, Fraction in realistic mathematics education, a paradigm of development research,

Dordrect: Kluwer Academic Publisher.

- Treffers, A., 1987, Three dimensions: A model of goal and theory description in mathematics education,

Dordrecht: Reidel.

(Bản tiếng Việt)

Tiếp cận việc sử dụng Giáo dục toán học thực tế (RME) tại các trường Tiểu học ở

Indonesia

Ahmad FAUZAN

Khoa Toán, Khoa Toán và Khoa học, Đại học bang Padang (UNP)

Kompleks UNP - Air Tawar, Padang, Tây Sumatra, Indonesia

Dick SLETTENHAAR

Khoa Khoa học và Công nghệ (TO), Đại học Twente, Hà Lan

PO Box 217, 7500 AE Enschede, Hà Lan

Tjeerd Plomp

Khoa Đại học Khoa học và Công nghệ Twente, Hà Lan

PO Box 217, 7500 AE Enschede, Hà Lan

TÓM TẮT

Bài báo này trình bày một nghiên cứu trường hợp (case study) về việc sử dụngGiáo dục Toán học thực tế (RME) – để tiếp cận giảng dạy toán học tại trường tiểu họcIndonesia Nhiều trở ngại, như thái độ rất phụ thuộc của học sinh, các em không quen vớilàm việc theo nhóm, thiếu khả năng lý luận và thiếu sự hiểu biết về các khái niệm cơ bản,những người đã quen với cách giảng dạy truyền thống, sẽ được giải quyết bằng các phươngpháp tiếp cận mới (RME) Các cuộc thảo luận trong bài viết này là tập trung vào cácchướng ngại và những nỗ lực thực hiện để khắc phục chúng

1 Giới thiệu

Có một số vấn đề trong giảng dạy toán học tại trường tiểu học Indonesia Ví

dụ, các phương pháp được sử dụng để giảng dạy toán học là rất lý thuyết, và nhiều trừutượng khái niệm và công thức được giới thiệu mà không phải cần nhiều sự chú ý trên cáckhía cạnh như logic,lý luận, và sự hiểu biết (Karnasih & Soeparno, 1999; Soedjadi,2000) Bên cạnh đó, việc giảng dạy học tập là một quá trình luôn luôn được tổ chức theocách thức truyền thống (giáo viên làm trung tâm) (Somerset, 1997)

Các điều kiện trên làm cho việc học và hiểu môn toán trở nên khó khăn hơn

và học sinh trở nên sợ của toán học Hơn nữa, các điều kiện về không khí học tập trong lớpcũng không thuận Nhìn chung, không khí lớp học của Indonesia là tương tự như ở một sốnước châu Phi như đã được tóm tắt bởi de Feiter cả (1995) và Ottevanger (2001) như sau:học sinh thụ động thông qua ra bài học; 'Phấn và thuyết giảng " là phong cách giảng dạyđược ưu chuộng; chú trọng vào kiến thức; câu hỏi đòi hỏi những lời chỉ duy nhất, lập lại