Hình học vi phân nâng cao thu hoạch nhóm

Trong lịch sử phát triển của toán học hiện đại có rất nhiều chuyên ngành hẹp mang tính chuyên sâu, nhưng điều thú vị là chúng thường có quan hệ với các lĩnh vực toán học khác. Điều đó mang đến cho chúng ta mối liên kết giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học và nó góp phần “làm mờ” đi sự phân định giữa các lĩnh vực đại số, giải tích và hình học 1 ,trang 1. Để làm rõ hơn bản chất của vấn đề trên, nhóm chúng tôi nghiên cứu mảng kiến thức về không gian tiếp xúc của một đa tạp bao gồm đa tạp có tham số, đa tạp trong Rn cũng như các vấn đề có liên quan đến không gian tiếp xúc. Ngoài ra, nhóm chúng tôi còn nghiên cứu đến mảng kiến thức về đa tạp con trong Rk, đa tạp con trừu tượng và cấu trúc địa phương của đa tạp con,…Mặt khác, trên nền tảng kiến thức của không gian topo, nhóm chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các tính chất topo của đa tạp và để làm rõ tính chất topo của đa tạp chúng tôi nhận thấy cần trang bị các mảng kiến thức về tính compact, sự vét kiệtđếm được của các tập compact, hàm Bump, phép nhúng trong không gian Euclid, đặc biệt là định lý Jordan – Brouwer và các kiến thức hỗ trợ khác để làm rõ hơn tính chất topo của đa tạp. Nhóm chúng tôi nhận thấy với sự liên kết giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học như vậy nhằm góp phần tăng thêm sự hấp dẫn của các nhà nghiên cứu về toán học và góp phần giúp ngành toán học phát triển không ngừng.

MỤC LỤC Tran

A PHẦN MỞ ĐẦU 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Phạm vi nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

B PHẦN NỘI DUNG 5

Chương 3 Không gian tiếp xúc 5

3.1 Không gian tiếp xúc của một đa tạp tham số 5

3.2 Không gian tiếp xúc của một đa tạp trong 6

3.3 Không gian tiếp xúc trừu tượng 9

3.4 Cấu trúc không gian vector 12

3.5 Đạo hàm theo hướng 15

3.6 Tác động trên hàm 17

3.7 Vi phân của ánh xạ trơn 19

3.8 Cơ sở tiêu chuẩn 24

3.9 Sự định hướng 25

Chương 4 Đa tạp con 27

4.1 Đa tạp con trong 27

4.2 Đa tạp con trừu tượng 28

4.3 Cấu trúc địa phương của đa tạp con 32

4.4 Tập hợp cấp 37

4.5 Nhóm trực giao 40

4.6 Miền xác định bao gồm biên trơn 42

4.7 Sự định hướng của biên 45

4.8 Đa tạp con được nhúng chìm 48

Chương 5 Các tính chất topo của đa tạp 49

5.1 Tính compact 49

5.2 Sự vét kiệt đếm được bằng những tập compact 50

5.3 Atlas hữu hạn địa phương 52

5.4 Hàm bump 54

5.5 Sự phân hoạch đơn vị 55

5.6 Phép nhúng trong không gian Euclide 57

5.7 Tính liên thông 59

5.8 Các đa tạp liên thông 64

5.9 Các hợp thành 65

5.10 Định lí Jordan-Brouwer 68

C PHẦN KẾT LUẬN 69

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

để làm rõ tính chất topo của đa tạp chúng tôi nhận thấy cầntrang bị các mảng kiến thức về tính compact, sự vét kiệtđếmđược của các tập compact, hàm Bump, phép nhúng trongkhông gian Euclid, đặc biệt là định lý Jordan – Brouwer và cáckiến thức hỗ trợ khác để làm rõ hơn tính chất topo của đa tạp.Nhóm chúng tôi nhận thấy với sự liên kết giữa các lĩnh vựckhác nhau của toán học như vậy nhằm góp phần tăng thêm

sự hấp dẫn của các nhà nghiên cứu về toán học và góp phầngiúp ngành toán học phát triển không ngừng

2 Mục đích nghiên cứu

Trong đề tài này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về khônggian tiếp xúc đối với một đa tạp trừu tượng đã được địnhnghĩa từ một bề mặt cong tham số Chúng tôi định nghĩa mộtkhông gian tiếp xúc tại điểm Mặt khác, chúng tôi còn nghiêncứu về khái niệm của đa tạp con của một đa tạp trơn trừutượng, cụ thể là nghiên cứu về sự tồn tại hai khái niệm khácnhau về đa tạp con gồm “đa tạp con nhúng” và “đa tạp connhúng chìm” Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu về các tínhchất tôpo của đa tạp Thông qua quá trình nghiên cứu tài liệu

có thể tự củng cố những kiến thức đã học và hiểu thêm nhữngvấn đề mới nhằm tích lũy và nâng cao kiến thức

3 Phạm vi nghiên cứu

Các vấn đề liên quan đến không gian tiếp xúc , về khái niệm của đa tạp con của một đa tạp trơn trừu tượng và các tính chất tôpo của đa tạp cũng như các tài liệu chuyên ngành lien quan đến việc nghiên cứu và đặc biệt là các tài liệu giải tích toán học hiện đại

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, tài liệu, tra cứu internet, ghi chép, tổng hợp,…kết hợp với tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp đặc biệt làcán bộ giảng dạy môn hình học vi phân, giải tích hàm, đại sốtuyến tính

B PHẦN NỘI DUNG

Chương 3 Không gian tiếp xúc

Trong chương này, không gian tiếp xúc với một đa tạptrừu tượng được định nghĩa Chúng tôi hãy nhớ lại từ Hình học

1 rằng đối với một bề mặt cong tham số chúng tôi định nghĩamột không gian tiếp xúc tại điểm như không gian con tuyếntính trong mở rộng bởi các vector dẫn xuất và tại Sự kháiquát hóa đến là đơn giản, nó được đưa ra dưới đây Trongchương này, chúng tôi sẽ khái quát các khái niệm da tạp trừutượng Chúng tôi sẽ làm như vậy trong hai bước Bước đầutiên là phải xét đa tạp trong Ở đây chúng tôi vẫn có thể địnhnghĩa không gian tiếp xúc với tham chiếu đến không gianxung quanh Đối với đa tạp trừu tượng, được xử lí tại bước thứhai, chúng tôi cần phải đưa ra một khái niệm trừu tượng

3.1.Không gian tiếp xúc của một đa tạp tham số

Cho là một đa tạp tham số, với là tập mở

Định nghĩa 3.1.1. Không gian tiếp xúc của tại là khônggian con tuyến tính của mở rộng bởi các cột của ma trận cấp

Giả sử là ánh xạ chính quy tại Khi đó cột của là độc lậptuyến tính, và chúng tạo thành một cơ sở cho không gian Nếu do đó là tổ hợp tuyến tính của các cột với các tọa độ

của là hệ số, do đó là một đẳng cấu tuyến tính vào trong không gian tiếp xúc chiều

Quan sát thấy rằng không gian tiếp xúc là một đối tượng

“địa phương”, theo nghĩa là nếu hai đa tạp tham số và đềubằng nhau trên một vài lân cận của điểm , khi đó

Từ Hình học 1 chúng tôi nhắc lại những kết quả sau đây,

mà có thể dễ dàng tổng quát cho các thiết lập hiện tại

Định lí 3.1.1: Không gian tiếp xúc là bất biến dưới tham số hóa hiệu chỉnh Nói cách khác, nếu là một vi phôi của tập mở trong và , khi đó với mọi

Chứng minh Chứng minh về cơ bản giống như trong Quyển

Hình học 1, Định lí 2.7 Bằng quy tắc dây chuyền, chúng tôi có

ma trận đơn vị

hiểu ngầm là mọi cột của là sự tổ hợp tuyến tính của các cộtcủa , do đó Sự bao hàm ngược lại sau lí luận tương tự vớiđược thay thế bằng nghịch đảo của chính nó

3.2.Không gian tiếp xúc của một đa tạp trong

Cho là một đa tạp (xem Định nghĩa 1.6.1)

Định lí 3.2.1. Không gian tiếp xúc của tại một điểm làkhông gian tuyến tính chiều

với là một đồ thị tùy ý trên với đối với mỗi

Chú ý rằng Định lí 3.1.1 dẫn đến điều sau rằng không giantiếp xúc là thực sự độc lập của đồ thị , từ bất kỳ đồ thị khácnào quanh sẽ là một tham số hóa hiệu chỉnh, theo Định lí 1.8(chính xác hơn, đó là sự thu hẹp một phủ mở của hai đồ thị,

mà là một tham số hóa hiệu chỉnh) Chú ý này cũng là thayđổi kí hiệu, trong đó các footpoint của thuộc về trái ngượcvới footpoint trước đó của

Với sự khái quát hóa đa tạp trừu tượng trong suy nghĩchúng tôi sẽ cung cấp cho một đặc tính khác nhau của khônggian tiếp xúc , mà còn liên quan chặt chẽ đến tính chất củaQuyển Hình học 1 (Định lí 2.4)

Chúng tôi gọi một đường cong trơn tham số là một đườngcong tham số trên nếu ảnh được chứa trong

Định lí 3.2.2. Cho Không gian tiếp xúc là tập của mọi vector trong , là vector tiếp xúc theo một đường cong tham

số trên , với đối với mỗi

Chứng minh Cho là một đồ thị với đối với mỗi số Bằng

Định nghĩa Như nhận xét dưới Định nghĩa 3.1.1, ánh xạ làmột phép đẳng cấu tuyến tính vào Đối với mỗi chúng tôixác định một đường cong tham số trên bởi

cho gần về Từ quy tắc dây chuyền dẫn đến điều sau rằng

vì vậy chúng tôi kết luận rằng

là một đẳng cấu tuyến tính Đặc biệt, chúng tôi thấy rằng mọicác vector trong là một vector tiếp xúc của một đường congtham số trên

Ngược lại, với một đường cong tham số trên với , chúngtôi xác định một đường cong tham số trong bởi đối vớitrong một vùng lân cận Đây là biểu thức tọa độ đối với cóliên quan đến Bổ đề 1.8 dẫn đến điều sau rằng là mộtđường cong tham số trơn, và do đó , từ quy tắc dây chuyềnkéo theo

Chứng minh này bao hàm điều ngược lại

Chúng tôi có thể diễn đạt không gian tiếp xúc là mộtkhông gian vector tiếp xúc theo đường cong trên Tuy nhiên,cần phải nhấn mạnh rằng sự tương ứng giữa các đường cong

và vector tiếp xúc không phải là 1-1 Nói chung nhiều đườngcong khác nhau làm phát sinh các vector tiếp tuyến như nhautrong

Ví dụ 3.2.1 Cho là một tập con mở, do đó là một đatạp trong , với ánh xạ đồng nhất như một đồ thị (xem Ví dụ1.6.3) Không gian tiếp xúc là , và ánh xạ (3.2) là ánh xạ đồngnhất, bởi vì đạo hàm của tại là

Ví dụ 3.2.2 Giả sử là đa tạp cho bởi phương trìnhnhư trong Định lí 1.6, thêm điều kiện có hạng cho mọi Do

đó, chúng tôi cho rằng không gian tiếp xúc là không giankhông đối với ma trận , có nghĩa là

Ở đây chúng tôi nhớ lại rằng một định lí cơ bản của đại sốtuyến tính, số chiều của không gian không là khi hạng của

ma trận là

Yêu cầu có thể được thiết lập như sau bằng phương phápcủa Định lí 3.2.1 Nếu là một vector tiếp xúc, do đó đối vớimột vài đường cong tham số trên với P Bởi vì ánh xạ vào ,hàm là hằng số (với giá trị ), do đó Từ quy tắc dây chuyền

mà Do đó, không gian tiếp xúc được chứa trong các khônggian rỗng Vì cả hai đều là không gian tuyến tính của chiều,chúng phải bằng nhau

Ví dụ 3.2.3 Cho C kí hiệu tập hình trong ví dụ 1.2.2

và 1.3.5 Các đường cong tham số là một đường cong tham

số trên và đường này đi qua điểm cho mỗi với một sốnguyên lẻ Nếu là một đường cong trong , khi đó sẽ thuộc

về , theo Định lí 3.2.1 Tuy nhiên, các vector và là độc lậptuyến tính, và do đó không thể là một không gian tuyến tínhchiều Do đó dẫn đến sự mâu thuẫn và chúng tôi kết luậnrằng không phải là một đường cong (như đã đề cập trong ví

dụ 1.3.5)

3.3.Không gian tiếp xúc trừu tượng

Xét một đa tạp trừu tượng chiều và cho là một đồ thị

Nó không có ý nghĩa để lặp lại Định nghĩa 3.1.1 của không

gian tiếp xúc với , bởi vì ma trận cấp không xác định (không

có ) Do đó, không có ý nghĩa để lặp lại định nghĩa 3.2.1 Thayvào đó, Định lí 3.2.1 sẽ là nguồn cảm hứng của chúng tôi đểđịnh nghĩa không gian tiếp xúc

Chúng tôi định nghĩa một đường cong tham số là mộtánh xạ trơn , với là một tập mở Qua Định nghĩa (xem Địnhnghĩa 2.7.2), điều này có nghĩa là là ánh xạ trơn đối với mọi

đồ thị trên Như trước đây, nếu là một đồ thị trên , chúng tôigọi là biểu thức tọa độ của đối với với Nếu là một điểm,một đường cong tham số trên đi qua , là một đường congtham số trên cùng với một điểm mà

Cho và là các đường cong tham số trên với , và cho là

đồ thị quanh , nói rằng Chúng tôi nói rằng và là các tiếptuyến tại , nếu biểu thức tọa độ thỏa mãn

Bổ đề 3.3.1. Tiếp tuyến tại là một quan hệ tương đương trên các đường cong đi qua Tiếp tuyến ấy độc lập với đồ thị được chọn.

Chứng minh Phát biểu đầu tiên dễ thấy Nếu là một đồ thị

khác thế thì biểu thức tọa độ được liên hệ bởi

trên phủ mở Nguyên tắc dây chuyền kéo theo

đối với mỗi đường cong Do đó, quan hệ (3.3) có thể hiểu làquan hệ đồng dạng với được thay bởi

Chúng tôi viết những quan hệ tương đương như , vàchúng tôi giải thích nó như là một đẳng thức trừu tượng giữacác vector tiếp xúc của hai đường cong tại Mặc dù thực tế làchúng tôi vẫn chưa xác định vector tiếp xúc của một đườngcong trên , do đó, chúng tôi đã thực hiện để làm cho tinh thầncủa tuyên bố rằng hai đường cong có vector tiếp tuyến nhưnhau Đây chính xác là những gì cần thiết để cung cấp mộtphát biểu trừu tượng của Định nghĩa 3.2.1.

Định nghĩa 3.3.1. Không gian tiếp xúc là tập hợp các - lớpcủa các đường cong tham số đi qua

Các quan sát sau đây có tầm quan trọng, bởi vì nó chothấy rằng không gian tiếp xúc trừu tượng là một đối tượng

“địa phương”, có nghĩa là, nó chỉ phụ thuộc vào cấu trúc củatrong một vùng lân cận của Nếu là một tập con mở, khi đó

là một đa tạp trừu tượng trong chính nó, theo ví dụ 2.3.2 Rõràng là một đường cong tham số cũng có thể được coi là mộtđường cong tham số , và khái niệm của hai đường cong là tiếptuyến tại một điểm độc lập về cách chúng tôi xem các đườngcong Dẫn đến có một bao hàm tự nhiên của không gian tiếpxúc trong Ngược lại, một đường cong tham số qua là tiếptuyến tại bằng cách thu hẹp chính nó với , và sau này cũng

là một đường cong tham số trên M' Điều đó dẫn đến

Chúng tôi cần phải thuyết phục bản thân rằng không giantiếp xúc trừu tượng được định nghĩa phù hợp với không giantiếp xúc của Định nghĩa 3.2.1 trong trường hợp Đây là nộidung của Bổ đề sau đây

Bổ đề 3.3.2. Cho là một đa tạp trong và để cho là các đường cong trên qua Khi đó, khi và chỉ khi

Dẫn đến điều sau rằng ánh xạ gây ra một ánh xạ songánh từ lớp của các đường cong tham số đi vào không giantiếp xúc của Định nghĩa 3.2.1 Do đó không gian tiếp xúc trừutượng là song ánh trong tương ứng với ánh xạ cũ

Chứng minh Chọn một đồ thị xung quanh điểm p, và cho là

một biểu thức tọa độ đối với Với Định nghĩa có nghĩa là

Bằng cách áp dụng quy tắc dây chuyền đối với biểu thức vàchúng tôi thấy rằng nếu và chỉ nếu Chúng tôi sử dụng Định

lí 1.7 để có thể phân biệt

3.4.Cấu trúc không gian vector

Định nghĩa mà chúng tôi đưa đến có một số nhược điểm.Trong trường hợp cụ thể, nó là không tường minh như là mộtkhông gian tuyến tính Các phần tử của là các lớp đườngcong, và chúng không dễ dàng nhìn thấy như vector tiếp xúcđối với bất kì cấu trúc không gian vector hợp lý nào Vì vậythật sự quá sớm để kí hiệu một “không gian” Chúng tôi sẽkhắc phục điều này bằng cách đưa ra giả thiết diễn tả của ,tương tự (3.2)

Định lí 3.4.1: Cho là một đồ thị trên với

(i) Đối với mỗi phần tử cho với gần về Ánh xạ

là một song ánh của vào Ánh xạ nghịch đảo được cho bởi

đối với mỗi đường cong trên với

(ii) Tồn tại một cấu trúc duy nhất trên như là không gian

vector (nhất thiết phải -chiều) sao cho ánh xạ là một đẳng cấu tuyến tính Cấu trúc này là độc lập với đồ thị lựa chọn xung quanh

Chứng minh

(i) Chú ý , và do đó Dẫn đến nếu thì Do đó là ánh xạ

Để thấy rằng nó là toàn ánh, cho một phần tử được đưa ra,với đại diện sao cho Cho là biểu thức tọa độ của đối , vàđặt Khi đó, vì Do đó và ánh xạ là toàn ánh

(ii) Bằng phương tiện của song ánh chúng tôi có thểtrang bị cho như một không gian vector m- chiều Chúng tôichỉ đơn giản là áp đặt cấu trúc trên để ánh xạ này là mộtđẳng cấu, có nghĩa là, chúng tôi định nghĩa cộng và phépnhân vô hướng bởi yêu cầu

cho mọi và

Chỉ có tính độc lập của là vẫn còn được nhìn thấy giả sửrằng là đồ thị khác trên xung quanh Chúng tôi sẽ chứngminh rằng

đối với mọi Cho Bởi theo quy tắc dây chuyền

Áp dụng mệnh đề cuối cùng của (i), cho đồ thị Chúng tôi kếtluận rằng

từ (3.4) kéo theo.Phép nhân bởi là một đẳng cấu tuyến tính ,

Từ (3.4) dẩn đến là một ánh xạ tuyến tính nếu và chỉ nếu làmột ánh xạ tuyến tính Do đó hai song ánh cảm sinh tạo racác cấu trúc tuyến tính như nhau trên

Định lí này sẽ là hữu ích cho sự hiểu biết của chúng tôi vềkhông gian tiếp xúc Trên cơ sở đó chúng tôi có thể hình dungkhông gian tiếp xúc như một “bản sao” của kèm theo đó làvới điểm cơ sở của nó tại

Chúng tôi đã giới thiệu một cấu trúc tuyến tính trên ,nhưng nếu ngẫu nhiên trở thành một đa tạp khi đó đã cómột cấu trúc như vậy, thừa hưởng từ môi trường xung quanhTrong thực tế, xuất phát từ chứng minh định lí 3.2.1, xem (3.2)dẫn đến một điều rằng hai cấu trúc tương đồng nhau trongtrường hợp này

Ví dụ 3.4.1. Cho là không gian vector - chiều trêntrường số thực thực sự được coi là một đa tạp trừu tượng nhưtrong ví dụ 2.3.1 Chúng tôi sẽ cho thấy rằng đối với mỗi phần

tử tồn tại một đẳng cấu tự nhiên Đối với mỗi vector chúngtôi định nghĩa là - lớp của dòng với định hướng , coi là mộtđường cong qua Để chứng minh rằng là một đẳng cấu củakhông gian vector, chúng tôi chọn một cơ sở cho , và cho kíhiệu cho đẳng cấu tương ứng , tạo thành một đồ thị trên

(xem Ví dụ 2.3.1) Cho và chúng tôi có, với các ký hiệu củaĐịnh lí 3.4.1,

và do đó Kể từ là một đẳng cấu của không gian vector , và

kể từ là một đẳng cấu , chúng tôi kết luận rằng là một đẳngcấu

3.5.Đạo hàm theo hướng

Một tính chất quan trọng của vector tiếp xúc là chúng cóthể được đưa đến hành động trên hàm trơn như một kiểu củaphép toán tìm vi phân (hay phép toán lấy đạo hàm)

Chúng tôi nhớ lại các khái niệm sau đây từ phép tínhnhiều biến Cho một hàm trên một tập mở là khả vi tại một

điểm, chúng tôi định nghĩa đạo hàm theo hướng trong hướng

như đạo hàm tại 0 của hàm , có nghĩa là chúng tôi lấy vi phândọc theo đường đi qua p với hướng X Chúng tôi kí hiệu hàmđịnh hướng như sau:

Đạo hàm theo hướng của các vector với cơ sở chính tắc làcác đạo hàm riêng

và đạo hàm theo hướng tổng quát có lien quan đến các đạohàm riêng thông qua công thức:

Khi Đặc biệt, chúng tôi thấy rằng phụ thuộc tuyến tính vào Bây giờ chúng tôi sẽ mở rộng khái niệm này trở thành đatạp trong�n Cho là một đa tạp và điểm Nhớ lại từ định nghĩa2.6.1, một hàm được gọi là trơn tại điểm p nếu hàm đó cómột mở rộng trơn địa phương trong một lân cận của điểm p.

Bổ đề 3.5.1. Cho là một hàm trơn tại điểm p và cho là một

mở rộng trơn địa phương Cho là một vector tiếp xúc và cho

là một đường cong tham số trên S với và Khi đó:

Chứng minh Bởi vì ánh xạ vào trong S ta có trong một lân

cận của , và từ quy tắc dây chuyền dẫn đến , với là một matrận Jacobian cấp của tại Vì

do đó chúng tôi có được

và đây chính là đạo hàm định hướng theo (3.6) ở trên

Quan sát thấy vế trái của (3.7)là độc lập với sự lựa chọn

của sự mở rộng trơn địa phương F của f, và vế phải là độc lập

với sự lựa chọn của đường cong với Chúng tôi kết luận rằng

cả hai vế chỉ phụ thuộc vào và X, để các định nghĩa sau đây

là hợp lí

Định nghĩa 3.5.1. Đạo hàm theo hường của tại điểm theohướng của là

với được chọn như trên

Chú ý rằng một vector tiếp xúc được xác định duy nhấtthông qua tác động của nó trên hàm trơn Đối với chúng tôi

có thể xác định tọa độ thứ i của bằng cách cho nó tác độnglên hàm (xem Ví dụ 2.6.1), bởi vì từ (3.8) dẫn đến đối với hàmnày Vì lý do này là khá phổ biến để xác định cùng với phéptoán và đơn giản chỉ cần viết thay cho

Ví dụ 3.5.1. Cho S là hình cầu đơn vị trong, Cho và

cho ký hiệu cho vector tiếp xúc Xét hàm trên Đạo hàmtheo hướng là:

Điều này có từ Bổ đề 3.5.1, bởi vì, là một phần mở rộng trơncủa hàm

3.6.Tác động trên hàm

Chúng tôi đã thấy trong phần trước rằng đối với một đatạp trong, chúng tôi có thể mang vector tiếp xúc của nó tácđộng lên hàm trơn như một phép toán vi phân Điều này cũng

có thể được thực hiện trong trường hợp đa tạp trừu tượng.Cho là một đa dạng trừu tượng và lấy

Bổ đề 3.6.1. Cho là các đường cong tham số trên M với Nếu khi đó với mọi

Chứng minh Cố định đồ thị quanh điểm p, với Ánh xạ kết

hợp có thể được viết như sau trong một lân cận của ,

Áp dụng quy tắc dây chuyền chúng tôi có được

với là ma trận Jacobian cấp của tại Bổ đề sau suy ra từbiểu thức này và (3.3)

Bổ đê này có một hệ quả chính là định nghĩa có giá trị sauđây (Định nghĩa này độc lập với sự lựa chọn đại diện)

Định nghĩa 3.6.1. Cho Đạo hàm định hướng theo hướng

của hàm là

với là một đại diện bất kỳ của

Chú ý rằng tác động của là tác động địa phương, trong

định nghĩa này hai hàm đều bình đẳng trong một lân cận củađiểm , do đó Cũng chú ý rằng, tạo nên ý nghĩa (hay phương,chiều) cũng như vậy đối với , khi mà với là tập mở (sử dụngquan sát Định nghĩa 3.3.1 dưới đây)

3.7.Vi phân của ánh xạ trơn

Cho M, N lần lượt là các đa tạp trơn của chiều m và chiều

n, và lấy Cho ánh xạ trơn Vi phân, cũng có thể gọi là ánh xạ

tiếp xúc, của tại điểm sẽ được định nghĩa Chúng tôi sẽ định

nghĩa nó như một ánh xạ tuyến tính đi từ vào Nó thỏa mãnnhư một sự tổng quát hóa của ma tran Jacobian của ánh xạ(trong đó, lần lượt, tổng quát hóa đạo hàm thông thườngcủa

Nếu M và N lần lượt là tập con mở của và , do định nghĩa

của vi phân là ánh xạ tuyến tính có ma trận Jacobian như là

ma trận của nó có liên hệ với vector cơ sở tiêu chuẩn Nó thỏamãn:

đường cong trên N.

Quy tắc dây chuyền quan trọng có giá trị đối với vi phân của

ánh xạ hợp, với và là các ánh xạ trơn giữa các tập mở và N

Nó đọc là

và nó là một hệ quả trực tiếp của quy tắc dây chuyền tươngứng đối với các ma trận Jacobians.

Giả sử rằng S và T lần lượt là các đa tạp trong và , và cho là ánh xạ trơn Nhớ lại rằng (xem Định nghĩa 2.6.1), f có một

phần mở rộng trơn trong một lân cận của mỗi điểm

Định nghĩa 3.7.1. Chúng tôi định nghĩa đạo hàm

như ánh xạ tuyến tính, là sự thu hẹp theo không gian tiếp xúccủa đạo hàm thuộc sự mở rộng trơn địa phương của f tạiđiểm

Từ quy tắc dây chuyền dẫn đến, áp dụng theo rằng

cho bất kỳ đường cong trơn trên với Biểu thức (3.9) chothấy độc lập về việc chọn phần mở rộng trơn địa phương , và

nó cũng có nghĩa là ánh xạ vào trong

Ví dụ 3.7.1. Cho là hàm trơn trên S Không gian tiếp

xúc của tại bất kỳ điểm là đồng nhất với (xem Ví dụ 3.2.1)

Do đó đạo hàm là ánh xạ tuyến tính Biểu thức (3.9).xác địnhđiều này

Bây giờ giả sử rằng M và N là đa tạp trừu tượng tùy ý, và

cho lại là ánh xạ trơn Nhớ lại rằng ký hiệu lớp của Địnhnghĩa tiếp theo lấy theo cảm hứng từ (3.9)

Định nghĩa 3.7.2. Đạo hàm của f là ánh xạ được xác địnhbởi

cho mọi các đường cong trơn trên đa tạp trừu tượng qua Chú ý rằng là một đường cong trơn trên , và là lớp tươngđương của nó trong Thật vậy, để cho xác định tốt, chúng tôicần phải chỉ ra rằng độc lập với việc chọn cho đại diện lớp.Điều này được làm trong bổ đề dưới đây Cũng chú ý rằng nếu

M và N là các đa tạp trong và, do đó từ điều (3.9) dẫn đếncác vi phân xác định trong định nghĩa 3.7.1 và 3.7.2 phù hơpvới nhau

Bổ đề 3.7.1. Cho và là các đường cong trơn trên M với ,do đó

Chứng minh Cho là một đồ thị trên quanh , và cho là đồ thị

trên M quanh p Do đó đối với mỗi đường cong trên M qua

điểm ,

bởi quy tắc dây chuyền (với x0 được xác định bởi) Áp dụngđiều này theo và, phép tất suy của bổ đề kéo theo từ địnhnghĩa của quan hệ tương đương và

Quy tắc dây chuyền là một hệ quả đơn giản của định nghĩa

3.7.2 Nếu và là ánh xạ trơn giữa các đa tạp, khi đó

Ví dụ 3.7.2. Chúng tôi đã thấy trong ví dụ 2.7.3 rằngmột đồ thị là một ánh xạ trơn Chúng tôi sẽ xác định vi phâncủa nó , là một ánh xạ trơn đi từ (Không gian tiếp xúc của tại) đến Cho Khi đó là vector tiếp xúc tại 0 theo đường congtrong và do đó theo định nghĩa là vector tiếp xúc tại 0 theođường cong

Đường cong này là chính xác đường cong , và do đó Chúng tôi kết luận rằng định nghĩa vi phân chính xác là đẳngcấu theo Định lí 3.4.1

Trường hợp đặc biệt, chúng tôi kết luận từ ví dụ trước đó rằngcác vector cơ sở tiêu chuẩn (xem Mục 3.6) đối với liên quanvới là các vector được cho bởi với mà

Định lí 3.7.1. Vi phân là một ánh xạ tuyến tính

Chứng minh Cho đồ thị trên với và đồ thị trên với được

chọn Từ quy tắc dây chuyền (3.11) và Ví dụ 3.7.2 dẫn đến sơ

đồ quan hệ sau

với các ánh xạ đứng là các phép đẳng cấu của định lí 3.4 đốivới và (xem Ví dụ 3.7.2) Bởi vì ánh xạ ở dưới cùng của sơ đồnày tuyến tính, chúng tôi kết luận rằng là ánh xạ tuyến tính

Vi phân của ánh xạ đồng nhất là ánh xạ đồng nhất Do

đó, từ quy tắc dây chuyền dẫn đến điều sau nếu là một viđồng phôi, khi đó

Từ quan hệ này và một trong những đồng dạng với bậc của

và, chúng tôi thấy rằng khi là một vi đồng phôi, thì là mộtsong ánh với Do đó chúng tôi có được vi phân của một viđồng phôi là một phép đẳng cấu tuyến tính giữa các khônggian tiếp xúc Đặc biệt, giữa hai đa tạp tồn tại một vi đồngphôi, phải có cùng số chiều

Chú ý rằng sơ đồ trực tiếp trên ngụ ý rằng ma trận của , liênquan đến các cơ sở tiêu chuẩn đối với và của các đồ thị đượcchọn, là ma trận Jacobian

Ví dụ 3.7.3. Cho là một ánh xạ tuyến tính giữa cáckhông gian vector hữu hạn chiều, như trong ví dụ 2.7.2 Trong

ví dụ 3.4.1, chúng tôi đã xác định Không gian tiếp xúc củamột không gian vector với của chính nó Bằng cách áp dụngđịnh nghĩa này cho hai không gian và , chúng tôi sẽ thấyrằng vi phân tại điểm của ánh xạ tuyến tính là ánh xạ f chính

nó Một phần tử là một vector tiếp xúc theo đường cong tại Đường cong này là ánh xạ bởi f, và vector tiếp xúc tại củađường cong sau trên chính xác là Do đó như phát biểu Trong mục 3.6 một tác động của vector tiếp xúc bởi đạo hàmđịnh hướng đã được xác định Bây giờ chúng tôi sẽ xác định viphân trên ảnh này

Bổ đề 3.7.2. Cho và cho là ánh xạ trơn Khi đó

với mọi.

Chứng minh Cho là một giá trị đại diện của Do đó là một

đại diện của df X p( ) và do bằng Định nghĩa 3.6.1 nên

3.8.Cơ sở tiêu chuẩn

Cho là một đa tạp trừu tượng Chọn một đồ thị với ,chúng tôi nhận được một cơ sở đối với từ Định lí 3.4.1, bằngcách lấy ảnh phép đẳng cấu theo mỗi vector cơ sở tiêu chuẩnđối với (theo thứ tự), có nghĩa là các vector cơ sở sẽ là cáclớp tương đương của các đường cong Cơ sở này đối với đượcgọi là cơ sở tiêu chuẩn đối với  Với các ký hiệu từ phầntrước, xem Ví dụ 3.7.2, các vector cơ sở tiêu chuẩn là

Những vector cơ sở, phụ thuộc trên đồ thị được chọn, cóthể coi như tương tự trừu tượng của các vector cơ sở

đối với không gian tiếp xúc của một bề mặt trong tham số(các cột của ma trận Jacobian

Các vector cơ sở tiêu chuẩn xác định các phép toán saucủa đạo hàm định hướng Cho với Do theo định nghĩa 3.6nên

Vì (3.12) thông thường kí hiệu bởi

3.9.Sự định hướng

Cho là một không gian vector hữu hạn chiều Hai cơ sở có

thứ tự và , được cho là được định hướng như nhau nếu ma

trận chuyển đổi S có các cột là tọa độ của các vector đối vớicác cơ sở có , có định thức dương Định hướng như nhau làmột quan hệ tương đương trong các cơ sở, mà có chính xáchai lớp tương đương Không gian được cho là được định hướngnếu một lớp đặc trưng có thể được chọn, lớp này khi đó đượcgọi là sự định hướng của , và các cơ sở phần tử của nó được

gọi là đại lương dương Không gian Euclid thường được định

hướng theo lớp chứa cơ sở tiêu chuẩn Đối với không gianchúng tôi giới thiệu quy ước rằng một định hướng là một sựlựa chọn giữa các dấu hiệu + và -

Ví dụ 3.9.1. Cho một không gian con hai chiều củathông thương gán một sự định hướng bằng cách chọn mộtvector pháp tuyến Cơ sở tích cực đối với là những cái mà là

cơ sở dương đối với (nói cách khác, nó là một bội ba bênphải)

Cho là một đồ thị trên một đa dạng trừu tượng , khi đókhông gian tiếp xúc được trang bị cơ sở tiêu chuẩn (xem Phần3.6) đối với với.Đối với mỗi chúng tôi nói rằng định hướng của, mà cơ sở tiêu chuẩn là dương, là cảm sinh định hướng bởi

Định nghĩa 3.9.1. Sự định hướng của một đa dạng trừutượng là một định hướng của mỗi không gian tiếp xúc , sao

cho tồn tại một bản đồ của trong đó tất cả các đồ thị cảmsinh định hường được cho trên từng không gian tiếp xúc.

Đa tạp được cho là định hướng được nêu tồn tại một sựđịnh hướng Nếu sự định hướng được chọn ta nói rằng là một

đa tạp được định hướng đa dạng và chúng tôi gọi là đồ thị

dương nếu nó cảm sinh sự định hướng trên từng không gian

tiếp xúc

Một ánh xạ vi phôi giữa các đa tạp định hướng với số

chiều bằng nhau được cho là bảo toàn định hướng nếu với mỗi

điểm , vi phân ánh xạ cơ sở dương đối với đến cơ sở dươngđối với

Ví dụ 3.9.2. Mỗi đa tạp , trong đó có tồn tại một bản

đồ với chỉ có một đồ thị, là định hướng Sự định hướng cảmsinh bởi đồ thị tất nhiên là một định hướng của

Ví dụ 3.9.3. Giả sử là đa tạp chiều được cho bởi mộtphương trình như trong định lí 1.6 Như đã thấy trong ví dụ3.2.2 Không gian tiếp xúc tại là không gian không

đối với ma trận bậc Cho biểu thị bởi dòng ma trận , theothứ tự như chúng xuất hiện trong ma trận Sau đó chúng tôi

có thể xác định sự định hướng bằng cách phát biểu một cơ sở

có thứ tự dương nếu cơ sở được tổ hợp đối với là dương đốivới thứ tự tiêu chuẩn Có thể thấy rằng đây là một địnhhướng, đó là do đó định hướng

Một mặt cong trong cho bởi, với là một hàm giá trị vôhướng, điều này có nghĩa là chúng tôi xác định phương hướngbằng các phương pháp bình thường được đưa ra bởi cácvector gradient của

Không phải mọi các đa tạp đều được định hướng Tuy

nhiên, những ví dụ nổi tiếng nhất như lá Mobius 2- chiều.Một

mô hình cho nó trong � 3 có thể được thực hiện bằng cách dánlại với nhau đầu cuối của một dải đã làm cho xoắn đi một nửa.Một lựa chọn phù hợp về hướng là không thể, bởi vì dải băng

là một mặt Lựa chọn một định hướng tại một điểm bắt buộc

nó bằng cách phải liên tục chọn lấy lân cận các điểm, vânvân, và cuối cùng chúng tôi buộc phải lựa chọn đối diện tạiđiểm ban đầu

Chương 4 Đa tạp con

Khái niệm của đa tạp con của một đa tạp trên trừu tượngbây giờ sẽ được định nghĩa Thực tế, ở đây tồn tại hai kháiniệm khác nhau về đa tạp con “đa tạp con nhúng” và “đa tạpcon nhúng chìm” Ở đây chúng tôi sẽ tập trung vào caccs kháiniệm mạnh mẽ của đa tạp nhúng, và cho đơn giản chúng tôichỉ sử thuật ngữ “đa tạp con”

4.1 Đa tạp con trong

Định nghĩa 4.1.1. Cho là đa tạp trong Một đa tạp con của

là một tập con , cũng là một đa tạp trong

Bổ đề 4.1.1. Cho là một đa tạp con của Khi đó và với mọi Hơn nữa, ánh xạ bao hàm là ánh xạ trơn, và vi phân của ánh xạ này tại điểm là ánh xạ bao hàm

Chứng minh: Theo Định lý 3.2, không gian tiếp xúc là không

gian của tất cả các vector tiếp xúc theo đường cong trên với Bởi vì , một đường cong trên cũng là đường cong trên , vàdẫn đến sự bao hàm Bất đẳng thức về số chiều ngay lập tức

là hệ quả

Ánh xạ bao hàm là sự thu hẹp của ánh xạ đồng nhất , do

đó ánh xạ là một ánh xạ trơn, và bởi Định nghĩa 3.7.1, viphân của nó tại các điểm là sự thu hẹp của vi phân ánh xạđồng nhất Vi phân của ánh xạ đồng nhất là ánh xạ đồngnhất, vì thế chúng tôi kết luận rằng là ánh xạ bao hàm

Ví dụ 4.1.1. Đường tròn là một đa tạp 1 – chiều trong(ví dụ cho bởi Định lý 1.6 với và ) Đường tròn này là một đatạp con (xích đạo) của một đa tạp là khối cầu 2 – chiều

4.2 Đa tạp con trừu tượng

Cho là một đa tạp trừu tượng Một khái quát ngây thơ củađịnh nghĩa trên sẽ là đa tạp con của là một tập con của , mà

là một đa tạp trừu tượng của riêng nó Tuy nhiên điều này, sẽkhông là khái niệm khả thi, bởi vì nó không đảm bảo bất kỳtính tương thích nào giữa cấu trúc vi phân của và tập con.Trong định nghĩa 4.1.1 tính tương thích, điều được phản ánhtrong Bổ đề 4.1.1, kết quả từ vị trí của hai đa tạp bên trong

một không gian xung quanh Đối với định nghĩa tổng quátchúng tôi sử dụng bổ đề đó như nguồn cảm hứng.

Nhắc lại từ Bổ đề 2.1.2 rằng: mọi tập con của một khônggian topo được trang bị như một không gian topo với topocảm sinh

Định nghĩa 4.2.1. Cho là một đa tạp trừu tượng Một đa tạptrừu tượng con của là một tập con mà còn là một đa tạptrừu tượng của riêng nó như vậy khi:

(i) Không gian topo của được cảm sinh từ

(ii) Ánh xạ bao hàm là ánh xạ trơn

(iii) Vi phân là một đơn ánh đối với mỗi điểm

Trong trường hợp này, đa tạp được cho là không gianxung quanh Đặc biệt, bởi vì vi phân là đơn ánh cho nên sốchiều của phải nhỏ hơn hoặc bằng với số chiều của Bởi Địnhnghĩa 3.7.2, vi phân ánh xạ các lớp tương đương của đườngcong qua điểm trên đều các lớp tương đương của cùngđường cong, bây giờ xem như một đường cong trên đa tạpkhông gian xung quanh (chình thức đương cong mới là ) Dựatrên giả sử trong (iii) rằng ánh xạ này là đơn ánh, chúng tôithường sẽ xem không gian tiếp xúc như một không gian concủa

Ví dụ 4.2.1. Cho là không gian vector thực - chiều,xem như một đa tạp trừu tượng (xem như Ví dụ 2.3.1) Khi đómỗi không gian con tuyến tính là một đa tạp con trừu tượng.Ánh xạ bao hàm là ánh xạ tuyến tính, do đó ánh xạ này trơn,

và có một vị trí phân đơn ánh trong mỗi điểm (xem Ví dụ2.7.2 và 3.7.3).

Ví dụ 4.2.2. Điều trực tiếp sau đây là từ Bổ đề 4.1.1rằng một đa tạp con của một đa tạp trong cũng là một đatạp con trừu tượng của, khi và được xem như là các đa tạptrừu tượng

Ví dụ 4.2.3. Một tập con mở không rỗng của một đatạp trừu tượng - chiều là một đa tạp con trừu tượng Thật vậy,như đã đề cập trong Ví dụ 2.3.2 tập con là một đa tạp trừutượng của riêng nó, cũng với chiều là Các điều kiện (i) – (iii)

dễ kiểm chứng trong trường hợp này Ngược lại, điều tiếp theobởi áp dụng định lý hàm nghịch đảo theo ánh xạ bao hàm ,rằng mỗi đa tạp con trừu tượng - chiều của là một tập con mởcủa

Ví dụ 4.2.4. Cho với cấu trúc vi phân chuẩn và cho làtrục , được trang bị với không gian topo chuẩn với cấu trúc viphân không chuẩn được cho bởi đồ thị (xem Ví dụ 2.3.3) Ánh

xạ bao hàm là ánh xạ trơn, bởi vì ánh xạ là ánh xạ trơn đivào Vi phân của tại điểm là , do đó (iii) không thoả, và(được trang bị ) không là đa tạp con của

Chú ý rằng tính chất của một đa tạp con trừu tượng làtính chất bắc cầu, có thể là, nếu là một đa tạp con của , và

là một đa tạp con của , khi đó là một đa tạp con của Điềunày xảy ra từ áp dụng quy tắc dây chuyền theo ánh xạ baohàm hợp

Bổ đề tiếp theo đề cập các trường hợp đặc biệt với đa tạpkhông gian xung quanh là

Bổ đề 4.2.1. Cho là một tập con, được trang bị không gian topo cảm sinh Khi đó là một đa tạp con trừu tượng trong nếu

và chỉ nếu là một đa tạp trong (với cấu trúc trơn như nhau)

Chứng minh: Phép tắt suy “ nếu” xảy ra từ Ví dụ 4.2.2 với.

Đối với điều ngược lại chúng tôi giả sử rằng tập chứa cấu trúccủa một đa tạp trừu tượng của , và chúng tôi có thể kiếmchứng những tính chất trong Định nghĩa 1.6.1, và thấy rằngcấu trúc trơn là như nhau

Cho là một đồ thị (trong ý nghĩa của một đa tạp trừutượng) Chúng tôi tuyên bố rằng đồ thị là một đa tạp tham sốnhúng với ảnh là tập mở trong Bởi vì bị phủ bởi các đồ thịnhư nhau, cho nên tất cả các tính chất mong muốn xảy ra từphát biểu này

Điều đó là một phần của tiên đề cho đa tạp trừu tượng mà

là một phép biến đổi topo đi vào một tập con mở của Bởi vìđiều này được yêu cầu trong (i) rằng chứa không gian topocảm sinh, đây có nghĩa là như điều được yêu cầu trong Địnhnghĩa 1.6.1

Chúng tôi có thể xem là một ánh xạ chính quy, có nghĩa

là các cột của ma trận Jacobian độc lập tuyến tính Bởi vì viphân là ánh xạ tuyến tính đại diện bởi , yêu cầu tương đươngrằng ánh xạ là đơn ánh

Bằng quy tắc dây chuyền vi phân của được hợp bởi viphân của và vi phân của ánh xạ cảm sinh Vi phân của làmột phép đẳng cấu theo ví dụ 3.7.2, và vi phân của là mộtđơn ánh bởi giả thiết (iii) Do đó vi phân của là một ánh xạđơn ánh.

Hệ quả tiếp theo đảm bảo rằng chúng tôi không có mộtmâu thuẫn nào với các định nghĩa Bởi vì điều này, chúng tôi

sẽ thường xuyên bỏ đi từ “ trừu tượng” và chỉ nói về đa tạpcon

Hệ quả 4.2.1. Cho là một đa tạp trơn trong , và cho là một tập con Khi đó là một đa tạp con trừu tượng theo Định nghĩa 4.2.1 nếu và chỉ nếu là một đa tạp theo Định nghĩa 4.1.1.

Chứng minh: Sự kéo theo nếu được nhận xét trong Ví dụ

4.2.2 Xem điều ngược lại, giả sử rằng tập là một đa tạp contrừu tượng trong , theo Định nghĩa 4.2.1 Nhận xét về tính chấtbắc cầu trước Bổ đề 4.2.1, tập là một đa tạp con trừu tượngtrong , vì Bổ đề 4.2.1 tập là một đa tạp trong Bởi vì đượcchứa trong , cho nên tập là một đa tạp con theo Định nghĩa4.1.1

4.3 Cấu trúc địa phương của đa tạp con

Định lý sau đây cho thấy rằng đa tạp con có dáng điệutốt, giải thích tại sao chúng được cho là nhúng Cho thấy rằngvới tính chất địa phương mọi đa tạp - chiều của một đa tạptrơn -chiều trông giống như ví dụ đơn giản của một đa tạp -chiều trong , bản sao

của bên trong (Ví dụ 1.6.2)

Trong phát biểu của định lý sau đây, chúng tôi sẽ chú ýnhư một tập con của , được cho bởi bao hàm chính tắc

Định lí 4.3.1: Cho là một đa tạp trừu tượng -chiều, và làmột tập con không rỗng Nếu là một đa tạp con - chiều, khi

đó với mỗi điểm tồn tại một số và một đồ thị với , sao chonhững điều sau được thoả:

(1)

(2) Sự thu hẹp của đến là một đồ thị trên

Ngược lại, nếu với mỗi điểm tồn tại một đồ thị với và

khi đó là một đa tạp con của , và sự thu hẹp các ánh xạ tạothành các đồ thị của một bản đồ đối với

Ví dụ 4.3.1. Cho và cho là đường xích đạo Chúng tôi

đã thấy trong Ví dụ 4.1.1 rằng là một đa tạp con Toạ độ cónhững tính chất cần thiết trong định lý đối với nếu chúng tôichọn ví dụ

Chứng minh: Chứng minh được dựa trên một ứng dụng thú vị

của định lý hàm nghịch đảo Giả sử là đa tạp con, cho điểm ,

và chọn tuỳ ý đồ thị và về điểm Chúng tôi có thể giả sửrằng với biến phân và với

Để đạt được các tính chất (1), (2) chúng tôi muốn sắp xếp

và Chúng tôi sẽ thực hiện điều này bằng phương pháp điềuchỉnh , và bằng cách thu hẹp các tập và Sự thay đổi sẽ códạng với phù hợp với việc xác định vi đồng phôi trong củamột lân cận của 0 trong

Cho khi đó được xác định trong lân cận của 0, và chúngtôi có Chú ý rằng chúng tôi có thể xem như biểu thức toạ độđối với ánh xạ bao hàm trong các toạ độ quanh điểm

Ma trận Jacobian của tại điểm 0 là một ma trận cấp, vàbởi vi phân là một đơn ánh nên ma trận này có hạng Bằngcách sắp xếp các toạ độ trong chúng tôi có thể giả sử rằng:

với là ma trận cấp với định thức khác không, và là ma trậntuỳ ý cấp

Xác định trên một lân cận của 0 bởi cho Ma trận Jacobiancủa tại điểm 0 có dạng

với là ký hiệu ma trận đơn vị cấp Ma trận Jacobian này cóđịnh thức khác không và do đó định lý hàm nghịch đảo có thểhiểu ngầm là một vi đồng phôi trong một lân cận của 0 Chú

ý chúng tôi xác định để Do đó với toạ độ của điểm chúngtôi đạt được

trong một lân cận của điểm 0 Với thay đổi của chúng tôi về

đồ thị do đó chúng tôi đã sắp xếp

Cho là một giá trị đủ nhỏ sao cho và và, và coi như sựgiới hạn của và đến các tập này Khi đó , do vậy , và (2) cógiá trị

Để sắp xếp đẳng thức trong (1) chúng tôi sẽ thay bởi mộtgiá trị nhỏ hơn Dễ thấy rằng một thay đổi như vậy sẽ khôngtriệt tiêu hiệu lực của bao hàm đã được thiết lập , cũng khôngtriệt tiêu tính chất (2)

Bởi vì là tập mở trong , chứa không gian topo cảm sinh,

có tồn tại một tập mở sao cho Chọn sao cho và , với Cho Chúng tôi tuyên bố rằng Sự bao hàm đã được nhận xét, vìvậy lấy là một phần tử với Bởi vì tồn tại sao cho , và do

đó Bởi vì là ánh xạ đơn ánh khi đó nó dẫn đến một điều rằng, từ điều này chúng tôi kết luận Khi đó chúng tôi thấy rằng Đẳng thức (1) đã được thiết lập

Ngược lại, giả sử tồn tại một đồ thị của kiểu được đề cậpđến quanh mỗi điểm Khi đó ánh xạ tạo thành một bản đồtrên Điều kiện của các ánh xạ chuyển đổi trơn sinh ra từ các

điều kiện tương tự đối với Do đó có thể phỏng đoán một cấutrúc trơn Ánh xạ bao hàm, biểu thị trong các tọa độ địaphương, là Dẫn đến ánh xạ này trơn và có vi phân đơn ánh,

vì thế là một đa tạp con

Hệ quả 4.3.1. Nếu là một đa tạp con của một đa tạp trừu tượng, khi đó tồn tại đối với mỗi điểm một lân cận mở trong

và một ánh xạ trơn sao cho đối với mọi điểm

Chứng minh: Chọn một đồ thị quanh điểm như trong định

lý, và cho và …,…, đối với

Hệ quả 4.3.2. Cho là các đa tạp trơn, cho là đa tạp con, và

là ánh xạ Khi đó là ánh xạ trơn nếu và chỉ nếu là ánh xạ trơn.

Chứng minh: Phát biểu suy ra từ thực tế rằng , với là ánh

xạ bao hàm, mà là ánh xạ trơn Phát biểu chỉ nếu suy ra từthực tế rằng, trong khái niệm của hệ quả trước, với được xácđịnh và là ánh xạ trơn trong lân cận của điểm

Một cấu trúc trơn trên một tập con , thoả các tính chất (i)– (iii) trong Định nghĩa 4.2.1, sẽ được cho là một cấu trúc đatạp con Suy ra từ Hệ quả 4.3.3 cấu trúc đa tạp con của mộttập con là duy nhất, nếu nó tồn tại Vì nếu có hai cấu trúc nhưvậy, ánh xạ đồng nhất của sẽ là một đồng phôi giữa chúng

Là một đa tạp con như vậy rõ ràng chính xác là một tính chấtcủa tập con Hệ quả sau đây cho thấy rằng tính chất này làđịa phương

Hệ quả 4.3.3. Cho là một đa tạp trừu tượng và là tập con Khi đó tập là một đa tạp con nếu và chỉ nếu với mỗi điểm

tồn tại một lân cận mở của trong sao cho là một đa tạp con của

Chứng minh: Từ Định nghĩa 4.2 suy ra thực tế rằng nếu tập

là một đa tạp con của , khi đó N là một đa tạp con của với mỗi

tậ mở Ngược lại, giả sử tập thoả điều kiện địa phương Bằngcách áp dụng phần đầu tiên của Định nghĩa 4.3 cho đa tạpcon của chúng tôi nhận được các đồ thị kiểu chi tiết trong , vớimỗi tập Bởi vì là tập mở trong , một đồ thị trên cũng là đồ thịtrong, và bởi vì mọi tập phủ , nên phần thứ hai của Định lý4.3 suy ra tập là một đa tạp con

Chú ý rằng điều suy ra từ Bổ đề 2.9.1 là nếu có các bản

đồ đếm được, thì như vậy có các đa tạp con , bởi vì nó thừahưởng từ tính chất của cơ sở đếm được với không gian topo

4.4 Tập hợp cấp

Định lý sau đây là một công cụ hữu hiệu cho việc xâydựng các đa tạp Định lý này đại diện tương tự cho các đa tạptrừu tượng của Định lý 1.6 Cho lần lượt là các đa tạp trơntrừu tượng chiều thứ và chiều , và cho là ánh xạ trơn

Định nghĩa 4.4.1. Một phần tử được gọi là một giá trị thôngthường nếu với mỗi điểm vi phân là toàn ánh Một giá trị tớihạn là một phần tử mà không là giá trị thông thường

Chú ý rằng bởi định nghĩa này mọi phần tử là các giá trịthông thường Cũng chú ý rằng nếu tồn tại một giá trị thôngthường , khi đó nhất thiết , bởi vì một ánh xạ tuyến tính đi vàomột không gian chiều lớn hơn không thể là toàn ánh