Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 10 năm học 2011-2012 – Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 10 năm học 2011-2012 được biên soạn bởi Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Đề chính thức) hỗ trợ các em học sinh khối 10 trong quá trình ôn luyện, nâng cao kiến thức môn Toán. Mời các bạn cùng tham khảo!

      S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Ở Ụ Ạ

H I DẢ ƯƠNG KÌ THI CH N H C SINH GI I T NH Ọ Ọ Ỏ Ỉ

L P 10 THPT NĂM H C 2011 – 2012 Ớ Ọ

MÔN THI : TOÁN ­ Vòng 2

Th i gian làm bài: ờ 180 phút

(Đ  thi g m 01 trang) ề ồ

Câu 1 (2 đi m)ể

a) Cho hàm s  và hàm s  . Tìm ố ố m đ  đ  th  các hàm s  đó c t nhau t i haiể ồ ị ố ắ ạ  

đi m phân bi t và hoành đ  c a chúng đ u dể ệ ộ ủ ề ương

b) Gi i b t phả ấ ương trình: 

Câu 2 (2 đi m)ể

a) Gi i phả ương trình: 

b)  Gi i phả ương trình:  

Câu 3 (2 đi m)ể

a) Trong m t ph ng t a đ    cho đi m . Đặ ẳ ọ ộ ể ường th ng  ẳ d  qua  M,  d  c t tr cắ ụ   hoành t i ạ A(hoành đ  c a  ộ ủ A dương), d c t tr c tung t i ắ ụ ạ B(tung đ  c a  ộ ủ B 

dương). Tìm giá tr  nh  nh t c a di n tích tam giác ị ỏ ấ ủ ệ OAB.

b) Trong m t ph ng t a đ   cho đặ ẳ ọ ộ ường tròn (C): và đi m . Để ường th ng quaẳ  

A,  c t  ắ (C) t i  ạ M và N. Tìm giá tr  nh  nh t c a đ  dài đo n th ng ị ỏ ấ ủ ộ ạ ẳ MN.

Câu 4 (3 đi m)ể

a) Ch ng minh r ng t  giác l i ứ ằ ứ ồ ABCD là hình bình hành khi và ch  khi .ỉ

b) Tìm t t c  các tam giác ấ ả ABC th a mãn:  (trong đó ỏ AB=c; AC=b; đường cao 

qua A là ).

Câu 5 (1 đi m)ể

Cho a, b, c là các s  th c dố ự ương . Ch ng minh r ng:ứ ằ

2 2 3

y x=y = − ++ 2mx x −3 m

2 8 12 10 2

3 3 3 3

2

x − +x − =x

2

2x −11x+23 4= x+1

Oxy(1;4)

M

Oxy

(x−2)A+ +(1; 2)∆∆(−y 3) =9

AB +BC +CD +DA = AC +BD

2 2 2

a

h =b h a +c

( ) ( ) ( )

( )

2

2a 2b 2c 3 a b b c c a

Đ  THI CHÍNHỀ  

TH CỨ

………H t……….ế

Họ   và   tên   thí   sinh:………Số   báo   danh:

………

Ch   ký   c a   giám   th   1:……….Ch   ký   c a   giám   th   2:ữ ủ ị ữ ủ ị

………

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG D N CH M MÔN TOÁNẪ Ấ

KÌ THI CH N H C SINH GI I T NHỌ Ọ Ỏ Ỉ

L P 10 THPT NĂM H C 2011 – 2012Ớ Ọ

1 a

Tìm m:  và  c t nhau t i hai đi m phân bi t và hoành đ  dắ ạ ể ệ ộ ương 1,00 Yêu c u bài toán PT sau có hai nghi m dầ ệ ương phân bi tệ

0,25

0,25 0,25

K t h p nghi m, k t lu n ế ợ ệ ế ậ 0,25

N u thì , b t phế ấ ương trình nghi m đúng v i m i x: ệ ớ ọ 0,25

2 2 3

y x=y= − ++2mx x −3 m

2 2 3 2 3 2 2( 1) 3 3 0

' 0 3( 1) 0 2( 1) 0

m m

∆ >

�

1 ' 0

4

m m

> −

∆ >

< −

4

m< −

2 8 12 10 2

2 8 12 0 2 6

5< x 6

2 8 12 0 10 2

− + 5−< x 6 > −

2

10 2 0

8 12 0

x x

−

2 8 12 4 2 40 100

�5 2 48 112 0 4 28

5

K t h p nghi m, trế ợ ệ ường h p này ta có: ợ

T p nghi m c a bpt đã cho: ậ ệ ủ 0,25

2 a

Đ t . (1) có d ng:  Khi đó nghi m c a (1) là x  ng v i (x;y) làặ ạ ệ ủ ứ ớ  

nghi m c a (I)ệ ủ

0,25

 TH1: y = ­x k t h p(2), có nghi m c a (1): ế ợ ệ ủ

0,25

TH2: . N u có nghi m thì . Tế ệ ương t  cũng có. Khi đó VT (2) . ự

Ch ng t  TH2 vô nghi m. KL (1) có 1 nghi m ứ ỏ ệ ệ

0,25 b

Gi i phả ương trình:   1,00

. V y pt đã cho có 1 nghi m x=3ậ ệ 0,25

3 a . Đg th ng ẳ d qua M, d c t tr c hoành t i ắ ụ ạ A; d c t tr c tung t i ắ ụ ạ B. 

Tìm giá tr  nh  nh t c a di n tích tam giác ị ỏ ấ ủ ệ OAB() 1,00

Gi  s  A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đả ử ường th ng AB:ẳ 0,25

(4;6]

4<x 5

3 3 3 3

2

x − +x − =x

3

y3= x 3− +x

3

( )

I

− + =

3 3

3 3

3 3

2 2 3(2) ( )(2 2 2 1) 0(3)

3 3 4

x= −

2x −2xy+2y − = ∆ = −1 0; '2 x 2 3y

3

3

x

3

� �

� �

� �

3 3 4

x= −

2

2x −11x+23 4= x+1

1

x −

2 (1)�2(x −6x+ + + −9) (x 1 4 x+ + =1 4) 0

2(x−3) +( x+ −1 2) =0

2 0( )

a 3 0∀a

1 2 0

x x

− = + − =

3

x=

� (1;4)

M; A B 0

x y >

1

x y

a b+ =

1 4 1 1 2 4 1 16

Di n tích tam giác vuông OAB( vuông   O)là S. V y S nh  nh t ệ ở ậ ỏ ấ

b ng 8 khi ằ d qua A(2;0), B(0;8)

0,25

b

( C): ;. qua A,  c t  ắ (C) t i  ạ M và N. Tìm giá tr  nh  nh t c a đ  dàiị ỏ ấ ủ ộ  

 (C) có tâm I(2;­3), bán kính R=3. Có A n m trong đằ ường tròn(C) 

K  IH vuông góc v i MN t i H ta có ẻ ớ ạ 0,25

V y MN nh  nh t b ng  khi H trùng A hay MN vuông góc v i IAậ ỏ ấ ằ ớ  

t i Aạ

0,25

4 a Ch ng minh r ng t  giác l i ứ ằ ứ ồ ABCD là hình bình hành khi và chỉ 

T  giác l i ABCD là hình bình hành ứ ồ 0,25

0,25

(*)

( vì )

0,25

0,25 0,25

(*)(Đpcm)

(  Chú ý: n u ch  làm đ c 1 chi u thì cho 0,75 đ) ế ỉ ượ ề

0,25

4

b

Tìm t t c  các tam giác ABC th a mãn: (1) ấ ả ỏ

1,5

2

1 4 1 8;" "

8

a ab

b

a b

=

= = =

=

2OA OB 2ab

(x−2)A+ +(1; 2)∆∆(−y 3) =9

2 (1 2)2 ( 2 3)2 2 9

2 2 2 9 2 4 2 4(9 2)

IH +HN =IN = �MN = HN = −IH

2

IH2 4(9 2) 28AH= IH IA ⊥ 2 7

2 7

AB +BC +CD +DA =AC +BD

0

AB DC= AB DC− =

� uuur uuur� uuur uuur r

0

AB DC− =

�2 uuur uuur2 2 0

AB +DC − AB DC=

�uuur uuur uuur uuur

2 2 2 ( ) 0

AB +DC − AB AC AD− =

� uuur uuur uuur

2 2 ( 2 2 2) ( 2 2 2) 0

AB +DC − AB + AC −BC + AB +AD −BD =

�

a br r− =ar − a b br r r+ � a b ar r r= + − −br a br r

AB +BC +CD +DA =AC +BD

2 2 2

a

h =b +c

Có  0,25

0,25

0,25 0,25

V y tam giác ABC vuông   A ho c có ậ ở ặ

0,25

5

1,00

0,25

Vì ; 

0,25

Làm hoàn toàn tương t  v i hai bi u th c còn l iự ớ ể ứ ạ

Suy ra M (Đpcm); “=” 

0,25

a 2 sin

a h = S bc= A

2 2 2 2 2 2

sin

a

h =b c A b c=

�

2 2 4 2

b + =c R

�sin2B+sin2C =1

�

1 cos2− B+ −1 cos2C =2

��cos2B+cos2C =0 2cos(B C+ )cos(B C− ) 0=

�

2

B C

π

− =

2

B C− = π

( ) ( ) ( )

( )

2

2a 1 2b 1 2c 1

b c − + c a − + a b− =

a b a c b c b a c a c b

(a b)( ) (b c)( ) (c a)( )

1 (b c c a+ )( + )

(a b 2 )c > (2a 2b 2 )c = (a b c)

2 (a b− ) 0 2 2

2

a b

−

( ) ( ) ( )

( )

2

a b c

+ +

a b c= =

�

Hình v  câu 3b:ẽ

L u ý:ư  H c sinh làm theo cách khác đúng v n cho đi m t i đa ọ ẫ ể ố

H

A

N M

I