(Luận văn thạc sĩ) phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học phương trình vô tỉ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ TƯƠI PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LUẬN VĂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ TƯƠI

PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ TƯƠI

PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI – 2015

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn,

đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này

Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sư phạm, Khoa Sau Đại học, Phòng Đào tạo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội

đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các giáo viên tổ Toán, các

em học sinh lớp 12A7 và lớp 12A8 trường Trung học phổ thông Ngô Quyền – Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong thời gian em tổ chức thực nghiệm tại trường

Đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô, các bạn và những người quan tâm tới đề tài này để đề tài của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hải Phòng, tháng 10 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Tươi

MỤC LỤC

Lời cảm ơn ………i

Danh mục chữ viết tắt ……… ……ii

Mục lục……… iii

Danh mục bảng……….v

MỞ ĐẦU……… 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……… 5

1.1 Lịch sử nghiên cứu đề tài……… 5

1.2 Năng lực tư duy toán học……… 5

1.2.1 Năng lực ……… 5

1.2.2 Khái niệm tư duy 7

1.2.3 Năng lực tư duy 12

1.2.4 Năng lực tư duy toán học 13

1.3 Dạy học nội dung phương trình vô tỉ ở trường THPT 20

1.3.1 Cấu trúc chương trình 20

1.3.2 Thực tiễn dạy học nội dung phương trình vô tỉ tại trường THPT Ngô Quyền 21

1.4 Kết luận Chương 1 23

Chương 2 BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH 24

2.1 Rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ………24

2.1.1 Phân tích và tổng hợp……… 24

2.1.2 Khái quát hóa, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, so sánh và tương tự … 34

2.2 Phát triển tư duy phê phán 46

2.2.1 Kỹ năng phân tích sâu đề bài để có chiến lược giải 47

2.2.2 Kỹ năng tự đặt câu hỏi liên quan đến bài toán 49

2.2.3 Học sinh trình bày lời giải, nhận xét và đánh giá kết quả 51

2.3 Phát triển tư duy sáng tạo 53

2.3.1 Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải 53

2.3.2 Rèn luyện phát triển bài toán và xây dựng các bài toán mới 60

2.4 Kết luận Chương 2 63

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 64

3.1 Mục đích, yêu cầu thực nghiệm 64

3.1.1 Mục đích 64

3.1.2 Yêu cầu thực nghiệm 64

3.2 Nội dung thực nghiệm 64

3.3 Tổ chức thực nghiệm 64

3.3.1 Đối tượng 64

3.3.2 Quy trình tổ chức thực nghiệm 64

3.3.3 Thiết kế dạy học thực nghiệm 65

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 66

3.4.1 Phân tích kết quả thực nghiệm 66

3.4.2 Những kết luận rút ra từ thực nghiệm 74

3.5 Kết luận Chương 3 75

KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

PHỤ LỤC 79

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1 Đội ngũ giáo viên toán của trường THPT Ngô Quyền 21

Bảng 1.2 Đánh giá về nội dung “Phương trình vô tỉ” trong chương trình 22

Bảng 1.3 Thống kê kết quả học tập 22

Bảng 1.4 Đánh giá môn Toán và nội dung “Phương trình vô tỉ” 22

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đào tạo những người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn toán là một yếu tố quan trọng Bởi vì toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh

mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển

Trong những điểm nổi bật của việc đổi mới chương trình giáo dục phát triển sau năm 2015 là xây dựng và phát triển chương trình theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh Đó là cách tiếp cận mới nhưng không phải

xa lạ “ từ trên trời rơi xuống ” mà nó vốn đã có, đã nằm sẵn đây đó trong nội dung của chương trình cũ Bởi các thành tố cơ bản cấu thành năng lực vẫn là kiến thức kỹ năng Có điều nếu chỉ có kiến thức và kỹ năng, nhất là khi chúng lại tách rời, thì chưa thể có năng lực theo cách hiểu của lý luận dạy học hiện đại

Để có năng lực, cần có một cách tiếp cận mới, cách hiểu mới Với cách tiếp cận mới, chúng ta không cần đợi cho đến khi có chương trình sau năm

2015 mới thực hiện theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh ngay từ những năm học tới, có thể cấu trúc lại chương trình dạy học theo định hướng này, trên cơ sở rà soát và tổ chức lại các nội dung và hình thức dạy học Vẫn

là bám sát những kiến thức và kỹ năng, thái độ cần đạt đã quy định trong

chương trình hiện hành, nhưng hoàn toàn có thể tổ chức lại, áp dụng các phương pháp dạy học khác nhau nhằm phát triển năng lực cho học sinh

Mặt khác, ở nước ta trong nhận thức của phần đông giáo viên và học sinh thì dạy toán là dạy các quy tắc, các kỹ năng giải bài toán Cũng vì lý do tương tự mà ngay cả sinh viên tốt nghiệp các trường đại học ở nước ta khi tiếp xúc với thực tế họ thường tỏ ra rất yếu kém về khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề của thực tiễn Vì vậy, việc dạy cho học sinh phương pháp tư duy giải quyết các vấn đề thực tế là rất cần thiết

Phương trình – Bất phương trình là chuyên đề mà chúng ta thường gặp trong các kỳ thi ở cấp 2, 3 và đại học, đặc biệt là phương trình vô tỉ Phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú về đề bài cũng như lời giải Một bài phương trình có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải đều có ý nghĩa riêng của nó

Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “ Phát triển một số năng lực tư

duy toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học phương trình vô tỉ ”

2 Mục đích nghiên cứu

Dạy học phương trình vô tỉ để phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh trung học phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Thứ nhất: Nghiên cứu lý luận của năng lực tư duy toán học

Thứ hai: Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển

năng lực tư duy toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình vô tỉ ở trường THPT

Thứ ba: Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của

đề tài trong dạy học

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu là năng lực tư duy toán học của học sinh THPT

Đối tượng nghiên cứu là các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư

duy toán học cho học sinh THPT

5 Vấn đề nghiên cứu

Đề tài tập trung vào nghiên cứu hai vấn đề cơ bản sau:

- Dạy học nội dung phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh THPT?

- Giải pháp nào góp phần phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh THPT?

6 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học nội dung phương trình vô tỉ thì có thể góp phần phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở trường THPT

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Quá trình dạy học nội dung phương trình vô tỉ cho học sinh ở trường THPT

Các nghiên cứu khảo sát được tiến hành tại các lớp 12A7 và 12A8 của trường THPT Ngô Quyền, Hải Phòng

8 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Ý nghĩa lý luận của đề tài

Cung cấp một cách rõ ràng và hệ thống cơ sở lý luận những vấn đề cơ bản về phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT

- Ý nghĩa thực tiễn của đề tài

Những giải pháp trên có thể được áp dụng rộng rãi với các trường THPT trong cả nước và đáp ứng được yêu cầu nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở trường THPT

9 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Sưu tầm, đọc tài liệu, nghiên

cứu các văn bản về năng lực, tư duy, năng lực tư duy và phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh THPT

- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra - khảo

sát bằng phiếu hỏi, tổng kết kinh nghiệm

- Nhóm phương pháp xử lý thông tin: Định lượng, định tính, thống kê

và phân tích thống kê

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày theo 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Biện pháp sư phạm góp phần phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Lịch sử nghiên cứu đề tài

Vấn đề tư duy, năng lực tư duy, năng lực tư duy toán học luôn thu hút nhiều nhà nghiên cứu khoa học trên thế giới và trong nước quan tâm

V.A.Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng lực toán học của học sinh và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh trong [9] và [10] Trong [13] và [14], G Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân

Ở nước ta, đã có nhiều công trình nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy, năng lực tư duy, tư duy sáng tạo cho học sinh (xem [1,

5, 16])

Đặc biệt là từ khi Khoa sư phạm Đại học Quốc gia mở hệ đào tạo Thạc

sĩ chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học đã có nhiều luận văn thạc sĩ

đề cập đến vấn đề phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh (xem [4,

11, 15, 18])

Vấn đề phát triển năng lực tư duy toán học trong giảng dạy bộ môn Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu khai thác vào nghiên cứu cụ thể việc phát triển một số năng lực tư duy toán học thông qua dạy phương trình vô tỉ 1.2 Năng lực tư duy toán học

1.2.1 Năng lực

1.2.1.1 Nguồn gốc của năng lực

Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất

và nguồn gốc của năng lực, tài năng Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn:

Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu

cho sự phát triển năng lực Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển năng lực)

Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử Con người

từ khi sinh ra đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được Xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn

đó cho các thế hệ sau trong môi trường Văn hóa - Xã hội

Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo ra các kết quả “vật chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng

có bản chất nguồn gốc phức tạp Các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng

1.2.1.2 Khái niệm năng lực

Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lí học Năng lực được hiểu như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó

Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một

cá thể, một thứ phi vật chất Song nó thể hiện được qua hành động và đánh giá được nó qua kết quả của hoạt động

Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng

tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương Người ta thường phân biệt ba trình độ năng lực:

- Năng lực là tổng hòa các kỹ năng, kỹ xảo

- Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của những thành tựu đạt được của xã hội loài người

- Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra

1.2.2 Khái niệm tư duy

1.2.2.1 Khái niệm tư duy

Tư duy là quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết [16]

Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó” [21]

1.2.2.2 Đặc điểm tư duy

Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau:

+ Tính có vấn đề của tư duy

Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề Đó là những tình huống mà ở đó chỉ nảy sinh những mục đích mới, và những phương tiện, phương pháp hoạt động cũ đã có trước đây trở nên không đủ để đạt được mục đích đó

Nhưng muốn kích thích được tư duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải được

cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân, nghĩa là phải xây dựng được cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cần phải tìm và có nhu cầu tìm kiếm

+ Tính gián tiếp của tư duy

Tư duy phản ánh sự vật hiện tượng một cách gián tiếp bằng ngôn ngữ

Tư duy được biểu hiện bằng ngôn ngữ Các quy luật, quy tắc, các sự kiện, các mối liên hệ và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ Mặt khác những phát minh, những kết quả tư duy của người khác, cũng như kinh nghiệm cá nhân của con người đều là những công cụ để con người tạo ra cũng giúp chúng ta hiểu biết được những hiện tượng có trong hiện thực mà không thể tri giác chúng một cách trực tiếp được

+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy

Tư duy có khả năng tách trừu tượng khỏi sự vật hiện tượng, những thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính thuộc bản chất nhất, chung cho nhiều sự vật hiện tượng rồi trên cơ sở đó khái quát các sự vật và hiện tượng riêng lẻ khác nhau, nhưng có những thuộc tính bản chất vào một nhóm, một loại phạm trù, nói cách khác tư duy mang tính chất trừu tượng hóa và khái quát hóa Nhờ đặc điểm này mà con người có thể nhìn vào tương lai

+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

Tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện biểu đạt các quá trình và kết quả của tư duy Tư duy của con người không thể tồn tại ngoài ngôn ngữ được, ngược lại ngôn ngữ cũng không thể có được nếu không dựa vào tư duy Tư duy và ngôn ngữ thống nhất với nhau nhưng không đồng nhất với nhau không thể tách rời nhau được

+ Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Mối quan hệ này là mối quan hệ hai chiều: Tư duy được tiến hành trên

cơ sở những tài liệu nhận thức cảm tính mang lại, kết quả của tư duy được kiểm tra bằng thực tiễn dưới hình thức trực quan, ngược lại tư duy và kết quả của nó có ảnh hưởng đến quá trình nhận thức cảm tính

Những đặc điểm trên đây cho thấy tư duy là sản phẩm của sự phát triển lịch sử - xã hội mang bản chất xã hội

1.2.2.3 Các thao tác của tư duy

a Các giai đoạn hoạt động của tư duy

Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảy sinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người Tư duy là một hoạt động trí truệ có các giai đoạn sau:

Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;

Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;

Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;

Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra

b Các thao tác tư duy

Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác trí tuệ, thao tác tư duy là những quy luật bên trong của tư duy Có các thao tác sau:

Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại

là hai mặt của một quá trình thống nhất

+ So sánh và tương tự

So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng

Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng

để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối tượng kia

+ Trừu tượng hóa

Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động)

+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát Như vậy, trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa

Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu

Khái quát hóa và đặc biệt hóa là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thống nhất

1.2.2.4 Các loại hình tư duy

Trong quá trình học thì cái mà học sinh lĩnh hội được đó là cách tư duy Qua quá trình tư duy con người ý thức nhanh chóng, chính xác đối tượng cần lĩnh hội, mục đích cần đạt được và con đường tối ưu đạt được mục đích đó Khi có kỹ năng tư duy thì người học có thể vận dụng để nghiên cứu các đối tượng khác Điều cần thiết trong tư duy là nắm được bản chất của sự vật, hiện tượng từ đó vận dụng vào các tình huống khác nhau một cách sáng tạo Thông qua hoạt động tư duy người học có thể phát hiện ra vấn đề và đề xuất hướng giải quyết; biết phân tích, đánh giá các quan điểm, các phương pháp của người khác đồng thời đưa ra ý kiến chủ quan, nêu ra lí do, nội dung để bảo vệ quan điểm của mình

Trong quá trình học, học sinh có thể được trang bị, rèn luyện và phát triển các loại tư duy:

+ Tư duy độc lập

Trong quá trình học tập, học sinh có thể được rèn luyện tư duy độc lập khi được thực hiện các nhiệm vụ vừa sức với mình Từ đó gây hứng thú học tập cho học sinh đồng thời tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt vấn đề một cách tự nhiên theo đúng quy luật của quá trình nhận thức

Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề,

tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được

+ Tư duy logic

Tư duy logic là tư duy chính xác theo các quy luật và hình thức, không phạm phải sai lầm trong lập luận, biết phát hiện ra những mâu thuẫn

Do đặc điểm của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic

+ Tư duy trừu tượng

Phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng

Tư duy trừu tượng được biểu hiện ở sự đi sâu suy nghĩ, ở trí tưởng tượng, ở

việc nắm vững bản chất và quy luật của các vấn đề toán học, vận dụng một cách sáng tạo vào giải quyết vấn đề trong thực tiễn

+ Tư duy biện chứng

Tất cả các sự vật và hiện tượng đều xảy ra trong một quy luật biện chứng Do đó, cần xem xét sự vật và hiện tượng trong mối quan hệ biện chứng, có tính quy luật Việc rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh cũng

là một nhiệm vụ của môn học

+ Tư duy phê phán

Trong quá trình học tập, tư duy phê phán sẽ giúp cho người học luôn tìm được hướng đi mới trong suy nghĩ và hành động, tránh rập khuôn, máy móc

+ Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo là một hình thức tư duy cao nhất trong quá trình tư duy, việc tư duy sáng tạo giúp cho người học không bị gò bó trong không gian tri thức của người thầy đặt ra

Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

1.2.3 Năng lực tư duy

1.2.3.1 Khả năng và năng lực

Khả năng là điều có thể thực hiện được hoặc đạt được những hành động hoặc kết quả nhất định thông qua một tập hợp các quy trình, đo lường, tính năng, chức năng

Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao

1.2.3.2 Khái niệm năng lực tư duy

Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và

linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn

1.2.4 Năng lực tư duy toán học

Năng lực toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau

Môn Toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh Trong [6] tác giả đã viết một cách tổng hợp về phát triển năng lực trí tuệ toán học cho học sinh, thể hiện bốn mặt:

Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác Do đặc điểm

của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác

để rèn luyện cho học sinh tư duy logic Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác

Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Tác dụng phát

triển tư duy của môn toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic

mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản Môn Toán đòi hỏi

học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động này

Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ Các phẩm chất trí tuệ

quan trọng cần rèn luyện cho học sinh là: Tính linh hoạt; tính độc lập; tính sáng tạo

Tuy nhiên, trong khuôn khổ luận văn chúng tôi sẽ tập trung vào nghiên cứu việc rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ cơ bản và phát triển một

số năng lực tư duy vì các hoạt động trí tuệ cơ bản có mối quan hệ hữu cơ với các năng lực tư duy toán học

1.2.4.1 Một số thao tác hoạt động trí tuệ

a Phân tích và tổng hợp

Phân tích là thao tác tư duy nhằm tách đối tượng toán học thành những

bộ phận, những dấu hiệu và thuộc tính, những liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định, nhờ đó mà nhận thức đầy đủ, sâu sắc và trọn vẹn

về đối tượng toán học ấy

Tổng hợp là một thao tác tư duy trong đó chủ thể tư duy dùng trí óc hợp nhất những bộ phận của đối tượng toán học đã được phân tích thành một chỉnh thể nhằm nhận thức đối tượng toán học bao quát và đầy đủ hơn

b Trừu tượng hóa

Trừu tượng hóa là thao tác tư duy mà chủ thể chỉ tập trung chú ý vào những tính chất cơ bản nhất, đặc trưng nhất, thuộc và chỉ thuộc lớp đang nghiên cứu Tách chúng ra khỏi những tính chất không cơ bản và không quan tâm đến những tính chất không cơ bản đó

c Khái quát hóa

Khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm bao quát các đối tượng toán học khác nhau thành một nhóm hoặc một lớp trên cơ sở chúng có một thuộc tính chung bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật sau khi gạt bỏ những thành phần khác Kết quả của khái quát hóa cho ra một đặc tính chung của hàng loạt đối tượng toán học cùng loại

1.2.4.2 Tư duy phê phán

a Khái niệm tư duy phê phán

Tư duy phê phán có nhiều cách định nghĩa

- Tư duy phê phán (critical thinking) là tư duy có suy xét, cân nhắc, đánh giá và liên hệ mọi khía cạnh các nguồn thông tin với thái độ “hoài nghi tích cực” dựa trên những tiêu chuẩn nhất định để đưa ra các thông tin phù hợp nhất nhằm giải quyết vấn đề

- Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, ý tưởng, giả thuyết, từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin, và lý lẽ nhằm đưa ra nhận định về sự việc, ra quyết định, và hình thành cách ứng xử của mỗi cá nhân

- Tư duy phê phán là năng lực phân tích sự việc, hình thành và sắp xếp các ý tưởng, bảo vệ ý kiến, so sánh, rút ra các kết luận, đánh giá các lập luận, giải quyết vấn đề

- Tư duy phê phán là kỹ năng tìm hiểu và đánh giá những quan sát, giao tiếp, thông tin và lý lẽ

- Tư duy phê phán là quá trình vận dụng trí tuệ tích cực và khéo léo để khái quát, ứng dụng, phân tích, tổng hợp và đánh giá thông tin thu thập hay phát sinh từ quan sát, kinh nghiệm, nhận xét, lập luận hoặc giao tiếp, như đường dẫn đến sự tin tưởng và hành động

- Tư duy phê phán là quá trình xác định thận trọng, kỹ lưỡng việc có thể chấp nhận, từ chối hay nghi ngờ về sự việc và mức độ tin cậy trước khi chấp nhận hay từ chối

Từ những định nghĩa trên có thể tổng hợp lại:

Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, ý tưởng, giả thuyết từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin, và lý lẽ nhằm mục đích xác định đúng – sai, tốt

– xấu, hay – dở, hợp lý – không hợp lý, nên – không nên, và rút ra quyết định, cách ứng xử cho mình

b Biểu hiện của năng lực tư duy phê phán

- Biết suy xét, cân nhắc, liên hệ các kiến thức, kinh nghiệm

- Có khả năng đề xuất các câu hỏi

- Đánh giá tính hợp lý của các cách đặt, giải quyết vấn đề

- Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau

- Có khả năng đưa ra các quyết định

- Có khả năng nhận ra các thiếu xót, sai lầm

- Có khả năng sửa chữa sai lầm

1.2.4.3 Tư duy sáng tạo

a Khái niệm tư duy sáng tạo

Có nhiều cách định nghĩa tư duy sáng tạo

- Tư duy sáng tạo là tư duy tạo ra những hình ảnh, những ý tưởng, những sự vật mới và chưa có từ trước

- Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

- Tư duy sáng tạo là sự nhạy bén trong việc nhận ra các vấn đề, các thiếu hụt trong kiến thức, các bất hợp lý trong các thông tin hiện có, tìm cách giải, dự đoán, biểu đạt giả thuyết về vấn đề cần giải quyết

- Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phưu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thử nghiệm, sự thám hiểm

- Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị

Từ những định nghĩa trên có thể tổng hợp lại:

Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo

và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

b Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học thì cấu trúc của tư duy sáng tạo có năm đặc trưng cơ bản sau:

+ Tính mềm dẻo (Flesibility)

Tính mềm dẻo, linh hoạt là khả năng chủ thể biến đổi thông tin, kiến thức đã tiếp thu được một cách dễ dàng nhanh chóng từ góc độ và quan niệm này sang góc độ và quan niệm khác, chuyển đổi sơ đồ tư duy có sẵn trong đầu sang một hệ tư duy khác, chuyển từ phương pháp tư duy cũ sang hệ thống phương pháp tư duy mới, chuyển đổi từ hành động trở thành thói quen sang hành động mới, gạt bỏ sự cứng nhắc mà con người đã có để thay đổi nhận thức dưới một góc độ mới, thay đổi cả những thái độ đã cố hữu trong hoạt động tinh thần trí tuệ Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo có các đặc trưng nổi bật sau:

- Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động trí tuệ phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

- Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc

độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan

hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến

thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

+Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của

ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm

và đề xuất được nhiều phương án khác nhau từ đó tìm được phương án tối ưu

- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau,

có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

+ Tính độc đáo (Originality)

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng:

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới;

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài; liên tưởng như không có liên hệ với nhau;

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác + Tính hoàn thiện (Elaboration)

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành

động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng

+ Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibility)

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề;

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ

đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Ngoài ra còn có những yếu tố quan trọng khác như: tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa lại

1.2.4.4 Mối quan hệ giữa tư duy phê phán và tư duy sáng tạo

Tư duy phê phán và tư duy sáng tạo đều thuộc tư duy bậc cao, đều là một dạng của tư duy độc lập Tư duy sáng tạo chủ yếu tạo ra các ý tưởng và giải pháp mới, còn tư duy phê phán chủ yếu đánh giá các ý tưởng và giải pháp

ưu điểm của cách giải quyết đồng thời tìm ra điều bất hợp lý trong cách giải quyết đó Để khác phục điều bất hợp lý đó, chúng ta vận dụng tư duy sáng tạo

để có ý tưởng mở rộng hướng suy nghĩ, đề xuất ra các phương án giải quyết Sau đó lại vận dụng tư duy phê phán để xem xét, đánh giá, lựa chọn phương

án tốt nhất, biến các ý tưởng đó thành hành động thực tế, từ đó tiến hành hoạt động có tính sáng tạo một cách hiệu quả, trôi chảy Như vậy, tư duy sáng tạo đưa ra các ý tưởng mới, các cách giải quyết mới và đòi hỏi tư duy phê phán phải xem xét, cân nhắc, đánh giá để chọn ra giải pháp mới tốt hơn ở mức cao hơn Cứ như thế, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo đan xen vào nhau

Kết hợp tư duy phê phán và tư duy sáng tạo tạo nên một hệ phương pháp tư duy rất hữu hiệu

1.3 Dạy học nội dung phương trình vô tỉ ở trường THPT

1.3.1 Cấu trúc chương trình

Trước khi học về phương trình ở THPT học sinh đã được làm quen, thực hành với những kiến thức liên quan đến phương trình và dần làm việc với chúng và từng loại thích ứng với yếu tố đã học Khái niệm phương trình chính thức học sinh được học từ lớp 8 và được ôn tập củng cố, chính xác hóa lại kiến thức đó ở lớp 10, đồng thời nâng cao dần cho học sinh

8 + Phương trình bậc nhất một ẩn

+ Phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức + Phương trình có chứa hệ số chữ + Giải bài toán bằng cách lập phương trình + Bất phương trình bậc nhất một ẩn

+ Hai phương trình tương đương

9 + Hệ phương trình tương đương

+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn + Phương trình bậc hai một ẩn + Một số phương trình quy về bậc hai

10 Học sinh được ôn lại những kiến thức về phương trình và bất

phương trình, đồng thời đưa ra kiến thức nâng cao dần cho học sinh

+ Phương trình hệ quả + Phương trình có chứa tham số

+ Định nghĩa bất phương trình, các phép biến đổi tương đương đối với bất phương trình

+ Giải bất phương trình bậc nhất, bậc hai

11 + Phương trình lượng giác – Hệ phương trình lượng giác

+ Bất phương trình lượng giác – Hệ bất phương trình lượng giác

12 + Phương trình – Hệ phương trình mũ và lôgarit

+ Bất phương trình – Hệ bất phương trình mũ và lôgarit

1.3.2 Thực tiễn dạy học nội dung phương trình vô tỉ tại trường THPT Ngô Quyền

Để thấy được thực trạng dạy và học nội dung phương trình vô tỉ trong các trường THPT ở Hải Phòng, chúng tôi điều tra mẫu trên trường THPT Ngô Quyền và tiến hành điều tra hai đối tượng là giáo viên và học sinh Quá trình điều tra thu được kết quả như sau:

a Điều tra giáo viên

Bảng 1.1 Đội ngũ giáo viên toán của trường THPT Ngô Quyền

Đại học

Trên Đại học

Trung bình

Khá Giỏi

Qua điều tra trên cho thấy một số giáo viên có thâm niên công tác lâu năm nên có những kinh nghiệm nhất định trong công tác giảng dạy Do đó trình độ các bước lên lớp và phương pháp dạy bộ môn đều nắm vững Tuy nhiên, cũng có giáo viên trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy

Qua thăm dò thực tế về nội dung và việc dạy phương trình vô tỉ của giáo viên trường THPT Ngô Quyền chúng tôi thu được kết quả như sau:

Bảng 1.2 Đánh giá về nội dung “Phương trình vô tỉ” trong chương trình

b Điều tra học sinh

môn Toán Không hứng

thú

2

Đánh giá môn Toán

“Phương trình vô tỉ”

tư duy sáng tạo, tư duy phê phán Bước đầu tìm hiểu thực tế dạy học nội dung

“Phương trình vô tỉ” để phát triển một số năng lực tư duy cho học sinh

CHƯƠNG 2 BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN MỘT SỐ

NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

2.1 Rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ

Việc bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa…, trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng Rèn luyện cho học sinh những hoạt động đó là khâu quan trọng nhất trong dạy học tư duy toán học

2.1.1 Phân tích và tổng hợp

Trong mọi khâu của quá trình dạy học, giải toán, khai thác lớp các bài toán, năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng chúng Các quá trình phân tích và tổng hợp là tổ hợp những thao tác tư duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ là những dạng khác nhau của quá trình phân tích, tổng hợp

Tư duy dù ở hình thức nào đi chăng nữa cũng không thể tiến hành được nếu như không có phân tích và tổng hợp Vì vậy, để rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh, chúng ta cần coi trọng việc rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp Đó là những thao tác trái ngược nhau, nhưng chúng lại có một mối quan hệ chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình thống nhất

2.1.1.1 Phân tích đề toán

Khi giải toán, trước tiên phải nhìn bao quát bài toán một cách tổng hợp, xem bài toán thuộc loại gì, phân tích cái đã cho và cái phải tìm Phải biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung, nhưng lại phải biết nhìn bài toán trong từng hoàn cảnh cụ thể Việc giải bài toán đòi hỏi học sinh phải biết phân tích các trường hợp khác nhau của nó, chia bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ,

giải các bài toán nhỏ và kết hợp lại thành bài toán lớn Trong nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết phân tích các yếu tố đã cho để nhận biết đặc điểm riêng rồi tổng hợp lại để từ đó rút ra cách giải

Về bản chất, hoạt động phân tích các giả thiết của bài toán, kết luận của bài toán nhằm tách bài toán đó thành một chuỗi hữu hạn các bài toán nhỏ đã biết cách giải Hoặc bài toán được chuyển thành bài toán khác đã biết cách

giải Như vậy, cái đích của phân tích là “quy lạ về quen”

để khi bình phương lên có thể triệt tiêu hết x ở ngoài dấu căn?

Tiếp tục quan sát phương trình ta nhận thấy các biểu thức dưới dấu căn có liên hệ là (x3)(2 )2x (2x2)(3x1) tức là nếu đưa x  và 2 x 3

(x1)  0 x1.

Thử lại, x  thỏa mãn bài toán 1

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x  1

x x



 và x  về một vế còn 3 x  và 12

1

x  x về một vế thì khi bình phương hai vế của phương trình ta sẽ khử

được hoàn toàn dấu căn Từ đó ta có lời giải sau:

Lời giải Điều kiện xác định x   1

Viết lại phương trình (2) dưới dạng

3

21

* Nhận xét: Nếu phương trình dạng: f x( ) g x( ) h x( ) k x( ) thỏa mãn: f x( )h x( )g x( )k x( ) hoặc f x h x( ) ( )g x k x( ) ( ), thì biến đổi phương trình về dạng: f x( ) h x( )  k x( ) g x( ) sau đó bình phương hai vế của phương trình được phương trình hệ quả, giải phương trình hệ quả này và thử lại nghiệm ở phương trình ban đầu

Ví dụ 3 (xem [19]) Giải phương trình sau

8x 1 3x5  7x4 2x2 (3)

Phân tích: Ta có thể chuyển vế và bình phương tuy nhiên đối với phương trình (3) thì cách này khá phức tạp và dễ gây nhầm lẫn Quan sát biểu thức dưới dấu căn ta thấy rằng (8 x1)(7x4) và (3 x5)(2x2) có nhân tử chung là

3

x  , do đó ta mới nghĩ đến việc nhóm 8 x  với 71 x 4 và 3 x  với 5

2x  rồi nhân với biểu thức liên hợp tương ứng để có được 2

( 8x1) ( 7x4) và ( 3x5)2 ( 2x2)2 Từ đó ta có lời giải sau:

Lời giải Điều kiện xác định 5

x  nên phương trình được biến đổi tương đương về dạng:

x 3 0x3

Vậy nghiệm của phương trình là x 3

2.1.1.2 Phân tích và tổng hợp trong kỹ năng phân chia các trường hợp

Hoạt động phân chia trường hợp trong giải toán được thực hiện trên cơ

sở phân tích và tổng hợp Đồng thời dạng hoạt động phân chia trường hợp trong giải toán cũng chứa đựng các yếu tố phân tích và tổng hợp

Ví dụ 4 (xem [19]) Giải phương trình

Lời giải Điều kiện xác định x   1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x3,x 1

Nhận xét: i, Trên cơ sở phân chia các trường hợp riêng lẻ, học sinh tổng hợp

lại để có lời giải cho bài toán

ii, a2  a và chỉ được phép bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi đã biết rõ dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

TH1: x  1 là một nghiệm của phương trình (5)

TH2: x 1, phương trình (5’) trở thành:

Bình phương hai vế ta được: 2 x2  x 2 6 x

Phương trình được biến đổi tương đương về dạng:

x

x x x

Bình phương hai vế ta được: 2 1x  x 2  6 x 0.

Phương trình vô nghiệm vì 2 1x  x 2 6 x0,   x 7

Vậy nghiệm của phương trình là x 1,x2

.0

2 x2a2 a22 x

Phương trình được biến đổi tương đương về dạng:

2 2

ax

2 4 2 2

+ Với a 0 hoặc 0a2, phương trình vô nghiệm

+ Với a  , phương trình có nghiệm 0 x  0

+ Với a 2, phương trình có nghiệm 1( 2 4)

4

2.1.1.3 Phân tích bài toán thành các bài toán đơn giản

Không chỉ tập luyện cho học sinh biết phân tích tìm tòi hướng giải và tổng hợp để có lời giải mà chúng ta cần tập luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán đã cho thành các bài toán đơn giản hơn sau đó tổng hợp để giải bài toán ban đầu

Ví dụ 7 (xem [19]) Giải phương trình

x x( 1) x x( 2) 2 x2 (7)

Phân tích: Hai vế của phương trình có nhân tử chung là x, do đó tương tự như

ví dụ 5 ta có thể xét phương trình trên các khoảng xác định dựa vào điều kiện của bài toán

Lời giải Điều kiện xác định

120

x x x

* Với x = 0: là một nghiệm của phương trình

Phân tích: Ta thấy 2x2 x  thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta có 1

thể giải như sau:

Lời giải

* Nếu 2 2 1 1, 1

2

x   x x x  thì hai vế của phương trình bằng nhau

* Nếu 2x2x 1 2x2 1 x2 Khi đó, VT < VP nên phương trình vô nghiệm

* Nếu 2x2x 1 2x2 1 x2 Khi đó, VT > VP nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình (8) có nghiệm là 1, 1