(Luận văn thạc sĩ) bài toán calderón trong hình tròn đơn vị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU HIỀN BÀI TOÁN CALDERÓN TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THU HIỀN

BÀI TOÁN CALDERÓN TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THU HIỀN

BÀI TOÁN CALDERÓN

TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS ĐẶNG ANH TUẤN

Hà Nội - 2019

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng Sau Đại Học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tựnhiên, ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lời và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũngnhư nghiên cứu

Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, trườngĐHKHTN - ĐHQGHN về sự động viên khích lệ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Đặng Anh Tuấn, người đã luôn hướngdẫn, chỉ bảo tận tình, sát sao tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới em Mai Thị Kim Dung, người đã giúp tôi trong việc sửdụng Latex và hoàn thiện trình bày luận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới người thân, bạn bè những người đã giúp đỡ,động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thu Hiền

Mục lục

1.1 Một số kiến thức giải tích 6

1.2 Không gian Sobolev 9

1.2.1 Không gian Sobolev trên xuyến 9

1.2.2 Không gian Sobolev trên B 17

2 Bài toán biên elliptic 26 2.1 Phương trình elliptic 26

2.2 Ánh xạ Dirichlet - Neumann 31

3 Bài toán Calderón 35 3.1 Ví dụ Alessandrini 35

3.2 Mở rộng ví dụ Alessandrini 36

3.3 Một số ví dụ khác 44

Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 54

): Không gian các hàm liên tục trên R, tuần hoàn chu kì 2π.

• Cm(B): Không gian các hàm có đạo hàm tới cấp m liên tục trên B, với ∀|α| ≤ m

• C∞(B): Không gian các hàm khả vi vô hạn trên B, C∞(B) =

Mở đầu

Xét vật thể dẫn điện là một bản mỏng, có thể xem là hình tròn B với tính dẫn γ(x) Giảthiết trên miền B vật thể không có nguồn hoặc tụ Đặt một điện áp f lên S1 sẽ sinh ramột điện thế u trong B, thỏa mãn bài toán biên Dirichlet

Bài toán biên Dirichlet (1) có duy nhất nghiệm u ∈ H1(B) với mỗi f ∈ H1(S1) Khi đó

ta có thể định nghĩa ánh xạ Dirichlet-Neumann Λγ : H12(S1) → H−12(S1) được xác địnhbởi

Trong luận văn này, công việc của người viết là trình bày ví dụ mở rộng của Alessandrini

về bài toán Calderón như xét được tính ổn định và khôi phục lại tính dẫn của vật Ngoài

ra người viết quan tâm đến các kết quả về tính ổn định Cα, 0 < α < 1, của T.Barcelo vàđồng nghiệp trong bài báo [11], tính ổn định Hα, 0 < α < 1, của A Clop và đồng nghiệptrong bài báo [5]

Bố cục của luận văn gồm 3 chương:

• Chương 1: Trình bày những kiến thức về giải tích, không gian Sobolev trên xuyến

và không gian Sobolev trên hình tròn để sử dụng cho các chương sau

• Chương 2: Trình bày các kết quả về tính trơn của nghiệm trong phương trình elliptic.Sau đó, từ định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên Dirichlet chophương trình elliptic, người viết trình bày định nghĩa và một số tính chất của ánh

xạ Dirichlet-Neumann Trong trường hợp hệ số của phương trình elliptic đặc biệt,người viết nhắc lại các kết quả giúp cho việc viết được tường minh ánh xạ Dirichlet-Neumann

• Chương 3: Xuất phát từ ví dụ của Alessandrini, người viết quan tâm đến lớp tínhdẫn

Đối với lớp tính dẫn này, người viết thu được các kết quả:

(+) Viết tường minh ánh xạ Dirichlet - Neumann (D-N)

γa(r) = 1 + aαρr

a

, a > 0,trong đó

Định nghĩa 1.1 Cho p ∈ [1; +∞), không gian Lp(Tn) được định nghĩa như sau

L2(T) = L2 S1
= L2

(0, 2π) ; L2(Tn) = L2((0, 2π)n)

Định nghĩa 1.2 ([8]) Với f ∈ L1(Tn), ta định nghĩa hệ số Fourier thứ k của f như sau:

f (k)b

2

Chứng minh Xem chứng minh chi tiết trong [8], Định lý 3.2.7

Phần tiếp theo, ta sẽ quan tâm đến tích chập

Định nghĩa 1.3 Cho f, g là hàm đo được trên Rn, tích chập của hai hàm đo được f, gđược định nghĩa hình thức như sau

(f ∗ g)(x) =

Z

Rn

f (x − y)g(y)dy, x ∈ Rn

Định nghĩa 1.4 (1) Cho hàm ρ ∈ C0∞(Rn) được xác định bởi

ρ(x) =





Ce

1

|x|2−1 nếu |x| < 1,

0 nếu |x| ≥ 1,trong đó C là hằng số sao cho R

(1) η ∈ C0∞(Rn) và 0 ≤ η ≤ 1 trong Rn

(2) η = 1 trong BR(x0) và η = 0 ngoài BR+ε(x0)

(3) | 5 η| ≤ Cε, trong Rn với C là một hằng số dương

Chứng minh Tính toán tương tự trong chứng minh Mệnh đề 1.2 trong [3]

Ta có thể xem u ∈ Lp(B) như một hàm u ∈ Lp(Rn) bằng cách cho u = 0 ngoài B Khi

đó sử dụng Mệnh đề 1.2 trong [1] ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.2 Cho 1 ≤ p < ∞ Khi đó với mọi u ∈ Lp(B), ta có

ρε∗ u hội tụ đến u trong Lp(B), khi ε → 0+.Định lý 1.4 ([8])(Bất đẳng thức Young) Cho 1 ≤ p, q ≤ ∞ và r ≥ 1 thỏa mãn

q ≤ 2

1.2 Không gian Sobolev

1.2.1 Không gian Sobolev trên xuyến

Định nghĩa 1.5 Cho s > 0, không gian Sobolev trên xuyến được định nghĩa như sau:

f (k)b

2

< +∞

)

Chuẩn của Hs(Tn) xác định bởi

kf kHs (T n )= X

k∈Z n

1 + |k|2
s

2!

1 2

2!

1 2

f (k)b

2!

1 2

Cho nên

kgNk2Hs (T n ) ≤ kf kH−s (T n ) kgNkHs (T n )

Từ đó suy ra

kgNkHs (T n )≤ kf kH−s (T n ),hay

(ii) Do f ∈ Hs(Tn) nên theo ý (i) f ∈ H[s](Tn) Từ Mệnh đề 1.4 ta có

Ddαf (k)

f (k)b

...

Định nghĩa 1.3 Cho f, g hàm đo Rn, tích chập hai hàm đo f, gđược định nghĩa hình thức sau

(f ∗ g)(x) =

Z

Rn

f (x − y)g(y)dy,...



Ce

1

|x|2−1 |x| < 1,

0 |x| ≥ 1 ,trong C số cho R

(1) η ∈ C0∞(Rn) ≤ η ≤ Rn...

(3) | η| ≤ Cε, Rn với C số dương

Chứng minh Tính toán tương tự chứng minh Mệnh đề 1.2 [3]

Ta xem u ∈ Lp(B) hàm u ∈ Lp(Rn)