(Luận văn thạc sĩ) dạy học phương trình vô tỷ ở trường trung học phổ thông theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Giả thuyết nghiên cứu Trên cơ sở lí luận của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thực tiễn dạy học phương trình vô tỷ ở trường THPT, nếu khai thác và vận dụng được quy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI – 2016

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô trường Trung học phổ thông Phụ Dực, Thái Bình đã tạo điều kiện để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Tập thể các em học sinh lớp 12A1, 12A2 và 12A3 khóa 2013 – 2016 của Trường THPT Phụ Dực, Thái Bình đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình thực nghiệm sư phạm, để có thể kiểm tra được tính khả thi và hiệu quả của đề tài luận văn

Sự quan tâm giúp đỡ của gia đình và bạn bè, đặc biệt là lớp cao học Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán K10 Trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, là nguồn động viên cổ vũ to lớn và tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm tháng học tập và thực hiện đề tài

Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2016

Tác giả

Lê Thị Khiêu

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ v

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ vi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Một số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy học PH&GQVĐ 4

1.1.1 Thuật ngữ và lịch sử nghiên cứu vấn đề 4

1.1.2 Những khái niệm cơ bản 5

1.1.3 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 7

1.2 Thực trạng dạy và học giải phương trình vô tỷ ở trường THPT hiện nay15 1.2.1 Mục đích điều tra 15

1.2.2 Phương pháp điều tra 15

1.2.3 Kết quả điều tra 16

1.2.4 Nhận xét chung 17

1.3 Kết luận chương 1 18

Chương 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PT VÔ TỶ CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 19

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ năng nhận biết, tương tự hóa, khái quát hóa

trong giải bài tập toán thông qua hệ thống bài tập cơ bản và điển hình 19

2.1.1 Cơ sở của biện pháp 19

2.1.2 Hệ thống kiến thức về phương trình cơ bản 20

2.1.3 Các phương pháp giải phương trình vô tỷ 23 2.2 Biện pháp 2: Tăng cường cho học sinh cách tìm nhiều lời giải cho một

bài toán 56

2.2.1 Cơ sở của biện pháp 56

2.2.2 Các ví dụ minh họa 57

2.3 Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi PH&GQVĐ trong giải phương trình vô tỷ 65

2.3.1 Cơ sở của biện pháp 65

2.3.2 Các ví dụ minh họa 67

2.4 Kết luận chương 2 80

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 82

3.1 Mục đích thực nghiệm 82

3.2 Nội dung thực nghiệm 82

3.3 Tổ chức thực nghiệm 82

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 82

3.3.2 Thời gian thực nghiệm 82

3.3.3 Nội dung thực nghiệm 83

3.4 Kết quả kiểm tra 98

3.5 Kết luận chương 3 99

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 101

TÀI LIỆU THAM KHẢO 102

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Trang Bảng 3.1 Thống kê và phân tích số liệu kết quả bài kiểm tra 30 phút 97 Bảng 3.2 Thống kê và phân tích số liệu kết quả bài kiểm tra 45 phút 98

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Trang

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ giải quyết vấn đề 10

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nền giáo dục Việt Nam đang trong một quá trình đổi mới căn bản kéo theo sự đổi mới toàn diện chương trình giáo dục phổ thông theo định hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh; phù hợp với xu thế phát triển

chung của thế giới Trong đó có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Với tốc độ phát triển của nền kinh tế xã hội, đòi hỏi lớp người lao động mới phải nhạy bén nắm bắt tình hình, đó chính là khả năng phát hiện vấn đề, sau đó nhanh chóng vận dụng tri thức, kinh nghiệm… đưa ra các giải pháp thích hợp để giải quyết vấn đề đó

Thông qua các môn học trong nhà trường, người giáo viên cũng cần hình thành cho học sinh năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, từ đơn giản đến phức tạp Con đường để học sinh nắm bắt được tri thức phải là con đường thầy trò cùng đồng hành, cùng tìm hiểu và khám phá tri thức Người thầy giống như một người bạn lớn, với kiến thức, phương pháp, kinh nghiệm… của bản thân, giúp cho học sinh đến với tri thức một cách tự nhiên, tạo cho học sinh cảm giác như bản thân mình là người tìm ra tri thức đó.Có như vậy mới khắc phục được lối dạy truyền thụ tri thức một cách thụ động, tạo hứng thú học tập cho người học

Môn Toán là một môn khoa học cơ bản song tương đối khó Ngay từ

bé, trong tâm trí của mọi người đều coi môn Toán là môn học chính, đánh giá một học sinh có học giỏi hay không đều thông qua khả năng học toán Điều

đó gây ra một áp lực không hề nhẹ lên người học là phải học tốt môn Toán dù

có thích hay không và học bằng mọi cách Để giúp học sinh yêu thích môn Toán, không áp lực trong giờ học, trước hết người giáo viên phải thay đổi phương pháp dạy học để kích thích được niềm đam mê toán học, không còn là gánh nặng cho học sinh mỗi khi đến tiết học Toán

Vì vậy, dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những phương pháp dạy học tích cực, đảm bảo được các yêu cầu

nêu trên và khắc phục được những nhược điểm của phương pháp dạy học truyền thống

Chủ đề “Phương trình vô tỷ” là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình toán phổ thông Các em học sinh đã được làm quen từ cấp 2 và lên cấp 3 được hoàn thiện hơn về kiến thức cũng như kĩ năng giải phương trình vô tỷ Nội dung của chủ đề này được nêu trong sách giáo khoa lớp 10, được vận dụng thường xuyên trong các lớp trên, và cũng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học

Để nâng cao kĩ năng giải phương trình vô tỷ, phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho người học; nên tôi đã chọn đề tài này, để nghiên cứu kĩ lưỡng hơn nữa về phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, giúp cho bản thân mình nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, nâng cao chất lượng dạy và học

4 Giả thuyết nghiên cứu

Trên cơ sở lí luận của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề, thực tiễn dạy học phương trình vô tỷ ở trường THPT, nếu khai thác và vận dụng được quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học một

số phương pháp giải phương trình vô tỷ thì sẽ phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc học tập bộ môn Toán ở THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, các tài liệu có liên quan…

5.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Quan sát tiến trình dạy học, thái độ học tập của học sinh trong các giờ học toán

Phỏng vấn và phát phiếu điều tra đối với giáo viên tổ toán và học sinh khối 10 và khối 12

Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên môn Toán ở trường Trung học phổ thông

5.3 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng phương pháp thống kê và phân tích thống kê trong xử lý kết quả thực nghiệm sư phạm

5.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tiến hành dạy học theo phương pháp mới ở một vài lớp hoặc nhóm, có lớp đối chứng là lớp vẫn dạy học theo phương pháp truyền thống

6 Cấu trúc của Luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và mục lục, nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp nhằm phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học giải phương trình vô tỷ ở trường Trung học phổ thông

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy học PH&GQVĐ

1.1.1 Thuật ngữ và lịch sử nghiên cứu vấn đề

Trong hệ thống các phương pháp dạy học hiện đại có một phương pháp dạy học, đôi khi được gọi tên là “dạy học nêu vấn đề”, hay tên là “Dạy học giải quyết vấn đề” Vì vậy chúng ta cần giải thích rõ các khái niệm này Theo Nguyễn Bá Kim, thuật ngữ “ dạy học nêu vấn đề” có nhược điểm sau: Một là, nó có thể dẫn tới suy nghĩ lầm tưởng là vấn đề thầy cô giáo nêu theo ý mình chứ không theo logic bên trong của tình huống Hai là, ta có thể hiểu nhầm, kiểu dạy học này chỉ dừng nêu ra vấn đề chứ không nói rõ vai trò của học sinh trong việc giải quyết vấn đề Thuật ngữ “ dạy học giải quyết vấn đề” khắc phục được nhược điểm thứ hai nhưng vẫn còn mắc nhược điểm thứ nhất Vì vậy, thuật ngữ “ phát hiện và giải quyết vấn đề” khắc phục cả hai nhược điểm trên, thuật ngữ này phản ánh rõ được bản chất của phương pháp dạy học PH&GQVĐ hiện nay

Theo Lerner thì thuật ngữ “ dạy học nêu vấn đề” ra đời chưa được bao lâu, việc nghiên cứu sâu và rầm rộ tư tưởng này cũng bắt đầu chưa lâu, nhưng các tư tưởng đó dưới những tên gọi khác nhau đã tồn tại trong giáo dục học từ nhiều năm nay Đó là Xocrat (46 – 399 TCN), người đã thực hiện tư tưởng này trong các buổi thuyết trình của mình Trong các buổi tranh luận, ông không bao giờ kết luận trước

mà luôn để mọi người tự tìm ra cách giải quyết

Trong những thập kỉ 60 – 70 của thế kỉ XX, phương pháp dạy học này được nhiều nhà giáo dục học quan tâm, trên cả bình diện thực nghiệm rộng rãi ở nhiều môn học khác nhau cho nhiều lứa tuổi khác nhau Đặc biệt công trình nghiên cứu của Okon, Danhilov, Xcatkin, Tubinstein, Macchuskin, Kudriavse Ở Việt Nam, trong thời kì này, phương pháp dạy học cũng có những ảnh hưởng và tác động đáng

kể tới quá trình đổi mới phương pháp dạy và học ở trường phổ thông, bởi những công trình nghiên cứu của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu

Đặc biệt trong những năm gần đây, trước những thách thức mới của yêu cầu phát triển xã hội, của việc cải cách giáo dục theo hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh, trong đó có năng lực PH&GQVĐ, thì việc đổi mới phương

pháp dạy học là yêu cầu cần thiết, nhằm đáp ứng được những mục tiêu giáo dục mới đặt ra

Nói tóm lại, phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một phương pháp có hiệu quả và được coi như là một trong những hướng ưu tiên trong định hướng về đổi mới phương pháp giáo dục

1.1.2 Những khái niệm cơ bản

1.1.2.1 Vấn đề

Một vấn đề (đối với người học) được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh

đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thỏa mãn các điều kiện sau:

- Câu hỏi còn chưa được giải đáp (hoặc yêu cầu hành động còn chưa được thực hiện)

- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra, đồng thời, theo Okon, trong mỗi vấn đề phải có cái chưa biết và cái đã biết, và phải có điều kiện quy định bởi mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết và yếu tố chưa biết đó

Một bài toán ở thời điểm này là một vấn đề nhưng ở thời điểm khác nó không phải là một vấn đề nữa, hoặc ở cùng một thời điểm, bài toán là vấn đề với học sinh này nhưng lại không phải là vấn đề với học sinh khác Chẳng hạn như hai bài toán sau:

 Bài toán 1 Giải phương trình: 𝑥 + 4 + 6 − 𝑥 = 4 (𝑥 + 4)(6 − 𝑥)

 Bài toán 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

4 6 4 ( 4)(6 )

x   x x x m

Bài toán 1 là vấn đề khi học sinh vừa được học xong khái niệm về phương trình vô tỷ nhưng không là vấn đề nữa khi học sinh đã được học về các phương pháp giải phương trình vô tỷ Bài toán 2 là vấn đề đối với học sinh trung bình yếu, nhưng không là vấn đề với học sinh khá giỏi sau khi đã biết các phương pháp giải phương trình vô tỷ

1.1.2.2 Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề, theo Nguyễn Bá Kim, là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả

năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một quy tắc tính chất toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thỏa mãn những điều kiện sau:

- Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được mọi khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua.Nói cách khác, phải tồn tại một vấn đề theo nghĩa ở trên, tức là học sinh chưa giải đáp được và cũng chưa có một quy tắc

có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi nảy sinh trong tình huống

- Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề, nhưng nếu học sinh thấy

nó xa lạ, không muốn tìm hiểu thì đây cũng không phải là tình huống gợi vấn đề Trong tình huống gợi vấn đề, học sinh cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó, tốt nhất là tình huống gây được “cảm xúc”, làm cho học sinh cảm thấy ngạc nhiên, thấy hứng thú, và mong muốn giải quyết vấn đề đó

- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề đó tuy có hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy khả năng của mình không vượt qua được dù

cố gắng đến đâu đi nữa, thì đó cũng không phải là tình huống gợi vấn đề Vậy ta cần làm cho học sinh tin tưởng vào bản thân, tuy ngay lập tức chưa có lời giải nhưng nếu vận động suy nghĩ một chút, dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh có thể giải quyết được vấn đề, làm cho hoạt động học trở nên tích cực và đầy thú vị

Ví dụ Sau khi học các phương pháp giải phương trình vô tỉ, giáo viên yêu cầu học

sinh giải phương trình sau (Trích đề thi TSĐH Khối B - 2010)

3𝑥 + 1 − 6 − 𝑥 + 3𝑥2 − 14𝑥 − 8 = 0 Tình huống này thỏa mãn 3 điều kiện của một tình huống gợi vấn đề:

-Tồn tại một vấn đề: Học sinh phải giải phương trình, nhận dạng phương trình xem

nó quen thuộc với dạng cơ bản nào và vận dụng cách giải nào vào đây

- Tình huống tạo cho học sinh nhu cầu giải vì hai lí do: thứ nhất nhìn bài toán khá hay, đề bài đơn giản không cồng kềnh, thứ hai đó là bài toán trong đề thi đại học, học sinh muốn giải được để khẳng định mình

- Với sự hỗ trợ của máy tính giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình tìm ra lời giải, khiến cho học sinh tin tưởng là mình có thể giải được

1.1.3 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1.3.1 Cơ sở khoa học của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

• Cơ sở triết học

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là nguồn gốc, động lực thúc đẩy quá trình phát triển.Trong quá trình học tập của học sinh luôn luôn xuất hiện mâu thuẫn Đó là mâu thuẫn giữa yêu cầu, nhiệm vụ nhận thức với tri thức, kinh nghiệm sẵn có của bản thân Tình huống này phản ánh một cách logic và biện chứng quan hệ bên trong giữa tri thức cũ đối với yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế

• Cơ sở tâm lí học

Theo các nhà tâm lí học thì con người chỉ tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là đứng trước một khó khăn trong nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống có vấn đề Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề

• Cơ sở giáo dục học

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tích cực,

tự giác, vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề Dạy học PH&GQVĐ cũng biểu hiện sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất Những tri thức mới (đối với học sinh) được kiến tạo nhờ quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề Tác dụng phát triển năng lực trí tuệ của kiểu dạy học này là ở chỗ học sinh được học cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời, dạy học PH&GQVĐ cũng góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tích cực, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra

1.1.3.2 Thế nào là phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề được hiểu là quá trình dạy học bao gồm việc tạo ra tình huống gợi vấn đề trong giờ học, kích thích ở học sinh nhu cầu giải quyết vấn đề nảy sinh, lôi cuốn các em vào hoạt động nhận thức tự lực nhằm nắm vững kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mới, phát triển tính tích cực của trí tuệ và hình

thành cho các em các năng lực tự mình thông hiểu và lĩnh hội thông tin khoa học mới

Như vậy theo Ôkon, quá trình dạy học này có thể bao gồm các hành động sau:

- Tổ chức các tình huống có vấn đề, phát hiện vấn đề và đặt vấn đề để học sinh giải quyết vấn đề

- Giúp đỡ học sinh những điều cần thiết để giải quyết vấn đề

- Kiểm tra cách giải quyết đó và nghiên cứu lời giải để hệ thống hóa, củng cố những kiến thức đã được tiếp thu

Tương ứng với các bước hành động của giáo viên, hành động học tập cơ bản của học sinh là: phát hiện được vấn đề nảy sinh trong tình huống gợi vấn đề, học sinh độc lập giải quyết vấn đề dưới sự điều khiển của giáo viên, thực hiện sự liên tưởng, nhớ lại, liên kết chúng với nhau để củng cố kiến thức đã học Mục đích cuối cùng của học sinh là nắm vững tri thức và học được cách thức tự khám phá tri thức

1.1.3.3 Đặc điểm của phương pháp dạy học PH&GQVĐ

Trong dạy học PH&GQVĐ, thầy giáo tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác tích cực để giải quyết vấn

đề và thông qua đó lĩnh hội được tri thức, rèn luyện được kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác Dạy học PH&GQVĐ có những đặc điểm cơ bản sau:

- Học sinh được đặt vào tình huống có vấn đề chứ không phải được cung cấp tri thức một cách thụ động, máy móc và có sẵn

- Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo, huy động hết khả năng của mình

để PH&GQVĐ, chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

- Làm cho học sinh không chỉ phát triển được kĩ năng, lĩnh hội được tri thức, phát triển năng lực giải quyết vấn đề mà còn học được việc học

1.1.3.4 Những cách thức của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Tùy theo mức độ độc lập hoạt động của học sinh mà chúng ta có các cách thức của dạy học theo phương pháp PH&GQVĐ như sau:

Thứ nhất là: Tự nghiên cứu vấn đề Trong cách thức này, tính độc lập của học sinh

được phát huy cao độ, giáo viên chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học tự PH&GQVĐ đó Tức là trong cách thức này, người học độc lập phát hiện ra vấn đề

và độc lập thực hiện các khâu của quá trình PH&GQVĐ, giáo viên đóng vai trò giám sát, kiểm tra và đánh giá

Thứ hai là: Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề Ở đây, học sinh làm việc không

hoàn toàn độc lập mà có sự hướng dẫn, dẫn dắt, gợi ý của giáo viên, thông qua những câu hỏi của giáo viên và những câu trả lời hoặc hành động đáp trả tương ứng của học sinh Trong cách thức này, có sự đan kết, đan xen, thay đổi hoạt động của giáo viên và học sinh dưới hình thức vấn đáp Tuy nhiên ta cần phân biệt hình thức này với phương pháp dạy học vấn đáp Nét quan trọng của phương pháp PH&GQVĐ không phải ở những câu hỏi mà ở tình huống gợi vấn đề Trong giờ học, giáo viên có thể đặt nhiều câu hỏi, nhưng nếu các câu hỏi này chỉ yêu cầu tái hiện tri thức đã học thì đó không phải là dạy học PH&GQVĐ Ngược lại, trong một

số trường hợp, việc PH&GQVĐ của học sinh chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không phải nhờ vào câu hỏi của giáo viên

Thứ ba là: Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề Ở cách thức này, mức độ

độc lập của học sinh thấp hơn hai cách thức trên.Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn

đề, sau đó chính giáo viên phát hiện ra vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải) Trong quá trình đó, có bước tìm tòi dự đoán, có lúc thành công, có lúc thất bại, phải điều chỉnh phương hướng mới

đi đến kết quả Như vậy, tri thức được trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà trong quá trình người ta khám phá ra chúng, quá trình này là một quá trình mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực sự Cách thức này được dùng nhiều hơn

ở THPT và Đại học

1.1.3.5.Các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Qua việc nghiên cứu những đặc điểm của phương pháp dạy học GQVĐ ta thấy hạt nhân của phương pháp dạy học này là việc điều khiển HS tự thực hiện hoặc hòa nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề Quá trình này được chia làm năm bước sau:

 Bước 1: Phát hiện vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy giáo tạo ra

- Xác định các yếu tố, nhận biết câu hỏi, đọc được hình ảnh…

 Bước 2: Khám phá vấn đề

- Giải thích và chính xác hóa tình huống

- Phát biểu vấn đề và đặt ra mục tiêu giải quyết vấn đề

 Bước 3: Lâ ̣p chiến lược và phương pháp giải quyết vấn đề

- Tìm cách giải quyết vấn đề Việc này thường được thực hiện theo trình tự sau: + Phân tích vấn đề, tức là làm rõ mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm + Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, thường sử dụng các cách: quy lạ

về quen, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi, Việc thực hiện hướng giải quyết vấn đề có thể được thực hiện nhiều lần đến khi tìm được hướng đi hợp lí

+ Hình thành được một giải pháp

+ Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp

- Có thể tìm thêm nhiều giải pháp khác để so sánh xem giải pháp nào là hợp lí nhất

 Bước 4: Trình bày lời giải

- Vẽ hình, tưởng tượng, tính toán, suy luận logic, …

 Bước 5: Nghiên cứu sâu vấn đề ( đánh giá và mở rộng vấn đề)

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất vấn đề mới có liên quan

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ giải quyết vấn đề

Phát hiện vấn đề

Giải thích sơ đồ 1.1 như sau:

- Khi phân tích vấn đề cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm Trong môn Toán, ta thường dựa vào những tri thức toán đã học, liên tưởng đến những định nghĩa, định lý, tính chất, công thức… thích hợp

- Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, cùng với việc thu thập, tổ chức

dữ liệu, huy động tri thức, thường hay sử dụng những phương pháp kĩ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua những trường hợp suy biến,tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét các mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi… Phương pháp được đề xuất không phải là bất biến, trái lại có thể điều chỉnh, thậm chí bác bỏ hoặc chuyển hướng khi cần thiết Khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm được hướng đi hợp lý

- Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp

- Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp đó có đúng hay không

- Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng

- Sau khi đã tìm được một giải pháp, có thể tìm kiếm các giải pháp khác (theo sơ đồ trên), so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất

1.1.3.6 Các kĩ thuật tạo tình huống gợi vấn đề

Để thực hiện việc dạy học PH&GQVĐ thì việc đầu tiên là tạo tình huống gợi vấn đề Nhiều giáo viên cho rằng, việc dạy học theo phương pháp PH&GQVĐ tuy hay nhưng khá khó trong việc tạo tình huống có vấn đề, đặc biệt là môn Toán Sau đây là một số cách tạo tình huống gợi vấn đề phổ biến, dễ áp dụng trong các môn khoa học tự nhiên, trong đó có môn Toán

- Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc )

Ví dụ Xuất phát từ bài toán thực tế: Nhà hai bạn A và B ở hai bên đường ray, hỏi có

cách nào đi từ nhà bạn này đến nhà bạn kia mà không phải vượt qua đường ray hay không? Từ đó dẫn dắt học sinh vào bài học sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình

- Lật ngược vấn đề

- Xem xét tương tự

- Khái quát hóa

- Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải

- Tìm sai lầm trong lời giải

Trong môn Toán, nhất là trong các bài toán giải phương trình vô tỷ, học sinh rất hay mắc những lỗi sai nhỏ dẫn đến kết quả sai, vì vậy giáo viên có thể xuất phát từ những lỗi sai nhỏ của một bài toán để giúp học sinh phát hiện vấn đề và tìm cách khắc phục hoặc tự bản thân rút kinh nghiệm để không mắc phải những lỗi sai đó

- Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

1.1.3.7 Những ưu điểm, nhược điểm của phương pháp dạy học PH&GQVĐ

• Ưu điểm

- Phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một phương pháp dạy học tích cực Nó phát huy tính tích cục, chủ động sáng tạo của học sinh Phương pháp dạy học này phù hợp với tư tưởng hiện đại về đổi mới mục tiêu và phương pháp dạy học, cũng rất phù hợp với yêu cầu của thực tiễn, là xây dựng và đào tạo những con người biết đặt

và giải quyết vấn đề trong cuộc sống phù hợp với hệ giá trị chuẩn mực, những con người thực sự là động lực cho sự phát triển bền vững và nhanh chóng của đất nước

- Phương pháp dạy học PH&GQVĐ có thể kết hợp nhiều hình thức tổ chức lớp học một cách đa dạng và phong phú, lôi cuốn học sinh tham gia cùng tập thể, động não, tranh luận, dưới sự hướng dẫn gợi mở của giáo viên như thảo luận nhóm, báo cáo

và trình bày

- Kết quả của phương pháp dạy học PH&GQVĐ: Tri thức mới được HS thu nhận môt cách sâu sắc, vững chắc, nhớ lâu Nhưng quan trọng hơn HS biết cách tiến hành phương pháp chiếm lĩnh tri thức và đánh giá được kết quả của bản thân và của người khác Thông qua đó, các năng lực cơ bản được hình thành trong đó có năng lực vận dụng tri thức để giải quyết vấn đề thực tiễn một cách linh hoạt và sáng tạo

• Hạn chế

Mặc dù có nhiều ưu điểm nhưng hiện nay, phương pháp dạy học PH&GQVĐ còn chưa được nhiều giáo viên sử dụng và cũng chưa thường xuyên Đó là do phương pháp này vẫn tồn tại một số hạn chế sau:

- Trong thực tế, để thực hiện đúng quy trình của phương pháp dạy học PH&GQVĐ, giáo viên khó thực hiện vì không có điều kiện về thời gian Giáo viên phải thiết kế bài dạy rất công phu và cần có nội dung phù hợp

- Về phía học sinh cần có trình độ nhận thức nhất định, đồng thời phải có tính độc lập và tự giác, tự học cao

- Trình độ giáo viên không đồng đều, không đáp ứng được các yêu cầu của phương pháp này như giáo viên không lường trước được các tình huống có thể xảy ra, trả lời không thỏa đáng các trường hợp mà học sinh nêu ra…

- Cơ sở vật chất không đáp ứng được nội dung bài dạy

1.1.3.8 Dạy học PH&GQVĐ trong môn toán và định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

• Vận dụng phương pháp PH&GQVĐ trong môn Toán ở trường THPT hiện nay

Việc vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ trong môn Toán, theo Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc có nghĩa là phải tổ chức việc dạy học toán sao cho các em luôn đứng trước những tình huống có vấn đề mang tính chất toán học, phải giải quyết, phải luôn luôn tìm tòi và phát hiện ra vấn đề, sáng tạo ra những con đường để giải quyết vấn đề đó (tự rút ra công thức, tự chứng minh định lý, tự tìm ra cách ghi nhớ một cách tích cực những kiến thức cần lĩnh hội,

tự tìm ra thuật toán giải bài toán điển hình, tự tìm ra cách giải hay ngắn gọn….) Kết quả là học sinh lĩnh hội được kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mới đồng thời học cách tự khám phá

Khi vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong môn toán cần phải chú ý hình thành

và rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản, đặc biệt là các thao tác tương

tự hóa, khái quát hóa, tổng quát hóa Khi vận dụng dạy học PH&GQVĐ cũng cần chú ý vận dụng quan điểm “dạy học toán là dạy học các hoạt động Toán học”

• Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Hiện nay chúng ta đang dần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hình thành và phát triển các năng lực cần thiết cho học sinh, trong đó có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực không chỉ chú ý đến tích cực hóa học sinh về mặt hoạt động trí tuệ mà còn chú ý rèn luyện năng lực giải

quyết vấn đề gắn với những tình huống của cuộc sống, nghề nghiệp, gắn hoạt động trí tuệ với hoạt động thực hành, thực tiễn, phát triển năng lực xã hội cho học sinh

Những định hướng chung về tổng quát đổi mới giáo dục theo hướng phát triển năng lực là:

- Phát huy tính tính cực, tự giác, chủ động của học sinh, hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin…), trên cơ sở đó chau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập sáng tạo của tư duy

- Khi sử dụng phương pháp dạy học chung hay phương pháp dạy học đặc thù của môn học phải đảm bảo nguyên tắc “ học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức học tập với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”

- Tùy theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà chọn lựa những hình thức tổ chức dạy học thích hợp như học cá nhân, học nhóm, học trên lớp, học ở ngoài lớp…, cần đảm bảo thực hiện tốt các giờ thực hành để rèn luyện kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng thú học tập của học sinh

- Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy học tối thiểu môn học đã quy định, tích cực vận dụng công nghệ thông tin trong dạy học

Việc đổi mới phương pháp dạy học của giáo viên được thể hiện qua bốn đặc trưng

cơ bản sau:

- Dạy học thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập, từ đó giúp học sinh tự khám phá những điều chưa biết, chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức được sắp đặt sẵn Giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động như: Nhớ lại kiến thức đã có, phát hiện kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã có vào các tình huống thực tế

- Chú trọng rèn luyện cho học sinh những tri thức, năng lực, phương pháp để giúp

họ có được: phương pháp đọc sách và biết cách tìm lại kiến thức đã có; biết cách suy luận để tìm tòi, phát hiện kiến thức mới; biết dự đoán đề xuất các phương án giải quyết vấn đề đặt ra… Cần hình thành cho học sinh các thao tác tư duy và hình thành phát triển các tiềm năng sáng tạo ở các em

- Tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập tập thể, theo phương châm “tạo điều kiện cho học sinh nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn và thảo luận nhiều hơn” Như vậy mỗi học sinh vừa cố gắng tự lực một cách độc lập, vừa hợp tác chặt chẽ với

nhau trong quá trình tiếp cận, phát hiện và tìm tòi kiến thức mới Lớp học trở thành môi trường giao tiếp của từng cá nhân, của tập thể trong giải quyết các nhiệm vụ học tập chung

- Chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài học trong suốt quá trình học tập thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp học) Chú trọng phát triển kĩ năng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của học sinh dưới nhiều hình thức khác nhau

Như vậy sự đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực, đã chứa đựng các yếu tố, nét đặc trưng cơ bản của định hướng dạy học tích cực và phương pháp dạy học tích cực trong đó có phương pháp PH&GQVĐ Dạy học PH&GQVĐ có khả năng góp phần tích cực thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng trên Sử dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ không đòi hỏi phải có

sự thay đổi lớn về cơ chế trường lớp, bài học, cơ sở vật chất hay trình độ của giáo viên hiện nay Phương pháp dạy học này cũng tỏ ra phù hợp khi vận dụng vào những tình huống cụ thể trong dạy học môn Toán

Vì vậy có thể coi phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một trong những hướng quan trọng để đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay

1.2 Thực trạng dạy và học giải phương trình vô tỷ ở trường THPT hiện nay

1.2.1 Mục đích điều tra

- Tìm hiểu phương pháp dạy của giáo viên, phương pháp học của học sinh trong dạy

và học giải phương trình vô tỷ ở trường THPT

- Tìm hiểu những khó khăn của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học giải phương trình vô tỷ

- Tìm hiểu những sai lầm phổ biến của học sinh khi giải phương trình vô tỷ

- Trên cơ sở đó, tôi đề xuất nguyên nhân của khó khăn, sai lầm, để làm cơ sở cho việc soạn một số bài dạy giải phương trình vô tỷ bằng việc áp dụng phương pháp PH&GQVĐ theo hướng tích cực hóa

1.2.2 Phương pháp điều tra

Để thực hiện mục đích trên, chúng tôi đã tiến hành:

- Điều tra giáo viên: trao đổi trực tiếp với giáo viên Dự giờ một số giờ dạy của các giáo viên khác

- Điều tra học sinh: Trao đổi trực tiếp với học sinh khối 10, 11, 12 của trường THPT Phụ Dực, Tỉnh Thái Bình

1.2.3 Kết quả điều tra

a Tình hình dạy học của giáo viên trường THPT Phụ Dực:

• Ưu điểm:

- Trường nằm trong trung tâm huyện Quỳnh Phụ nên có điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy học, có đủ phòng học cho mỗi lớp một phòng, có phòng học bộ môn

- Nhà trường có trang bị máy chiếu cho một số phòng bộ môn phục vụ cho giáo viên dạy giáo án điện tử, kết nối Internet giúp giáo viên và học sinh học tập và chia

sẻ thông tin, kinh nghiệm

- Nhà trường đạt chuẩn quốc gia, có nề nếp dạy và học, tập thể nhà trường đoàn kết

- Hiệu trưởng, cũng như Ban giám hiệu nhà trường nhiệt tình và quản lí tốt

- Trường tham gia đầy đủ các cuộc thi học sinh giỏi tỉnh và có đạt giải trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán

- Các thầy cô giáo bộ môn toán có trình độ đạt chuẩn và trên chuẩn, được tập huấn nâng cao trình độ chuyên môn hàng năm theo chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo Có nhiều giáo viên có kinh nghiệm lâu năm, có năng lực, yêu nghề; hàng năm

có nhiều giáo viên đạt giáo viên giỏi cấp tỉnh

- Các thầy cô giáo có nghiệp vụ sư phạm tốt Cùng với đặc thù môn Toán, hầu hết giáo viên có hệ thống bài tập phát triển tư duy tốt, biết sử dụng các phương tiện dạy học hiện đại vào trong bài giảng

• Nhược điểm:

- Nhà trường có đội ngũ giáo viên tương đối trẻ, nhiệt tình, song có ít kinh nghiệm, khả năng xử lý trong giờ dạy chưa tốt, hệ thống câu hỏi chưa rõ, chưa chuẩn xác, chưa có điểm dừng để học sinh tư duy, chưa có kinh nghiệm sửa sai lầm cho học sinh khi học sinh mắc các sai lầm trong quá trình học tập…

- Trong bài soạn của giáo viên đều có sự phân dạng bài tập, từ dễ đến khó, phân chia các loại bài tập để áp dụng các phương pháp khác nhau Tuy nhiên, giáo án vẫn còn sơ sài, giáo viên chỉ soạn tóm tắt cách giải mà không soạn chi tiết phần dự đoán một số cách giải của học sinh, chưa soạn dự đoán các sai lầm của học sinh, cho nên

chưa thật chủ động trong giờ lên lớp Việc soạn giáo án cẩn thận và tỉ mỉ rất quan trọng và cần thiết, nhất là đối với lớp giáo viên trẻ chưa nhiều kinh nghiệm

- Mặc dù là trường trong thị trấn nhưng các học sinh đại đa số ở các xã lên học, các

em gặp khó khăn hơn về điều kiện vật chất, ít được sự quan tâm của gia đình hơn Tức là trong trường có sự phân biệt khá lớn giữa các học sinh với nhau về tất cả các mặt, gây khó khăn không nhỏ cho giáo viên trong quá trình giảng dạy

- Nhiều học sinh khi được hỏi đều cho rằng phần giải phương trình vô tỷ là một phần khó, dẫn đến tâm lí lo sợ khi học phần này

1.2.4 Nhận xét chung

Để phát huy những ưu điểm và khắc phục những mặt hạn chế trên , tôi xin mạnh dạn đưa ra một số phương án khắc phục sau:

Thứ nhất, đối với giáo viên, nhà trường cần tạo điều kiện cho các giáo viên được

học hỏi, trao đổi kinh nghiệm trong nhà trường cũng như ngoài nhà trường Các giáo viên trẻ cần học hỏi kinh nghiệm của lớp giáo viên đi trước Đối với bài soạn,

giáo viên cần soạn bài kĩ lưỡng hơn, trao đổi thông tin cho nhau về bài soạn, trong các buổi sinh hoạt chuyên môn

Thứ hai, đối với học sinh, cần tác động từ từ để thay đổi cách nghĩ của các em đối

với phần giải phương trình vô tỷ, xây dựng hệ thống bài tập từ dễ đến khó, đồng thời áp dụng những phương pháp dạy học tích cực để giúp các em học tập tốt phần này

1.3 Kết luận Chương 1

Trong chương này, luận văn đã đưa ra các cơ sở khoa học của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, đã phân tích được những ưu điểm, nhược điểm của phương pháp PH&GQVĐ trong quá trình dạy học môn Toán và nhận thấy rằng: phương pháp dạy học PH&GQVĐ là phương pháp dạy học tích cực, nó đáp ứng được một số yêu cầu về vấn đề dạy học và tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh

Chương 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PT VÔ TỶ CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ năng nhận biết, tương tự hóa, khái quát hóa trong giải bài tập toán thông qua hệ thống bài tập cơ bản và điển hình

2.1.1 Cơ sở của biện pháp

Nhằm cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập cơ bản và điển hình cũng như các cách giải phương trình vô tỷ, tôi xây dựng biện pháp 1 này dựa theo cơ sở lý luận của phương pháp PH&GQVĐ, với các bài tập được trình bày theo 4 bước cụ thể, và hệ thống bài tập tương tự để giúp học sinh rèn luyện khả năng nhận biết, phân tích, phán đoán,… tìm ra lời giải nhanh chóng và chính xác

Trong phần này giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình theo 4 bước của phương pháp PH&GQVĐ như sau:

• Bước 1: Phát hiện vấn đề và khám phá vấn đề

- Nhận dạng phương trình: Trong phương trình có căn bậc 2 hay căn bậc 3, có bao nhiêu số hạng

- Liên hệ với phương trình vô tỷ cơ bản ở điểm nào

- Có thấy phương trình quen thuộc hay không

• Bước 2: Chọn chiến lược và phương pháp giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ đưa về phương trình cơ bản: Biến đổi phương trình về dạng phương trình cơ bản, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự (quy lạ về quen), một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được, hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để tìm ra cách giải tối ưu

• Bước 3: Trình bày giải pháp:

- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình theo các bước, trình tự hợp logic và không bỏ sót điều kiện

• Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

- Phát triển bài toán ở mức cao hơn

2.1.2 Hệ thống kiến thức về phương trình cơ bản

2.1.2.1 Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

• Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0

- Nếu a ≠ 0 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất: 𝑥 = −𝑏

𝑎

- Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình vô số nghiệm

Biệt thức: ∆’ = (b’)2 – a.c (nếu b là số chẵn thì b’ = b/2)

∆’ < 0 Phương trình không có nghiệm thực

Ta thu được phương trình: (x - xo) g(x) = 0

Trong đó: g(x) là phương trình bậc hai một ẩn

- Một số kết quả:

Kết quả của g(x) Kết luận

TH1: g(x) không có nghiệm thực Phương trình (1) có 1 nghiệm x = xoTH2: g(x) có 1 nghiệm kép ≠ xo Phương trình (1) có 2 nghiệm thực

TH3: g(x) có nghiệm kép = xo Phương trình (1) có 1 nghiệm bội 3 TH4: g(x) có 2 nghiệm phân biệt ≠ xo Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt TH5: g(x) có 2 nghiệm phân biệt trong

đó có 1 nghiệm = xo

Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt

2.1.2.3 Phương trình bậc 4

Một số phương trình bậc 4 cơ bản và cách giải:

Các dạng phương trình cơ bản Phương pháp giải

Viết lại phương trình dưới dạng:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑐) (𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑑) = 𝑒 Đặt t = 𝑥2 + 𝑎 + 𝑐 𝑥

Ta được phương trình: (t + ac)(t + bd) = e

Dạng 3:

𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑑

= 𝑒𝑥2Với điều kiện: 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑

2.1.2.4 Phương trình vô tỷ cơ bản

2.1.3 Các phương pháp giải phương trình vô tỷ

Sau đây, chúng ta cùng xét một vài phương pháp thường gặp để giải PT vô tỷ

2.1.3.1 Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa

Phương pháp nâng lên lũy thừa là một trong số những phương pháp mà học sinh được làm quen sớm nhất khi giải phương trình vô tỷ.Vì vậy đó có thể coi là phương pháp nền tảng, phương pháp đầu tiên học sinh có thể nghĩ đến khi đứng trước một phương trình vô tỷ Từ bài toán đơn giản cho đến bài toán khá phức tạp, khi nâng lên lũy thừa nhằm mục đích triệt tiêu hết căn thức, sau khi nâng lên lũy thừa ta thu được phương trình bậc cao mà phân tích được thành phương trình tích, thì có nghĩa là bài toán đã được giải quyết

Dưới đây là một số ví dụ vận dụng phương pháp nâng lên lũy thừa nhằm phát triển năng lực PH&GQVĐ của học sinh

• Bước 3: Chọn chiến lược và phương pháp giải:

Áp dụng phương trình cơ bản bình phương 2 vế với điều kiện 2 vế không âm

• Bước 4: Trình bày giải pháp

- Học sinh trình bày lời giải theo phương trình cơ bản như sau:

• Bước 5: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Phương trình ban đầu chưa có dạng cơ bản mà có dạng 𝐴 − 𝐵 = 0 thì ta chuyển

• Bước 1+2: Phát hiện và khám phá vấn đề: học sinh tự nhận ra được những vấn đề

sau:

- Phương trình không còn dạng cơ bản ban đầu, phương trình có 2 căn bậc hai, nếu bình phương để mất căn thì phải bình phương 2 lần

- Cần tìm điều kiện trước khi giải phương trình

• Bước 3: Chọn chiến lược và phương pháp giải

- Học sinh thử sai, thực hiện bình phương 2 lần

- Trong quá trình giải cần chú ý điều kiện:

• Bước 4: Trình bày giải pháp

Điều kiện: 4x2 − 7x − 2 ≥ 0

x2 − x + 1 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≤−14

𝑥 ≥ 2

Điều kiện kéo theo: Do VT(1) ≥0 nên VP(1) ≥0 2

• Bước 5: Nghiên cứu sâu giải pháp

Phát biểu phương trình dưới dạng khác nhau như:

Giải phương trình: 4x2 − 7x − 2 − 2 x2 − x + 1 + 1 = 0

Ví dụ 3 Giải phương trình

2 3x + 1 − x − 1 = 2 2x − 1 (1)

Phân tích: Phương trình có dạng cơ bản 𝐴 − 𝐵 = 𝐶, ta đặt điều kiện, chuyển

vế sao cho 2 vế đều không âm và bình phương 2 vế để đưa về dạng 𝐴 = 𝐵

Đối chiếu với điều kiện, phương trình có 1 nghiệm x = 5

kĩ thì thấy cần thay 𝐴3

+ 𝐵3 = 𝐶3 vào rồi lập phương tiếp Học sinh cần kiểm tra

lại kết quả sau khi tìm ra được hết x vì từ đầu đến cuối không phải là biến đổi tương

+ Thay x = -1 vào phương trình (1) không thỏa mãn ⇒ x = -1 (loại)

+ Thay x = 0 vào phương trình (1) thỏa mãn ⇒ x = 0 (nhận)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 0

Ví dụ 5 Giải phương trình

10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2 (1)

Phân tích: Nhận dạng phương trình cơ bản 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 với A+C= B+D

Tức là 10x + 1+ 2x – 2 = 3x – 5 + 9x + 4 = 12x – 1 Nên ta chuyển vế đưa phương trình về dạng 𝐴 − 𝐶 = 𝐷 − 𝐵 rồi điều kiện 2 vế không âm để bình phương 2

vế Do quá trình bình phương cần điều kiện 2 vế không âm nên ta chỉ cần ghi điều kiện ra, sau đó dùng cách thử nghiệm để loại nghiệm ngoại lai

Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau

Biểu thức Biểu thức nhân liên hợp Biểu thức thu được

3

A B AB 𝐴 ± 𝐵3

Phân tích bài toán và hướng tư duy tìm tòi lời giải

- Nắm chắc các dạng liên hợp để tìm mối quan hệ giữa bài toán với các bài toán

cơ bản hoặc quen thuộc

• Bước 3: Chọn chiến lược và phương pháp giải

- Khi loại bỏ cách nâng lên lũy thừa và dò được một nghiệm thì nghĩ ngay đến nhân liên hợp

Giả sử giải phương trình: 𝑓(𝑥) − 𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 = 0

- Nếu f(x) – g(x) có nhân tử chung với h(x) ⇒ Nhân liên hợp trực tiếp

- Nếu f(x) – g(x) không có nhân tử chung với h(x), mà dò được một nghiệm xo

ta làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Thay x = xo vào 𝑓(𝑥) và 𝑔 𝑥 thu được 2 giá trị a; b

+ Bước 2: Thêm bớt để có lượng liên hợp

𝑓 𝑥 − 𝑎 − 𝑔 𝑥 − 𝑏 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑕 𝑥 = 0 + Bước 3: Thực hiện nhân liên hợp đưa phương trình về dạng tích

+ Bước 2: Làm tương tự đối với 𝑔 𝑥

+ Bước 3: Thêm bớt và nhóm để nhân liên hợp

𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) − 𝑔 𝑥 − 𝑐𝑥 + 𝑑 + 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑐𝑥 + 𝑑 + 𝑕 𝑥 = 0 + Bước 4: Nhân liên hợp rồi giải phương trình tích thu được

• Bước 4: Trình bày giải pháp

- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm theo một trình tự logic, khoa học

- Không được bỏ qua điều kiện và thận trọng khi sử dụng dấu “⇔” và “⇒”

• Bước 5: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

- Phân tích bài toán ở mức cao hơn

b Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải phương trình

3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 1 (1)

Phân tích: Phát hiện dạng 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 = 𝑕 𝑥 mà f(x) – g(x) = h(x) nên nhân

liên hợp trực tiếp, ta có lời giải sau:

Kết hợp (1), (2) ta có hệ phương trình: 3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 1

3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3 = 1 Cộng vế hai phương trình trên ta được: 2 3𝑥 + 2 = 2 ⇔ 3𝑥 + 2 = 𝑥

vào phương trình ban đầu thấy thỏa mãn

Kết luận: Vậy phương trình có 1 nghiệm là 3 17

2

x 

Kết hợp (1), (2) ta được hệ phương trình:

2𝑥2 + 𝑥 + 9 + 2𝑥2 − 𝑥 + 1 = 𝑥 + 4 2𝑥2 + 𝑥 + 9 − 2𝑥2− 𝑥 + 1 = 2 Cộng vế của hai phương trình trên ta được:

2 2𝑥2 + 𝑥 + 9 = 𝑥 + 6

⇔ 𝑥 + 6 ≥ 0

4 2𝑥2 + 𝑥 + 9 = 𝑥2 + 12𝑥 + 36

⇔ 𝑥 ≥ −6 7𝑥2 − 8𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0

𝑥 = 8/7 Thay x = 0; x = 8/7; x = - 4 vào phương trình (1) ta thấy x = -4 không thỏa mãn Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = -8/7