(Luận văn thạc sĩ) đánh giá tác động và tính dễ bị tổn thương do biến đổi khí hậu đối với sản xuất nông nghiệp và nuôi trồng thủy sản tại huyện quảng ninh, tỉnh quảng bình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - Năm 2014

1

MỞ ĐẦU

Toán học là một môn khoa học đóng vai trò rất quan trọng trong các ngành khoa học Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và thú vị nhất của toán học đặc biệt của toán sơ cấp Việc nghiên cứu về bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và phát triển tư duy Lý thuyết cũng như các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi toán, các bất đẳng thức đều được đề cập và thuộc loại toán khó hoặc rất khó Nhiều bất đẳng thức đã trở thành công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán đó như bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… trong khi đó bất đẳng thức Bernoulli thường

ít được quan tâm Là một người cũng rất say mê bất đẳng thức sơ cấp nhưng tác giả cũng biết không nhiều về bất đẳng thức này Vì vậy, tác giả đã lựa

chọn đề tài "Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức

Bernoulli" với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có

cái nhìn tổng quan và đầy đủ hơn về bất đẳng thức sơ cấp cũng như để cung cấp thêm một tài liệu tham khảo bổ ích về toán học trong các trường THPT hiện nay

Với ý nghĩa đó trong quá trình làm luận văn, tác giả đã xây dựng và lựa chọn các bài toán hay nhằm làm nổi bật lên mặt mạnh của bất đẳng thức Bernoulli Luận văn được chia thành ba chương

Chương 1 Bất đẳng thức Bernoulli Trong chương này tác giả trình bày về bất đẳng thức Bernoulli và các dạng phát biểu khác cùng một số ví dụ thể hiện các kỹ thuật cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli

Chương 2 Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức Bernoulli Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng bài toán từ bất đẳng thức Bernoulli thông qua các ví dụ cụ thể Từ đó trình bày hệ thống bài tập

2

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của thầy PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Em xin chân thành cảm ơn thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em đã nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô để có một học vấn sau đại học căn bản

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và góp những

ý kiến quý báu để em hoàn thiện hơn luận văn của mình

Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi

em công tác, đã tạo điều kiện cho em đi học hoàn thành chương trình

Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất cả các thầy các cô, kính chúc thầy cô luôn luôn mạnh khỏe và hạnh phúc

Chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014

Người thực hiện

Bùi Trọng Nguyện

Chương 2

Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức

2   1 51

Định lí 1.1 1 Nếu α là một số thực thỏa mãn  1 thì

1 x    1 x, với mọi x  1 (1.1) Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc  1

5

Theo bảng biến thiên của hàm số, ta suy ra

f (x)f (0)0, hay 1 x    1 x với mọi x 1

1 x    1 x với mọi x 1

Định lí được chứng minh

Định lí 1.2 1 Nếu là một số thực thỏa mãn  1 thì

a     1 a, với mọi a0 (1.2) Đẳng thức xảy ra khi a 1 hoặc  1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1.

Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xx0, với x0là một số dương cho trước, ta chỉ cần thay bởi bất đẳng thức trong định lý sau đây

1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa

Các dạng toán đặc trưng của bất đẳng thức Bernoulli rất dễ nhận ra vì đó là bất đẳng thức với những số mũ vô tỉ dương hay sự chuyển đổi số mũ vô tỉ Kỹ thuật chủ yếu để xử lí dạng toán đó là kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa Xét các ví dụ điển hình sau đây

Ví dụ 1.2.1 Giả sử a, b là hai số thực dương Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b.

Ví dụ 1.2.2 Giả sử a, b, c là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. 

Ví dụ 1.2.3 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3

Như vậy ta đánh giá thông qua số mũ 2 Vì A, B, C là ba góc của tam giác ABC nên sin A0, sin B0, sin C0 Ta suy ra

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Ví dụ 1.2.7 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi số thực 0 k 1  ,

1.2.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi

Khi áp dụng bất đẳng thức Bernoulli thì việc áp dụng sao cho đẳng thức xảy

ra là điều quan trọng, đặc biệt là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bernoulli

Ví dụ 1.2.11 Giả sử x, y 0 thỏa mãn x2 y2 1 Chứng minh rằng

4x  1 4x ;

4y  1 4y Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được

Ví dụ 1.2.12 Giả sử x, y 0 thỏa mãn x2 2y2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 Mx3 y3

2 Nxn yn, với n 3 cho trước

 ,

n 2 0

n 2

2y

3 3

1 1 2 2 n n

Ca x a x   a x

m 1 m 1 m 1

02

m 1 2

m 1 m 1 m 1

0n

m 1 n

m 1 m 1 m 1

02

m 1 2

m 1 m 1 m 1

0n

m 1 n

28

Chương 2

Một số bất đẳng thức được xây dựng trên bất đẳng thức Bernoulli

2.1 Xây dựng một số hàm đơn điệu dựa trên bất đẳng thức Bernoulli

Dựa vào bất đẳng thức Bernoulli có thể xây dựng một số hàm đơn điệu dạng lũy thừa rất thú vị Sau đây ta xét một số bài toán như thế

Ví dụ 2.1.1 Giả sử a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. 

Nhận xét Vế trái và vế phải của bất đẳng thức trong Ví dụ 2.1.1 được biểu thị

Khi đó với mọi , (0;) sao cho   , ta luôn có

bằng phương pháp đặc biệt hóa ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức

trong các trường hợp riêng

Ví dụ 2.1.3 Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng

8

    Tương đương với

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Từ ví dụ trên ta xây dựng bất đẳng thức mới qua Ví dụ 2.1.4 sau

Ví dụ 2.1.4 Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác và ,   là hai số thực thỏa mãn    1 Chứng minh rằng

Ta cần chứng minh F(t) là một hàm số đơn điệu tăng trên 1;

Hay với mọi t , t1 2 1; , t1t2, thì

4 4 4 2

4 4 4 2

4 4 4 2

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Từ đó ta có bài toán sau

Ví dụ 2.1.8 Giả sử a, b, c là các số thực dương và ,   là hai số thực thỏa mãn    1 Chứng minh rằng

Ta chứng minh F(t) là một hàm số đơn điệu tăng trên 1;

Hay với mọi t , t1 2 1; , t1t2 thì

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Một số bài tập về xây dựng hàm đơn điệu

Dựa trên bất đẳng thức Bernoulli và các bài toán cụ thể, ta có thể xây dựng

được nhiều bài toán tổng quát Từ đó bằng phương pháp đặc biệt hóa để được

42

2 3

Từ đó, ta xét bài toán tổng quát

Mệnh đề 2.2.1 Giả sử có n số thực dương a , a , , a (với mọi 1 2 n nN,

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2   a n

Một vài trường hợp đặc biệt

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử a, b là hai số thực dương Khi đó ta luôn có

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

   Nên

3 3

 2 3

1 ab bcca3 abc Tương đương với

Cách xây dựng bài toán

+ Cho  2, x0 3, ta suy ra x2 322.3(x3)

+ Cho  2, y0 1, ta suy ra y2 32 2.3(y 1)

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được

2 2 2 2

x y 3  1 2 2 x  3 x y 4  Như vậy, nếu cho x 3, x y 4   thì x2 y2 32 12 Từ đó ta có bài toán

Ví dụ 2.2.4 Giả sử x 3, x y 4   Chứng minh rằng

2 2

x y 10

47

Lời giải Bài toán trên xây dựng dựa trên bất đẳng thức Bernoulli, nhưng

ngoài cách chứng minh sử dụng bất đẳng thức Bernoulli, ta có thể giải bằng cách khác

x  y    z 3 2   1 3 1 z 1    2 y  2  3 x  3  Mặt khác

Ví dụ 2.2.7 Giả sử a, b, c là các số dương thỏa mãn a 5, a b 8,  

a  b c 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Đây là một cách nữa để xây dựng bài toán mới từ bất đẳng thức

Bernoulli, kỹ thuật làm ngược chiều bất đẳng thức Bernoulli

Ta có thể đánh giá như sau

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2014

3 1 khi và chỉ khi a=3, b=1

Một số bài toán được xây dựng theo cách trên

Bài 2.2.11 Giả sử ba số thực x, y, z thỏa mãn

x2, x y 3, x  y z 4

4 4 4

x y z 2483

a  b c 14, a   b c d 15 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

2 3

2      2 2 Tương đương với

Mệnh đề được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  0 hoặc  1

2.3.1 Một số bài toán trong tam giác

Ví dụ 2.3.1 Cho tam giác ABC có hai góc A, B nhọn và thỏa mãn điều kiện

sin A sin B sin C 2 2 2

Mặt khác, với mọi tam giác ABC, ta luôn có

Với mọi tam giác ABC không tù, ta luôn có

sin A sin B sin C

2 2 2

c a b Theo định lí hàm số côsin, ta được

sin A sin B sin C

sin A sin B sin C

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên theo kết quả Ví dụ 2.3.1 ta có

sin A sin B sin C

sin C sin A sin B sin C

Suy ra

sin A sin B sin C 5.

cos x sinx 2 2

Vì cos1, sin1cos2 , sin1sin 2  0,1 ,

cos sin cos sin sin cos

sin sin sin cos sin sin sin  sin 1

2.4 Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng

2.4.1.Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh BĐT AM-GM suy rộng

Mệnh đề 2.4.1 Giả sử a,b 0;  , > 0 và    1 Chứng minh rằng

    (2.4.1)

Xét a,b > 0

+ Với ab Bất đẳng thức hiển nhiên đúng

+ Với ab Vì a,b > 0 nên a 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia1 a2 a3

Mệnh đề 2.4.4.(Bài toán tổng quát) Giả sử n số không âm a , a , , a1 2 nvới mọi n2 và n số dương  1, 2, , n thỏa mãn   1 2+ + n 1

Chứng minh rằng

1 2 n

1 1a 2a2 nan a a a1 2 n

       (2.4.4)

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.1, Mệnh đề 2.4.2 cứ tiếp tục với quá trình đó

ta sẽ chứng minh được (2.4.4) đúng với n 2,4,8,  và nói chung (2.4.4) đúng với n là lũy thừa của 2 Đây chính là quy nạp theo hướng lên trên Bây giờ ta thực hiện quy trình quy nạp theo hướng xuống dưới Ta chứng minh rằng khi (2.4.4) đúng với mọi n2 thì nó cũng đúng với n 1

Mệnh đề 2.4.5 Giả sử n số dương a , a , , a1 2 nvới mọi n2 Chứng minh rằng

Mệnh đề 2.4.6 Giả sử n số thực dương a , a , , a1 2 n, với mọi n2 Chứng minh rằng

2.4.2 Xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển

Ví dụ 2.4.1 (Bất đẳng thức Yuong) Giả sử a, b không âm và p, q thỏa mãn

víi mäi i=1,2, n.

víi mäi i=1,2, n

Ta có

a b  a b   a b  a  a   a b  b   b Hay

70

2.4.3 Một số bài toán khác

Ví dụ 2.4.5 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng

3 3 2 sin A sin B sin C 2

cos A cos B cos C

3

 

  

 

 tan A tan B tan C  tan A+ tan B tan C

3



Mặt khác, trong tam giác nhọn ABC, ta luôn có

tan Atan Btan Ctan A tan Btan C 3 3

Ta suy ra

       tan A+ tan B tan C

tan A tan B tan C 3

  

Do đó

 tan A tan B tan C   3

Bất đẳng thức được chứng minh

2 Áp dụng Mệnh đề 2.4.6 với n 3 , ta có

 sin A sin B sin C sin A sin B sin C sin A sin B sin C

sin A sin B sin C sin A sin B sin C

 cos A cos B cos C cos A cos B cosC cos A cos B cos C

72

cos A cos B cos C cos A cos B cos C

3

 

    Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2.4.6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng

73

Nên

3 3sin A sin B sin C 2 = 1tan A+ tan B tan C 3 3 2



Từ đó suy ra

 tan A+ tan B tan Ctan A  tan A+ tan B tan Ctan B  tan A+ tan B tan Ctan C 1

 tan A tan B tan C 1 3 3

74

3

  

Từ đó suy ra

 cot A cot B cot Ccot A  cot A cot B cot Ccot B  cot A cot B cot Ccot C 3

2

 

   Bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi giác ABC đều

75

Kết luận

Trong luận văn này, tác giả đã trình bày được những vấn đề cơ bản sau

1) Nhắc lại bất đẳng thức Bernoulli và các phát biểu khác của bất đẳng thức Trình bày được hai kỹ thuật cơ bản trong sử dụng bất đẳng thức Bernoulli

2) Trình bày được các ý tưởng và các phương pháp cụ thể để xây dựng bất đẳng thức mới dựa trên bất đẳng thức Bernoulli

3) Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli để xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển và xây dựng được hệ thống bài tập theo các nội dung

76

Tài liệu tham khảo

NXB Giáo Dục Việt Nam

Bản Giáo Dục

Bản Giáo Dục

bài giảng về bất đẳng thức Côsi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

Birkhauser Boston, Second printe, United States of America