(Luận án tiến sĩ) một vài bài toán về sự va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi luận án PTS cơ học1 02 20

Nhu chùng ta dà bilt, phuo'ng trinh cùa ly thuylt ba chieu cùa dan hoi la rat phuc tap doi vo'i viéc giai eàc bài toàn ve chuyln dong khong dung é trong thanh.. Nhieu nha khoa h9C lén

^ ^ • < r 1 ^ ^

^

Z2.l^

BO DAI HOC TRUNG HOC CHUYEN NGHIEP VA DAY NGHE

TRUONG DAI HOC TONG HOP HA NOI

Mguyln Dang T6

TRIÌN::'

, Y_ lAiJir

1109 VAI SAI IOAN 1^ TA ^ A M OUA 7AS lAV

YAO nUìH SA» KOI

Chuyén ngành : Ce ly thuyét

Ma bifu : 1.02.20

LUAN AN PHO TIEW SI KHOA HOC TOAN LY

Nguei hueng dan khoa hqc : Giao su Tien si Pham Huyen Giao su Pho tien si Nguyen Thùc An

^

HA NOI 1989

MUC LUC

LOI NOI DAU

CHUONG I Tong quan ve ly thuyet va cham dee cùa

vft ran vao thanh dan boi

Va cham cùa vàt ran vao thanh dan boi co

ke den su hao tan nang lueng do chuyen dong k£nh

Ì2.1 Phueng trinh chuyln dOng cùa thanh

co ke din dieh chuyen kinh

Ì2.2 Va cham cùa vft ran vao thanh dan

bèi ban v6 han

Ì2.3 Va ch^m cùa v§t rln vao thanh dan

boi hmi han tya trén nen cung

Tom tat chueng II

CHUONG III Va ch^m cùa vàt ran vao thanh dan boi co

ke den lue can nboHe mat ben

Ì3e1e Phuong trinh chuyln dong cùa thanh

co ke din lue can nho't e m^t ben

Ì3.2 Va ch^m cua vàt rln vao thanh ban

v6 h^n

8 3 3 • Va chqira cùa v à t r a n vao t h a n h dan

h o i him h^n tura t r é n n e n cumg

Tom t l t chucmg I I I KET LUAN CHUNG

TAI LIEU THAM KHAO

^ 4

-LOI NOI DAU

Vo'i phueng huéng phat trien nganh Co' h9c Viet Nam trong thei gian qua va tuo'ng lai sap tc?i da duo'c néu ra trong cac H9Ì nghi Co» h9e toàn quoe lan thu I, II, III va IV ; Ce h9C d^ii cueng va Ce h9C v|t rln "bien deing la nhung chuyén nganh

dang duo'c quan tàm, trong do Ly thuyet va ehfm d9e cùa thanh

dang duee phat trien, hoan thien va co nhieu kha nang ung dung trong ky thuàt

Van de nay, tu hoTi ha muei nam tre l§ii day, da duo'c cac nhà CO' h9e e nhieu nuo'c quan tàm va nghién cuu [^'fS^^i?^Z^^òi J•

ó Viet Nam, ke tu Hoi nghi Ce h9c toan quoe lan thu II din nay,

da co mot SO tao già nghién cuu va da thu duo'c mot so kit qua

ve ly thuylt cùng nhu ve ung dung ky thu|it cùa ly thuyet nay

Noi dung cùa luan an la nghién cuu mot so bai toan ve sy»

va eh§m d9e cùa v%\ ran vao thanh dan hoi co ke din bo phan

giàm chan è dau thanh, cac lién kit d^t lén thanh va su hao tan nang lueng do chuyen dong kinh

PhiTO'ng phap nghién cuu la kit hQ»p phép biln dèi Laplatxe

va phueng trinh vi tich phàn, phuo'ng trinh tich phàn Venterà

Ve bo cijie, luan an gom ba chuo*ng

Chuo*ng thu nhat - tao già trinh bay tong quan ve lieh su phat trien ly thuylt va eheun d9C cùa thanh dan hoi, co' se cùa

ly thuylt nay va cac phueng phap giai m9t so bai toan ce ben Dong thei rùt ra mot vai nh^Ln xet ; do cùng la ce se de tao già thiet l§p mo hinh cac hai toan mo»i va eh9n phuo^ng phap giai e cac chuong sau

Chueng thu hai - nghién cuoi sy va cheim cùa vàt ran vao

thanh dan hoi co ke den hao tan nang luo'ng do d^ch chuyen th^ phueng ban kinh Trong chu'o'ng nay da xet hai bai toan

^

-Bai toan thu nhat - Va e h ^ co d|m cùa v|t ran vao thanh dan hoi ban v6 hein

Bai toan thu hai - Va ch§im co dem cua vft rixi vao thanh

d ^ bèi co do dai hJk h§in ti^a trén nln'ciJng

Da dua ra vi du minh h9a RÙt ra m9t so nh|n xet va kit lu$n

Chuo'ng thu ba - nghién cuu su va cheim cùa vàt ran vao

thanh dan hoi co kè din can nhéte m§t ben cùa thanh

Trong chueng nay, xet hai bai toan

Bai toan thu nhat - va cham co dem cùa v|it ran vao thanh dan hoi ban v6 han

Bai toan thu hai - va chgm co dem cùa v%t ran vao thanh dan hoi co d9 dai huu han tua trén nen cung

Phàn cuoi ehireng co rùt ra kit lu§n

Sau cùng, tac già néu kit lu^n chung ve nhung kit qua da thu duo'c, y nghìa ce h9c cùng nhu ky thu|t cùa cac kit qua nay

Cac kit qua nghién cuu viet trong n9i dung l u ^ an da

duD'c trinh bay trong cac Xémina "Ce h9c vàt ran bien dang"

thang 4/1987* "Giang deiy Ce hgc ly thuylt cùa cac tru-ò'ng d§i

hgc" thang 6/1987» "Nhung van de toan h9e cùa vllt ly va ky thuat'

e D^i h9c Tong ho'p Cracop Balan vao thang 2/1988 "Ce h9c dai cuo'ng" vao thang 6/1989»

Da cong bo 3 bài bao dang trong "Tap ehi Ce h9e" so 1/1988,

so 3/1988 va so 1/1989 /T ^ ^ ? J^ J* I^iot bao cao trong H9Ì ngh4

Ce h9C toàn quoe lan thu IV vào thang 2/1988 / ^ _/

Luan an ducj'c hoan thanh tai bo mon Co» h9c deii cuo'ng thuoe khoa Toan-Ce-Tin h9c, truo'ng Dai hoc Tong hq'p Ha Noi; bg mon

Ce ly thuylt, khoa Co* khi, truòng Dsii h9C Thùy lei Ha Noi

Chùng toi xin chàn thanh càm en Giao su tiln si Pham Huyen,

- 3 '

Giao su phó tiln si Nguyen Thùc An là cac thày huo'ng dan cxing cac thay, co va cac b^n dong nghiep trong hai bo mon da chi bao giùp do» chùng toi rat nhieu trong qua trinh hoan thanh lu|n an nay •

Chuo'ng I

TONG QUAN VE LY THUYET

VA CHAM DOC CUA THANH DAN HOI

il.1 SU PHAT TRIEN CUA LY THUYET VA CHAM DOC

CUA THANH

!• Ly thuyet va cham co diln>/~^ _.7

Ly thuylt va ehgm co di In da duo'c gin li In vo'i tén tuoi

cùa Gelile va Niuten Ly thuylt nay da dutj'c trinh bay trong

cac giao trinh Ce ly thuylt

1 N9Ì dung cùa ly thuylt va chaon co dien

Dua vào cac già thilt bo xung phàn anh d§LC trung ce ban

cùa hifn tueng va ch§m vft ly

a) Khoang thei gian va cham ^ la v6 cung bé

b) Bo qua d^ch chuyen cùa nhung v§t the trong thod gian

va ch^m ^

e) Xung lue va ch^m là huu h^n va co the bo qua xung lue

cùa nhuTig lue huu h ^

PhuDTig trinh ce ban cua ly thuylt nay là

- 5"

-6 day v^,V2 va U^, U2 là ehilu v$n toc cùa hai v|t the theo

huc?ng phap tuyln truée va sau khi va eh§m ;

S^, S2 là xung lue va chgim e pha dau va pha cuoi

2 Nh§n xet : Ly thuylt va cheim co dien dong vai tro lo'n lao trong viéc phat triin khoa h9c va cham va duec ap di^ng rong rài trong thy?c ti Song ly thuylt nay da khong giai thich duxj'c hifn tueng biln deuig vi tri ó* vung tilp xùe Cua cac vft the va chfun Kit qua thu duo'c ehi la gan dung véi thifc ti, no phu thuoc vào viec xacd^nh bang thue nghi§m h§ so khoi phuc k Ly thuylt nay bi giéi han bei vi§c xet hi fu ung tich phàn e pha dàu va pha cuoi ma khóng xet din eà trong qua trinh va eh§im xay ra Nhung ton tfi Cua ly thuylt va ch^m co dien se duo'c nghién cuu

va giai quylt dua trén ce sé ly thuylt biln dang vi tri va ly thuylt song

II Ly thuylt va cham dpc cùa thanh dan hoi

1 Nhàn xet chung £/tO J• vào nam 1770, Beenuli dà chù y den nhuTLg thieu xot cua ly thuyet va c h ^ co dien Ong da chimg

to rang qua trinh dao dong tu do cùa vft the dà xay ra sau khi

va cheun Bang vife nghién cuu bài toan cu the doi véi tljanh va tinh toan tan so ce ban cùa dao dong, ong dà xac dinh du'o'c nang luQTig cùa dao d9ng riéng chilm khoang 5/9 nang luo'ng truéc khi

va eh^m Tu do ong ehi ra la dieu can thilt phài tinh toan din sif dao dong cùa cac thanh dan hoi Va ch§m d9c cùa cac vàt the hinh lang tru là doi tuo'ng nghién cuu Cua nhieu tac già Vao nam 1823, Navi e da xet bài toan ve su va cham d9C cùa vat ran vào thanh vo'i già thilt vft ran khong tàch dèi thanh it nhat trong khoang tho*i gian nùa ehu ky dao d9ng co* ban cùa thanh Nghifm tim ducj*c khong thufn tien cho vifc àp di^ng vao thi^'c ti

Ly thuylt va ch^m d9C cùa thanh dan hoi sau do dija vào

ce sé cac kit qua nghién cuu cùa Xanh-Venang va Butxinetxce Viec nghién cuu nay dà thu duec nghiem tong quàt cùa bài toàn

ma Navi e d^t ra duo'i dang cho phep àp dung vào thue ti Tuy vày, ly thuylt va cham d9C cùa Xanh-VenSng thuo»ng chua phù hep

5

-vei thifc te, dieu nay da duQ'c Timosenco chi ra bang thue nghiem cùa Phoi Nguyen nhàn là o* cho Xanh-Venàng cùng nhu Navié dà coi m^t tiep xue giua cac v§t the la nhan ly tuo'ng, vuong góc vo'i true Cua thanh. S\f go ghe cùa cac ra§t tilp xue gay ra su sai lech len cùa hien tuo'ng va eh§im é trueng hiyp eàc thanh ngan. De

thue hifn gan dung se do nghiem bai toàn doi vo'i dieu kien thiyc t^e Cua thyc nghiem va eàc tai li§u ly thuyet, Siere dà xet su?

va ch^un cùa thanh dàu hinh càu vc'i thanh dàu phang Siere dà

chi ra bang thue nghifm la e gan dàu hai thanh va eh^m, su phàn

bo ung suat duq'c xàc dinh tu ly thuylt biln d§ng v4 tri cùa

GeexD* va e tu khoang eàch nao do so vo'i nhung dau cùa hai thanh,

su phàn bo ung suat duo'c xàc dinh theo ly thuylt cùa Xanh-Venang^ Nhu vfy la Sio're dà giai quylt tr9n v§n bai toàn nay vi ong dà kit ho'p duo'c ly thuylt biln dang vi tri va ly thuylt dao d9ng dàn hoi cùa thanh

2 Ly thuylt dao dong dqc cùa thanh / ^^J*

Ly thuylt va ch§m dgc cùa thanh co lién quan ch^t che véi

ly thuylt dao dong d9C cùa thanh vi v|iy ta se se luq'c ve sif

phàt trien cùa ly thuylt nay

a) Ly thuylt co dien Ly thuylt co diin dao dong d9e cùa thanh dua trén già thilt la thilt difn ngang cùa thanh du-o'c giù nguyen trong m§t phang biln d^ing Theo ly thuylt này su phàn bo ung suat phap d9C trijic la nhu nhau trong moi thilt dien

Phueng trinh dao d9ng d9C cùa thanh dong nhat, ding huo'ng, thilt di§n khong doi là

- ^ =3^4%- (a lOI) (4,i) •

trong do U(x,t) là dich chuyln d9c truc ; E - modtm dàn hoi ;

P - difn tfch thiet dien

Trirò-ng hq-p thanh khong dong nhat, phuo-ng trinh si co dfing

3 1 3x 3 X

?'

-b) Càc ly thuylt hoàn thien hen : Viéc hoàn thifn li

thuylt dao dong d9c cùa thanh ban dàu muon hen khà nhieu so

véi viec hoan thien ly thuylt dao dong ngang Dieu nay nhu

chùng ta dà bilt, co su lién quan la phu-eng trinh cùa ly thuylt

dao d9ng d9C co dien thu9C lép phuo'ng trinh d§ng hypecbolic con

phueng trinh cùa ly thuylt co dien ve dao dong uon l§i thuoc

lop phira'ng trinh parabolie Chi tilt va ti mi nhat la nhung

nghién cuu ve su lan truyen song chsiy trong thanh tru tron ban

v6 hsin

Pochame (1876) va Cri (1889) da tim duq'c nghifm chinh

xàc bang ly thuylt d9ng lue h9c cùa dan hoi doi vo'i tru tron

Trong trueng hq^p doi xung true, dà dua din phuxj'ng trinh tan

sac Tuy nhién eàc kit qua nay rat cong kenh din mùc trong suot

mot thei gian dai sau do khong co nhung su khào sàt bang so

Si^ ra dò'i cùa eàc ly thuylt gàn dung nhung hoan thifn

hen ly thuylt co dien da cho khà nang tinh toàn cu the va co

the àp di^ng duq'c trong thue ti Van dua trén càc già thilt la

thilt difn ngang van con giù nguyen trong melt phang cùa no va

su phàn bo ung suat dqc true la deu trong moi thiet dien, nhung

khi co tinh din eà quan tinh cùa chuyln d9ng ngang, Love; dà dàn

ra phuo'ng trinh dao dong la [39]

^'U (^R)2J4U ,2ÌÌU (^.3)

at^ ax^at^ Bx^

<3 day A - he so Poatxong ; R - ban kinh quan tinh cùa thilt

di§n doi véi treng tàm cùa thilt dien do

Day là d^ng xap xi mot mode

Ly thuylt hoàn thien hen ve dao d9ng d9e cùa thanhthilt

difn ngang là tron dà duo'c xay dijng bei Mindlin va Hereman

(1952) Ho xuat phàt tu viec xap xi doi vd-i ung lue d9e N, ung

lifc ngang Q, ung lue kinh ve truc kinh P^ va Pg cùng nhu dich

chuyen kinh ; dà dàn din h§ hai phuo'ng trinh de xàc dinh dich

chuyen d9e truc va dich chuyen kinh Day la d ^ g xap xi hai

mode •

^

-Tilp din là càc ly thuyet cùa Dachemanogelàu va Venterà

(1958), Péterenco va Kinchinxki (1960) v.v

3e Ly thuylt va ch§m d9C cùa thanh dàn hoi

Nhu chùng ta dà bilt, phuo'ng trinh cùa ly thuylt ba chieu

cùa dan hoi la rat phuc tap doi vo'i viéc giai eàc bài toàn ve

chuyln dong khong dung é trong thanh Doi vo'i bài toàn va chsun

cùa thanh dan hoi, ngoai bai toàn tilp xue khà phuc t§p con

phài dong thei giai bai toàn ve chuyen dong khong dung Chinh

vi v|y, trong ly thuylt va cham, nguèi ta d^c biet quan tàm va

van con tilp ti^e su dijtng ly thuylt co diln va càc ly thuylt gàn

dùng hoan thifn hen ve dao dong doe cùa thanh Ve bài toàn va

c h ^ d9e cùa v|t ran vao thanh dan hoi dà duq'c Xanh-Venang giai

bang phuo'ng phàp cùa Butxinetxce ZJ*/_7-Vo'i phu-o-ng phàp này cho

nghifm cùa bpi toàn duo'i dang hàm lién tue tùng khùe nào do

Xanh-Venang dà tim duec bilu thue giai tich cùa hàm này doi véi

mot vài khoang già tri bilnso Nicolai dà tim duq'c bilu thue

giai tich cùa ham chua bilt doi véi khoang tuy y lién tue

Bai toàn ve su va ch§m dqc cùa vàt ran vào thanh den hoi

co do dai huu han, m9t dau ty do dà duo'c giai quylt bei /^8,^7,

Bai toàn xa cham cùa v§.t ran vào thanh dàn hoi co do dai

huu han, mot dau gan cùng da duQ'c mot so tàc già nghién cuu nhu

Timosenco, Kinchepxki, Nicolai va Bidero'man / i?^3i^^^2^53 J

Nghién cuu ve va cham cùa vàt ran vào thanh dka hoi co

lue ma sàt kho phàn bo dèu e m^t ben dà duxj'c thue hien bei L^9j

Miclovit (1954-1957) xuat phàt tu ly thuylt gàn dùng cùa Mindlin

va Hereman dà nghién cim su truyen song nen trong thanh bàn

v6 h^n hinh tru tron, m§t ben tu do doi vo'i \SXÌ^ suat, e dàu

thanh tàe dijng lue dgc dang hàm Khevisaide

N(0,t) = I 0 khi t < 0

N^ khi t > 0 Gion va No-ut (196?) eia xet dao dong khong dùng cùa tru bàn v6

han véi m§.t ben tu do vei ung suat, con e dau tru d^t ra^t buéc

3

-nhày ve àp ly'c holLc ve v|in toc Xuat phàt tu phuo'ng trinh dong lue hqc ba chieu cùa ly thuylt dkn hoi, càc tàe già này dà xày

difng cong thùc tiem (^^ doi véi biln dang va ung suat cùa càc

thilt dièn e xa dàu tru

Nhieu nha khoa h9C lén cùa Lién X6 dà co nhung cong hiln

rat lén lao cho su phàt trien khoa h9e va ch^m nhu Raematulin

lan dau tién da thilt l§p va giài càc bai toàn ve su va cham

cùa thanh dan dee va dà co nhieu già tri ung di^g thue ti L^^J'

Bagraep dà co nhieu dong góp trong vifc nghién cùu càc bài toàn

ve v|it the dan hoi va cheim, ngoai nghiem giài tich ong don dùng phueng phàp so de nghién cùu càc bai toàn nay v.v

Ngoai ra con co the ke din càc e3ng trinh cùa Sapiro,

Xocolopxki, Gerxévanop va nhieu tàe già khàe da dong gop

dang kl cho lình vue khoa h9e này Z ^^^ ^ ^ - 7 - l^ghién cùu ve su

va chfm cùa vflt ran vao thanh dan hoi bàn v6 hfin co d§t d§m

giàm chan e dau thanh da duec thue hi|n bei L^^J*

Bai toàn va cheim cùa vat ran vao thanh co d9 dai hùu han tija trén nen cùng, co d§t dfm giam chan e dau thanh dà ducye

nghién cùu L^'^J^

Va cham co dem cùa v|t ran vào thanh co d9 dai hu-u h^n

tya trén nen tu biln da duec nghién cuoi l_^'ij*^*

Tu do din nay, càc bai toàn ve va cheim co dem cùa vàt ran vao thanh dan hoi do dai hùu h ^ tua trén nen dan hoi, co lue

chong khong doi é dau kia cua thanh, co ly'c ma sàt kho phàn bo

e m^t ben ho^c va cham giùa càc thanh dan hoi véi nhau da diro'c mot so tàc già nghién CUTI Z '^^ ^ J v.v

Ngoai ra con phài ke den mot so tac già nhu Sumlianxki, Gè] xévanop, Bakhondin, Maverin, Vaxinepxki, Béliaep v.v dà co

nhieu dong góp cho vifc nghién cuu cac mo hinh bai toàn va cham này va ung dung ky thuàt cùa chùng

il.2 CO SO LY THUYET VA CI-IAIu DOG QUA THAMI

!• Phuo'ng trinh chuyen dpng va bai toàn bien./"^-^^7

1 Phuo'ng trinh chuyen d9ng

De nghién cùu càc bài toàn va ch^m truo'c day, ngu'o'i ta thueng su dung phuo'ng trinh chuyen dong, duo'c thilt l^Lp trén

ce se già thiet la càc thilt difn cùa thanh vuong góc véi true Cua theinh la phang, bó qua nang luoTig cùa càc phàn tu trong chuyen d9ng vuong góc véi true

Lue keo d9C e thiet difn mn la

Trong do a = -—- •

(1.4) chinh la phueng trinh chuyen d^ng cùa càc thilt difn

trong thanh

2 Thilt làp bai toàn bién

De xàc d4nh chuyen dfng cùa thanh, ta phài thilt l§p bai

toàn bién; cv the la giài phueng trinh ( i.'¥ ) véi dieu kien

dàu va càc dieu kien bién

a) Dieu kien dau - cho bilt vi tri va vfn toc cùa càc

thilt dien trong thanh teii thei diem dau t = 0

b) Dieu kien bién - chang h§n vc'i bién x = 0 co mot so

detng ce ban cùa dieu kien bién nhu sau

Cho truxrc chuyen dong Cua bién

\f-va co the eó mot so d^ng khàe nùa

Dieu kifn bién tueng tu doi vo'i bién x = 1 To hcyp càc

dieu kifn bién co dang nhu e trén, ta se co càc bai toàn bién

khàe nhau •.•

II càc phuo'ng phàp toàn hoc

Gió^i han trinh bay mot vài phueng phàp dà su dung di

nghién cùu ly thuylt va cham truo'c day cùng nhu phuo'ng phàp se

BXi dyng di giài quylt càc bai toàn mc'i sau nay

1 Phueng phàp song lan truyen (nghiem Dalambe) C3i J*

Tré' l§i biln cu, ta co duo'c nghiem tong quàt cùa (^-^ )

43

duo'c ggi là nghiem Dalambe Doi véi moi bài toàn cu thi, su

dung dieu kifn dau va eàc dieu kien bién, ta se xàc dinh duo'c

càc hàm song V^ va r ,

•f nghia vàt ly hàm j (at-x) mo tà song cùa dich chuyen

truyen d9c theo thanh theo huéng cùa trijc Ox véi v$n toc a

Con ham ^ (at+x) m6 tà song dich chuyln truyen dqc theo thanh

theo hud'ng nguo'c l?i véi cung van toc a

2 Phuo'ng phàp tàch biln (nghifm Phurié) Z 33 J•

De trinh bay phueng phàp này ta xet CTJL the mot bai toàn

véi dieu kifn bién la 2 dau tu do

^U(Oit) ^ 0 ; ^^^^^^) = 0 (/,//)

3 X ^ X

Tim nghifm cùa ( '^ ^^ ) duo'i dang

U(x,t) = X(x).T(t) Thay nghifm này vào { d.^ ), sau khi biln doi va ly lu|n,

ta dua din hai phuo'ng trinh •

co nghiem khong tàm thuò'ng thi

A = A ^ = (nTT/l)^ n - 1,2

Nghiem riéng tuo'ng ung se la

x^;(x) = cos(-^32L x)

U(x,t) = Z Z-A^cos(a2Iat)^ B^sin(S^Lat)_7cos(S^)

a) Phep biln doi LaplatxD' C3Sj^

1°- Dinh nghia già su hàm so f (t) cùa biln so thue, thóa

man eàc dieu kifn sau

Lién tue loai tru mot so hùu h§n diem giàn do^in loai mot

trén mot do§n hùu h§in bit ky cùa true t

f(t) = 0 véi t < 0 Ton t^i càc hàng so e va '^ di voa tat cà càc già tri

2 ° - Tinh c h a t

Tuyen t i n h - neu f ( t ) • P ( p ) , g ( t ) *• G(p) t h i r<y± mg!

so phirc «^ va f" , t a co

^ f ( t ) + ^ g ( t ) • o<p(p) + ^ G ( p ) Tinh dong d^ng

neu f(t) • P(p) thi vo'i mgi °< > 0, ta co

f(llt) * ^ P(-l-)

Vi phàn Cua hàm ban dàu - nlu f(t) <- P(p)

f(t) lién tue cùng vo'i f»(t), f"(t), , f(^^(t) thi ta se co

f(^)(t) t p^F(p) - p''"''f(o) - - f^^"''*^(o)

Vi phàn cùa hàm anh - nlu P(p) t f(t)

khi do

P^''^(p) • (-l)"" t^ f(t) Tich phàn cùa ham ban dau - nlu f(t) ••P(p)

so phuc A bat ky, ta co

P(p - A ) • e-^* f(t)

Anh cùa tich chflp - doi vei 2 hàm s6 f(t) va g(t) nào

• do, tich chfp Z^ ky hi fu là (f A g) (t)_7 duec xàc d^nb

t

o Neu f(t) f P(p) ; g(t) • G(p) thi

1^- D^nh ly ton t^i va duy nhat n^ifm

Neu hàm nhàn K(x,s) giéi noi ve già tr^ tuyft doi trong mien tam giàc a ^ x ; s ^ h ; x > s va chi eó hùu h^in dilm

giàn do^n doi vo'i 1 va chi mot tqa df x ho^c l^a s, K(x,s) ^ 0

khi s > X Con so heing tu do f (x) là hàm lién tue ; khi do

tèn t^i duy nhat nghifm lién ti^c cùa phueng trinh (^i.i8 )

•JM

i7

-Khi do d o i v é i m9i A , day { ^ n ^ ^ M ^® ^^^ "*^^ ^^ ^®^

nghifm dùng ^ ( x ) cùa {d,ì^ ) , ho^c eó t h i s u dijing phep l ^ p

III Mot vai bai toan ce ban cua ly thuyet va chem

1 Va ch§m cùa v%\ ran vao thanh dan hoi tu do [J.Tjòij

Hinh 1.2 a) Phuo'ng trinh chuyen dong d9e true cua thanh la

^t^ a x ^ fc:^^:^^:j:.-™;l^-:^-Ì

b) Dieu kien dau - chgn thei diem ban dàu t = 0 trung

véi thei diem vat ran bat dàu ch§m vào thanh, V la van toc

cùa vàt ran tgi thei diem này, ta eó

U ( x , o ) = 0 ; vo'i 0 ^ X < 1

Thay ket qua này vào ( :/.2i" ) ta se co

- Yi-z) + 1"(z) = 0 vo'i - 1 < z < 1 (* it)

TÙ (A) va (* Jc) ta thu duo'c "t(z) = 0 vo'i -1 < z < 1

Do do 't(z) = const = S^(o)

Tu- ( 4.25) ta co' U(o,o) = 2 i'(o) = 0, do v^y

1^ ( 4.23 ) va ( 4.S7 ) ta co'

mla^Z" -f "(^t-l) + 't"(at+l)_7 = -a^/"- -fCat-Dn- 't'(at+l)_7

D|t z = at+1 ; phuo'ng trinh tren si la

Su di^g dieu ki§n dàu ( 4,Zh- ) ta co :

^ ^ ^ ^ ' • ^ ° ^ = aZ'i^'C-l+o) + i^'(1+0)7" = -V« 3uy ra

V '>\''(l+o) = 2 Mat khac

a _ J - - V 'S'd+o) = c.,e~ mi = c-e "" = - — 2 ^én

1 a

Ci = - - ^ e ^ Tu do'

a

V - (^-1) -t'Cz) = 2 e "Il (:^.je )

a Suy ra ^^^ _ i z ^

-tCz) = 2_ e "^l H- cp

a Dìj'a vào tinh lién tue cùa hàm U(t,l) va dieu kien dàu,

Thay {d.3Z ) vào vi phài cùa id-Sd ) sau do tich phàn

phuo'ng trinh dò, su dung tinh lién tue cùa vàt toc tai x = 1,

ta thu duxj'c

^ ( z ) = - — a e •"! + - ^ ^ 1 - — ( z - 3 l)_7e ^ ^ ^

a a mi

véi 3 1 <: z < 5 1 ^ ^•^'?' ^ T§i thilt difn X = 1, bien dang tuo'ng doi là ^

a mi

Khi t = •^-^ + 0 ta co

a

^ X a a a a Dieu này eó nghia là teii thei diem t = —~ vf.t dà tàch dò'i khoi thanh, hifn tuo'ng va ch§m da kit thùc

Nhu vày là sau khi da xàc dinh du-q'c ^ (z) véi -1 < z <, 1

va 1 <' z ^ 3 1 nhu ó' trén, ta se xàc dinh duec d^ch chuyen dgc truc U(x,t) tu dò xàc dinh duq'c ù'ng suat va bien d§ng tai mgi thiet difn trong thanh

2 Va cham cùa vat ran vào thanh dan hoi mot dau gàn

cùng Od , ^^J

b) Dieu kién dàu

tu do

at^ ax

Nghiem tim du-o'i dang Dalambe

Tà' ( 4.39 ) ta co'

^(at) = - Ì'(at) Vt ; suy ra Y(at+x) = - 1^(at+x)

Thay dang thue này vào {4.^1 ) ta thu duxj'c

Tu ( 4.31) va {4.^Z),\B. co'

U(x,o) = Y(-x) - ^ ( x ) = 0 vo'i o ^ x < 1 •

- T'(-x) - ?'(x) = 0 vo'i o ^ x < 1

Tu ( /.-^-^ ) ta nhàn thay nlu ta dà xàc d^nh duo'c '^*( z.)

trong khoang (2n-1) 1 < z <(2n+1)l (n=o,1,2 ) thi ta se

xàc dinh duq'c ^^(z) vo'i z e trong khoang (2n+1)l<z <(2n+3)l,

bang eàeh tich phazi phueng trinh ( /^^^ ) ma lue nay là hàm dà

Thay vào {dA5) t a du-q'c

- z / m l

^ » ( z ) = e^e

Su dung (d'SS )f ta xàc dinh duo'c

V I e- = e Do vay

- ^ ^

-V (z=ìl

t f i ( 2 ) = _ 0 e mi ^^^ i < z < 3 1 {dA6)

a Làm tuo'ng t u nhu v|ly k h i 3 1 < z < 5 1 , t a c o

-z/ml p V _(z=lJjl

'^ mi a

He so Cg cùng nhu cac h| so e sau nay se duo'c xac dinh tu

dieu kien lién ti^c cùa v|n toc ó* dàu thanh x = 1

2nl ^ -l^TT/- 2nl

3u(l;^-o) ^ U ( l ; ^ + o )

se dua din thang thùc

^'Z""(2n-1)l+o_7- '^•Z~(2n-1)l-oJ^ = ^^"(^n+l

)l+oJ^ 4^'Z"(2n+1)l.oJ^ ( d.^8)

Tu ii.hS ) ta nhfn thay ^*(z) co giàn doan lo§i 1 t§i

càc diem z = (2n-1)l (n = 1,2 ) va co cung mot bTO'c nhày

f'(l+o) - 4^'(l-o) = - ^

a

Z5

-• Tu do t a se co dang t h u e

( f " Z ~ ( 2 n - 1 ) l + o J ' - ^ ' Z ( 2 n - 1 ) l - o J 7 = — ^ , (n= 1 , 2 )

® {4.^9 )

{4^9 ) se cho phep t a xac d i n h cac c^ t r o n g {4.-^5)

Vo'i cach t i n h t o a n nhu v a y , t a se t h u duq'c

U ( l ; V ^ - o ) = ^ ( l - o ) - ^{^ l - o ) = - f ( 3 1 - o ) a

U ( l ; V ^ +o) = f d + o ) - ^ ( 3 l + o ) = f ( 3 1 + o )

Tu d i e u k i é n l i é n t u e

Ud, ^ - o) = U d i V " + o) din den

a a a

vo'i 3 1 < 2 < 51( i^i'^ ) Vo'i e à c h làm tuo'ng t u nhu v § y , t a se x à c d i n h duee ^ ( z )

t r o n g càc khoang b i e n so t i e p t h e o Sau k h i xàc d i n h duo'c

^ ( z ) t a hoàn t o à n xàc d i n h duq'c t r a n g t h à i ung s u a t , b i l n d^ng

Nhu vày trong khoang thò'i gian này va cham chua kit thùc

Khi ^-^ < t < ^-ì thi 1 < at-1 < 3 1

a a nén tu (^-é ) ta eó

Bt m m suy ra _ 2^

- ^ > 2 + e" "^ ( / ^/e )

m Bat dang thùc này chi xày ra khi m ^ 1 , 7 3 Nhu vfy là

nlu m < 1 , 7 3 , va cham se kit thùc e khoang thei gian

é ^a a • • x- o < 2 < ^-— cu thi 'Z se duce xàc dinh tu phuo'ng trinh

Tu dò ta rùt ra khi ti so giùa tr9ng lueng Cua vàt ran và trgng

lueng cùa thanh ma tang thi thei gian va cham cùng tang và

nguee lai

Sau khi nghién cù^l tong quan ve ly thuylt va cham d9c

Cua thanh, ta eó mot vai nh^ji xet sau

- 29

-Cac bai toàn va ch§m, nhat la doi véi thanh cò do dai

hùu h^LQ, thanh co thilt dien bat ky cùng nhu va cham cò dfm

da duq'c càc tàc già nghién cùu tu truée din nay mo'i chi duTig

lai e viéc su dvng li thuylt co dien ve dao dfng d9C cùa

thanh ma li thuylt nay ehi phu ho'p trong trueng hq^p kieh

thuéc cùa thilt difn ngang la nhó so véi chieu dai cùa song;

thanh dao dong véi tan so thap, van de duq'c d^,t ra é lu^n àn

nay la nghién cùu bai toàn va eh§m trén ce so* dua vao eàc li

thuylt ve dao dong d9e cùa thanh hoan thien hen li thuylt co

dien de me rong ph§m vi àp dung cùa nò doi véi ky thuft Mat

khàe hau hit càc cong trinh nghién cùu ve ly thuylt va ch§m

truo'c day là doi vo'i thanh co mat ben tu do Truo'ng hep m§t

ben cùa thanh eò phàn bo deu lue ma sàt kho dà duee Gerxévanop

nghién cùu, song khi m^t ben eó lue can nho't thi chua duo'c

càc tàc già quan tàm

vi vay é càc chuo'ng sau se nghién cùu eàc bài toàn :

Va ehsim eò dfm cùa vat ran vao thanh dan hoi co ke den

hao tàn nang lueng do dich chuyen theo phuo'ng bàn kinh

Va cham eò dem cùa v§t ran vao thanh dan hoi co l^c

eàn nhét e m§t ben •

30 Chueng II

-VA CHAM CUA -VAT RAN -VAO THANH DAN HOI

CO KE DEN SU HAO TAN NANG LUONG

DOCHUYEN DONG KINH

Nhu da trinh bay e ehuo'ng I, de nghién cùu cac bai

toan va ch^m co dem truo'c day càc tàc già chi tinh din dich chuyen d9c truc cùa càc thilt dien trong thanh, bó qua nhung dich chuyln ngang cùa càc phan tu trong m§.t phang vuong gòe vo'i tryc Truò'ng hq^ thanh dao d^ng vo'i tàn so cao; df dai song so sành duo'c vo'i kieh thuo'e cùa thilt dien ngang thi nhung dich chuyln ngang nay cò ành huéng nhieu din càc d^c trung dqng lue cùa thanh ma khong the bo qua duo'c.Trong ehuo'ng nay chùng ta se nghién cùu bai toàn ve va eh§im cò dem cùa vàt ran vao thanh khi eó kl din eà nSng luq'ng cùa dich chuyen theo phueng

thanh

phueng bàn kinh cua càc phan tu trong m6i thilt difn ngang cùa

i2.1 PHUONG TRINH CHUYEN DONG CUA THANH KHI CO KE DEN

DICH CHUYEN KINH Z"'39_7 D§t Ox la tri^c dan hoi cùa thanh, U(x,t) la d^ch chuyln d9c truc cùa tr9ng tàm cùa thilt dien ngang tai t9a do x Già

su ( I , *t ) là tqa df cùa mgt diem nào dò thufc thilt dien ngang trong he t9a do eò goc t^i tr9ng tàm va nSm trong m§,t phang chua thilt dien ngang

Khi dò, nhung dich chuyln cùa dilm này theo phueng bàn kinh duec bilu dién la

5 f

-trong dò f là khoi lutyng riéng cùa mot den v4 the tich,

F là difn tich cùa thilt difn ngang ; R là bàn kinh quàn tfnh

cùa thiet difn dèi véi trpng tàm cùa nò The nàng cùa m9t doTi

v4 d§ dai cùa thanh là

2 ^ x Phueng trinh bien phàn cùa chuyln d§ng se là

^V s i ^ p ^ ( i i L ) ^ A^i^)'j^-^EP(iiL.)';dxdt,=o

; T *^ 2 -^ ^t a x ^ t 2 ^ x J

*o ^ (a)

è day tich phàn lay theo x trèn toàn b9 do dai cùa thanh; t ,t^

là 2 thò'i dilm bit ky

Trong tich phàn hai lép'é trén, barn U(x,t) xàc dinh tren

fflien D véi C là bién cùa mien D

Khi dò ta cò dieu kifn

và sau khi lay tfch phàn tùng phàn, su dung dieu kifn (b) ta

se thu duxyc phueng trinh chuyen d§ng d9C tryc cùa càc thilt dien

ngang é trong thanh la

Ì2.2 VA CHAM CUA VAT RAN VAO THAHH DAN HOI BAN VO HAN,

I Dao dong doe trong thanh

D | khao sat dao d$Qg d9c trong

thanh ban T 6 h^n này, ta dua den giai

bài toan bién nhu sau

Tim d^ch chuyln d9C tr^ic U(x,t)

Cua thiet di§n co t^a d9 x, thóa man

- 33

-trong dò A , R, f , E là càc hàng sé; f (t) là ung suat d§t

vào dàu thanh

1. S\f ton t ^ nghifm

OD

Su dijng phep bien dèi Laplatxe U^(p,x) = J U(x,t)eP*dt

0 hay vilt ngàn gqn là U (p,x) • U(x,t), do cò ( ^>5^ ), phueng

trinh ( Z.¥ ) duec dua din

Ta nh§n du^c b à i toàn doi v é i ham anh U ( p , x ) nhu sau

Tim hàm ành U^(pyx), tbòa man phueng t r i n h

và U^(p,x) g i é i n8i khi x-^+00

Ta g i à i r a duq-c nghifm téng quàt cùa {Z.r ) l à

^ X - j3X U^(p,x) = c^e + cg©

trong do |3 = — — — — là hàm da tr^, vi p biln thien

' /a2+ A ' R S "

trong mien Rep ^ h ^ 0 (nùa m§lt phàng ben phài), theo ly thuyet

Cua phep biln dèi Laplatxe, ta cò thi tàch nhành den tr^ Ta se

cbgn nhành sac cho Rep > 0

D I dàm bao tinh giéi n ^ cùa U (p,x) khi x->+oo, trong

^

nghiem viet e trén, ta chQn e = 0 • Nhu vfly nghiem se la

- f> 3C U^(p,x) = CgS

véi C2 xàc d^nh tu dieu kifn (/?.<? )

CÒ duq'c hàm ành i/^,3 ) ta di tim hàm ban dàu U(x«t) bang

phep biln doi ngiiq^c Laplatxe ^

Ta viet U (p,x) duéi dfng sau

P Theo C^Zj ta co

d day '^Q \ ^'i * l à cac hàm Betzen b|ic khong, b$c m9t

rò {Z.4i) {Z.iZ) t a nh^n théy

G(p,x) = H(r,x) vai cj^ = e , tuo l à r = /p + e

Do v|y su dung cSng thue vùa néu è t r é n t a co

t G(p,x) • g ( x , t ) = h ( x , t ) - c (h(x; /t2-U-)J.,(cU)dU =

Tu {ZJ4) {Z45) xuat phat tu {S.40) theo dinh ly

nhan, ta thu duq^c - viri kf hifu

Ta cò the b i l u dien nghifm {£J7 ) vùa tim duqfc duéi

Zj^(u) = j (u^- I 2)^ J , ( c | )d| (>e.^^ )

do 0 ^ I < u , d | t I = Usin 4^ , tir dò

. 37

-7r/2 z^(u) = u^*'' ( coB^'^"'(p J^CcusinV )d'P =

o

t a co

^ / 2 1 ' k , d = " I cos^"^V ( 1 - c o 8 ^ f ) ^ dcos<P = j X^+^1-X^)^dX =