(Luận văn thạc sĩ) áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi không đồng nhất

Một số phương pháp xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không đồng nhất .... Trong luận văn này chúng tôi xây dựng mối quan hệ giữa các tính chất đàn hồi vĩ mô của vật liệu đà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ



ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA

VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHÔNG ĐỒNG NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2014

TRẦN NGUYÊN QUYẾT

VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHÔNG ĐỒNG NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TSKH Phạm Đức Chính và TS Trần Anh Bình, những người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin cảm ơn các thầy cô dạy các chuyên đề cao học đã trang bị cho tôi kiến thức nền tảng Tôi xin cảm ơn Bộ Môn Cơ Sức Bền – Khoa Cơ Khí – Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thời gian cũng như trang thiết bị để tập trung nghiên cứu Và cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình đã luôn động viên để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014

Tác giả luận văn

Trần Nguyên Quyết

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan tất cả những kết quả khoa học trình bày trong luận văn là thành quả lao động của bản thân dưới sự giúp đỡ tận tình của PGS TSKH Phạm Đức Chính và TS Trần Anh Bình Các kết quả thu được không sao chép từ bất kỳ công trình nào của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014

Tác giả luận văn

Trần Nguyên Quyết

MỤC LỤC

Trang phụ bìa ……… 1

LỜI CẢM ƠN 2

LỜI CAM ĐOAN 3

MỤC LỤC 4

1.1 Mở đầu về vật liệu đàn hồi không đồng nhất 7

1.2 Một số đánh giá cho hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không đồng nhất ……… 11

1.3 Một số phương pháp xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không đồng nhất 13

1.4 Các phương pháp số trong đồng nhất hóa vật liệu không đồng nhất 14

1.5 Phương pháp nghiên cứu và bố cục luận văn 15

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 15

CHƯƠNG 2: HỆ SỐ ĐÀN HỒI CỦA CỐT LIỆU TRÕN TRONG VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG TƯƠNG ĐƯƠNG VẬT LIỆU CỐT LIỆU ELIP 16

2.1 Một số xấp xỉ đơn giản cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng dạng nền + cốt liệu tròn 16

2.2 Tính toán hệ số đàn hồi vĩ mô cho vật liệu đàn hồi không đồng nhất đẳng hướng hai pha có cốt liệu elip phân bố thưa 17

2.3 Xác định các hệ số đàn hồi của cốt liệu tròn trong mô hình vật liệu đẳng hướng tương đương vật liệu cốt liệu elip 24

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 28

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHÔNG ĐỒNG NHẤT 29

3.1 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn 29

3.2 Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong đồng nhất hóa vật liệu không đồng nhất 42

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 44

CHƯƠNG 4: TÍNH TOÁN – SO SÁNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 45

4.1 Tính toán số với mô hình hình vuông 46

4.2 Tính toán số với mô hình lục giác đều 54

KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 61

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

1.1 Mô hình vật liệu tựa đối xứng ba pha ……… 7 1.2 Phần tử tuần hoàn trong mô hình ba chiều……… 7 2.1 Một mô hình vât liệu đàn hồi đẳng hướng tuần hoàn hai pha

4.2 Mô hình vật liệu tuần hoàn cốt liệu elip phân bố hình vuông

………

47

4.4 Mô hình vật liệu tính toán tương đương hình vuông 47

4.6 Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 10; KI = 1 ; μM = 2 ; μI = 0.4 mô hình

4.14 Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 10; KI = 1 ; μM = 2 ; μI = 0.4 mô hình

vuông

4.15 Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 1; KI = 10 ; μM = 2 ; μI = 0.4 mô hình

CHƯƠNG I TỔNG QUAN

Một số lớn các vật liệu đang sử dụng hiện nay được tạo ra từ nhiều thành phần vật liệu khác nhau nhằm phục vụ cho các đòi hỏi trong nhiều lĩnh vực của đời sống con người

Trong luận văn này chúng tôi xây dựng mối quan hệ giữa các tính chất đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không đồng nhất và tính chất các thành phần vi mô

với các hình học vi mô khác nhau Việc nghiên cứu các mối quan hệ này là cần

thiết và có ý nghĩa thực tiễn vì nó giúp giải thích được mối quan hệ giữa tính chất

vĩ mô của vật liệu với tính chất các thành phần cấu thành và hình học vi mô, giúp thiết kế vật liệu với các tính chất vĩ mô theo yêu cầu

Trong chương này, chúng tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc tổng quan về vật liệu đàn hồi không đồng nhất, các tính chất đàn hồi vi mô và vĩ mô của loại vật liệu này, cùng với đó là phương pháp nghiên cứu để đạt được kết quả đề ra

1.1 Mở đầu về vật liệu đàn hồi không đồng nhất

Các loại vật liệu không đồng nhất (vật liệu tổ hợp) tuy được cấu tạo vi mô từ các thành phần vật liệu khác nhau nhưng về mặt vĩ mô được coi là đồng nhất và có các tính chất đàn hồi vĩ mô nói chung khác với tính chất các thành phần cấu thành Các cấu trúc vi mô được coi là đủ lớn so với kích thước phân tử để có thể được xem như là môi trường liên tục Các trường nội lực và chuyển vị là liên tục trên các mặt ngăn cách giữa các pha Khi các thành phần cấu thành phân bố không thiên hướng hỗn độn trong không gian ta có vật liệu tổ hợp đẳng hướng vĩ mô Ở đây chúng ta cũng giới hạn với giả thiết các vật liệu thành phần là đẳng hướng Việc xác định cơ lý tính vĩ mô (macroscopic) (còn được gọi là hữu hiệu, hiệu quả, hiệu dụng (effective ) hay tổng thể (overall moduli)) của vật liệu không đồng nhất

là một vấn đề cơ bản của khoa học vật liệu, các tính chất này phụ thuộc phức tạp vào tính chất các thành phần cấu thành cũng như hình học vi mô của vật liệu Nội dung được tham khảo [1], [2], [3], [5], [6], [8], [19], [23], [42]

Hình 1.1: Mô hình vật liệu tựa đối xứng ba pha

Xét phần tử đặc trưng V của vật liệu tổ hợp (RVE) Phần tử đặc trưng này

phải đủ lớn so với cấu trúc vi mô để có thể được coi thực sự đại diện cho vật liệu được xem xét nhưng phải đủ nhỏ so với kích thước vĩ mô của vật thể đem sử dụng (và cả độ dài bước sóng trong trường hợp bài toán động) để việc xác định

tính chất vĩ mô thực sự có ý nghĩa Phần tử đặc trưng V được cấu thành bởi n thành phần chiếm chiếm các không gian V α V và có các hệ số đàn hồi k, ;

α=1… n; v α là kí hiệu hệ số thể tích của V trong V ( thể tích của V được coi là

1) Phần tử đặc trưng V được gắn với hệ tọa độ Đề các vuông góc {x 1 , x 2 , x 3}

Hình 1.2: Phần tử tuần hoàn trong mô hình 3 chiều

(từ trái qua phải: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối và lập phương tâm mặt)

Trong điều kiện chịu lực của vật thể , trường ứng suất σ x ( ) ( là ten xơ ứng

suất bậc 2 với các thành phần ζ ij ) cần phải thỏa mãn phương trình cân bằng :

 σ x ( )  0, x  V (1.1)

( được hiểu một cách tự nhiên là bao gồm cả các điều kiện cân bằng trên mặt ngăn cách giữa các pha), và quan hệ với trường biến dạng ε x ( ) thông qua định luật Hook :

Tổng trong dấu ngoặc lấy theo các chỉ số latin lặp lại từ 1 tới 3; Các thành phần

ε ij của ten xơ biến dạng ε được biểu diễn tuyến tính qua các thành phần u i của

véc tơ chuyển vị u liên tục trên V:

x

(1.4)

Chỉ số Hy Lạp dưới dấu tổng chạy từ 1 tới n ; Cα là các ten xơ đàn hồi đẳng

hướng bậc 4 với các thành phần trong không gian d chiều:

δ ij là ký hiệu Krônecker thông thường

Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng trên miền V được xác định như sau:

Quan hệ giữa các giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng trên V của vật

liệu tổ hợp đẳng hướng được thể hiện thông qua ten xơ đàn hồi vĩ mô Ceff

:

σ = Ceff : ε , Ceff  T ( keff, eff) (1.7) Một khi giá trị của ε x ( ) và σ x ( ) trên V đã được xác định, từ (1.7) ta có

k eff , μ eff Các phương trình và quan hệ (1.1) - (1.3) chưa đủ để xác định ε x ( ) và ( )

σ x , còn cần điều kiện trên biên V của V Chú ý rằng phần tử V là nhỏ so với

kích thước vĩ mô của vật thể chịu lực , điều kiện biên đồng nhất cho chuyển vị được kiến nghị :

u ε x0 (u i ij0x j) trê V, =n  ε0 const (1.8)

Thay cho (1.8) ta cũng có thể lấy điều kiện biên lực đồng nhất:

trê V, n =

σ n σ n σ const (1.9)

n là véc tơ đơn vị vuông góc trên biên V

Bên cạnh việc xác định hệ số đàn hồi vĩ mô thông qua việc giải trực tiếp các phương trình của cơ học môi trường liên tục như đã trình bày ở trên ( gọi tắt là Đường hướng giải phương trình), ta còn có thể đi bằng cách khác thông qua việc tìm cực trị của các phiếm hàm năng lượng trên V ( gọi tắt là Đường hướng năng lượng hay Đường hướng biến phân), chẳng hạn :

Trong đó ten xơ biến dạng ε biểu diễn qua véc tơ chuyển vị u bởi (1.3), còn u thì

thỏa mãn điều kiện biên đồng nhất (1.8)

Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.10) với ràng buộc (1.3),(1.8) cũng sẽ thỏa mãn phương trình cân bằng (1.1)

Một cách khác - thay cho điều kiện biên đồng nhất đối với chuyển vị (1.8) ta

có thể lấy ràng buộc trung bình biến dạng trên V

σ  ε0 (1.11)

Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.10) với ràng buộc (1.3), (1.11) sẽ thỏa mãn phương trình cân bằng (1.1) trong khi trường lực tương ứng là đồng nhất trên biên V (theo cách hiểu (1.9))

Ceff cũng có thể được xác định từ nguyên lý biến phân đối ngẫu của (1.10):

Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.12) với ràng buộc (1.1) , (1.13) sẽ

thỏa mãn các phương trình tương thích biến dạng (Với (1.2) tồn tại (1.3)) trong

khi trường chuyển vị tương ứng là đồng nhất trên biên V

Trong các điều kiện làm việc của vật thể, các trường chuyển vị và ứng

suất thực nói chung không thỏa mãn chính xác các điều kiện biên đồng nhất như

(1.8) và (1.9) cho dù V là nhỏ so với các kích thước vĩ mô của vật thể mà

thay đổi dao động xung quanh các giá trị này do cấu trúc vi mô không đồng nhất

của V, tuy nhiên các nhiễu này chỉ có ảnh hưởng ở các vùng gần biên V giống

như nội dung của nguyên lý Cent Venant (để tính Ceff

- trong khi đó - ta cần tổng tích phân các giá trị của trường trên toàn V) Cũng giống như vậy các

trường ứng suất và biến dạng được xác định bởi (1.1) - (1.3), (1.8); hay (1.1) -

(1.3), (1.9); hay (1.1), (1.3), (1.8); hay (1.1), ( 1.3), ( 1.11); hay (1.12), ( 1.1), (

1.9); hay (1.12), ( 1.1), ( 1.13) nói chung không trùng nhau Giả thiết xuất phát

của chúng ta là các định nghĩa đó đều cho các mô đun vĩ mô Ceff

trùng nhau về

mặt tiệm cận khi kích thước V đủ lớn so với các kích thước vi mô; Ceff

cũng cần phải không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đặc trưng cụ thể V của vật liệu cũng

như hình dạng của V với điều kiện các kích thước của V đều lớn hơn nhiều so với

các kích thước vi mô Do vậy V có thể được lấy là hình cầu hay khối lập

phương thuận tiện cho phương pháp toán học áp dụng Các tính chất khác của

vật liệu tổ hợp như hệ số dẫn được xem xét tương tự

1.2 Một số đánh giá cho hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không

đồng nhất

Những nghiên cứu đầu tiên về tính chất của vật liệu không đồng nhất được

thực hiện ở cuối thế kỉ 19 – đầu thế kỉ 20 bởi các nhà khoa học hàng đầu của thời

kì đó Theo đó, họ xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu không đồng nhất

bằng cách đưa ra các đánh giá trên và dưới cho giá trị của các hệ số này Nói cách

khác, họ đưa ra một khoảng giá trị giữa cận trên và cận dưới của chúng

Vào năm 1928, Voight [39] đã đưa ra các công thức trung bình cộng số học

để tính xấp xỉ các tính chất vĩ mô của vật liệu đàn hồi tổ hợp đẳng hướng:

1

1

n eff

n eff

Reuss [36] đã chỉ ra rằng trong một số các trường hợp thì công thức trung

bình cộng điều hòa cho được kết quả xấp xỉ tốt hơn:

n eff

Xuất phát từ các nguyên lý biến phân đã nói ở trên và chọn các trường khả dĩ

hằng số, Hill [15], và Paul [24] đã chứng minh được rằng các tính chất vĩ mô của

vật liệu tổ hợp đẳng hướng dù hình học pha như thế nào luôn nằm ở giữa các giá

trị (1.14) và (1.15) Cụ thể, đánh giá Hill- Paul có thể được viết như sau:

Vào năm 1962 và 1963, Hashin và Shtrikman (trong [11], [12], [13], [14]) đã

đưa vào các trường khả dĩ phân cực (polarization fiels) và có các giá trị trung bình

khác nhau trên các pha khác nhau, các ông đã xây dựng thành công đánh giá mới

tốt hơn đánh giá Hill- Paul:

Với d là số chiều của bài toán Công thức tổng quát được viết như sau:

2( 1) min eff 2( 1) max

P * (kmin ,  min eff P * (kmax ,  max (1.18)

2( 1)( 2) , ( , )

kmin  mink |   1, ,n k, max maxk |   1, ,n

Đánh giá Hashin- Strickman (HS) đúng cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng bất

kỳ (bất kể hình học pha như thế nào) với tỷ lệ thể tích v α và tính chất đàn hồi các

thành phần C α được cho trước - và được coi là một trong những thành tựu nổi bật của cơ học các vật liệu tổ hợp

Các đánh giá hẹp hơn đánh giá HS có chứa thêm các thông tin bậc cao về hình học pha của vật liệu đã được xây dựng bởi các tác giả khác nhau, như Beran (xem [6]), Milton và Phan-Thiện [35], Pham ([28], [31]), Miller [18], Milton [19], Torquato [37]…

1.3 Một số phương pháp xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không đồng nhất

Phương pháp xấp xỉ là một cách tiếp cận khác để xác định các tính chất vĩ

mô của vật liệu không đồng nhất Phương pháp này xây dựng các công thức gần đúng để xác định các tính chất vĩ mô đó Công thức xấp xỉ thô hay được sử dụng

nhiều nhất cho vật liệu n thành phần là trung bình cộng số học Voight và trung

bình cộng điều hòa Reuss ( như đã trình bày ở trên) Tuy nhiên khi tính chất các pha khác nhau nhiều các công thức đó rõ ràng là quá thô Hiện nay có một số phương pháp xấp xỉ hay được dùng có độ chính xác cao hơn xấp xỉ Voight và Reuss như xấp xỉ Maxwell, xấp xỉ vi phân, xấp xỉ Mori – Tanaka…(theo [8])

Xem xét một phần tử đại diện (representative volume element - RVE) của vật liệu đẳng hướng có n thành phần cốt liệu, chiếm chỗ một vùng cầu có thể tích

V trong không gian Tâm của hình cầu là tâm hệ tọa độ Đề-các RVE được tạo bởi n thành phần, chiếm một vùng thể tích V với tỷ lệ thể tích v=V /V và có các tính chất đàn hồi C( =1…n; trong đó thể tích V giả thiết là 1) Đặt các tính chất đàn hồi của cốt liệu (inclusion) là I

C ( tương ứng k Iα , μ Iα) và của vật liệu nền (matrix) là M

C ( tương ứng k M , μ M)

Xấp xỉ Maxwell (Maxwell Approximations -MA) (trong [37]) được ứng

dụng cho vật liệu hai pha, với pha cốt liêu I ( có tỷ lệ thể tích v I ) và pha nền M(

có tỷ lệ thể tích v M ) Trong đó hệ số đàn hồi thể tích K MA và mô đun trượt đàn hồi

μ MA phù hợp với mô hình quả cầu lồng nhau của Hashin và đánh giá của Hashin – Shtrikman

và pha nền M ( có tỷ lệ thể tích v M ) Đặt K eff = K DA = K; μ eff = μ DA = μ là lời giải

của hệ phương trình vi phân:

1 1

1

11

1(0) , (0) , 0 1,

n

I n

1.4 Các phương pháp số trong đồng nhất hóa vật liệu không đồng nhất

Hiện nay, phương pháp số với sự hỗ trợ của máy vi tính đang ngày càng được ứng dụng nhiều trong tính toán cơ học Sử dụng phương pháp số, ta có thể tính toán được các bài toán phức tạp với khối lượng tính toán lớn, độ chính xác cao mà bình thường con người không làm được

Các phương pháp số được sử dụng trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp biến đổi Fourier(FFT) Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp số với cơ sở là phương pháp phần tử hữu hạn, lập trình trên phần mềm Matlab (tham khảo [37], [39])

1.5 Phương pháp nghiên cứu và bố cục luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi đi theo hướng tính toán cụ thể giá trị các hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đẳng hướng không đồng nhất bằng phương pháp xấp xỉ

và tính toán số dựa vào phương pháp phần tử hữu hạn và các phần mềm Matlab - Ansys, áp dụng cho mô hình vật liệu hai pha với cốt liệu elip phân bố thưa, trong không gian hai chiều Từ đó, chúng tôi tính toán giá trị hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu cốt liệu tròn trong mô hình tương đương, nhằm đơn giản hóa bài toán so với

mô hình cốt liệu elip

Bố cục luận văn được chia làm bốn chương:

Chương 4 Tính toán – so sánh bằng phương pháp số

Ngoài 4 chương được nêu trên, luận văn còn gồm các phần:

- Kết Luận: nêu các kết quả luận văn đạt được, các ứng dụng và ý nghĩa của luận văn cũng như đề xuất thêm hướng nghiên cứu mới trong thời gian tới

- Tài Liệu Tham Khảo

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Vật liệu đàn hồi không đồng nhất hay còn gọi là vật liệu đàn hồi tổ hợp là loại vật liệu được dùng nhiều hiện nay Chương 1 này đã nêu tổng quan về các tính chất cơ lý của loại vật liệu này được thể hiện qua các hệ số đàn hồi, và các phương pháp đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi không đồng nhất qua việc xác định hệ

số đàn hồi vĩ mô của vật liệu, cơ bản là phương pháp đánh giá ( theo cận trên và dưới), phương pháp xấp xỉ và phương pháp số Từ đó, người đọc có thể hiểu được nội dung của luận văn, kể cả những người không có chuyên môn sâu về cơ học vật rắn biến dạng Đồng thời chương này nêu mục tiêu, đường lối và phương pháp nghiên cứu của luận văn

CHƯƠNG 2: HỆ SỐ ĐÀN HỒI CỦA CỐT LIỆU TRÕN TRONG VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG TƯƠNG ĐƯƠNG VẬT LIỆU CỐT LIỆU ELIP

Ở chương 2 này, chúng tôi sẽ tính toán đưa ra công thức tính hệ số đàn hồi vĩ

mô cho vật liệu đàn hồi không đồng nhất cốt liệu elip theo phương pháp xấp xỉ

Từ đó tôi đưa ra công thức xác định hệ số đàn hồi cốt liệu tròn trong mô hình tương đương thông qua so sánh cốt liệu phân bố thưa Các kết quả tính sẽ được kiểm tra - so sánh bằng phương pháp số và các cận trên, dưới theo đánh giá Hashin – Strikman ở chương 4

Trong trường hợp tổng quát, vật liệu đàn hồi có tất cả 21 hệ số đàn hồi độc lập Còn trong trường hợp đàn hồi đẳng hướng, có hai hệ số đàn hồi độc lập Hai

hệ số này thường đi theo cặp với nhau, đặc trưng cho các tính chất trong các trường hợp làm việc cụ thể của vật liệu Với nội dung nghiên cứu của luận văn là

về hệ số đàn hồi của vật liệu đàn hồi đẳng hướng, trong luận văn này tôi chọn hai

hệ số độc lập là hệ số đàn hồi thể tích K, liên hệ áp lực thủy tĩnh và biến dạng thể tích, và mô đun trượt μ, liên hệ biến dạng trượt và ứng suất trượt

2.1 Một số xấp xỉ đơn giản cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng dạng nền + cốt liệu tròn

Pham, Tran va Do [27] xuất phát từ các đánh giá bậc ba của Pham [31] đã xây dựng xấp xỉ phân cực cho các hệ số đàn hồi vật liệu dạng nền + cốt liệu đẳng hướng với các cốt liệu cầu – tròn từ n-1 pha khác nhau Iα (α = 2,3,…,n) trong pha nền M (hay pha 1)

,

n eff

M n

Ngoài ra, còn có các xấp xỉ đơn giản khác cho vật liệu cốt liệu tròn như xấp

xỉ vi phân ( xem Norris [21], Pham [26]), xấp xỉ bậc ba (xem Pham [28])…

2.2 Tính toán hệ số đàn hồi vĩ mô cho vật liệu đàn hồi không đồng nhất đẳng hướng hai pha có cốt liệu elip phân bố thưa

Hình 2.1 Một mô hình vât liệu đàn hồi đẳng hướng tuần hoàn hai pha với

cốt liệu hình elip

Đối với vật liệu đàn hồi không đồng nhất hai pha cốt liệu elip phân bố thưa,

hệ số đàn hồi vĩ mô C eff

trong trường hợp tổng quát được tính theo công thức (6.64) [8]:

Ceff CM 2 (v I CI CM) :D0 (v I 1) (2.2) Trong đó:

C M: Hệ số đàn hồi pha nền

C I : Hệ số đàn hồi pha cốt liệu

v I : Hệ số tỷ lệ diện tích pha cốt liệu

Với a1, a2 là các bán trục của elip

Công thức tính hệ số đàn hồi của vật liệu đẳng hướng theo K và μ:

Do vật liệu đang xét là vật liệu 2D, P chỉ bao gồm P1111, P2222, P1212, P2211,

P1122 nên ta cũng chỉ tính các giá trị CM tương ứng với các chỉ số trên, như sau:

K K

K K

K K

11 12

21 22

33

0 0

K K

K K

K K

K D

0 0 0

2

;

iijj ijij iijj

D D D

 

0 0

2

(2.18) 1

này, tôi sẽ đi xây dựng mô hình tương đương với mô hình elip ở trên bằng mô hình có các cốt liệu tròn, xuất phát từ các mô hình vật liệu có cốt liệu phân bố thưa tương ứng

2.3.1 Hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu không đồng nhất cốt liệu tròn

Xét mô hình vật liệu hai pha tương tự như trên, nhưng với cốt liệu (inclusion) hình tròn:

Hình 2.2 Một mô hình vật liệu hai pha đàn hồi đẳng hướng tuần hoàn

d

D K K

d K

M I I M M

M M I M I M M M I

Để hai mô hình cốt liệu elip và hình tròn phân bố thưa là tương đương, tức

có hệ số đàn hồi thể tích vĩ mô K eff và modun trượt vĩ mô μ eff

Nhận thấy 1 - G ≠ 0 do vế trái luôn khác 0 Nên từ đó ta có:

2 '

2 '

- Tính μtương đương = μI’:

Từ (2.30) với điều kiện v I v I'ta có:

2 '

KI: Hệ số đàn hồi pha cốt liệu elip

μM: Mô đun trượt của pha nền

μI: Mô đun trượt của pha cốt liệu elip

KD: Hệ số đàn hồi xấp xỉ trung bình, được xác định theo công thức (2.17)

μD: Mô đun trượt xấp xỉ trung bình, được xác định theo công thức (2.18)

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Nội dung chương 2 đã xây dựng được công thức xác định hệ số đàn hồi vĩ

mô của vật liệu đàn hồi đẳng hướng không đồng nhất hai chiều có cốt liệu hình elip phân bố thưa (đồng nhất hóa vật liệu) Từ đó xây dựng công thức xác định hệ

số đàn hồi của cốt liệu tròn trong vật liệu đẳng hướng tương đương Công thức này là quan trọng để đơn giản hóa quá trình tính toán đồng nhất hóa vật liệu cốt liệu elip phân bố tùy ý Đồng thời là cơ sở để xây dựng công thức tương tự với các loại vật liệu có cốt liệu khác Sau khi xây dựng các hệ số đàn hồi tương đương từ lời giải phân bố thưa, chúng ta sử dụng kết quả này để tính toán xấp xỉ các hệ số đàn hồi vĩ mô cho vật liệu cốt liệu elip phân bố không thưa nói chung trong phần sau

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHÔNG ĐỒNG NHẤT

3.1 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn

3.1.1 Khái niệm chung

Trong cơ học vật rắn, với các kết cấu phức tạp việc giải các bài toán cơ học chúng ta thường gặp các bài toán yêu cầu xác định trường giá trị của một hay nhiều đại lượng nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng…) trong một miền xác định Khi xây dựng mô hình toán học cho kết cấu thực tế thường nhận được một hay một hệ phương trình vi phân Với miền xác định, điều kiện biên và các ngoại lực phức tạp thì việc giải quyết bài toán bằng phương pháp giải tích là không khả

thi mà cần phải sử dụng các phương pháp số như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phần tử biên…

Trong các phương pháp trên, phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp mạnh trong việc phân tích kết cấu cơ học

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số, đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của

nó dựa trên ý tưởng chia một vật thể phức tạp thành các phần tử nhỏ có kết cấu đơn giản Kiến thức của phần này được tham khảo [4], [5], [17], [41]

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con V j(phần tử) Các miền này được liên kết với nhau bởi các điểm nút Trên miền con này, dạng biến phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử

Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán

Ưu điểm của phương pháp PTHH là có thể dùng nó để giải các bài toán kĩ thuật phức tạp, dễ dàng công thức hóa và số hóa bài toán kỹ thuật, có thể ứng dụng để giải các bài toán phi tuyến Đồng thời Phương pháp PTHH có các bước giải được hệ thống hóa rõ ràng nên được ứng dụng rộng rãi Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp PTHH là kết quả tìm được chỉ mang tính xấp xỉ và phụ

thuộc vào các dạng phần tử và mật độ các phần tử được chọn Để khắc phục những nhược điểm này ta có thể áp dụng các phương pháp kiểm tra như tính toán lại bằng tay hay dùng thí nghiệm kiểm chứng lại

3.1.2 Nội dung của phương pháp

Để giải một bài toán biên trong miền V, ta chia thành một số hữu hạn các miền con (e = 1, , n) sao cho hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung nhau đỉnh hoặc các cạnh Mỗi miền con được gọi là một phần tử hữu hạn

Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gian hữu hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền V

Có thể chọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x), , ψn(x) có giá trị trong một số hữu hạn phần tử ở gần nhau Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu được tìm dưới dạng:

c1ψ1(x) + + cnψn(x) Trong đó các ck là các số cần tìm

Thông thường, việc tìm các hệ số ck người ta đưa về việc giải một phương trình đại số với ma trận thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một số đường song song nằm sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ giải Có thể lấy cạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc đường cong

để xấp xỉ các miền có dạng hình học phức tạp Phương pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình

Thông thường với bài toán cơ vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, người ta có thể phân tích bài toán theo 3 dạng mô hình sau:

 Trong mô hình tương thích: Người ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm

trước và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phân tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên cơ

sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange

 Theo mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ được biểu diễn dạng gần đúng phân

bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ

phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay nguyên lý biến phân về ứng suất (Nguyên lý Castigliano)

 Theo mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị ứng suất là 2 yếu tố

độc lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phân tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner

Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một phương trình đại số vừa nhận được thì cũng có nghĩa là ta tìm được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cần tìm trong tất cả các phần tử Và từ đó cũng tìm ra được các đại lượng còn lại

3.1.3 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn

Bước 1 : Rời rạc hóa miền khảo sát

Trong bước này miền khảo sát V được chia thành các miền con hay thành các phần tử có dạng hình học thích hợp

Hình 3.1 Mô hình các phần tử đơn giản

Với các bài toán cụ thể số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũng như kích thước các phần tử được xác định rõ Số điểm nút của mỗi phần tử không lấy được một cách tùy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn