Biểu diễn số nguyên tố bởi các dạng toàn phương bậc hai nguyên

Định nghĩa va mO ta vanh so' nguyên đai so' cua trương Q 4m Chương 2: Tính Euclidê cua vanh cac so' nguyên đai so' bạc hai.. Chung toi nghiên cưu khi nao vanh so' nguyên đai so' bạc hai

* * *

NGUYỄN HUYNH NGỌC XỤÁN

-MUC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 1

Mục lục 2

Mở đầu 3

Chương 1: Kiến thức cở bần 4

1.1 Ky hiếu Lếgrendrế 4

1.2 Ky hiếu Jacobi 10

1.3 vanh cac so ngụyến đai so 11

Chương 2: Tình Euclidế cua vanh cac so' ngụyến đai so bậc hai 14

2.1 Miến Euclidế 14

2.2 Ví dụ vế miến Euclidế 15

2.3 Ví dụ vế miến khong Euclidế 27

Chương 3: Biếu diếnsố- ngụyến to dươi dang toan phương bạc hai ngụyến 33

3.1 Bo đế 33

3.2 Bo đế 34

3.3 Định ly 36

3.4 Định ly 37

3.5 Định ly 39

3.6 Một so' ham so' hoc 41

Tai liếu tham khao 47

Luạn van gom co 3 chương:

Chương 1: Kiến thưc cơ ban.

Nêu định nghĩa va tính chất cua ky hiêu Lêgêndrê va Jacobi

Định nghĩa va mO ta vanh so' nguyên đai so' cua trương Q (4m )

Chương 2: Tính Euclidê cua vanh cac so' nguyên đai so' bạc hai.

Chung toi nghiên cưu khi nao vanh so' nguyên đai so' bạc hai la miênEuclidê va khOng la miên Euclidê

Chương 3: Biêu diên so' nguyên to' dươi dạng toan phương bạc hai nguyên.

Ap dung chương 1 va chương 2 đê’ xêt xêm khi nao so' nguyên to' p biêudiên đươc dươi dạng toan phương bạc hai nguyên va cho trươc mọt so' n ta

co thê tính đươc bao nhiêu ươc d cua n co thê’ biêu diên đươc va tong cacươc đo

Toi xin gơi lơi cam ơn đên cac thay, co khoa toan trương ĐH Sư phạm TP.HCM

va cac thay co đa tham gia giảng dạy toi trong suOt qua trình hoc tạp Đạc biêt laPGS.TS Mỵ Vinh Quang đa nhiêt tình va danh nhiêu thơi gian đê hương dan, giup đơtoi trong viêc chon đê tai va thực hiên luạn van

Nếu phương trình (1) co nghiem thì ta no a la thang dư bâc hai theo modun p connếu phương trình (1) vo nghiem thì ta noi a la bất thang dư bâc hai theo modun p.

Trong mọt he thang dư thu gon theo modun p co ^21 thang dư bấc hai tương ưngđong dư vơi cấc so' 1, 22 í ^21 1 va ^21 bất thang dư bấc 2

Ví du: Tìm thang dư bâc hai theo modun 5

Í T 2—2}

1 ,2 }

^ 1, 4 la thang dư va 2, 3 la bất thang dư bạc 2 theo modun 5

Tìm thang dư va bất thang dư bâc 2 theo modun 7

{ -2 —2 -2)

1 ,2 ,3 }

^ Thang dư bâc 2 theo modun 7 la 1, 4, 2 va 3, 5, 6 la bất thang dư 2 theo modun 7

Để xết xem phương trình x2 = a (modp), (a;p) = 1 co nghiệm hay khong,

Legendre đa đưa vấo ky hiẹu (p) (ky hiẹu Legendre) được xấc định như sau:

5

-5.

í a 1

* Nếu a la thặng dư bậc 2 theo modun p thì ta co 1 — 1 = 1 hay co x0 sao cho a =

(modp), mạt khấc (xo, p) =1 nến theo định ly Fecma ta co x0 1 =

Ta lai co moi thang dư đeu thoa Z 2 = 1 (modp) bất thang dư đeu khong thoa

Nen a 2 = -1 (modp) (Vì a la bất thang dư theo modun p)

3 ^—I = 1 vôi moi p nguyên to lê.

Chưng minh: That vay, phương trình x2 = 1 (modp) bao giờ cung co nghệim

Hai vế cua đong dư thưc nay chỉ lấy gia trị la 1 hoăc -1 va vì p la so nguyên to le

nen 1 va -1 la khấc lơp nhau theo modun p do đo ta co

tuyệt đối nhố nhất theo modp la am.

7

Ta hay xét day:

a, -a, 2a, -2a pia, -pia

Đó la một hé thặng dư thu gọn théo modp, cac thặng dư gia trị tuyét đôi nhỏ nhấttheo mod p tương ưng la 8 iĩb -8 iĩb S 2r2, -8 2Ĩ2 S pirpi, -8 pirpi

Trong đo cac thang dư nay phai trung vơi cac số i, 2 pi sai khac mọt thư tư, nhưvậy ta co:

ri.r2 rp = i.2 pi = pi! Nhan cac đong dư thức (2) từng vế vơi nhau ta đươc:

Chưng minh: để chưng minh cong thưc nay ta chưng minh:

- Ta xét day cac đang thưc:

Thay kết qua nay vao đang thức (4), ta được:

Ta lai có p la sói nguyên tó lế nến p = 1 (mod2) Lấy đóng dứ thức theo modun 2 hai vếcua (4) ta được :

P 1 +XS

P1 +Xs

8

k 1

kaP

£ ka

= 2 PX X

k = 11_ p

- B + LP

Vậy s 1 + s 2 - 2

ỉ

k 1

kqp

2

+ ỉ

l = 1

Ị p.

9 Nếu p, q là hai sô' nguyên tô' le phân biệt thì ta co

Trong đô cac sô' kq - Ip đô hiẽn nhiẽn không cô sô' nao bang 0

Goi sô' cac sô' dứớng trong đô la s1 va sô' cac sô' am la s2, ta cô:

s 1 + s 2 Mặt khac ta cô s1 la sô' cac sô' l sao cho kq - lp > 0 với k - 1, 2 ^ỵ1 nghĩa la sô'

-p -1

cac sô' l sao cho l < —, k - 1, 2 •p- 1^ s1 - ỉ —

q - 1

Cho p la mót so lẻ lớn hơn 1 va p = pvp2 pr la dang phan tích của p thanh thừa

so ngủyẻn to (pb p2 pr: co thẻ trủng nhaủ) va cho (a, p) = 1 Khi đo ky hiẻủ Jacobiđừơc xac định bơi đang thừc:

+ ỉ

l = 1

Ịpq

Trong đo la ky hiẻủ Lẻgẻndrẻ

6 Nẻu P, Q la hai so lẻ ngủyẻn to củng nhaủ thì ta co:

1.3 Vanh củậ cậc sô' nguyén đậi sô'

1.3.1 Định nghĩậ sô' nguyén đậi sô'

Môt sô' lá môt sô' nguyên đái sô' nêu vá chỉ nêu nô thôá mán trên Q môt phữớngtrình đá thức đớn hê với hê sô' nguyên

1.3.2 Định ly

Nêu d ^ 1 lá môt sô' nguyên không cô nhán tữ bình phữớng thì trông trữớng hớp d

= 2 hôác d = 3 (môd 4) các sô' nguyên đái sô' trông Q ^/d) lá các sô' á + b^/d với các hêsô' lá các sô' nguyên (hữu tỉ) Những nêu d = 1 (môd 4) thì các sô' nguyên củá Q (Vd) lá

Chững minh:

- Nhậnxét:

Nếu á = 1 (môd 2) => á = 2r + 1 ^ á2 = 4r2 + 4r + 1 = 1 (môd 4)

Váy á = 1 (môd 2) => á2 = 1 (môd 4)

á = 0 (môd 2) ^ á2 = 0 (môd 4) thêô môdun 4

Nêu u lá sô' nguyên đái sô' thì các hê sô' 2ấ

,-a—cung phái lá sô' nguyên ^

4db2 => pi |b2 => pi |b (vì d không cô nhàn tử bìnhphửơng).

^ à, b, c cô nhàn tử chung là pi (vô ly vơi càch chon à, b, c)

Vậy c = 2a, a > 0

Tà chứng minh a = 0 V a = 1

Nêu a > 2 thì 4lc, cl2à ^ 4l2à ^ 2là

4lc ^ 16lc2, c2l4db2 ^ 16l4db2 ^ 4ldb2 ^ 2lb2 ^ 2lb

Vậy a, b, c co nhân tử chung là 2 (vô ly)

Vậy a chỉ cô the là 0 hôậc 1 hay c = 1 V c = 2

Nêu c = 2 thì à 2 ~ db = à 2 - db e Z ^ à2 - db2 = 0 (môd 4) ^ à2 = db2 (môd 4)

Nếu b = 1 (môd 2) ^ b2 = 1 (môd 4) tà lài cô d = 2 hôàc d = 3 (môd 4) nên db2= 2 hôàc

db2 = 3 (môd 4)

Dô đô à2 = 2 (môd 4) hôàc à2 = 3 (môd 4) (trài vơi nhàn xêt)

Nếu b = 0 (môd 2) ^ b2 = 0 (môd 4) ^ db2 = 0 (môd 4) mà à2 = db2 (môd 4)

^ à2 = 0 (môd 4) ^ à = 0 (môd 2)

Trửơng hơp này à, b, c cô nhàn tử chung là 2 (vô ly vơi càch chôn à, b, c)

Vày c không thê bàng 2 nên c chỉ cô thê bàng 1

Khi đô u đửơc viết dửơi dàng u = à + b Vỡ

Càc số nguyên đài số trông Q (Vd) là càc số à + b Vỡ ; à, b e Z

Ngửơc lài môi sô dàng à + bVữ; à, b e Z đêu là sô nguyên đài sô trông Q (Vd) vì

nô thôà phửơng trình cô hê sô' nguyên:

x2 - 2àx + à2 - db2 = 0

Nêu c = 1 thì u = à + b Vỡ e Z + Z Vd G Z + Z1 ^^

2Nêu c = 2:

Tà cô: à 2 - db = à 2 -db e Z ^ à2 - db2 = 0 (môd 4) ^ à2 = db2 = b2 (môd 4)

(vì d = 1 (môd 4))

pi |c => pi 2 c2;c2 4db2 => p2

Nêu ạ = 0 (mod 2) ^ ạ2 = 0 (mod 4) ^ b2 = 0 (mod 4) ^ b = 0 (mod 2)

^ ạ, b, c co nhán tư chung lá 2 (vo ly)Nếu ạ = 1 (mod 2) ^ ạ2 = 1 (mod 4) ^ b2 = 1 (mod 4) ^ b = 1 (mod 2)Vạy ạ = b = 1 (mod 2), khi đo cạc sô' nguyên đại sô' trong o/d lạ cạc sô'

ạ + bVd ạ - b ,

-= — + b

(ạ’ = ạ 2 b e Z vì ạ = b = 1 (mod 2); b = b’)

Ngược lại các số a + b^“ , (ạ, b e Z, ạ = b = 1 (mod 2), d = 1 (mod 4))

Vì no thoạ phượng trình hê so' nguyên: x2 - ạx + ■ạ—4““ = 0

(ạ = b = 1 (mod 2) ^ ạ2 = b2 = 1 (mod 4) ^ ạ2 - db2 = 1 - d (mod 4)

ạ2 - db2 = 0 (mod 4) ^ ạ - 4 db e Z)

1+y d2

CHƯƠNG 2:

TÍNH EUCLIDE CỦA VANH CÁC SO NGUYÊN ĐẠI SO BẬC HAI

2.1 Miền Euclide

2.1.1 Định nghĩa hàm Euclide

Cho D là một miền nguyên

Anh Xà ộ: D ^ Z được gội là hàm Euclidê trên D nếu nộ thOà 2 tính chất sau:

là mOt hàm Euclidê trên D

Trong trưông hợp tong quàt, phàn tư q, r trong ii) xàc định khong duy nhất

^ c e U(D) hay a ~ b {U(D) = các phần tử khả nghịch trong D}

2.1.3 Định nghĩa miền Euclide

Cho D la một miến nguyên Nếu D co ham Euclidế ộ(a) thì D được goi la miếnEuclidế vôi ham ộ

Nhạn xết: Miến Euclidế la miến Iđếan chính

^ s bị chan dưôi ^ ton tai phan tư nho nhất

Gia sư ộ (a) = minS

Cho m la so nguyến khong chính phượng

Ham ộ m: Q (Vm) > Q được định nghĩa bôi:

.00 0-00- , 0 0 -

— |-f* Q I vn c I Orcciĩìĩn m/t* li I O T * C 1 IQ I ợ

— ir a + m D s T2rsaDm-m(i b TxrsbaT?

= l(ra + bs)2 - m(rb + sa)2lVậy ộ m(aP) — ộ m (a).ộ m (P)

Cho m la sô' nguyên khong chính phương

Z + Z Vm la miên Euclide vơi ham ộ m nếu va chỉ nếu moi x, y e Q thì tôn tai a,

b e Z sao cho:

ộ m( (x + yvm )-(a + bym) ) < 1

Chưng minh:

(^)

Gia sư Z + Zựm la miên Euclidê vơi ộ m, ta chứng minh vơi moi x, y e Q

ton tai a,b e Z sao cho ộ m( (x + yVm) - (a + bựm) ) < 1

w „ _ cx „ /Z7 _ r + sVm _ ry

V x, y e Q, x + ^/m — —; r, s, t e Z

Vì Z + ^/m la miên Euclidê vơi ộ m ^ 3 a, b, c, d e Z

r + s-s/m — (a + bVm) t + (c + dVm) sao cho: ộ m(c + dVm) < ộ m(t)

(^) Ngược lại nếu mọi x,yeQ thì tồn tại a,beZ: ộ m (x + y vm - (a + b Vm ))<1 ta chứngminh: Z + Z Vm la miến Euclidế:

Ta cồ: ộ m: Z + Zựm ^ N u {0}

i ộ m(aP) > ộ m(a), V p #= 0, a, p e Z + Z Vm

ii V r + s Vm , t + uựm e Z + Z vm ; t + uựm ^ 0

Vì t + uựm #: 0 ^ ộ m(t + uVm) ^ 0 ^ t2 - mu2 ^ 0

Thếồ gia thiết ^ 3 a, b e Z: ộ m(x + yVm -(a + bVm) ) < 1

Đặt c=r-at - bum, d = s - au - bt thì r + s Vm = (a + bựm) (t + uựm) + (c + dVm)

Chồ m la sồÍ nguyến khồng chính phứọng m = 1 (mọd 4) Miến nguyến

la miến Euclidế vôi ham ộ m nếu va chỉ nếu mồi x, y e Q tồn tai a, b e Z

; r, s, t e Z

Ta co: Z + ^/m G Z + Z1 + y^ vì Z + Zí 1 + y^

2 l 2 2la miền Euclide với ham ộ m

(^) Ngứớc lai moi x , y e Q ton tai a, b e Z sao cho :

< 1 Ta chứng minh: Z + Z—2^ la miền Euclide với ộ m.That vay:

That vây, ta co:

2

1 +Vm

2 >

22

Ta co nhận xết: r + s

c = r - ta - bum ' 1 e Z (vì m = 1 (mod 4))

4

d = s - bt - au - bu e ZĐạt

■ựm2

x + yVni - a + bTheo giả thiết ton tại a, b e Z sao cho: ộ m

2.2.6.Định lý

\m2

< ộ m t + u

vm2

x + yy m l

-= ộ m

1 +v m

c + d——

2, 1 + Vm

t + u——

l 2 >

A/m2

(l>- t + u

= ộ m

vm2

(l>- c + d

Ợm2

-Cho m là sô' nguyên âm, không co nhân tử chính phương Khi đó vành các so

nguyên đài số Om cUâ trửơng Q(Vm) là vành Euclidê khi và chỉ khi

Tà chứng minh: Z + Zy/m là miên Euclidê «• m = -1, m = -2

Vơi m = -1, -2, tà chứng minh Z + Zy/m là miên Euclidê.

^ I (x - à)2 < (y - b)2 < 1

Thêo bo đê 2.2.4, Z + Zựm là miên Euclidê vơi m = -1, -2

Ngửơc lài: Z + Z Vm là miên Euclidê Chửng minh m = -1, -2

Thàt vày, tà chon x = y = 1 e Q

Z + /.ựm là miên Euclidê nên co 3 à, b e Z, sào cho:

ộ m(x + yVm - (à + b Vm )) < 1 (bo đê 2.2.4)

Với mọi sô' nguyên a ta luôn co: 2 - a

O Perron (1880-1975), L Redei, R Remak (1888-1942), L Schuster, W.T Sheh vaH.P.F Swinnerton Dye, cuoi cung vào nam 1950, Chatland va Davenport đa đưa ra kếtqua sau:

ly - bl < 1

2xet ộ m(x + y-Tm - (à + bl)) = l(x - à)1 2 - m(y - b)2l

Vì (x - à)2, m(y - b)2 > 0 nền l(x - à)2 - m(y - b)2l < màx{lx - àl2, m(y -b)2

ộ m(x + y-Tm - (à + bVm)) < màx{lx - àl2, m(y -b)2 } < 3 < 1

(y - b)2 < 1

Chon

Z + Z Vm là miền Euclide với m = 2, 3

* Nếu m = 6: Già sử Z + Z Ạ / Ó khong là miền EUclide với Ộ 6

Cọng vế theo vế của - (1) va (3) ta được:

2.3 VÍ DỤ VE VANH O m VỚI m > 0 KHÔNG LÊ MIEN EUCLIDE

2.3.1 Định lý

Cho m lă sô' nguyín dương, không chính phương

Nếu cô 2 sô' nguyín tô' lí p, q khăc nhău sẵ cho:

f m 1 = ( m 1 =

l p ) l q )

Vă 2 số nguyín dương t, u sẵ chô: pt + qu = m, p I t, q I u; số nguyín r sẵ chô r2

= pt (môd m) thì Z + Z Vm không lă miín Euclidí vơi ộ m

Chưng minh: Giă sư ngươc lăi Z + Z Vm lă miín Euclidí vơi hăm ộ m

( m 1 ( mX2 1 ( Y2 Ì_ 1Z „ A „ A

— I = 1 (vô ly)

p )

Vă sô nguyín lí r sẵ chô:

(m - 1)r2 - 4m ( m -1) r2

4m - 4m — 60 - 4.53 — -152

Nên mX2 - Y2 = (m - 1)r2 - 4m

^ p — 19 // (m - 1)r2 - 4m

khong lặ miênEuclidê với

Ộ 53

( m -1) r2

4mVặy Z + Z

2.3.5 Định lý

Cho m là so nguyên dương không chính phương.

a Nếu m = 2 (mod 4) và m > 42 thì Z + Zy/m không là miên Euclidê vơi hàm ộ m

b Nếu m = 3 (mod 4) và m > 94 thì Z + Zy/m không là miên Euclidê vơi hàm ộ m.Chưng minh:

hay X2 - mY2 = 5 (mod 8)

Mà X = t - my la so' nguyên lẻ:

^ X2 = 1 (mod 8) ^ mY2 = 4 (mod 8) «• mY2 = 0 (mod 4)

Nếu Y = 0 (mod 2) ^ Y2 = 0 (mod 4)'

2 khong biểu diên được dang x2 + 5y2 vì khong co x, y e Z: 2 = x2 + 5y2

Trong phan nay, ta sê nghiên cưu xem khi nao thì so nguyên to p biểu diên đượcdưới dang toan phượng bâc 2 nguyên

3.1 BỔ đề

Cho m la so nguyên khong chính phượng sao cho Z + Zy/m la miên Iđêan chính.

p la so nguyên to lê vỢi ky hiêu Lêgêndrê: ^m^ = 1 thì ton tai 2 so nguyên u, v sao

p = uw + vtm + (ut + vw^/m

Vì m lă sô' nguyín không chính phương nín

nín pp = uw + vtm(vì m lă sô' nguyín không chính phương)

= (Ttu + mTUv)2 - m(Tv + Uu)2

= u’2 - mv’2 Trông đô: u’ = Tu + mUv ; v' = Tv + UuNíu m > 0 vă không cô sô' nguyín T, U: T2 - mU2 = -1 thì p = u2 - mv2 hôăc p =-(u2 - mv2)

3.2 BỔ đề

Chô m = 1 (môd 4) lă sô' nguyín không chính phương, sẵ chô

z + Z1 +2™ lă miín Iđíăn chính p lă sô' nguyín tô' lí vơi ^—^ = 1 thì tôn tăi

2 sô' nguyín u, v sẵ chô p = u2 + uv + 2(1 - m)v2 níu m < 0 hôăc níu m > 0 vă cô 2 sô'nguyín T, U sẵ chô: T2 + TU + 2(1 - m)U2 = -1

4

p = u2 + uv + 2(1 - m)v2 hôăc (u2 + uv + 2(1 - m)U2)

44níu m > 0 vă không cô sô' nguyín T, U: t2 + TU + 2(1 - m)U2 = -1

nín

p khong nguyẻn to trong Z + Z—2—

p khong bất kha quy trong Z + Z1 + 2 m (vì Z + Z1 + 2 m la miến Iđẻan chính với