(Luận án tiến sĩ) một số vấn đề trong lí thuyết mở rộng hệ động lực luận án PTS toán học1 01 02

phàn thd vectd con eòa phàn thd vectd X,p,B... càc t|Lp con compact eòa U- Ta dà bigt, ngu dinh nghla khoàng càch d giura hai phàn tu V^, V^ e KU bang cóng thùcs... TCf càc kgt qua thu S

ti tf' -P A U

Càc qua t r ì n h t i ^ n d i n h hOU han c h i ^ u t r o n g m$t h$ t h ó h g c ó

l | l p thtJdng Oiitfc mò t a b ^ i citc phudng t r ì n h ò t ò n ò m c ó d a n g :

d a o cÙA d ò n g <M,n) v a c h o t a bCfc t r a n h pha c ù a h f Mfìri l i è n h $

giùfa mpt phtidng t r ì n h ó t ó n ó m v 3 i d ò n g pha v a phàn tc3 tufdng ùhg

c h o p h é p sCf d y n g nhié?u phiidng p h à p v a k ^ t qua c ù a c à c n g à n h t o à n

O d a y , d o ve? phi[i khóng bStt b i ^ n d ó i v 8 i càc d i e h c h u y è n

c ù a bié^n t nèn nghi^m eòa phiidng t r ì n h ( 2 ) khóng xàc d i n h t r è n li

ed phàn t d cung nhii nhòm càc p h é p b i ^ n d ^ i Di^u này gay khò khan c h o v i f c à p dyng càc phiidng p h à p n g h i è n cuU c ù a h^ dpng li/c

c h o t r i ^ n g hcjp khóng

ótónóm-D^ khS^c phyc dié?u n à y , mpt t r o n g c à c hù6ng c o h i # u qua l à

ti€?p c^n phiidng t r ì n h khóng ótónóm t h e o quan di^m m& r p n g h f dpng Ixjlc - mpt phiidng hii3ng bà't d^u h ì n h t h à n h r o n e t tu' nhuhg

d ò - Co t h # xem ( 3 ) nhii mó h ì n h mpt hf v à t l y , t r o n q d ò x mó tai

t r ^ n g t h a i ben t r o n g e ò a mpt dÓi tii<Jng n à o dò d a n g ^^(^c n g h i è n cÙiAf con y b i ^ u t h i t r ^ n g t h à i ciSa mói t r i i d n g xung q u a n h S é c ó

hf ( 3 ) n^u g i à thi@^t mói t r t i d n g c h i ù s i / t à c dpng cùa càc d i n h

t r ì n h l o ^ i k h à c cung gSn bò c h a t c h e v 8 i k h à i ni$m ma r p n g h$ dpng Ixjtc (xem c h ^ n g h ^ n , £ 1 6 ] ) Vi vlLy, l y t h u y ^ t này d à diidc

n h i ^ u nhà t o à n hpc quan tàm n g h i è n cOfU t r o n g càc nàm gàn d a y

(xem phàn t à i l i f u tham k h a o e ò a [ 1 7 ] )

Ban l u ^ n àn này nhSm góp phan n g h i è n cin.i mpt sÓ k h i a c ^ n h

e ò a l y t h u y ^ t tSing q u à t v ^ mij r p n g h# dpng l i / c

Npi dung lu|in à n dtii;?c c h i a t h à n h 3

chiidng-— Chiidng I t r ì n h bay mpt s ó k h à i nifm va kè't qua d à b i ^ t s d dtf<?c dung t r i / c t i ^ p t r o n g c à c chtfdng s a u

— Chifdng I I d^ c^p dèn v e c t d <ì^c t r i i n g e ò a m^ r p n g t u y ^ n

t i n h - Nhif t a dà: bi8^t, d ó i v 8 i e à e hf v i p h à n , l y t h u y ^ t s ó mu dite t r i i h g C21] dòng v a i t r ò r a t quan t r p n g t r o n g v i $ c n g h i è n culi

t r è n , t r o n g ehiidng I I e ò a lu^Ln àn n à y s é xày dvmg v e c t d d|ic

t r i i h g e ò a m^ r p n g t u y ^ n t i n h va n g h i è n culi t i n h ehà^t d i ^ n h ì n h

e ò a n ò - BSrkQ c à c h k h a o s à t thèm càc t i n h ehatt e ò a X-chu^Tn ( d o Bogdanov dtila r a t r o n g C15]) va sCf dyng ky thu|Lt e ò a l y t h u y è ' t

B^n l u | l n àn ^ii<}c hoàn t h à n h v 8 i s i / g i u p d ^ h ^ t siifc t ^ n t i n h

eòa nhufhg g i à o v i è n hu3ng dàn l à cÓ G i à o s t i T i ^ n s y

CHUON6 I

MOT 9 0 CAU TRUC TOPO CAN THIET

§l.Phàn t h 8 va phàn th3 v e c t d I-1-1.Phàn t h 8 tong quàt - càc d j n h n g h l a [34]

Phàn thS là mpt bp ba (X,p,B) trong dò X va B là hai khóng gian tòpo, con p : X-»B là ành x^ lièn tye va lèn, tCfc là p(X)=B,

Khi dò X dgl- khóng gian toàn t h ^ , con B là day eòa phàn th3

V3i m^i b e B, t|ip h<?p p'"*(b) = CxeX : p(x)=b> =X^

d g l t h 8 t»i diem b eòa phàn

th3-Bia su' (X,p,B) va (X',p',B') là hai phàn thS- C|LP (#,^)

càc ành x^ lièn tye $ :X — • X' va ^ :B — » B' sao cho bi^u (Sa

-Ky hifu Bun B dùng d ^ ehf ph^m trù có càc vàt là càc phàn th8 day B, con eàu x^ giù'a chùng là B-càu x^

Phàn th3 (X',p',B) d g l phàn th3 con eòa phàn thS (X,p,B) né'u X' là khóng gian con eòa X va p'-p | X'

Tong W h i t n e y eòa hai phàn th3 (X,p,B) va (X',P'.B) trong Bun B là phàn th8 (X e X',p e p ' , B ) , & day

Già su' G là nhòm tòpo nào d ò , G-khóng gian phai X là

khóng gian tòpo X, trèn dò tàc dpng phài eòa nhòm G, t(ic là ành

xa lièn tye X x G — • X « dàt tiidng ùhg (x,s) sao cho :

Già su* [(h ,V^)>, i e 3 là mpt atlas eòa G-phàn th3 y) V3i

bà't ky i,j € 3 tón t^i ành x^ diide xàc dinh duy nhà't g : V n

V — > G sao cho h,(b,y) = h (b,g (b)y) v8i mói diè'm (b,y) e (V

chùng là càc B - eàu

x^-Già s ^ (X,p,B) là phàn th3 vectd va X^ là tàp con eòa khóng gian X sao cho p(X ) = B v à ( X , p | X , B ) cung là phàn th3 vectd

o o ' o con phép nhùng X e X là B-càu xa vectd Khi dò (X^,p|X^,B) d g l phàn thd vectd con eòa phàn thd vectd (X,p,B)

Metric R i e m a n n trèn phàn th3 vectd (X^pjB) là ành xa lièn tye gs X e X —9 \R sao cho Vb e B, ành xa glX^xX^ là tich vò

Già su' (X,p,B) là phàn th8 vectd vdx day compact, at B —9 B

là dòng phói, (L,©-) là d^ng eàu eòa phàn thd (X,p,B) vào d^ng eàu nò trong ph^m trù V B , (9^,e) là cà'u x^ eòa phàn th6 trèn vào chinh no trong ph^m trù Bun, hdn nùà pi X — ^ X thòa man diè\i ki^n Lipschitz theo nghla 3 \ > Os ||^(x) - ??(y)|| < X||x - y|| V x,y € X, p(x) = p ( Y ) N^u Lip p < ||L'^||"* thì (L + p,ay là daTng cà'u trong ph^m trù Bun va ta có càe bàt dà'ng thùe:

Lip [(L + ^) J < [||L''||-' - Lip (^)l-'

f -1 -lì IlL'Mr*- ^iP^^)

Lip l(L+^) - L I < —

||L-^||-*- Lip(^)

• b t

p <b>

n*^=njtxX

M ò rpng (nói chung phi tuyé^n) (X,T,X) — » (B,T,p) dgl

m ò rpng L i p s c h i t z i a n n^u V t e T, eàu x^ X*^: X —9 X eòa phàn th3 Riemann (X,p,B) thòa mah diéu ki^n Lipschitz va

sup Ì L Ì P ( X S : |t| < t^l < 00 v3i moi t

>0-G i ^ sCf (X,T,\) va (X,T,)u) là hai m Ò rpng Lipschitzian eòa ( B , T , p ) , bào toàn nhàt càt khóng e eòa phàn thd vectd (X,p,B) ttfe là X ^ © ^ ) - M N © ^ ^ ) = ^p\t.>' ^ ^ y ^^ là vectd khóng eòa khóng gian tuy^n tinh X , e e B- Cho t > O, ^ > o, ta nói

e o o (X,T,X) va (X,T,/j) là (t^,£^) - gàn nhau theo nghla Lipschitz n^u có :

dò tòn tai ma tran C eò d^ng tam giàe dùdi vdi càc phàn t ^ trèn

dùdng ehéo bang 1 sao cho a' = aC là X-cd sÒ cùa A

§ 4 C à c hàm B a i r e v a t i n h c h S r t [ 4 ]

1 , 4 - 1 - D j n h n g h l a

Cho X l à m p t k h ó n g g i a n t ó p ó f l à hàm x à c d i n h t r è n X,

l i r y g i à t r i t r o n g IR

f dgl hàm Baire l3p O n#u f lièn tye,

f dgl hàm Baire 13p 1 néfu tòn t^i day hàm f^,f^, -,f^

lièn tye trèn X sao cho f(x) = lim f (x) Vx e X

Mpt càch tong quàt, f dgl hàm Baire Idp k+1 néTu tòn tai

day hàm f «f , ,f , v3i f là hàm Baire 1 3 D k, Vi e IN sao

(m(A ) - 2 L(^)) ó

« - ^ ^ ,_

i=l,2 ngoài ra, h~ là ành xa Lipschitz v3i L(h) < (m(A) - L(^))

Khi d ò , n^u ky hi^u x là dié^m bàt dpng eòa ành xa co f : X — »

X thi ành x^ A 3 a (—» x e X lièn tye

a

s

{a ,a , -,a } có X-cbu^n ^ 6.- Khi dò, n^u X ( a ) -< X(a ) thì ehf

Sau day, vdi mpt ed sÒ X-chu^n tàc dà cho (a ,a ,.-.,a ) ,

<m>

BÒ déF s a u d a y s é chùng t ò X ( b , ) l à mpt X-chuSTn t r è n

\

X (rj) Do vày, ehf con phài xét ' trùdng hdp X(?+y)) = X.(T7) Vj=0,l, - ,k, E)e X (?+T7) ^ X (r>), có hai khà nàng:

""i ""k-l (In t ) <ln t )

X^^'CE*") > X'""(b), tue là 3 ?'€ E*= sao cho X^'^'Cb,?*) ^ X^^'^b)

Xét hai trii^ng hdP có thg xày ras

a) 3 i e {0,1, ,U sao cho X.Cb,?') > Xj^.(b) -

M$nh d g I I - 3 1 dtidc chùhg minh xong ngu chù y r à n g d o

I I 2 5 , dà'u s u p Ò cóng thÙc t r è n e ò t h g t h a y bang max a

k h ó n g g i a n O c i i t E*^ s/Qi t i c h v ó h ù d n g < , - > K h i d o V? e E*^, t a

dgu có bigu dign:

? = X < ^ ' ^ > ^

1 = 1

n(t,b) ? = y<?.?.> n(t,b) ?

i=i

-Khi dò: inf sup a(t,x) *= min sup a(t,x)

x^=^ teT xeF t€T tue là dàu inf dgit dudc -

Do F compact nèn tÒn t^i day con tx > eòa { : < > sao cho

lim X = X e F Dg có kgt luàn eòa bò O^, ci',£ càn chùhg

Cho qua gi3i h^n khi k — » oo bàt d^ng thùc ( 8 ) , ta suy ra

a(t,x ) < A, do vày sup a(t,x ) < A- a

Già su' F là t|ip compact và ành x^ a: TxF —9 IR thòa man

digu ki$n: Vt e T, a ( t , - ) : F - ^ K là hàm lièn tye

Khi dós

inf lim a(t,x) = lim lim min sup a(t,x)

xeF l—^+00 m—»oo q—•<» x^=" teT

Chùng minh

T h e o d i n h n g h t a , l i m a ( t , x ) = i n f ^up a ( t , x ) , d o d ò

i—•+00 meW t e T

m

inf TTm" a(t,x) = inf inf sup a(t,x) = inf inf sup a(t,x)

m m

do hai dà:u inf cò thg dòi chò

Vi inf sup a(t,x) là hàm ddn di^u giàm theo m nèn:

x ^ teT

m inf inf sup a(t,x) = lim a(t,x) = inf sup a(t,x)

m m

D g chùhg minh bò dg, ehf càn cò:

inf sup a(t,x) = lim inf sup a(t5,x) (9)

xeF teT q — M O xeF teT

m m

Thàt vày, do bò dg 3.3, có x e F sao cho:

inf sup a(t,x) = sup a(t,x ) = lim inf sup a(t,x )

xrf^ teT teT q—«o xeF teT

Ro ràng inf sup a(t,x) < sup a(t,x ) , Tìi dò suy ra v g

xeF teT teT **

trai cùa (9) khóng nhò hdn vg

phài-M|Lt khàc, inf sup a(t,x) = sup a(t,x ) v3i x nào

xeF teT teT * *

m » q un, q

dò e F, Khi d ò :

lim inf sup a(t,x) = lim sup a(t,x ) =

q—^oo xeF teT q—-•oo teT

ni, q "1 « q

= sup a(t,x ) à inf sup a(t,x)

teT * xeF teT

m m

tiic là vg phài khóng nhò hdn vg trai, ta có dpem.a

Bay gid, già s u U e (R" Ky higu K(U) là t^Lp hdp tàt cà

càc t|Lp con compact eòa U- Ta dà bigt, ngu dinh nghla khoàng

càch d giura hai phàn tu V^, V^ e K(U) bang cóng thùcs

§ 4 T i n h c h a t d i g n h ì n h e ò a v e c t d d à c t r ù n g

1 1 , 4 - 1 , BÒ d g

Già sÙ F là tàp compact, E là khóng qian tópó nào d ò , Ngu hàm f sFxE —9 IR là hàm Baire Idp p trèn FxE thì càe hàm g và

h dinh nghla bòi:

Dùng quy nap^ trù3c hgt ta chùhg minh cho p=0, tue ngu f

lièn tye trèn FxE thì g lièn tye trèn

E-Th^t vày, t^i y e E , theo dinh nghla, ta có:

c;(y ) = inf f(x,y ) == min f(x,y )

o ' o o

xeF xeF

vi f(.,y ) lièn tye trèn F compact

V8i s > O cho trùSc, do f lièn tye theo hai bign t^i mpi

digm (x,y ) , x e F nèn tìm dùdc trong F làn càn V cùa x, trong

xeF x ^ Dàt U(y ) = U O U , Do (1) và ( 2 ) , ta c ò :

o o min f(>«,y ) ^ s < min f(x,y) < min f(x,y ) + £, Vy e U(y )

T h à t v à y , tCf d i n h n g h l a e ò a g ( y ) , t a c ó l i m f ( x , y ) > g ( y )

n n—#00

V x e F - Nhù v|Ly V^ > O , 3 n e IN s a o c h o : f ( x , y ) > g ( y ) - s Vn>n

O n O

Nhù v$y g(y) > a(y) (4)

TU (3) và (4) suy ra g(y) = a ( y ) , dpem- n

1 1 , 4 , 2 B Ò d g

Cho F là khóng gian metric compact, E là khóng gian tópó, f :FxE — • IR là hàm lièn tye-

Khi d ò , àn^ x^ càm sinh f : K(F)xE —9 \R xàc dinh bòi cóng

thÙt f(K,y) = max f ( x , y ) , K e K(F) là hàm lièn tye

Do tinh lièn tye eòa hàm f t^i (x ,y ) , 36 = 6 (^) và V e

E là làn càn eòa y sao cho Vy e V , x e F thòa man:

o 1 d(x,x ) < ò , dg u cò f (x,y) > f (V ,y ) - £ (5)

ì • !i

fi

Kgt hdp (6) và ( 7 ) , t a có dl/dc digu phài chùhb minh n

E>g chùV^g minh càc t i n h ehà't dign hình eòa v e c t d fS^c t r ù h g ,

t a càn dgn phàn thd m8i ( S , q , b ) idiJóc xày dyhg nhù s a u :

Ngu s e 6 (S ) thi theo dinh nghla eòa s, toh t^i duy

nhàt ER*" e G (0?") d g s -^ IR*^ f| S*^"* - Khi d ò vdi g e GL(n,IR) thì

g(s) i ^ g([R^> fi S"~*- Bang càch này G (s""*) trÒ thành mpt

GL(n,IR)-khóng gian nèn dinh ly 1.1.2 chùhg tò: nhd hp hàm chuygn

{g > c ó thg "dar." difdc càc q"*(V ) lai Ó^ bign S thành khóng

TCf càc kgt qua thu (Sticfc trong càc phàn trèn, ta di dgn càc

kgt qua chinh sau day eòa chùdng này:

Do hg qua II-4.3, ln||n (t,b)|| lièn tye trèn T xS nèn

8 m,q

1 ' In lln ( t , b ) | | l i è n t y e t r è n T xS, T compact nèn ngu d à t

t s Tn,q m,q

h** ( s ) = sup - 4 - In un ( t , b ) | | m,q ^ ^ ^ t

m, q

thì tu 11.4^1 suy ra h là hàm lièn tye trèn S

m , q

Vg dia phùdng q (V ) 2K V.XG (b) nèn àp dyng II.4-1 lan nùa

cho hàm g** xàc dinh bòi g** (b) = inf h** (s) , ta kgt luàn

m—•OO q—*» s^3 (b> leT

k m^ q

-^k - ( I n , ^t> *='

l - 2 TCf g i à t h i g t quy n^p suy ra n g a y :

CHUONG III

VE CAC PHAN THO CON BAT BIEN CUA

MO RONG PHI TUYEN YEU

§ 1 Càc phàn thd con bàt bign eòa mÒ rpng phi tuygn qan mÒ rpng tuygn ti nh tàch dtii<^c ,

f i - Lip(n^*^-x*') Ji-^h^ iin^'ll ]"*

TÙ day ta thày; ngu ehpn t sao cho ag(t ) > 2 và s sao

III.l,3.Ky higua

Vdi h e ( 0 , 1 ) , ky higu S^ là t|lp hdp tàt cà càe cà'u x^

n

L: X —9 X trong ph9.m trù Bun B , thòa man digu kign Lipschitz

v8i Lip(L) < h và bào toàn nhàt càt khóng 0, Trcng S , dinh

la tu da^ng eàu eòa phàn thS X trong ph^m trù VB trèn dòng phói

Ap dyng bÒ d g III-1.2, ta eò : V t e [ t ,t +1] :

V8i L e S , dinh nghla ành x^ a^t X —# X bang cóng thùc

e = IKP-X'^ «(L+I)X(o'^>"*x)-||CP oX^ ^ o(L+I)Xt<^L)"*x)ll

e = IKP »?^ ^ o ( L + I ) X ( < ) x)-llCF oX^ ^ «(M-^DXCo-M" x)

^ '^' 3 Jl+h^

Ngu eàe digu kign eòa bò dté 111,1-5 d[d(}c thòa man thì

xS t e T

Chùng m i n h

Do (S^ ,d) là khóng gian metric dò nèn tu bÒ d g

n 111.1,5, suy ra tòn t^i duy nhàt L e S là digm bàt dòng eòa

~1- —t

ành x^ X : S^ —9 S^- Ngu ky higu X là ành x^, G » G xàc dinh bòi x'^CQr(L)) = grCL^), L e S^ thi digu dò eò nghla gr(L ) là digm bàt dpng duy nhàt trong G eòa ành xa X^, Hdn nùà, ta cò

\^ o>7 = >7 oX^ , V t e [T,T+1] nèn X'^CQ'^CL )) ^ gr(L ) V t e [T,T+1]

Do ^X , t e Ty là nhóm càc phép bign dÒi nèn tu dò suy raz

trùhg cùa mpt eàu x^ nào dò L : X — » X trong pham trù Bun B thòa man digu kign Lipschitz v8i Lip(L ) < h và bào toàn nhàt c2Lt khóng © , Ro ràng trong Bun B , X = X e X

'' ^ ì

i ^' ?!

I l 1 1 8 D i n h ly f

Già sÙ m ò rpng tuygn tinh (X,n) eòa phàn th8 (X,p,B)

thòa man digu kign tàch dtidc dÓi v8i hai phàn thd tuygn tinh

con bàrt bign X^ và X^ Khi dò V h e (0,i) toh t^i eie sÒ t > O

và ^^ > O sao cho ngu mÒ rpng (X,X) bào toàn nhàt càt khóng 0 và

(t^,^^)-gàn (X,n) theo nghla Lipschitz thì toh tai càc phàn thd

con X^ và X^ bSrt bign dòi v8i X, thòa man X'*^ e c(X , h ) , (i==l,2)

I I 2 2 B Ò d[é\

Già SÙ (X,p,B) và (X',p',B) là hai phàn th3 vectd day chung B compact Già sÙ (Ajc) : (X,p,B) —9 (X',p*,B) là mpt dèing

eàu trong pham trù VB và ( a , e ) : QXir) ,p^B^ —9 (X',p',B) là mpt

r-eà'u x^ thòa man digu kign Lipschitz v3i L(a) < -^r- m ( A ) , C ^

.-1

(Jay A = Al ; ab = a\ ; m(A ) ^ ||A"* ' ; m<A) = inf

b b bea Khi dò ngu ky higu A = A+a thì tòn t^i r '-cà'u x^, ky higu

bòi A'*: CX'(r),p,B) — » (X,p,B) vdi r' = C^^A)-2L(a))'*

C h ù n g m i n h

-V8i mòi b e B ta có: A : X(b) — * X'C<^<b))*

b ^ ^ a^: X(b,r) — » X'Co'(b))- Càc già thigt trèn cho phép ta àp

b

dyng bÒ d g 1-5-1 và kèt lu|in ràng V b e B, tòn tai ành x^

À"* = Cfl.+a.)'*= X'Co'(b),r') — • X(b) vdi r'=(m(A) - 2L(a))r,

Nhù v^y y = (A^ + a )(A y + u ) =» y + a^A~V + A u + a u

"-K^t htjp bSrt aSng thffc này v 8 i ( 4 ) , t a t h u «Juijc i ) v à :

Ap dyng bò dg 1.5.2, ta kgt lu|ln u lièn tye theo

y-TÙ bigu dign x = u -»- A y, suy ra x phy thupe lièn tye vào