Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn... Vi du 2: Định m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên.. De0eaz-lnay— thì hệ cho có nghiệm với Vb.. Tim b để với mọi a, ta luôn tìm được c sao cho
Trang 1CHUONG 2
HE PHUONG TRINH HAI AN
ai 1:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I KIEN THUC CAN NHO
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
aix+biy+c¡=0
D
aax+b¿y+c¿ =0
„ toe The ai bị
Cách giải: ĐặtD= =a,b, —a,b,
42 D2
D, = = bịca — boc, Dy = = CịA2 — C2aI
x= Dx
D
y=——
D
*D=0ODvà D, #0 hay Dy z0:(D) vô nghiệm
*D=D,= Dy= 0:(1) có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm
Chú ý:
Trong thực hành, khi D = 0, ta thường thay vào hệ các giá trị cụ thể
II CAC VI DU
Vidu 1:
Định m để hệ sau vô nghiệm:
(D 2m^x +3(m —l)y =3
m(x+y)—2y =2
Giải
Để hệ vô nghiệm, ta phải có trước hết :
?3(m-—1 D=oe„|2m 3m ĐỈ o
© 2m” ~4m^ ~3m” +3m =0 © 2m ~ 7m” +3m =0 ©
m= m=
m=
a: “3y=3 JY=TÏ LẠ 2 SÀ tà:
* Với m=0:(]<© c© không thỏa để bài
-2y=2 xeR
7 18x + 6y =3 3x+y=
*V6i m=3:()<o &
3x+y=2
=>m =3 nhận
* m=—:(I) 2 2 hệ vô nghiệm > m=
2 27
Tóm lại hệ vô nghiệm khi m = 3 vm = 7
1
2 nhận
Trang 2Vi du 2:
Định m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên
mx+y—3=0
ki
Giải
Ta có : D= =m“ —Ï=(m +])(m - ])
lm
1 -3
m-2m-1
D, = =-3+2m* +m=2m* +m-3=(m-1)(2m+3)
¥ |-2m-11
THỊ: Dz0<m z+l: nghiệm hệ
—Dy _ m-] 1
D (m+l)(m-l) m+]
ya oy _(m=D@m +3) _2m+3 _ 1
D (m+l(m-I) m+!” mei
cz€©m ~+I là ước số của l1
XEZ VA YEZO
m+1
nghia 1a: &
m+l=-1 m=-2
TH2:D=D<m=+l
.m=1:Hé =| => hệ có nghiệm nguyên
.m=-1:Hé © Hệ vô nghiệm > m =-1 loai
x-y+1=0 Tóm lai: m=1,m=0,m=-2
Vi du 3:
Tìm các giá trị của b sao cho với mọi ae R, thì hệ phương trình:
x+2ay=b
2 có nghiệm
ax+(l-a)y=b
(ĐH CÔNG ĐOÀN 1998)
Giải
Ta có: D= Ị =l-a-2a“ =-2a“-a+l=(a+l)(_—-2a)
al-a
.D=O<>a=-lva=
x-2y=b x-2y=b
—
x-2y=-b
©b=-bŸ ©b(b+l)=0<>b=0vb=-I
pe
-x+2y=b*
b= 2b? & b2b-1)=0 b=0vb=—
De0eaz-lnay— thì hệ cho có nghiệm với Vb
Tóm lại với b = Ô thì hệ cho có nghiệm VaeR
Ví dụ 4:
ax+y=b Cho hệ phương trình : 2
X+ay=C +c
1 Vớib=0, hãy giải và biện luận hệ theo a và c
2 Tim b để với mọi a, ta luôn tìm được c sao cho hệ có nghiệm
Giải
1 Giải và biện luận theoa và c:
=>
X+ay=c +c x+a(-ax)= ete
Trang 3bỏ ()
<>
(l-a*)x=c’ +c (2)
* |-a? #0:aơ+41:H6 c6 nghiờm: X= 7 › y=r-a
l-a
* |-a? =0Sa=41:(2) SO 0xH=c’ +c
+Nờu c? +đơ04cơ#0 va cơ-1:(2)VN > hờ VN
+Nờu ce? +c=0Sc=0vc=-1:(2) 0x =0=> Hệ cụ
nghiờm:
y=-at
2 Tớm b
X+ay=C +c x+a(-ax+b)=cœ +c
y=-ax+b
= (I—-a“)x+ab—(c“ +c)=0 (*) 2 2
Hệ cụ nghiệm <> (*) cụ nghiệm
+ Nếu 1=aˆ #0Ẫ>az+l:(*) cụ nghiệm duy nhất — Hệ phương trớnh
cho cụ nghiệm Vb
+ Nếu a = l: (*) Ẫ c?Ằ+c-b=0x, để cụ nghiệm c? +e—b=0,thớ ta
phải cụ điởu kiện để cụ được c : A=1+4b20 b2——
+ Nờua=- 1: (*) Sc? +c+b=0x va cd nghiờm khi ce +c+b=0
để tớm được c ta phải cụ: A=1-4b20e bs-
IA om IA
Vậy dờ Va, ta luừn tớm được c sao cho hệ cụ nghiệm thớ : —
AI AI
Vi du 5:
ax + by =c
Giả sử hệ phương trớnh : + bx+cy=a
cx+ay=b
Cụ nghiệm Chứng minh rằng: a” + bŸ +cè =3abc
Giải
Gọi (xạ,yọo) lỏ nghiệm của hệ :
xao + byạ =c a” bx, + ab^yo =abc bxọẹ +cyo =a> bếcxọ + bc^yo = abc cXọ +taYo =b lac xạ +a“cyo =abc
>a’ (bxọo +cyo)+ bể (ayo +CXQ) + c7 (byọ +axạ) = 3abc
Ẫaè+bŸ+cỔ =3abc (Dpcm)
II BáI TẬP ĐỀ NGHỊ
1.1 Giải vỏ biện luận hệ: (a )x+(a-Dy=a
(a? +1)x(a+ly= a +]
1.2 Định m vỏ n để hai hệ phương trớnh sau cỳng vừ nghiệm
+1)x+(2n+ly =5n-1
fmt Dx Fat Dy=oned ay
(m—])x+ny=2
(m+1)x+my=n 3x+(4-n)y =2n-1
1.3 Cho hệ phương trớnh :
x+my=m+lé
a Định m để hệ cụ nghiệm duy nhất Tớm hệ thức độc lập giữa cõc nghiệm
b Định m nguyởn để nghiệm duy nhất của hệ lỏ nghiệm nguyởn
Trang 4Huong dan va giai tom tắt 1.1.D=-2(a-1), D, =-2a(a* -1), Dy =-2a°(a-1)
X=——~=a(a+])
azl: nghiệm D
D 0x+0Oy=0 xeR a=1:Hé
xty=l y=l-x
1.2
Dị =-mn +3n—m + ]
Để 2 hệ cùng vô nghiệm, trước tiên ta phải có:
Dị =0 —mn + 3n—m +lI=0 (1)
= 2
Dy =0 —m“ +4=0 (2)
(2) ©m=+2
.m=2:(1) ©n=l
.m=-2: (1) eon=-2
Thu lai: V6i m = 2, n= 1: thay vao hé (ID:
3x+2y=1
= hé có vô số nghiém (loai)
.m=-2, n= - thế vao hé (I) va hé (II) ta co:
2 hé cing VN > m=-2, n= -2 (nhan)
1.3.a D=m? —-1 Hệ có nghiệm duy nhất © D0 © m #+l
Gọi x và y là nghiệm của hệ, ta có:
=(x—l)(x—2) = y(y —]) là hệ thực độc lập giữa các nghiệm
b D, =2m*-m-1, Dy =m(m-1)
m€z,m z +l
m€z,m z +l
EZ&4 |
YCBT @4x=2-
m+l
EZ
EZ
-|-
pm