Viết phương trình tiếp tuyến của C và parabol P tại các giao ñiểm của chúng.. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị tại ñiểm uốn I của nó.. Tìm các giá trị m sao cho ñường thẳng dm
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ðỒ THỊ
Giao ñiểm của hai ñồ thị :
1 Cho hàm số ( ) 3 2
f x = x + x + có ñồ thị ( )C và parabol ( ) ( ) 2
P g x = x + )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số Tùy theo giá trị của m , giải và biện luận phương trình 2x3 +3x2 −m = 0
)
b Chứng tỏ rằng trong số tiếp tuyến của ñồ thị ( )C thì thiếp tuyến tại ñiểm uốn I có hệ số góc nhỏ nhất Viết phương trình tiếp tuyến ñó Chứng tỏ I là tâm ñối xứng của ñồ thị ( )C
)
c Gọi A B là giao ñiểm của ñồ thị , ( )C và parabol ( )P Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C và parabol ( )P tại các giao ñiểm của chúng
)
d Xác ñịnh trên khoảng ñó ( )C nằm phía trên hoặc phía dưới ( )P
Hướng dẫn :
)
; , 0;1
2 2
A B
−
Tiếp tuyến ( )C tại A B là , 3 3
y = − x + y = Tiếp tuyến ( )P tại A B là , 1
2
y = − x + y =
)
2
h x = f x −g x = x +x Lập bảng xét dấu : ( ) 1
0, ;
2
h x x
< ∈ −∞ − ⇒
( )C nằm phía
0, ; 0 , 0;
2
h x x
> ∈ − +∞ ⇒
( )C nằm phía trên( )P
2 Cho hàm số ( ) 2 1
1
x
f x
x
−
= + có ñồ thị ( )C )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số
)
b Với giá trị nào của m ñường thẳng ( )dm ñi qua ñiểm A(−2;2)và có hệ số góc m cắt ñồ thị ñã cho
• Tại hai ñiểm phân biệt?
• Tại hai ñiểm thuộc hai nhánh của ñồ thị ?
Hướng dẫn :
b d y =mx + m + d ∩ C g x =mx + mx + m+ = x ≠ −
ðể ( ) ( )dm ∩ C tại hai ñiểm phân biệt khi phương trình ( )* có hi nghiệm phân biệt khác 1− Khi ñó ta
có hệ :
( )
0
0 0
12
m
m m g
∆ >
⇔
ðể ( ) ( )dm ∩ C tại hai ñiểm thuộc hai nhánh khi phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt x1 < − <1 x2
⇔ − < ⇔ <
Cách khác : ðể ( ) ( )dm ∩ C tại hai ñiểm thuộc hai nhánh khi phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt
x < − <x ðặt x = − khi ñó phương trình t 1 ( )* trở thành 2
mt +mt + = có hai nghiệm trái dấu
Trang 23 Cho hàm số ( ) 3
f x =x − x + )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị tại ñiểm uốn
I của nó Chứng minh rằng trong số tiếp tuyến của ñồ thị thì tiếp tuyến tại I có hệ số góc nhỏ nhất )
b Gọi ( )dm là ñường thẳng ñi qua ñiểm I có hệ số góc m Tìm các giá trị m sao cho ñường thẳng
( )dm cắt ñồ thị ñã cho tại ba ñiểm phân biệt
Hướng dẫn :
)
a y = −3x + )1 b m > − 3
4 Cho hàm số ( ) 4 ( ) 2
1
f x =x − m + x +m )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số với m = Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm 2 uốn của ñồ thị
)
b Tìm các giá trị của m sao cho ñồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn ñiểm , tạo thành ba ñoạn thẳng có ñộ dài bằng nhau
Hướng dẫn :
)
x − m + x +m = ⇔ x − x −m = ðể ñồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt , tạo thành ba ñoạn thẳng có ñộ dài bằng nhau khi 0<m ≠ 1
( )
( )
1
9
Ngoài cách giải trên các bạn có thể dùng cấp số cộng ( lớp 11) ñể giải
5
)
a Với giá trị nào của m , ñường thẳng y =mcắt ñường cong y =x4 −2x2 − tại 4 ñiểm phân biệt? 3 )
b Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , ñường thẳng ( )dm :y = −x mcắt ñường cong
2
2
1
y
x
=
− tại hai ñiểm phân biệt
6 Cho hàm số
1
ax b y
x
+
=
− )
a Tìm a b ñể ñồ thị hàm số cắt trục tung tại , A(0; 1− và tiếp tuyến của ñồ thị tại A có hệ số góc bằng )
3
− Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( )C của hàm số với a b vừa tìm ñược ,
)
b Cho ñường thẳng ( )d có hệ số góc m và ñi qua ñiểm B(−2;2) Tìm m ñể ( )d cắt ( )C tại hai ñiểm phân biệt M M1, 2 Các ñường thẳng ñi qua M M1, 2song song với các trục toạ ñộ tạo thành hình chữ nhật Tính các cạnh của hình chữ nhật ñó theo m , khi nào hình chữ nhật này trở thành hình vuông Hướng dẫn :
)
a
0; 1
2
1
1
ax b
a
y
y
x
− ∈ =
−
)
b ( )d ñi qua ñiểm B(−2;2) có phương trình y =m x( +2)+ 2
Trang 3ðể ( )d cắt ( )C tại hai ñiểm phân biệt M M1, 2khi phương trình ( ) 2 1
1
x
m x
x
+
− có hai nghiệm khác 1 , hay phương trình 2
mx +mx − m− = có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là
2
2
0
4
m m
m
m
>
Giả sử M x y1( 1; 1),M2(x y2; 2), hai cạnh hình chữ nhật M PM Q1 2 có ñộ dài là
2
2
m
+
Hình chữ nhật M PM Q1 2 trở thành hình vuông khi và chỉ khi
( )
( )
2
2
m
+
Sự tiếp xúc của hai ñường cong :
1 Cho hàm số ( ) 2
x
f x
x
+
= + có ñồ thị ( )G )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số
)
b Chứng minh rằng ñường thẳng ( )dm :y =mx +m− luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh của ñường cong 1
( )G khi m thay ñổi
)
c Tìm các giá trị của m sao cho ñường thẳng ñã cho cắt ñường cong ( )G tại hai ñiểm thuộc cùng một nhánh của ( )G
Hướng dẫn:
)
b M (− − là ñiểm cố ñịnh mà 1; 1) ( )dm ñi qua khi m biến thiên và M(− − ∈1; 1) ( )G
)
2
m
d ∩ G g x = mx + m− x +m − = x ≠ − ðể ( ) ( )dm ∩ G tại hai ñiểm thuộc cùng một nhánh nếu và chỉ nếu
0
1 0 2
m g
∆ >
− >
m
x
x
+
+
( )
1 1
2
x
= − < −
⇔
Trang 4Hai nhánh của ( )G nằm về hai bên của tiệm cận ñứng 1
2
x = − ðường thẳng ( ) ( )dm ∩ G tại hai ñiểm thuộc cùng một nhánh của ñồ thị khi phương trình k x( ) =2mx +m − = có nghiệm 3 0 1
2
x < − và
1
x ≠ − , khi ñó ta có
( )
3
3 0
1 0
m m
m
m k
= < − ⇔ < ⇔ ⇔ − ≠ <
− − ≠
− ≠
2
)
a Tìm a b biết rằng ñồ thị của hàm số , ( ) 2
1
ax bx
f x
x
−
=
− ñi qua ñiểm
5 1;
2
A
−
và tiếp tuyến tại
( )0; 0
O có hệ số góc bằng − Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ứng với giá trị ,3 a b vừa tìm ñược )
b Tìm a b biết rằng ñồ thị của hàm số , ( ) 2
2
f x = x +ax + tiếp xúc với hypebol )b a Tìm a b biết , rằng ñồ thị của hàm số 1
y x
= tại ñiểm 1
;2 2
M
Hướng dẫn :
)
( )
2
' 0 3
b f
− − −
= −
⇔
)
6,
2
a = − b =
3
)
a Viết phương trình của ñường thẳng ñi qua ñiểm A(1; 2− và tiếp xúc với parabol ) 2
2
y =x − x )
b Chứng minh hai ñường cong 3 5 2
4
y =x + x − y =x + − tiếp xúc nhau tại M , viết phương x trình tiếp tuyến chung của hai ñường cong ñó
)
c Chứng minh rằg các ñồ thị của ba hàm số ( ) 2 ( ) 3 2
f x = −x + x + g x =x −x +
h x =x + x + tiếp xúc nhau tại ñiểm A(−1;2)
)
d Chứng minh rằng các ñồ thị của ai hàm số ( ) 2 ( )
,
x
+ tiếp xúc nhau Xác ñịnh tiếp ñiểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ñường cong tại ñiểm ñó
)
e Chứng minh rằng các ñồ thị của ai hàm số ( ) 3 ( ) 2
f x =x −x g x =x − tiếp xúc nhau Xác ñịnh tiếp ñiểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ñường cong tại ñiểm ñó
Hướng dẫn :
)
a ( )d :y =m x( −1)− ⇒2 m =2 (y =2x −4 ,) m = −2 (y = −2x)
)
; , 2
M y x
Trang 5c f ( ) ( ) ( )−1 =g −1 =h −1 =2, 'f ( )−1 =g'( )−1 =h'( )−1 = , chứng tỏ tại 5 A(−1;2)các ñồ thị của ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác hơn là các ñồ thị của ba hàm số tiếp xúc nhau tại ñiểmA(−1;2) )
0; 0 ,
2
4
)
a Cho hàm số ( ) 2 2 1
1
f x
x
− +
=
− có ñồ thị ( )G Gọi A B là giao ñiểm của ñồ thị , ( )G và
( )dm :y =m− Tìm tập hợp trung ñiểm M của ñoạn thẳng AB khi m biến thiên x
Hướng dẫn :
)
a m < −4 2 6 hoặc m > +4 2 6 Quỹ tích trung ñiểm M là 1 phần ñường thẳng y =5x − giới 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 Cho hàm số ( ) 3 ( )
f x =x − m x + + có ñồ thị là ( )Cm ,m là tham số )
a Với giá trị nào của m , ñồ thị của hàm số ñã cho cắt trục hoành tại ba ñiểm phân biệt ? Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số với m = 2
Hướng dẫn :
Hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình
2
1
1 2 0 2
x
g x x x m
= −
= − + − =
ðồ thị hàm số ñã cho cắt trục hoành tại ba ñiểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( )1 có ba nghiệm phân biệt hay phương trình ( )2 có hai nghiệm phân biệt khác 1− , tức là
m
m
∆ = − >
= − ≠
)
b Với giá trị nào của m , ñồ thị của hàm số ñã cho cắt trục hoành tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ :
b x > − b2) x ≤ −1 b3) − ≤1 x < 0
2 Tìm giao ñiểm của ñồ thị ( )C của hàm số ( ) 3 2
f x =x + x − x − và parabol
P g x =x − x + Xét vị trí tương ñối của ñường cong ( )C và parabol ( )P ( tức là xác ñịnh mỗi khoảng trên ñó ( )C nằm phía trên hoặc dưới ( )P )
3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 3
f x = x − x + Với giá trị nào của m , phương trình 4x3 −3x −2m+ = có nghiệm duy nhất ? 3 0
f x =x − mx + m− x + có ñồ thị là ( )C ,m là tham số
Trang 6a Chứng tỏ rằng với mỗi giá trị của m , ñồ thị ( )Cm của hàm số ñã cho và ñường thẳng
( )dm y =2mx −4m+3 luôn có một ñiểm chung cố ñịnh
)
b Tìm các giá trị của m sao cho ñường thẳng ( )dm và ñường cong ( )Cm cắt nhau
1)
b Tại ba ñiểm phân biệt
2)
b Tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương
)
c Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 1
Hướng dẫn :
)
a ( )dm y =2mx −4m +3 luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh A( )2; 3 và f( )2 = ⇒3 A∈( )Cm ðể giải quyết dạng này học sinh xem lại lý thuyết hàm số sách ñại số 7 và ñại số 10
)
1
0
m
m
<
< ≠
:
f x =x + m − x − m+ x +m − có ñồ thị là ( )Cm ,m là tham số )
a Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m , ñồ thị ( )Cm của hàm số ñã cho luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh
)
b Chứng minh rằng mọi ñường cong ( )Cm tiếp xúac nhau tại một ñiểm Viết phương trình tiếp tuyến chung của các ñường cong ( )Cm tại ñiểm ñó
6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 4 2
f x =x − x + Tìm các giá trị của m sao cho phương trình x4 −4x2 +3 +2m − = có 8 nghiệm? 1 0
7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 4 2
f x = −x − x + Với giá trị nào của m , ñường thẳng y =8x +mlà tiếp tuyến của ñồ thị
P : f x = − x + +x v C : g x = x − +x )
a Chứng minh rằng ñồ thị ( )P và ( )C tiếp xúc nhau tại ñiểm A có hoành ñộ x = 1
)
b Viết phương trình tiếp tuyến cung ( )t của ( )P và ( )C tại ñiểm A Chứng minh rằng ( )P nằm phía dưới ñường thẳng ( )t và ( )C nằm phía trên ( )t
9 Chứng minh rằng các ñồ thị hàm số ( ) 2 ( ) 1 ( )
x
xúc nhau tại một ñiểm
10 Chứng minh rằng parabol ( ) ( ) 2
P f x =x − x − tiếp xúc với ñồ thị ( )C của hàm số
1
k x
x
=
− Viết phương trình tiếp tuyến chung của ( )P và ( )C tại tiếp ñiểm của chúng
11 Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của parabol ( ) ( ) 2
P f x =x − xñi qua ñiểm 3 5
;
2 2
A
−
và
vuông góc nhau
Trang 712 Cho hàm số ( ) 1
−
− có ñồ thị là ( )Gm ,m là tham số )
a Chứng minh rằng với mỗi m ± , ñường cong 1 ( )Gm luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh A B ,
)
b Gọi M là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của ( )Gm Tìm tập hợp của các ñiểm M khi m thay ñổi
13
)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 4 ( )
2
x
x
+
=
)
b Chứng minh rằng parabol( ) 2
P y =x + tiếp xúc với ñường cong ( )H Xác ñịnh tiếp ñiểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của ( )P và ( )H tại ñiểm ñó
)
c Xét vị trí tương ñối cuả ( )P và ( )H ( tức là xác ñịnh mỗi khoảng trên ñó ( )P nằm phía trên hay phía dưới ( )H ?
14
)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 2 ( )
1
x
x
−
=
)
b Chứng minh rằng với mọi m ≠ , ñường thẳng 0 y =mx −3mcắt ñường cong ( )H tại hai ñiểm phân biệt , trong ñó ít nhất một giao ñiểm có hoành ñộ lớn hơn 1
15 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) x2 3x 1
f x
x
= Với giá trị nào của m , ñồ thị của hàm số cắt ñường thẳng y =m tại hai ñiểm phâ biệt A B Tìm tập hợp trung ñiểm M của ñoạn , thẳng AB khi m thay ñổi
16 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 2 2 3
2
f x
x
=
− .Tìm các giá trị của m sao cho ñường thẳng cắt ñường cong tại hai ñiểm phân biệt A B Tìm tập hợp trung ñiểm M của ñoạn thẳng ,
AB khi m thay ñổi
17 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 2 2 3 3 ( )
1
x
=
+ .Tùy theo giá trị của m , biện luận số giao ñiểm của ( )d :y =mx +m + và 3 ( )C Với giá trị nào của m , ñường thẳng
( )d :y =mx +m + cắt ñường cong 3 ( )C tại hai ñiểm thuộc hai nhánh của ( )C
18 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 2 1
1
f x
x
+ +
= + Với giá trị nào của m , phương trình
2
1 1
x x
m x
+ +
= + có 4 nghiệm?
x
+
− )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 1
Trang 8b Với giá trị nào của m , ñường thẳng y = − + tiếp xúc với ñường cong x 7 ( )Cm
)
c Khi m = Với giá trị nào của a ,thì phương trình 2 2 ( )
x − x =a a − có 4 nghiệm phân biệt?
20 Cho hàm số ( ) (2 4 1), 12 ( )m
mx
−
− )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 1
)
b Chứng minh rằng với mọi 1
2
m ≠ ± , các ñường cong của ( )Cm ñều ñi qua hai ñiểm cố ñịnh A B , Chứng minh tích các hệ số góc tại A B là hằng số khi m thay ñổi ,
4
1
x
+
)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) ( )P , H
)
b Tìm giao ñiểm ñường cong ( ) ( )P , H Chứng minh rằng hai ñường cong ñó tiếp xúc nhau tại giao ñiểm của chúng Xác ñịnh các khoảng trên ñó ( )P nằm phía trên hay phía dưới ( )H ?
22 Cho hàm số ( ) 1
x
= + có ñồ thị là ( )C )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( )C
)
b Tiếp tuyến của ñường cong ( )C tại ñiểm M x f x( 0; ( )0 )cắt tiệm cận ñứng và tiệm cận xiên tại hai ñiểm A B Chứng minh rằng M là trung ñiểm AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào ,
vị trí ñiểm M trên ñường cong ( )C
Hướng dẫn :
)
b Tiếp tuyến ( )t của ñường cong tại ñiểm M x f x( 0; ( )0 ): 2 ( 0) 0
0 0
1
x x
= − − + +
0
2
x
thẳng hàng
1
2
OAB
S∆ = OA OB = dvdt x ≠
23 Cho hàm số ( ) 3
1
x
f x
x
+
= + có ñồ thị là ( )C )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( )C Viết phương trình tiếp tuyến tại các ñiểm thuộc ñồ thị của hàm số ( )C mà chúng có toạ ñộ nguyên dương
)
b Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m , ñường thẳng y =2x +m luôn cắt ( )C tại hai ñiểm phân biệt M N Xác ñịnh m ñể ñộ dài MN là nhỏ nhất ,
Trang 9c Tiếp tuyến tại một ñiểm S bất kỳ của ( )C cắt hai tiệm cận của ( )C tại P và Q Chứng minh S là trung ñiểm của PQ
Hướng dẫn :
)
3 2
1 1
x
x m
x x
+ + + − =
⇔ ≠ −
∆ = − + > ∀ Do ñó ñường thẳng y =2x +m luôn cắt ñồ thị của hàm số ( )C tại hai ñiểm phân biệt M N ,
M y x m M x y x m
N y x m N x y x m
2 5 hay MN ≥ Dấu ñẳng thức xảy ra khi ( )2
Vậy m =3,(MN)min =2 5
)
c Giả sử S x y( 0; 0) ( )∈ C Tiếp tuyến ( )t tại
0 0
1 1
x x
+ +
Giao ñiểm của ( )t và tiệm cận ngang là P(2x0 +1;1)
Giao ñiểm của ( )t và tiệm cận ñứng là
0
4 1;1
1
Q
x
