(Luận văn thạc sĩ) phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng002

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC VŨ THỊ MỪNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

VŨ THỊ MỪNG

PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

VŨ THỊ MỪNG

PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội - 2016

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn người đã tận tình hướngdẫn để em có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016

Học viên

Vũ Thị Mừng

Mục lục

1.1 Các hàm số lượng giác 6

1.1.1 Hàm số y = sin x và y = cos x 7

1.1.2 Hàm số y = tan x và y = cot x 8

1.1.3 Bài tập 9

1.2 Đa thức lượng giác 12

2 Một số loại phương trình lượng giác 15 2.1 Phương trình lượng giác cơ bản 16

2.1.1 Phương trình lượng giác cơ bản 16

2.1.2 Các ví dụ 17

2.1.3 Bài tập áp dụng 23

2.2 Phương trình a cos x ± b sin x = c 24

2.2.1 Phương pháp giải 24

2.2.2 Các ví dụ 24

2.2.3 Bài tập áp dụng 28

2.3 Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng đối với sin x và cos x 28

2.3.1 Phương pháp giải 28

2.3.2 Các ví dụ 30

2.3.3 Bài tập áp dụng 35

2.4 Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x 35

2.4.1 Phương pháp chung 35

2.4.2 Các ví dụ 36

2.4.3 Bài tập áp dụng 41

2.5 Một số phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 42

2.5.1 Tổng các hạng tử không âm 42

2.5.2 Phương pháp đánh giá hai vế 45

3 Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số 54 3.1 Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số 54 3.2 Chứng minh các bài toán đẳng thức và bất đẳng thức 64

3.3 Bài toán cực trị 70

3.4 Xác định công thức tổng quát của dãy số 74

LỜI NÓI ĐẦU

Hiện nay cùng với việc đổi mới toàn diện cách kiểm tra đánh giá năng lựccủa Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Chủ trương giảm tải chương trình sách giáokhoa cùng với việc đổi mới cách thức tổ chức một kì thi quốc gia Thì việcchú trọng rèn luyện phương pháp tự học là rất cần thiết Đối với bộ mônToán công việc của giáo viên là hướng dẫn học sinh công thức để học sinh tựgiải bài tập đó phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh

Đối với chương trình toán trung học phổ thông thì phương trình lượnggiác là một nội dung quan trọng vì trong các kỳ thi tuyển sinh đại học hầunhư năm nào cũng có một câu giải phương trình lượng giác Việc giảng dạylượng giác đã được đưa vào chương trình ngay từ lớp 10 bậc trung học phổthông, trong đó phần kiến thức về phương trình lượng giác chiếm vai tròtrọng tâm Kèm theo đó học toán lượng giác cũng giúp học sinh mở rộng tưduy vì một bài lượng giác có nhiều cách giải Số lượng công thức lượng giáccần nhớ khá nhiều do đó đòi hỏi học sinh phải làm nhiều bài tập để nhớ kiếnthức Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thông, khôngnêu được đầy đủ chi tiết tất cả các dạng bài toán về phương trình Vì vậyhọc sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán nâng cao về phương trìnhlượng giác trong các đề thi Mặc dù đã có nhiều tài liệu tham khảo về lượnggiác với các nội dung khác nhau, nhưng chưa có chuyên đề riêng khảo sát

về phương trình một cách hệ thống Đặc biệt, nhiều dạng toán về đại số vàlượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít với nhau, không thể tách rời được.Nhiều bài toán lượng giác cần có sự trợ giúp của đại số, giải tích và ngượclại, ta có thể dùng lượng giác để giải một số bài toán về phương trình và hệphương trình trong đại số thông qua cách đặt ẩn phụ là những hàm lượnggiác

Do đó, để đáp ứng nhu cầu về giảng dạy, học tập và góp phần nhỏ bé vào

sự nghiệp giáo dục, luận văn "Phân loại phương trình lượng giác theo phươngpháp giải chúng" nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình lượnggiác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loạicác phương trình theo phương pháp giải chúng.

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

- Nhắc lại kiến thức cơ bản của các hàm số lượng giác

- Nhắc lại khái niệm đa thức lượng giác và một số tính chất

Chương 2 Một số loại phương trình lượng giác

- Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải

- Một số ví dụ cho từng phương pháp

- Bài tập ứng dụng

Chương 3 Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số

- Trình bày một số ứng dụng của lượng giác trong đại số

- Trình bày một số ví dụ ứng với từng dạng toán

- Một số bài tập tương tự

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khilàm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Em mong nhậnđược sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xinchân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016

Học viên

Vũ Thị Mừng

Hình 1.1: Đường tròn lượng giác

1.1.1 Hàm số y = sin x và y = cos x

a) Định nghĩa 1.1.1

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số

đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giác có

số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cos x.Nhận xét

• Hàm số y = sin x là hàm số lẻ vì sin(−x) = − sin x với mọi x thuộc R

• Hàm số y = cos x là hàm số chẵn vì cos(−x) = cos x với mọi x thuộcR

b) Tính tuần hoàn

Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, số k2π thỏa mãn

sin(x + k2π) = sin x với mọi x

Ngược lại, có thể chứng minh rằng số T sao cho

sin(x + T ) = sin x với mọi xphải có dạng T = k2π, k là một số nguyên

Rõ ràng, trong các số dạng k2π(k ∈ Z), số dương nhỏ nhất là 2π

Vậy đối với hàm số y = sin x, số T = 2π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn

sin(x + T ) = sin x với mọi x

định của hàm số y = sin x, y = cos x là D = R.

- Khi x thay đổi, hàm số y = sin x và hàm số y = cos x nhận mọi giá trịthuộc đoạn [−1; 1] Ta nói tập giá trị của hàm số y = sin x và y = cos x làđoạn [−1; 1]

d) Vài giá trị đặc biệt

cos x Đặt D1 = R\nπ

2 + kπ|k ∈ Zo.Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D1 với số thực tan x = sin x

cos xđược gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tan x

• Với mỗi số thực x mà sin x 6= 0, tức là x 6= kπ (k ∈ Z), ta xác địnhđược số thực cot x = cos x

sin x Đặt D2 = R\{kπ|k ∈ Z}

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D2 với số thực cot x = cos x

sin xđược gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cot x

Nhận xét

• Hàm số y = tan x là hàm số lẻ vì nếu x ∈ D1 thì −x ∈ D1 vàtan x = − tan x

• Hàm số y = cot x là hàm số lẻ vì nếu x ∈ D2 thì −x ∈ D2 và cot x =

− cot x

b) Tính chất tuần hoàn

Có thể chứng minh rằng T = π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn

tan (x + T ) = tan x với mọi x ∈ D1,

và T = π cũng là số dương nhỏ nhất thỏa mãn

cot (x + T ) = cot x với mọi x ∈ D2

Ta nói các hàm số y = tan x và y = cot x là những hàm số tuần hoàn với chu

• Khi tan x = 0 thì cot x không xác định và đảo lại:

• Khi cot x = 0 thì tan x không xác định

1.1.3 Bài tập

Bài 1.1.1 Tính sin x, cos x, tan x, cot x với cung x bằng 390o, −420o, 810o

Lời giải Phương hướng chung để giải bài tập này là ta đưa cung x về dạng

x = x0+ k360o với k ∈ Z và |x0| < 180o, từ đó tìm vị trí đầu cung của x vàtính các giá trị lượng giác cần tìm

Bài 1.1.2 Xác định x (rađian) để các hàm số sau được xác định:

a) y = 2 tanπ

3 − 2x;b) y =

rcot2x + π

6

+ 1

Lời giải a) Hàm số y = 2 tanπ

3 − 2xxác định khi và chỉ khi x 6= −π

12 − kπ

2, k ∈ Z.b) Hàm số y =

rcot2x + π

6

+ 1 xác định khi và chỉ khi

Hàm số cotx + π

6

được xác định

Tức là sinx + π

6

6= 0

Hay x 6= −π

6 + kπ.

Vậy hàm số y =

rcot2x + π

6

+ 1 xác định khi và chỉ khi x 6= −π

6 +kπ, k ∈Z

Bài 1.1.3 Chứng minh rằng các hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìmchu kì và xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số:

a) y = cos2x − sin2x;

b) y = cos2x + sin2x

Lời giải a) Ta có

y = cos2x − sin2x = cos 2x

đó là một hàm số tuần hoàn với chu kì π Nó cũng là một hàm số chẵn.b) Ta có

y = cos2x + sin2x = 1 với mọi x

nên y là một hàm hằng, do đó với mọi số T ta có

cos2(x + T ) + sin2(x + T ) = cos2x + sin2x với mọi x

đó là một hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kì (trong các số T dươngkhông có số T nhỏ nhất) Hàm hằng là hàm số chẵn

Định nghĩa 1.3 Hàm số có dạng

An(x) = a0+ a1cos x + b1sin x + · · · + ancos nx + bnsin nx,

trong đó an và bn không đồng thời bằng 0 (tức là a2n+ b2n > 0), ai, bj ∈ R với

i = 0, 1, 2, , n; j = 0, 1, 2, , n được gọi đa thức lượng giác bậc n(n ∈ N∗).Khi tất cả các ai = 0 với i = 1, 2, , n ta có

Định nghĩa 1.1.4 Hàm số có dạng

Sn(x) = b0+ b1sin x + b2sin 2x + · · · + bnsin nx (bn 6= 0),

được gọi là đa thức lượng giác bậc n theo sin

Tương tự khi tất cả các bj = 0 với j = 1, 2, , n ta có

Định nghĩa 1.1.5 Hàm số có dạng

Cn(x) = a0+ a1cos x + a2cos 2x + · · · + ancos nx (an 6= 0),

được gọi là đa thức lượng giác bậc n theo cosin

Sau đây ta liệt kê một số tính chất đơn giản của đa thức lượng giác

Tính chất 1.1 Tổng của hai đa thức lượng giác An và Bm là một đa thứclượng giác có bậc nhỏ hơn hoặc bằng max{n, m}

Tính chất 1.2 Tích của hai đa thức lượng giác An và Bm là một đa thứclượng giác có bậc bằng n + m

Tính chất 1.3 Nếu đa thức lượng giác

An(x) = a0+ a1cos x + b1sin x + · · · + ancos nx + bnsin nx,

đồng nhất bằng 0 với mọi x ∈ R thì tất cả các hệ số của nó đều bằng 0, tứclà

eix + e−ix2

22p.Vậy f (x) là một đa thức lượng giác bậc 2p theo cosin

Ví dụ 1.2.2 Biểu diễn các hàm số sinnx và cosnx dưới dạng các đa thứclượng giác

Lời giải Giả sử z = cos t + i sin t Khi đó

z−1 = (cos t + i sin t)−1 = cos t − i sin t

Do đó

cos t = z + z

−1

2 và sin t =

z − z−12i .

n

(zn+ z−n) − Cn1 zn−2− z−(n−2)
+ · · · + (−1)n−12 C

n−1 2

n z + z−1
Vậy

2C

n 2

n



(n chẵn)1

2n−1

hcos nx + Cn1cos (n − 2) x + · · · + C

n−1 2

n

i(−1)

n−1 2

2n

h

2 sin nx − 2iCn1sin (n − 2) x + · · · + (−1)n−12 C

n−1 2

n 2 sin xi

Chương 2

Một số loại phương trình lượng giác

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

• Nhận xét và phân tích để xem phương trình thuộc loại nào?

• Áp dụng các công thức lượng giác thích hợp để biến đổi phương trình

đã cho về dạng tích

• Chọn ẩn số phụ thích hợp để biến đổi phương trình đã cho về phươngtrình đại số thường gặp

Chú ý 2.1:

• Khi sử dụng ẩn số phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn số phụ đó

• Trong phép biến đổi phương trình ta phải sử dụng phép biến đổi tươngđương để không làm mất nghiệm hoặc có nghiệm ngoại lai

2.1 Phương trình lượng giác cơ bản

2.1.1 Phương trình lượng giác cơ bản

• sin x = sin βo ⇔



x= βo+ k360ox= 180o− βo+ k360o (k ∈ Z)

Tổng quát: cos f (x) = cos g(x) ⇔ f (x) = ±g(x) + k2π (k ∈ Z).

Chẳng hạn cos X = m với | m | 6 1, ta có cos X = cos A.

Bước 3: Giải phương trình trên để tính x

Ví dụ 2.1.1 Giải phương trình sau:

2√2

1 + tan2x = (2 +

√2) cos x − 1

Lời giải Phương hướng giải phương trình này là sử dụng các công thức lượnggiác để biến đổi phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn số làmột trong số các hàm lượng giác

Điều kiện: tan x xác định khi và chỉ khi cos x 6= 0

2

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện cos x 6= 0 và | cos x| 6 1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

Ví dụ 2.1.2 Giải phương trình sau:

sin23x − cos24x = sin25x − cos26x

Lời giải Phương hướng giải phương trình này là dùng công thức thích hợp

để biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích A.B =0

cos 8x + cos 6x = cos 12x + cos 10x (2.2)

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích, đưa phương trình (2.2) về phươngtrình tích:

cos 7x cos x = cos 11x cos x

⇔ cos x(cos 11x − cos 7x) = 0

⇔



cos x = 0cos 11x = cos 7x

Giải phương trình cos x = 0 và cos 11x = cos 7x, sau đó kết hợp nghiệm, tađược nghiệm của phương trình đã cho là:

Ví dụ 2.1.3 Giải phương trình sau: 2 sin x −√

1 − 2 cos 2x = 1

Lời giải Phương hướng giải:

• Biến đổi phương trình về dạng √A = B ⇔





B > 0

A = B2 (∗)

• Dùng công thức cos 2a = 1 − 2 sin2a để biến đổi phương trình A = B2

về phương trình bậc 2 với ẩn số sin x

• Giải phương trình (*) và chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện B > 0

1 + 2 sin 2x



= cos 2x + 3

Lời giải Phương hướng giải:

• Tìm điều kiện xác định của bài toán

• Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thànhtích:

Điều kiện 1 + 2 sin 2x 6= 0

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với những phương trìnhsau:

5(sin x + 2 sin 2x sin x + cos 3x + sin 3x) = (cos 2x + 3)(1 + 2 sin 2x);5(sin x + cos x − cos 3x + cos 3x + sin 3x) = (cos 2x + 3)(1 + 2 sin 2x);5(2 sin 2x cos x + cos x) = (cos 2x + 3)(1 + 2 sin 2x);

5 cos x(1 + 2 sin 2x) = (cos 2x + 3)(1 + 2 sin 2x);

5 cos x = cos 2x + 3;

5 cos x = 2 cos2x + 2;

cos x = 1

2.Suy ra x = ±π

• Dùng công thức cos 2a = 2 cos2a − 1 để biến đổi phương trình bậc haivới ẩn số cos x.

• Giải phương trình nói trên

• Phương trình có đúng một nghiệm x ∈ [0, π] khi và chỉ khi có đúng 1giá trị của cos x sao cho cos x ∈ [−1, 1]

Phương trình đã cho tương đương với các phương trình:

5 cos x − 5

2 = 0 ⇔ cos x =

12Vậy phương trình này có một nghiệm duy nhất:

x ∈ [0, π], do đó x = π

3Trường hợp 2 2m − 1 6= 0 ⇔ m 6= 1

2.Phương trình (2.3) là phương trình bậc hai có:

4 = 25 + 8(2m − 1)(m + 2)

= 16m2+ 24m + 9 = (4m + 3)2.Vậy:

−m − 22m − 1cos x = −5 + (4m + 3)

4(2m − 1) =

4m − 24(2m − 1) =

12

Với cos x = 1

2 và x ∈ [0, π] suy ra x =

π

3.Vậy phương trình đã cho có và có duy nhất một nghiệm x ∈ [0, π] khi:Hoặc

−m − 22m − 1 =

1

Hoặc

−m − 22m − 1

b) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0

2) Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình:

cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0

3) Giải và biện luận phương trình:

cos 2x − (2m − 3) cos x + m − 1 = 0

4) Giải các phương trình sau:

a) sin2x + 3 cos2x + 3 sin x − 4 = 0;

b) cot x − tan x + 4 sin 2x = 2

sin x;c) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x

2.2 Phương trình a cos x ± b sin x = c

2.2.1 Phương pháp giải

Phương trình a cos x ± b sin x = c

Phương pháp giải chủ yếu của những phương trình loại này như sau:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện để phương trình có nghiệm a2+ b2 > c2

Bước 2: Chia 2 vế của phương trình cho √

a2+ b2 > 0 rồi biến đổi vế trái vềdạng cos(x + ϕ)

Bước 3: Chọn A sao cho cos A = √ c

a2+ b2.Bước 4: Giải phương trình cơ bản: cos(x + ϕ) = cos A

4



= −1

Lời giải Điều kiện: a2+ b2 > c2 thỏa mãn vì 1 + 1 > 1

Phương trình đã cho tương đương với các phương trình:

+ √1

2 cos

3x − π4



= −1

√

2;sinπ

4 sin

3x − π4

+ cos π

4 cos

3x − π4

x = −π

12 + k2

2π3

(k1, k2 ∈ Z)

Ví dụ 2.2.2 Giải phương trình sau:

(1 − 2 sin x) cos x(1 + 2 sin x)(1 − sin x) =

√3

Lời giải Điều kiện: sin x 6= 1 và sin x 6= −1

2 .Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với các phương trình:

.Lời giải Phương hướng giải:

• Sử dụng công thức sin2a = 1 − cos 2a

2 và cos

2a = 1 + cos 2a

• Biến đổi linh hoạt để về phương trình lượng giác cơ bản:

cos X = cos A (sin X = sin A)

• Giải phương trình trên và kết hợp với điều kiện đầu bài để tìm nghiệm.Phương trình đã cho tương đương với các phương trình:

2(1 − cos x) −√

3 cos 2x = 1 + 1 + cos

2x − 3π

(m − 2) cos 2x + 2m sin x cos x = 3m + 2

a) Giải và biện luận phương trình theo tham số m

b) Giải phương trình khi m = 1, khi m = - 1

Lời giải Phương hướng giải:

• Dùng công thức 2 sin a cos a = sin 2a để biến đổi phương trình về dạng:

a cos 2x + b sin 2x = c

• Sử dụng điều kiện a2+ b2 > c2

Phương trình đã cho tương đương với:

b) Giải phương trình khi m = 1

m = 1 > 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm

Giải phương trình khi m = −1

⇔ cos ϕ cos 2x + sin ϕ sin 2x = sin ϕ

⇔ cos(2x − ϕ) = sin ϕ = cos(π

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm

b) Giải phương trình khi m = 1

2) Giải phương trình sau:

sin 8x − cos 6x = √

3(sin 6x + cos 8x)

3) Cho phương trình sau: m√

3 cos 3x − sin 3x = m

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm

b) Giải phương trình khi m = 1

đối xứng đối với sin x và cos x

2.3.1 Phương pháp giải

a) Phương pháp 1

Ta giải phương trình f (sin x ± cos x) = c (1) theo 4 bước:

• Bước 1: Kiểm tra f (sin x ± cos x) = f (± cos x sin x).

• Bước 2: Đặt t = sin x ± cos x ⇒







|t| 6√2sin x cos x = ±t

, tìm nghiệm

t0 từ (3) thỏa mãn điều kiện (2)

• Bước 4: Từ (**) ta giải phương trình cơ bản:cos(x − π

4) = t0.Tìm được các nghiệm x0 của phương trình f (sin x; cos x) = c

Ví dụ 2.3.1 Giải phương trình sau:

2 sin 4x + 3(sin 2x + cos 2x) + 1 = 0

Lời giải Đặt t = sin 2x + cos 2x

t2 = 1 + 2 sin 2x cos 2x = 1 + sin 4x ⇔ sin 4x = t2− 1

Vậy phương trình đã cho trở thành:

4 = π +

π

4 + k22π

(k1, k2 ∈ Z)

ϕ − π4

+ k1π

x = 12

 3π

4 − ϕ

+ k2π

(k1, k2 ∈ Z)

Ví dụ 2.3.2 Giải phương trình sau:

sin x + sin2x + sin3x + sin4x = cos x + cos2x + cos3x + cos4x

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với phương trình;

(cos x − sin x) + (cos2x − sin2x) + (cos3x − sin3x) + (cos4x − sin4x) = 0

⇔ (cos x − sin x)[1 + (cos x + sin x) + (1 + sin x cos x) + cos x + sin x]

⇔





cos x − sin x = 0

2(sin x + cos x) + sin x cos x + 2 = 0 (2.7)

• cos x − sin x = 0 ⇔ tan x = 1 ⇒ x = π

2 nên bị loại Thay t = −1 vào phép đặt

ta tính được nghiệm của (2.7) là:

Ví dụ 2.3.3 Giải phương trình sau:

(1 − sin x cos x)(sin x + cos x) =

√2

2 .Lời giải Đặt x = y + π

⇔ 2 cos3y − 3 cos y + 1 = 0

⇔ (cos y − 1)(2 cos2y + 2 cos y − 1) = 0

⇔



cos y = 1

(k, m ∈ Z)

Ví dụ 2.3.4 Cho phương trình: cos3x + sin3x = m sin x cos x

a) Giải phương trình khi m =√

2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Lời giải a) Thay m = √

2 vào phương trình ta được:

Đặt t = sin x + cos x; |t| 6 √2 ⇒ sin x cos x = t

2− 12Thay t vào phương trình (2.8) ta được:

t



1 − t

2− 12

√2Vậy nghiệm của phương trình khi m = 2 là

√2

!

b) Đặt t = sin x + cos x; |t| 6 √2 ⇒ sin x cos x = t

2− 12Thay vào phương trình đã cho ta được:

t



1 − t

2− 12

Do vậy phương trình có nghiệm thì:

f (−√

2) 6 m 6 f (√2) ⇔ −√

2 6 m 6√2 ⇔ m ∈ [−√

2;√2]

2.3.3 Bài tập áp dụng

1) Giải các phương trình sau:

a) 3(sin x + cos x) − sin 2x − 3 = 0;

b) sin x + sin2x + cos2x = 0

2) Giải các phương trình sau:

a) 2 sin3x − sin x = 2 cos3x − cos x + cos 2x;

b) tan x + cot x + tan2x + cot2x + tan3x + cot3x = 6

Dạng tổng quát của phương trình đẳng cấp bậc hai:

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d, (a2+ b2 > 0) (2.9)a) Phương pháp 1

Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình về bậc nhất đối với sin 2x và cos 2xsin2x = 1 − cos 2x

là phương trình bậc I đối với sin 2x và cos 2x.

sin2x − 10 sin x cos x + 21 cos2x = 0.

Lời giải Ta giải phương trình theo 2 cách:

Cách 1

Ta thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế phương trình cho cos2x 6= 0, ta có phương trình:

sin2xcos2x − 10 sin x cos x

ii) tan x = 7 = tan β ⇔ x = β + k0π (k0 ∈ Z)

10 cos 2x − 5 sin 2x = −11

Điều kiện a2+ b2 > c2 thỏa mãn, chia cả hai vế cho √

a2+ b2 = 5√

5, ta đượccos(2x + ϕ) = cos A

về cung liên kết để biến đổi các hàm số lượng giác trong phương trình vềdạng đơn giản nhất.

Ta có:

i) sin(π

2 + x) = cos xii) cos(π

2 + x) = − sin xiii) sin(3π

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình:

3 sin2x − 2 sin x cos x − 5 cos2x = 0



tan x = −1tan x = 5

2.2 Phương trình a cos x ± b sin x = c

2.2.1 Phương pháp giải< /h3>

Phương trình a cos x ± b sin x = c

Phương pháp giải chủ yếu phương trình loại sau:

Bước... Chứng minh phương trình ln có nghiệm

b) Giải phương trình m =

đối xứng sin x cos x

2.3.1 Phương pháp giải< /h3>

a) Phương pháp

Ta giải phương trình f... Giải biện luận phương trình theo tham số m

b) Giải phương trình m = 1, m = -

Lời giải Phương hướng giải:

• Dùng cơng thức sin a cos a = sin 2a để biến đổi phương trình dạng: