(Luận văn thạc sĩ) phương trình liên hợp và ứng dụng

1 1.2 Bài toán liên hợp của bài toán khuếch tán trong không gian một chiều.. 5 2 Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều 10 2.1 Bài t

NGUYỄN THU QUYÊN

PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2013

NGUYỄN THU QUYÊN

PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN HỌC TÍNH TOÁN

Mã số : 60 46 30

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCGIÁO SƯ TIẾN SĨ ĐẶNG QUANG Á

Hà Nội - Năm 2013

Lời cảm ơn iii

1.1 Bài toán liên hợp cho bài toán dừng một chiều 1

1.2 Bài toán liên hợp của bài toán khuếch tán trong không gian một chiều 5

2 Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều 10 2.1 Bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều 10

2.2 Bài toán liên hợp 14

2.3 Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm 16

2.3.1 Một số tập và không gian hàm 16

2.3.2 Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm của bài toán 18 3 Giải số bài toán tràn dầu 24 3.1 Phương pháp xác định vị trí và thời gian tràn dầu 24

3.2 Bài toán tràn dầu trong không gian một chiều 29

3.2.1 Bài toán ban đầu và bài toán liên hợp 29

3.2.2 Lược đồ giải số 31

3.2.3 Kết quả giải số 34

3.3.1 Bài toán ban đầu và bài toán liên hợp 383.3.2 Lược đồ giải số 393.3.3 Kết quả giải số 42

ii

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tìnhcủa Giáo sư Tiến sĩ Đặng Quang Á Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn,nhiệt tình chỉ bảo cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trìnhlàm luận văn Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy củamình.

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô đang công tác tại Khoa Toán-Cơ-Tin học,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiệncho chúng tôi có môi trường học tập và nghiên cứu tốt Tôi cũng vô cùng biết

ơn các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa Cao học 2010 - 2012 đã dành nhiềucông lao dạy dỗ trong thời gian chúng tôi học tập tại trường

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đãluôn cổ vũ, động viên tôi trong quá trình suốt quá trình học tập cũng như làmluận văn

Hà Nội, ngày 1 tháng 10 năm 2013

Học viên

Nguyễn Thu Quyên

Phương trình liên hợp đang ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu toán học cũng như áp dụng trong các mô hình thực tiễn Đặc biệt, phương pháp phương trình liên hợp có thể đưa ra rất nhiều ý tưởng mới cho việc giải các bài toán môi trường như phân tích mô hình biến đổi khí hậu hay nghiên cứu mức độ ô nhiễm môi trường nước, không khí, Hiện nay đã có tài liệu trình bày về vấn đề áp dụng phương trình liên hợp trong bài toán môi trường nói chung và trong bài toán tràn dầu nói riêng như trong [2], [3], [7], [8] Tuy nhiên, các kiến thức này tương đối trừu tượng và phần lớn các mô hình toán học cũng như sơ đồ tính toán còn mở Do vậy, trước hết tác giả mong muốn những kiến thức cụ thể và gần gũi trong cuốn luận văn “Phương trình liên hợp và ứng dụng” sẽ là tài liệu hữu ích đối với những ai bắt đầu quan tâm đến đề tài Phương trình liên hợp.

Bên cạnh đó, mục tiêu quan trọng của luận văn này là trình bày ứng dụng phương trình liên hợp vào bài toán tràn dầu với mô hình và thuật giải số cụ thể để giải bài toán này Luận văn hướng tới việc giải cả hai bài toán thuận và bài toán ngược Bài toán thuận là bài toán mô phỏng quá trình tràn dầu theo vị trí và thời gian Bài toán ngược là bài toán xác định vị trí và thời gian xảy ra sự cố tràn dầu Những tính toán này cho phép ta dự đoán chính xác nguồn phát ô nhiễm, quá trình lan truyền và mức

độ ô nhiễm tại mọi thời điểm vào bất cứ thời gian nào Từ những dự đoán này ta có thể đưa ra các phương án làm sạch mặt biển hay bảo vệ các khu vực sinh thái nhạy cảm.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mã chương trình và danh mục các tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương:

- Chương 1: Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp.

- Chương 2: Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều.

- Chương 3: Giải số bài toán tràn dầu.

Vì trình độ cũng như thời gian nghiên cứu và viết luận văn có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Tác giả rất mong được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, đồng nghiệp và các bạn quan tâm đến vấn đề này để luận văn được hoàn thiện hơn.

iv

Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản nhất về phương trình liênhợp như khái niệm phương trình liên hợp, cách xây dựng bài toán liên hợp chobài toán dừng và bài toán khuếch tán để làm cơ sở cho các chương sau Trongchương này ta cũng đề cập đến hàm độ nhạy và một ví dụ thể hiện tính ưu việtcủa việc giải bài toán nhờ vào phương trình liên hợp

Định nghĩa 1.1.1 Cho phương trình

trong đó L là toán tử vi phân xác định trên miền

D(L) = {u ∈ C1(0, 1) : u(0) = u(1) = 0;

1R0

với u, v thỏa mãn (1.1), (1.2).

Phương trình (1.1) được gọi là phương trình ban đầu

Bây giờ ta xét bài toán dừng một chiều

dφ dx

dφ∗

dx dx −

1Z0

−

1Z0

φdφ

∗

dx dx −

1Z0

(1.5)

Giả sử cần tính giá trị phiếm hàm

J =

1Z0

Ta có thể tính J thông qua việc giải bài toán gốc (1.4) hoặc dựa vào nghiệmcủa bài toán liên hợp (1.5).

Thật vậy, nhân hai vế của (1.6) với φ∗ rồi lấy tích phân theo x trên[0, 1] ta có

1Z0

Nhân hai vế của (1.5) với φ rồi lấy tích phân theo x trên [0, 1] ta có

1Z0

f (x)φ∗dx −

1Z0

p(x)φdx

⇒

1Z0

f (x)φ∗dx −

1Z0

p(x)φdx = 0

⇒

1Z0

p(x)φdx =

1Z0

f (x)φ∗dx.

Như vậy ta có:

J =

1Z0

p(x)φdx =

1Z0

Phiếm hàm J được tính theo (1.9) được gọi là phiếm hàm độ nhạy

Tiếp theo ta sẽ tìm bài toán liên hợp của bài toán dừng trong trường hợp cónhiễu Xét bài toán có nhiễu

Khi đó, lời giải của bài toán (1.10) có dạng φ (x) = φ(x) + δφ(x), với φ(x) lànghiệm của bài toán (1.4).

Tương ứng có phiếm hàm độ nhạy Jp0 = Jp+ δJp,

với δJp =

1R0

δgφ∗φ0dx

V P =

1R0

f (x)φ∗(x)dx −

1R0

p(x)φ(x)dx +

1R0

δf (x)φ∗(x)dx −

1R0

δp(x)φ(x)dx

⇒ V T =

1R0

δf (x)φ∗(x)dx − δJp

⇒ δJp =

1R0

δf (x)φ∗(x)dx −

1R0

δgφ∗φ0dx

=

1R0

φ∗(x) [δf (x) − δg(x)φ0(x)] dx.

Nhận thấy trong trường hợp không có nhiễu δg = 0 thì ta có

δJp =

1Z0

δf (x)φ∗(x)dx

4

Nếu giả thiết nhiễu nhỏ và xấp xỉ φ (x) = φ(x), khi đó ta có biểu thức nhiễunhỏ:

δJp =

1Z0

x=−∞

dt +

TZ0

φ∗(x0, t)dt

⇔

TR

Giả thiết φ (x, t) = 0 tại x = ±∞ khi đó ta có

φ∗(x0, t)dt

(1.13)Đặt L∗φ∗ = −∂φ

∗

∂t + σφ

∗ − µ∂

2 φ∗

∂x2 và giả thiết φ∗T = φ∗(x, T ) = 0, khi đó (1.13)

tương đương biểu thức:

(L∗φ∗, φ) ≡

TZ0

mà không cần quan tâm đến lời giải bài toán ban đầu, thì có thể tính J thôngqua hàm liên hợp ứng với các giá trị hàm p(x, t) khác nhau

Như vậy, để tính J ta có thể làm theo hai cách:

- Cách 1: Giải phương trình gốc rồi tính J dựa vào công thức

J = Q

TZ0

Ví dụ 1.2.1 Xét bài toán mô tả sự lan truyền ô nhiễm trong miền Ω = (−∞, +∞)

φ(x, t) = 0, x = ±∞.

(1.16)

Cho phiếm hàm J =

TR0

ω ⊂ Ω

sao cho trong ω, giá trị hàm J không vượt quá hằng số c cho trước

Với hàm p(x, t) xác định như trên ta có:

J =

TZ0

φ(ξ, t)δ(t − τ )dt = φ(ξ, τ ). (1.17)

Theo lập luận ở trên, ta có thể giải bài toán theo hai cách:

- Cách 1: Giải bài toán (1.16) ứng với mỗi giá trị x0∈ Ω khác nhau, xác địnhhàm J dựa vào (1.17) rồi rút ra miền ω thoả mãn điều kiện J ≤ c Làm theocách này phải giải số lượng lớn phương trình ban đầu nên không phù hợp giải

- Cách 2: Sử dụng phương trình liên hợp

J = Q

TZ0

+∞

Z

−∞

˜ ϕ(x − ξ, t1− τ )δ(ξ − ξ1)δ(T − t1− τ1)dξdτ

⇒ J = Q

TR0

φ∗(x0, t)dt = Q

2 √ µπ

τ 1

R0

k−1Xj=0

Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn

định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều

Chương này trình bày về bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều theo

mô hình của Skiba trong [2] và quá trình xây dựng bài toán liên hợp cho bàitoán này Đồng thời trong chương này cũng đưa ra chứng minh rằng bài toánkhuếch tán truyền tải này luôn có nghiệm, hơn nữa nghiệm này là ổn định vàduy nhất

Cho D ⊂ R2 là miền mở có biên S Thời điểm ban đầu t = 0 là lúc xảy ra sự

cố tràn dầu tại vị trí ban đầu r0= (x0, y0) Giả thiết lượng dầu tràn ra biển tạithời điểm t là F (t), và nồng độ dầu trên mặt biển vào thời điểm t ở vị trí r(x, y)

là φ(r, t) Khi đó, ta có phương trình thể hiện sự lan truyền dầu trong miền D

trong khoảng thời gian (0, T ) như sau:

σ là hệ số phân rã của dầu do sự bốc hơi

U (r, t) = (u(r, t), v(r, t)) là tốc độ dòng chảy, giả sử đã biết vận tốc này dựavào các thông tin khí tượng thuỷ văn

Nếu như vận tốc U (r, t) thoả mãn phương trình liên tục ∇ · U = ∂u

Điều kiện biên: Gọi U n là hình chiếu của vận tốc U theo hướng pháp tuyếnngoài ntới biên S Giả thiết biênS được chia làm hai phầnS−, S+:S = S+∪ S−,trong đó S+ là phần biên ở đó dầu chảy ra khỏi D tức là có U n ≥ 0, và S− làphần biên ở đó dầu chảy vào tức là có D Khi đó, ta có thể thiết lập điều kiệnbiên như sau:

Trong trường hợp D đóng và được bao bởi bờ biển thì có: S+≡ S

Ta cũng có thể thiết lập điều kiện biên khác:

∂φ

∂n = αφ , r ∈ S

+ 2

(2.5)

Trong đó: S1+ có Un > 0, S2+ có Un = 0 là phần biên trùng với bờ biển, α là hệ

số hấp thụ dầu của bờ biển Trong luận văn này ta xét bài toán với biên (2.4),

cụ thể ta xét bài toán ban đầu sau

Bây giờ ta sẽ ước lượng nồng độ dầu Bằng cách lấy tích phân hai vế của (2.2)

theo r trên miền D ta được phương trình

∂

∂t

ZD

φdr −

ZD

∇U φdr +

ZD

σφdr −

ZS

φdr −

ZD

∇U φdr +

ZD

φdr =

ZD

∇U φdr −

ZD

φdr = −

ZD

φdr = −

ZD

σφdr −

Z

S +

được gọi là phương trình cân bằng

Từ phương trình cân bằng này ta thấy ước lượng theo thời gian của nồng độdầuR

D

φdr tăng theo lượng dầu tràn ra biểnF > 0, giảm do sự bay hơi R

D

σφdr vàgiảm do sự vận chuyển dầu theo dòng chảy R

S +

UnφdS ra khỏi miền D qua biên

S+

Để thu được ước lượng nồng độ chất ô nhiễm trong L2, nhân hai vế (2.2) với

phi rồi lấy tích phân theo r trên D ta có:

(σφ2+ µ|∇φ|2)dr−

ZS

(2µφ∂φ

∂n − Unφ2)dS = 2F (t)φ(r0, t)

∇U φ2dr+2

ZD

2.2 Bài toán liên hợp

Ta xây dựng bài toán liên hợp của bài toán ban đầu (2.6), sử dụng nhân tử

Lagrange thoả mãn(Lφ, φ∗) = (L∗φ∗, φ) với tích vô hướng được xác định như sau

(ϕ, ψ) =

TZ0ZD

φ∗∂φ

∂tdrdt−

TZ0

ZD

∇U φφ∗drdt+

TZ0

ZD

σφφ∗drdt−

TZ0

ZS

∇U φφ∗drdt +

TR0RD

σφφ∗drdt +

TR0R

∇U φφ∗drdt +

TZ0ZD

σφφ∗drdt +

TZ0Z





TZ0





TZ0

φ∗dφ



dr =

ZD



φφ∗|T0dr−

TZ0ZD

φ∗∂φ

∂tdrdt =

ZD

φTφ∗Tdr −

TZ0ZD

RD

φ∂φ

∗

∂t drdt −

TR0

RD

∇U φφ∗drdt +

TR0

RD

σφφ∗drdt +

φ∂φ

∗

∂t drdt −

TR0RD

∇U φφ∗drdt +

TR0RD

σφφ∗drdt +

TR0R

RS

S +

Unφφ∗dSdt = −

TZ0ZS

µ∂φ

∂nφdSdt

⇒ (Lφ, φ∗) = −

TR0RD

φ∂φ

∗

∂t drdt −

TR0RD

∇U φφ∗drdt +

TR0RD

σφφ∗drdt −

TR0RS

Nếu đặt τ = T − t ta được bài toán

(f, g) =

ZQ

kφkH = (kφtk2+ kφxk2+ kφyk2+ kφk2S)1/2 (2.14)với φt, φx, φy là đạo hàm riêng theo t, x, y của φ

Chuẩn của φ trên S được xác định như sau

kφkS = (

TZ0Z

S +

Trong M xác định tích vô hướng

(ϕ, ψ)H = (ϕ t , ψ t ) + (ϕ x , ψ x ) + (ϕ y , ψ y ) + (ϕ, ψ)S (2.16)với (ϕ, ψ)S =

TR0

RD

∂g(r, τ )

∂τ dτ

⇒ kgk2 = (g, g) =

ZQ

(

tZ0

g2tdrdt = T2kg t k2 ≤ T2kgk2H

⇒ (kgk2+ kgk2H)1/2 ≤ (T 2 kgk2H + kgk2H)1/2 = (1 + T 2 )1/2kgkH

Đặtc = (1 + T2)1/2ta có(kgk2+ kgk2H)1/2 ≤ ckgkH là điều cần chứng minh

2.3.2 Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm của bài toán

Định nghĩa 2.3.1 Hàm φ(r, t) ∈ H(Q) được gọi là nghiệm suy rộng của bàitoán ban đầu nếu thoả mãn đẳng thức sau:

Sở dĩ ta có thể đưa ra được định nghĩa nghiệm suy rộng bởi đẳng thức (2.18)

là do đẳng thức này được suy từ phương trình ban đầu (2.6) bằng cách nhânhai vế với gte−δt rồi lấy tích phân theo t trên (0, T ) và lấy tích phân theo r trên

S Nếu gte−δt = 1 ( 2φ ) thì phương trình trên trùng với phương trình cân bằng(hay phương trình tích phân) sau khi lấy tích phân theo t trên (0, T )

Định lí 2.3.1 Giả thiếtF (t) ∈ L 2 (0, T ), vận tốc lan truyền dầu thoả mãn phươngtrình liên tục: ∂u

{µ, σ} = α > 0 (2.19)Khi đó, bài toán ban đầu (2.6) có nghiệm suy rộng duy nhất

φ(r, t) ∈ H(Q)

ổn định với các biến và với điều kiện đầu

Chứng minh 1 Sự tồn tại: Để chứng minh sự tồn tại nghiệm suy rộng ta sửdụng phương pháp hàm

Kí hiệuai, i = 1, , 8tương ứng là tám số hạng từ trái qua phải trong(2.18)

Tương tự ta có

|a5(φ, g)| ≡

TR0R

S +

Unφgte−δtdSdt

Hơn nữa, do F (t) ∈ L2(0, T ) ⇔ f (r, t) ∈ L2(Q) nên theo Bổ đề 2.3.1 ta có:

f (r, t) ∈ H(Q) Vì vậy, với F (t) ∈ L2(0, T ) thì a8(f, g) cũng là một hàm baotuyến tính của φ trên H(Q) và có

Ai, A : V → H(Q)

Khi đó ta có thể viết (2.18) như sau

Để chứng minh sự tồn tại của nghiệm suy rộng, ta cần sử dụng bổ đề sau

Bổ đề 2.3.2 Cho toán tử A : V → G, G ⊆ H(Q) là miền giá trị của A Khi

đó, tồn tại toán tử nghịch đảo A−1 bị chặn của A trên G

Chứng minh + Để chứng minh bổ đề này ta cần chứng minh với mọi g ∈

Thật vậy, theo (2.21) nếu có Ag = 0 ⇔ g = 0 thì tồn tại A−1 bị chặn do có

≤ sup

g∈V

(g, g)H(g, Ag)H ≤ 2eδT

với ω = Ag. + Chứng minh (2.21):

Lấy g ∈ V ⇒ g(r, 0) = 0, ta có

a1(g, g) = gt, gte−δt
≥ gte−

δt 2

a2(g, g) = µgx, gtxe−δt

= 1

2e

−δtRD

µg2x(r, T )dr + δ

2

RQ

µgx2(r, T )drdt −1

2

RQ

µtgx2(r, T )drdt

⇒ a 2 (g, g) ≥ 1

2(δα − β) gxe

− δt 2

2

a3(g, g) = µgy, gtye−δt
≥ δα

2 gye

− δt 2

σg2(r, T )dr + δ

2

RQ

σg2e−δtdrdt −1

2

RQ

σtg2e−δtdrdt

⇒ a4(g, g) ≥ 1

2(αδ − β) ge

− δt 2

2

a5(g, g) =

TR0R

TR0R

2

S

Theo định lí giá trị trung bình ta có

TZ0Z

2

Svới α0 > 0, Un ≥ 0 trên S+

Ước lượng a6(g, g), a7(g, g) bằng bất đẳng thức ε

a 6 (g, g) ≡ ug x , g t e−δt
≤ ε g t e−

δt 2

2

+ β4ε gxe

− δt 2

2

a7(g, g) ≡ vgy, gte−δt
≤ ε gte−

δt 2

2

+ β4ε gye

− δt 2

ai(g, g) ≥

5Pi=1

ai(g, g) −

7Pi=6

|ai(g, g)|

≥ (1 − 2ε) gte−

δt 2

2

+12

2

+ gye−

δt 2

2 BD2.3.1

Gọi L là thành phần trực giao của G trong H(Q) Thác triển A−1 từ G¯ lên

H(Q) bằng biểu thức A−1ω = 0, ω ∈ L Khi đó ta thu được toán tử A˜−1 bị

chặn trên H(Q) sao cho: A˜−1

H ≤ 2eδT.Định nghĩa toán tử ( ˜ A−1)∗ là toán tử liên hợp của A˜−1 và ( ˜ A−1)∗ cũng có

hơn đó là giải theo phương trình

, ω ∈ H(Q). (2.23)Phương trình (2.23) thoả mãn khi và chỉ khi

Vậy với φ được xác định theo (2.24) thì phương trình (2.18) và (2.22) được

thoả mãn, hay luôn tồn tại nghiệm suy rộng của phương trình

2 Tính duy nhất và ổn định của nghiệm

Với φ(r, t) ∈ H(Q) là nghiệm của bài toán gốc, ta có

g =

tZ0

2 √

T kf k

Do bài toán gốc (2.6) tuyến tính nên nghiệm của bài toán là duy nhất và

ổn định với sự biến đổi của hàm vế phải δf (r, t) và điều kiện đầu δφ(r, 0)

Hệ quả 2.3.1 Cho p(r, t) ∈ L2(Q), các hệ số của phương trình liên hợp (2.9)

thoả mãn Định lý 2.3.1 Khi đó trong không gian H(Q) phương trình liên hợp

(2.9) cũng có nghiệm suy rộng duy nhất ổn định với sự biến đổi của hàm vế phải

và điều kiện ban đầu

Giải số bài toán tràn dầu

Chương này đề cập đến phương pháp giải số để giải hai bài toán ngược vàbài toán thuận cả trong không gian một và hai chiều Bài toán thuận là ta giảibài toán ban đầu để tìm nồng độ dầu trên biển theo vị trí và thời gian Bài toánngược là sử dụng bài toán liên hợp để xác định vị trí và thời gian xảy ra sự cốtràn dầu khi phát hiện ra một vệt dầu trên biển Trước khi đi vào xây dựnglược đồ giải số trong hai trường hợp không gian một và hai chiều, ta trình bàyphương pháp xác định vị trí và thời gian tràn dầu để làm cơ sở giải bài toánngược

Giả thiết ô nhiễm xảy ra do một tàu trở dầu, tại thời điểm Td phát hiện rachùm dầu tràn Ω Vấn đề đặt ra là cần xác định vị trí nguồn phát và thời gianxảy ra dầu tràn

Gọi t0 là thời gian và r0 là địa điểm bắt đầu xảy ra sự cố tràn dầu với khốilượng Q Quá trình lan truyền dầu theo bài toán (2.6)

Tương ứng có bài toán liên hợp (2.10)

trong đó Qlà lượng dầu tràn tương ứng tại các thời điểm t0 ở vị trí r0, và tạithời điểm Td, (0 ≤ t0 ≤ Td ≤ T ) tại vị trí r1

Qδ(r − r0)δ(t − t0)φ∗(r, t)drdt

= Q

TR0

δ(t − t 0 )φ∗(r 0 , t)dt = Qφ∗(r 0 , t 0 ) (L∗φ∗, φ) = (p, φ)

=

TR0

RD

Qδ(r − r1)δ(Td− t)φ(r, t)drdt

= Q

TR

δ(T − t)(R

δ(r − r )φ(r, t)dr)dt

Theo đẳng thức Lagrange với φ, φ tương ứng là nghiệm của bài toán ban đầu

và bài toán liên hợp ta có (Lφ, φ∗) = (φ, L∗φ∗)

⇒ φ∗(r 0 , t 0 ) = φ(r 1 , Td) điều cần chứng minh

Tiếp theo ta xét k điểm bất kì r 1 , , rk trong miền Ω

Giả thiết tương ứng với k điểm r i có k hàm vế phải

p(r, τ ) = Qδ(r − r i )δ(τ − (T − Td)). (3.1)Theo Mệnh đề 2.1 có: φ∗(r 0 , τ 0 ) = φ(r 1 , Td) ⇒ φ∗ri(r 0 , τ 0 ) = φ(r i , Td).

Trong đó φ∗ri là nghiệm bài toán 2.10 với vế phải 3.1

Đặt φ(r i , Td) = c i , i = 1, , k ta có các kết quả sau

Mệnh đề 3.1.2 Tất cả các đường đồng mức φ∗ri(r, τ 0 ) = c i , i = 1, , k đều cắtnhau tại điểm r 0

Chứng minh Thật vậy, ta cóφ∗ri(r 0 , τ 0 ) = φ(r i , Td) và φ(r i , Td) = c i , i = 1, , k nênsuy ra φ∗ri(r 0 , τ 0 ) = c i với i = 1, , k hay mọi đường đồng mức φ∗ri(r, τ 0 ) = c i , i =

1, , k đều đi qua điểm r 0

Mệnh đề 3.1.3 Gọir max là vị trí có mật độ ô nhiễm cao nhất, tức là:φ(r max , Td) = max

r∈Ω φ(r, Td)

Khi đó đường đồng mức φ∗rmax(r, τ 0 ) = φ(r max , Td) co lại điểm r 0

Chứng minh Mỗi điểm trênΩứng với một đường đồng mứcφ∗ri(r, τ 0 ) = φ(r i , Td).Thực tế dầu tràn ra là càng gần điểm xuất phát thì mật độ dầu càng cao và giảmdần khi lan ra xa Như vậy có nghĩa là những nơi có mật độ càng cao thì đườngđồng mức càng nhỏ Do đó, đường đồng mức φ∗rmax(r, τ 0 ) = φ(r max , Td) tương ứngvới điểm r max(là nơi có mật độ cao nhất) sẽ nhỏ nhất, tức là đường đồng mứcchỉ gồm có một điểm, đó chính là điểm r 0 Mệnh đề chứng minh xong

Với cách chọn hàm vế phảip(r, t) khác, ta có thể suy ra một số tính chất kháccủa lời giải bài toán liên hợp Các tính chất này hữu dụng trong trường hợp xácđịnh vị trí và thời gian xảy ra sự cố tràn dầu khi lượng dầu được bảo toàn trongquá trình lan truyền

Xét bài toán liên hợp (2.9)

δ(Td− t)1Ω(r)φ(r, t)drdt =

ZΩ

có thể đưa ra phương pháp xác định vị trí và thời gian xảy ra tràn dầu bằngcách sử dụng Mệnh đề 3.1.2 và Mệnh đề 3.1.3.

Nếu như phát hiện được điểm trung tâm r max của chùm ô nhiễm và nồng độdầu c max tại thời điểmTd, khi đó ta cần giải một bài toán liên hợp (2.10) với vếphảip(r, τ ) = Qδ(r − r max )(τ − (T − Td)) Sau khi tìm được φ∗rmax(r, τ j )tại mỗi thờiđiểm τ j, ta vẽ đồ thị đường đồng mức φ∗rmax(r, τ j ) = c max cho đến khi các đườngđồng mức co lại một điểm Theo Mệnh đề 3.1.2, điểm này chính là điểm r0 vớithời gian tương ứng t0

Đối với những vị trí khó xác định tâm rmax của chùm ô nhiễm, thay vào đó

ta biết được mật độci tại điểm k trong chùm ô nhiễm thì ta giải k bài toán liênhợp (2.10) với vế phải được xác định theo (3.1) Sau khi tìm được φ∗ri(r, τj) tạimỗi thời điểm τj, ta vẽ các đường đồng mức φ∗ri(r, τj) = ci cho đến khi k đườngnày giao nhau tại một điểm Theo Mệnh đề 3.1.2, điểm này chính là điểmr0 vớithời gian tương ứng t0

3.2 Bài toán tràn dầu trong không gian một chiều

3.2.1 Bài toán ban đầu và bài toán liên hợp

Cho bài toán vận chuyển chất ô nhiễm theo dòng chảy trong không gian mộtchiều

φ(a, t) ≡ φa = 0, t ∈ (0, T ]

∂φ

∂x(b, t) = 0, t ∈ (0, T ]

(3.2)

Bây giờ ta sẽ xây dựng bài toán liên hợp cho bài toán này Nhân hai vế của

(3.2) với φ∗, lấy tích phân theo x, t tương ứng trên (a, b) và (0, T ) ta có

(Lφ, φ∗) ≡

TZ0

bZa

bZa

f (x, t)φ∗dxdt

⇒

TR0

bRa

φ∗∂φ

∂tdxdt + U

TR0

bRa

φ∗∂φ

∂xdxdt +

TR0

bRa

φ∗σφdxdt

ưµ

TR0

bRa

φ∗∂

2 φ

∂x 2 dxdt =

TR0

bRa

f (x, t)φ∗dxdt.

(3.3)

Xét vế trái của (3.3) ta có

TR0

bRa

φ∗∂φ

∂tdxdt =

bRa

(φφ∗)|t=Tt=0 dx ư

TR0

bRa

φTφT∗dx ư

TR0

bRa

φ∂φ

∗

∂t dxdtU

TR0

bRa

φ∗∂φ

∂xdxdt = U

TR0

(φφ∗)|x=bx=adt ư U

TR0

bRa

(φbφb∗ư φaφa∗) dtưU

TR0

bRa

φbφb∗dtưU

TR0

bRa

φ∂φ

∗

∂x dxdt

T b ∂2φ T  ∂φ ∂φ∗ x=b T b ∂2φ∗

φTφ∗Tdx + U

TR0

dt + µ

TR0



φ∗∂φ

∂x

 ... L2(Q), hệ số phương trình liên hợp (2.9)

thoả mãn Định lý 2.3.1 Khi khơng gian H(Q) phương trình liên hợp

(2.9)... liên hợp A˜−1 ( ˜ A−1)∗ có

hơn giải theo phương trình

, ω ∈ H(Q). (2.23 )Phương. .. ta suy số tính chất kháccủa lời giải tốn liên hợp Các tính chất hữu dụng trường hợp xácđịnh vị trí thời gian xảy cố tràn dầu lượng dầu bảo toàn trongquá trình lan truyền