Ly thuyet va bai tap chuong II hinh học

Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B.. b Tìm tọa độ chân đường cao A/ kẻ từ A và trực tâm H của tam giác c Tìm tọa độ trọng tâm G và tâm I của đường

Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Bài 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0O ĐẾN 180O

1 Định nghĩa

Với mỗi góc(0o 180o), ta xác định điểm M(x, y) trên đường tròn đơn vị sao cho

MOx 

cos x sin y

tan cot

     

     

Nhận xét : tan xác định khi  90o cot xác định khi  0o ,  180o

Lưu ý sin(180o – ) = sin cos(180o – ) = – cos

tan(180o – ) = – tan ( 90o) cot(180o – ) = – cot (0o < < 180o) sin > 0 với 0o < < 180o

Nếu góc nhọn thì cos , tan , cot dương.Nếu góc tù thì cos , tan , cot

âm

Từ định nghĩa ta có các công thức sau :

cos sin 1 tan cot 1

        

       

2 Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

3 0

Bài tập

Bài 1 Tính giá trị các biểu thức:

2

         với   30 0 B  3 sin120 0  cos 150 2 0  cot135 0

C cos 1   cos 12  cos 78  cos 89

D sin 3   sin 15  sin 75  sin 87

E cos 20   cos 40  cos 60  cos160   cos180

2

a sin 90 b cos 45 F

2a cos60 2abcos180 b 2 cos 45





 

G = (2cos230o + sin135o– 3tan120o)(cos180o–cot45o)

H = 3sin245o–2cos2135o– 4sin250o–4cos250o+5tan55ocot55o

Bài Tính giá trị còn lại của góc biết:

O x y

y 1

x M



Chương 2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

sin= 1

3 với 00 < < 900 cos= 8

4



cos = 1

Bài 3 Tính giá trị các biểu thức.

  

   , biết tan = 2 B =

3sin 4sin cos cos 2sin 3cos

     

C = 3cot 4 tan

cot ta n

   , biết sin = 2

sin a 2cos a sin a

sin a cos a





   , biếttan  = 3

Bài 4 Rút gọn biểu thức.

D = cos2a + cos2a.tan2a K = sin a 1 cot a 2    cos a 1 tan a 2    E = 2cos a 12

sin a cosa





G = 1 sin a cot a 1 cot a  2  2   2 H = cos a sin a.cos a sin a 2  2 2  4 F = cos a cot a22 22

sin a tan a





Bài 5 Chứng minh các biểu thức sau độc lập với x.

A = cos a sin a.cos a sin a 4  2 2  2 B =  2 2

4 tan x 4sin x.cos x





tan x.cot x



 



Bài 6 Chứng minh các đẳng thức sau :

1) sin x cos x  2  1 2sin x.cos x 2) sin x cos x  2  1 2sin x.cos x

2

1 sin

1 2 tan

1 sin

 

  

tan

9) sin 3cos

cos

  

 = 1 + tan + tan2 + tan3

10) sin2.tan2 + 4sin2 – tan2 + 3cot2 = 3

11) sin (1 cot ) cos (1 tan ) sin2    2     cos 12) 2cos 1 cos sin



Bài 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

I Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a và b Từ một điểm O nào đó, vẽOA a , OB b    

Khi đó : Số đo của góc AOB

gọi là số đo của góc giữa hai vectơ a và b, hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ a và b Ký

hiệu : (a,b)

A

Chú ý

 o0 AOB1800 hay 0 AOB  

   0 a b , cùng hướng,  1800  a b,

 

 Nếu một trong hai vectơ là vectơ 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ đó là tùy ý từ 0o đến 180o  Nếu (a,b) = 90o, ta nói hai vectơ vuông góc Ký hiệu : (a b)

II.Tích vô hướng của hai vectơ

1 Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ a và blà một số, ký hiệu : a.b, được định nghĩa bởi : a.b = a b cos(a b)     ,

Như vậy:  OA.OB = OA.OB.cosAOB  

 a2 a a  a2 hay 2 2

AB AB AB AB

( công thức bình phương vô hướng)  0. a a .0 0 với mọi vectơ a

2 Kết quả

  a b ,  0 a b , cùng hướng và a b a b 

  a b , 1800  a b , ngược hướng và a b  a b 

  a b , 900  a b  0 và  a b , 900  a b  0

  a b , 900  a b  a b  0 (đây là điều kiện để hai vec tơ vuông góc với nhau)

3 Tính chất của tích vô hướng

 Với ba vectơ a,b,c , tùy ý và với mọi số thực k

1) a.b = b.a

3) (k a).b = a.(kb) = k(a.b)

4) a.(b ± c) = a.b ± a.c

   

      

 Các hằng đẳng thức

2

2 2

2 2

(a ± b) = a ± 2a.b + b

a - b = (a + b).(a - b) = a - b

4 Ứng dụng của tích vô hướng

a) Công thức chiếu

Cho hai vectơ OA

, OB Gọi B/ là hình chiếu của B lên đường thẳng OA Ta có :

a 

b 

b 

a 

O

Chương 2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

OA OB OAOB     /

b) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Định nghĩa

Cho đường tròn (O, R) và một điểm M cố định Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua M

cắt đường tròn tại hai điểm A, B Khi đó ta có tích vô hướng MA.MB  là một hằng số và bằng MO2 – R2 Hằng số này gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O, R) Ký

hiệu : PM/(O)

Nếu MT là tiếp tuyến với đường tròn tại T thì ta cũng có MT2 = MO2 – R2

Vậy: PM/(O) = MA.MB  = MO2 – R2 = MT2

6 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai véc tơ a= (x, y) và b= (x /, y / ) Ta có :

' '

   

/ /

B A B A

2 2 / 2 / 2

x.x + y.y

 

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác đều ABC cạnh a Tính : a)               AB.AC ; AB.BC               b)                                           

AB(2AB 3AC)

ĐS : a) a22 ; –a22 ; b) a22

Bài 2 a) Cho các véc tơ đơn vị a ; b với 2a b   3 Tính a.b  ĐS : ½

b) Cho a 2 ; b 3 ; a b 1 Tính a b        ĐS :5

c) Cho a b ; a 1 ; b      2CMR : (2a b) (a b)   

Bài 3 Cho các véc tơ  a ; b

a) a 3; b 2;(a,b) 120 Tính a b ; 2a 3b     o    

b) a b 2; a b 4;(2a b) (a 3b).Tính a ; b          

c) (3a 5b) (2a b);(a 4b) (a b);Tínhcos(a,b)           ĐS : a) 19 , 6 ; b) 3 , 1 ; c) 5 4319

Bài 4 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính :

a)               AB.AC ; AB.BD               b)  

   

ĐS : a) a2 ; – a2 ; b) a2 ; c) 2a2

Bài 5 Cho tam giác ABC có trọng tâm G và AB = 2 ; BC = 4 ; CA = 3 Tính :

a)  AB.AC Suy ra giá trị của cosA

b)  AG.BC và  

      GA.GB GB.GC GC.GA c) Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A.Tính AD theo AB và AC  Tính độ dài đoạn

AD ĐS : a) – 9/2 ; – ¼ ; b) 5/3 ; – 29/6 ; c)          AD                   3AB               2AC ; AD 3 6

Bài 6 Cho tam giác ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120o

a) Tính độ dài đoạn BC và trung tuyến AM

M

T

O A

B

B

B /

b) Gọi I, J định bởi 2IA IB 0 ; JB 2JC 0     Tính độ dài đoạn IJ.ĐS : a)

7 2 133

19 ; ; b)

Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a 3 Gọi AM là trung tuyến và AM.BC   a 2

2 Tính độ

CHỨNG MINH HAI VÉC TƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC - CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC

Bài 8 Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O Gọi H, K là trực tâm các tam giác ABO,

CDO I và J là trung điểm AD, BC CMR : HK  IJ

Bài 9 Cho tam giác ABC CMR : Điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc

với nhau là AC2 + AB2 = 5BC2

Bài 10 Cho tứ giác ABCD

a) CMR : AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2AC.DB 

b) Suy ra : Điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau là : AB2 + CD2 = BC2 + AD2

Bài 11 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M tùy ý CMR :

a)                                                         

2

Bài 12 Cho tam giác ABC cân đỉnh A, H là trung điểm BC, D là hình chiếu của H trên AC, M là

TÌM QUỶ TÍCH

Bài 13 Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý

V 2MA MB 3MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR : 2MA2 + MB2 – 3MC2 =2MO.V  c) Tìm tập hợp những điểm M thỏa : 2MA2 + MB2 = 3MC2

Bài 14 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M trong các trường hợp sau :

   

   

Bài 15 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M trong các trường hợp sau :

(MA MB)(2MB MC) 0 b)                                                           

    2

Bài 16 Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tìm tập hợp những điểm M trong các trường hợp sau :

   

2

   

2

CÁC BÀI TOÁN CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG LIÊN QUAN ĐẾN TOẠ ĐỘ

Bài 17 Cho a= (5,3) ; b= (2,0) ; c= (4,2)

a) Tìm véc tơ x thỏa x = 20 và x  c b) Tìm 2 số m và n sao cho ma+b+nc =0 c) Biểu diễn véc tơ a theo 2 véc tơ bvàc

ĐS : a) x= (2 ,– 4) hay x = (–2,4); b) m = 2 ; n = –3 ; c) a= –12 b+23 c

Bài 18 Cho a= (3,2) ; b= (–1,5) ; c= (–2, –5)

a) Tìm tọa độ các véc tơ sau :u= 2a +b – 4c v= –a+ 2b + 5c

b) Tìm 2 số p, q sao cho : c= pa + qb c) Tính : a.b ; b.c ; a (b+c) ; b (a–c)

ĐS : a) u= (13,29); v= (–15,– 17); b) p 15, q 11

Bài 19 Cho a= (3,7) ; b= (–3,–1)

a) Tính góc giữa các cặp véc tơ : avàb ; a+b và a-b; avàa+b

b) Tìm điều kiện của m, n sao cho ma+ nb vuông góc với a

Chương 2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

c) Tìm véc tơ biết a.c= 17 và b.c= – 5 ĐS : b) 29m – 8n = 0 ; c) c= (1,2)

Bài 20 Cho A(3,1) , B(1,3) , C(3,5) , D(5,3)

c) Tìm E sao cho ABDE là hình bình hành ĐS : a) (– 12, 12 ) ; c) E(7,1)

Bài 21 Xét tính chất tam giác ABC biết :

c) CMR : ABCD là hình thang cân với A(–1,–3), B(0,4), C(3,5), D(8,0)

Bài 22 Cho M(1,4) , N(3,0) , P(-1,1) là trung điểm 3 cạnh của 1 tam giác

a)Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

b) Tìm tọa độ 2 điểm I, J chia đoạn MN thành 3 đoạn bằng nhau

c) Tìm Q sao cho MNQP là hình bình hành

ĐS : a) (–3,5) ; (5,3) , (1,–3) ; b) (5/3,8/3) , (7/3,4/3) ; c) (–3,5)

Bài 23 Cho A(–5,6) , B(– 4,–1) , C(4,3)

a) CMR : Ba điểm ABC tạo thành 1 tam giác

b) Tìm tọa độ chân đường cao A/ kẻ từ A và trực tâm H của tam giác

c) Tìm tọa độ trọng tâm G và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR : ba điểm I, H, G thẳng hàng

d) Tính chu vi và diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

e) Tìm điểm M thỏa : MA+ 2MB + 3MC = 0

ĐS : b) A/(–2,0),H(–3,2) ; c) G(–5/3,8/3),I(–1,3) ;

d) 30 ; 5 2 +3 10+4 5 ; 5 2 3 10 4 5 60  e) M(-1/6,13/6)

Bài 24 Cho A(1,5) , B(– 4,–5) , C(4,–1) Tìm tọa độ các điểm : chân đường phân giác trong, chân

đường phân giác ngoài kẻ từ A và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

ĐS : (1,–5/2) ; (16,5) ; (1,0)

Bài 25 Cho A(1,–2), B(3,–1).

a) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho đường trung trực của đoạn AM đi qua O

b) Tìm C trên Oy sao cho tam giác ABC cân tại A

ĐS : 1) M( 5,0), M(– 5,0) ; 2) C(0,2) , C(0,–6)

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TÍCH

Bài 26 Cho đường tròn tâm O , bán kính bằng 7cm và điểm I sao cho OI = 11cm.

a) Tính phương tích của điểm I đối với đường tròn

b) Qua I dựng hai các tuyến IAB và ICD với đường tròn

b1) Biết IA = 12cm Tính IB b2) Biết CD = 1cm Tính IC và ID

Bài 27 Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 4 Lấy một điểm I sao cho OI = 6 Gọi A và B là hai

điểm trên đường tròn sao cho IA = 5 và IB = 6 IA và IB lại cắt đường tròn tại A1 và B1 Tính IA1 và IB1

Bài 28 Cho hai đường tròn (O) và (O1) cắt nhau tại A và B Một đường thẳng tiếp xúc với (O) tại

M và tiếp xúc với (O1) tại M1 CMR : đường thẳng AB đi qua trung điểm của MM1

Bài 29 Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao D và E lần lượt là hình chiếu của H

xuống AB và AC CMR : Tứ giác BCED nội tiếp đường tròn

Bài 30 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Gọi d là tiếp tuyến tại B với đường tròn và P là

trung điểm của đoạn OB

a) Tìm điểm Q sao cho : AP.AQ = 4R2

b) Một cát tuyến qua A cắt (O) và d lần lượt tại M và N CMR : Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn

Bài 31 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác trong góc A cắt đường tròn tại D

và cắt BC tại E CMR : DB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE

Bài 32 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Trên đường tròn tâm C bán kính CA lấy

điểm M không ở trên đường thẳng BC CMR : CM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM

BÀI 3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c

+ Độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt là ma , mb , mc

+ Độ dài các đường cao kẻ từ A, B, C lần lượt là ha , hb , hc

+ Bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác lần lượt là R , r

+ S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi

I Định lý Côsin trong tam giác

Hệ quả cosA = b + c - a 2 2 2 cosB = c + a - b 2 2 2 cosC = a + b - c 2 2 2

II Định lý sin trong tam giác : a = b = c = 2R

sinA sinB sinC

III Định lý đường trung tuyến :







IV Diện tích tam giác :











S = ah = bh = ch

abc

S = 4R

S = absinC = acsinB = bcsinA

S = pr

S = p(p - a)(p - b)(p - c)

Bài t

ậ p

A

ha ma

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cosA

b 2 = c 2 + a 2 – 2ac.cosB

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab.cosC

Chương 2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 1 Tính góc A của tam giác ABC trong các trường hợp :

a) b(b2 – a2) = c(c2 – a2) (với b khác c) b) b(b2 – a2) = c(a2 – c2)

ĐS : a) 120o ; b) 60o

Bài 2 Tính các góc , S , R , r , độ dài các đường cao, đường trung tuyến của tam giác ABC biết :

Bài 3 Tam giác ABC có AB = 3 ; AC = 4 ; S = 3 3 Tính độ dài BC ĐS : 37  13

Bài 4 Tam giác ABC có hai trung tuyến BM = 6 và CN = 9 và góc BGC  = 120 o (G là trọng tâm tam giác) Tính các cạnh tam giác ĐS : 2 19 ; 2 13 ; 4 7

Bài 5 Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, AB = 7 , C = 60 o Tính

BC

ĐS : 3 + 22

Bài 6 Tam giác ABC có

a) AC = 2 , AB = 3 , BC = 4 và đường cao BD Tính CD

b) AB = 3 ; BC = 5 , AC = 6 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2AM Trên cạnh BC lấy

15

Bài 7 Tam giác ABC vuông tại B Kéo dài AC về phía C một đoạn CD = AB = 1 Biết góc CBD  =

30 o Tính AC

ĐS : 3 2

Bài 8 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là trung điểm AB Tính bán kính các đường tròn

ngoại tiếp các tam giác : BDM ; OMC ; CDM

ĐS : a 10 a 10 5a; ;

Bài 9 Tam giác ABC có A = 60o , hc = 3, R = 5 Tính các cạnh của tam giác

ĐS : 5 3 ; 2 ; 1 6 2 

Bài 10 Tam giác ABC có B = 60o , R = 2 Tính bán kính đường tròn qua A, C và tâm đường tròn

nội tiếp tam giác ABC ĐS : 2

Bài 11 Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 , AC = 4 Tính bán kính đường tròn qua B, C và trung

điểm I của AC

ĐS : 5 13

6

Bài 12 Tam giác ABC có AB = 2 , AC = 3 , BC = 4 Tính bán kính đường tròn qua B, C và trung

điểm I của AB

3 15

Bài 13 Tam giác ABC có  b 

c

m

Bài 14 Tứ giác ABCD Gọi I, J là trung điểm AC, BD

a) CMR : AB2+ BC2+CD2+DA2 = AC2+ BD2+ 4IJ2

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình bình hành

Bài 15 Cho tam giác ABC Chứng minh :

c) cotA + cotB + cotC = a2 b2 c2

4S

  d)

h h h r

Bài 16 Tam giác ABC có b + c = 2a CMR : sinB + sinC = 2sinA và  

Bài 17 Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c tỷ lệ với 3; 2 ; 6 2

giác

ĐS : a) 120o , 45o , 15o

Bài 18 Tam giác ABC có AB = 3 ; AC = 5 ; BC = 7 Tính độ dài các đường phân giác trong và

ngoài của góc A

ĐS : 15 15 3;

Bài 19 Tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn đẳng thức : c4 – 2(a2 + b2)c2 + a4 + a2b2 + b4 =

0

Chứng minh : C = 60o hay C = 120o

Bài 20 Cho hai điểm cố định A, B với AB = 8a > 0 Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA2 + MB2

= 82a2

ĐS : Đường tròn (O, 5a) với O là trung điểm AB

Bài 21 Cho hai điểm A, B cố định với AB = 4a > 0 Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA2 – MB2

= 24a2

ĐS : Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm H với H định bởi OH = 3a (chiều từ A đến B)

Bài 22 Cho M là điểm tùy ý trong tam giác ABC Các đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB

lần lượt tại D, E, F CMR : MD ME MF 1  