Tính chất phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự

MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 28 3.1.. MỞ ĐẦU Các toán tử tuyến tính liên tục là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Giải tích hàm.Nhiều Quá trình, Hệ thốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

trong luận văn đều chính xác và trung thực.

La Hồ Tuấn Duy

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnthầy Nguyễn Bích Huy, người Thầy hướng dẫn khoa học, đã đưa ra định hướng và giúptôi hoàn thành văn luận này Trong suốt quá trình học các học phần cũng như thực hiệnluận văn, Thầy luôn theo dõi, hướng dẫn tận tình để tôi nắm được kiến thức và hoàn thiệnluận văn của mình

Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoaToán – Tin, tất cả quý Thầy, Cô giảng dạy các học phần mà tôi đã được học trong quátrình học Cao học, cùng quý Thầy, Cô công tác ở phòng sau đại học đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu

Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc

và góp ý giúp luận văn được hoàn thiện

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Giải tích khoaToán khóa 28 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn

Tập hợp các điểm trong của tập T Tập hợp các c

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 3

1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 3

1.2 Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact 7

1.3 Phổ biên 9

1.4 Ánh xạ đa trị, tính liên tục 10

Chương 2 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG 13

2.1 Bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính dương 13

2.2 Sự tồn tại vectơ riêng dương 16

2.3 Một số điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương 17

2.4 Ánh xạ dương với nón minihedral 19

2.5 Vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp 23

Chương 3 MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 28 3.1 Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt 28

3.2 Điều kiện để một ánh xạ tuyến tính dương là không phân tích được 28

3.3 Giá trị riêng chính của ánh xạ dương 30

Chương 4 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 36

4.1 Sự tồn tại giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị 36

4.2 Các tính chất của cặp riêng dương 38

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỞ ĐẦU

Các toán tử tuyến tính liên tục là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Giải tích hàm.Nhiều Quá trình, Hệ thống trong Tự nhiên và Xã hội đưa đến việc nghiên cứukhông phải một ánh xạ tuyến tính đơn lẻ mà thông thường là một họ ánh xạ phụthuộc các tham số Các tham số này đóng vai trò như các yếu tố trong Tự nhiên, Xãhội, ảnh hưởng đến Quá trình hay Hệ thống đang xét Ta quan tâm đến tính ổn địnhhoặc không ổn định của Quá trình hay Hệ thống này theo sự biến đổi của các yếu tốảnh hưởng Các thời điểm xảy ra đột biến, gãy đổ trong Quá trình hay Hệ thống cóliên quan đến các giá trị của tham số mà ta gọi là giá trị phổ của ánh xạ tuyến tính

mô tả Quá trình hay Hệ thống đó Do đó, việc nghiên cứu tập phổ của các ánh xạtuyến tính được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu từ rất sớm Lý thuyết phổ làmột nhánh nghiên cứu quan trọng của Giải tích hàm và đã thu được các kết quả lýthuyết quan trọng cũng như tìm được các ứng dụng có giá trị trong Lý thuyếtphương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển và tối ưu, trong các bài toán kinh tế

Theo sự phát triển nội tại của Toán học cũng như để ứng dụng giải quyết các bài toánmới phát sinh trong Khoa học, Kỹ thuật và Xã hội mà Lý thuyết phổ có thể được pháttriển theo hai hướng Hướng thứ nhất là tăng độ tổng quát của ánh xạ (ánh xạ compactđược mở rộng thành ánh xạ Fredholm, ánh xạ hạch, …) và các không gian (thay khônggian định chuẩn bằng các không gian đếm được chuẩn, không gian lồi địa phương, …).Hướng thứ hai là nghiên cứu các ánh xạ trong các không gian đặc biệt (có tính chấthình học tốt như không gian lồi đều, không gian có thứ tự)

Lý thuyết về các không gian với thứ tự sinh bởi nón và ánh xạ tác động trong chúngđược hình thành từ những năm 1940 trong các công trình nghiên cứu của M.Krein,A.Rutman và được hoàn thiện cho đến ngày nay Việc kết hợp các tính chất tôpô củaánh xạ với các tính chất về thứ tự của ánh xạ đó đã đưa đến những kết quả quantrọng về phổ của ánh xạ như định lý nổi tiếng của Krein – Rutman với những ứngdụng có giá trị trong Phương trình vi phân và Lý thuyết Điều khiển, …

Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một cách đầy đủ, chi tiết các tính chất đặc biệt

về phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính trong không gian Banach với thứ tự sinh

bởi nón, như lớp ánh xạ u0 – bị chặn, ánh xạ không phân tích được, ánh xạ liên hợp,ánh xạ đa trị, …

Đề tài có ý nghĩa về mặt đào tạo Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn

và toàn diện hơn các kiến thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến,Giải tích thực; biết vận dụng chúng trong học tập các vấn đề mới Qua quá trình làmluận văn, học viên cũng làm quen với công việc nghiên cứu khoa học

Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên Caohọc khi học về Lý thuyết phổ của ánh xạ

Nội dung của đề tài

Chương 1: Trình bày các kiến thức đã được sử dụng trong luận văn.

Chương 2: Trình bày về vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương.

Chương 3: Trình bày về một số lớp ánh xạ dương và giá trị riêng chính của ánh xạ

dương

Chương 4: Trình bày về giá trị riêng của ánh xạ đa trị.

Chương 1 CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG

1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón

1.1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón

Định nghĩa 1.1.1

Cho X

1 Tập

là không gian Banach trên trường số thực

K  X được gọi là nón nếu thỏa các điều kiện sau:

, với mọithì xy



1.1.3 Nón chính qui

Định nghĩa 1.1.3

Nón K gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

n  max u , vthìxnC.

 Hiển nhiên do định nghĩa K

 Giả sử trái lại

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón

minihedral nếu với mỗi cặp x,yX thì tồn tại supx,

1.2 Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact.

Cho X là không gian Banach trên trường và A : X  X

tục

là ánh xạ tuyến tính liên

Định nghĩa 1.2.1

Số   được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại xX,x sao cho

Vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của A

Ax  x.

Nói cách khác,   là một giá trị riêng của toán tử A nếu tồn tại xX,x saocho AIx 0

 Nếu  là một giá trị riêng của toán tử A thì toán tử AI không phải đơn ánh

vì tồn tại x  để  A Ix 0 Vậy toán tử AI không khả nghịch

 Ứng với một giá trị riêng, có vô số vectơ riêng

 Với mọi vectơ riêng x của f , V x là không gian con bất biến một chiều của

 Nếu  là một giá trị riêng của toán tử A thì   A Khi đó, kerAI

là không gian riêng của A Mỗi

vectơ riêng ứng với giá trị riêng 

2 Số  không thuộc tập phổ  A thì 

A, nghĩa là tồn tại toán tử tuyến tính, liên tục  A I

tập giải của A, kí hiệu là  A

3 Số rAsup :  A  gọi là bán kính phổ của

Định lý 1.2.1 (Xem [9])

Cho X là không gian Banach và

Bán kính phổ của toán tử A

0   A  : r  A0

Định lý 1.2.2 (Phổ của ánh xạ compact) (Xem [9])

Cho X là không gian Banach với dimX và A

liên tục Khi đó ta có:

là ánh xạ tuyến tính, hoàn toàn

tại ánh xạ P : X  X 0 tuyến tính, liên tục sao cho Px x, x X0 , P 1.

2 Không gian vectơ con m chiều X 0 của X gọi là không gian Euclide nếu tồn tại

 1 , 2 , , m m .

Định lý 1.3.1 (Xem [9])

Giả sử X là không gian Banach, không có không gian con Euclide 2 chiều bù được

và A : X  X là ánh xạ tuyến tính, hoàn toàn liên tục, với rA A1 Khi đó,mọi giá trị riêng thuộc phổ biên là một căn bậc nguyên của 1

Mệnh đề 1.3.1 (Xem [9])

Nếu K là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong không gian Banach X thì tồn tại songánh tuyến tính, liên tục f:XCQ  sao cho fK K

Trong đó: C



K

Q là không gian các hàm liên tục trên tập compact Q

là nón các hàm không âm trong CQ

Định lý 1.3.2

Cho K là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong không gian Banach X

là ánh xạ tuyến tính dương, hoàn toàn liên tục, Auu với uintK

giá trị riêng thuộc phổ biên của A là căn bậc nguyên của 1

Các kí hiệu “ k ”, k  1, 2 được sử dụng hoàn toàn tương ứng một cách tự nhiên.

(i) A( x)  A( y )  A( x  y) với mọix,y X

(ii) A tx tAx  với mỗi t 0,x X

1,2– tăng nếu

là các không gian Banach và F:DX2

F được gọi là nửa liên tục trên trên D nếu tập hợp xD:Fx

D , với mọi tập con mở

2 Nếu ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới trên D thì với bất kỳ dãy x n  x và với

mọi y  F x , tồn tại dãy con x n k và dãy y k sao cho y k  F ( xn k ) và y k 

y 3 Nếu ánh xạ đa trị F là compact và đồ thị của nó là tập đóng trong DX thì F

là nửa liên tục trên trên D

Định lý 1.4.1 (Xem [8])

Cho  X , K  là không gian Banach có thứ tự

và nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi, đóng Giả

  , nghĩa là, S G  với bất kỳ tập con mở bị

 sao cho btu  2  B  tu với

0, x F x  là nhánh liên tục

từ chặn G chứa 

Chương 2 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG

A0

là bao tuyến tính của

là thu hẹp của A lên

Đặt K 0  K  X 0 thì A0K0K0

Nếu K0  thì K0 là nón chuẩn, intK0 xét trong không gian K 0

Cho X là không gian Banach sinh bởi nón K Giả sử K 

ánh xạ tuyến tính dương, hoàn toàn liên tục và rA 0

Khi tương ứng với vectơ riêng thuộc K

 Các giá trị riêng của A0 là thu hẹp của A trên X 0 nằm trên đường tròn

 K 0  K  X 0 có điểm trong xét trên không gian X 0

r B  là giá trị riêng của B, tương ứng với vectơ riêng thuộc K

2.3 Một số điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương

Do định lý 2.2.1 nên điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương là

u K (trái giảthiết)

Giả sử A là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương và

cho A kuu Khi đó r Ak 

sao

Chứng minh

Do bổ đề Do đó k

 r A k

 r

1 



B

có

2.4 Ánh xạ dương với nón minihedral

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K Giả sử

A : X  X là toán tửtuyến tính, dương

 A được gọi là u bị chặn trên nếu x K,   0 :A x u



A

đượcgọ

i

là

u

b

ị

chặ

n

dưới nếu xK,   0 :Ax u

 A được gọi là u bị chặn nếu nó u bị chặn trên và dưới u 

K

\ ,

toán tử tuyến tính, liên tục

Banach có thứ tự, K là nón chuẩn và sinh, A :

và u bị chặn trên, thỏa Au u Khi đó r

Do A  x n  bị chặn, có dãy con hội tụ và K là nón chuẩn

nên

n

A là đơn điệu compact.

2 Cho A toán tử tuyến tính dương và K là nón chính quy thì A

Cho K là nón sinh, chuẩn, minihedral trong

toán tử tuyến tính, dương, đơn điệu compact,

riêng tương ứng với giá trị riêng bằng rA

không gian Banach

A:X X là toán tử tuyến tính dương, liên tục Khi đóvới giá trị riêng A, K

Lưu ý: Định lý trên cũng đúng trong trường hợp K là cái nêm.

A, K (Vô lý) nên theo định lý tách tập lồi, tồn tại f 0  K  : f 0y   0, y G.

Hai ánh xạ A, B:X X gọi là giao hoán với nhau nếu A B  B

Họ các ánh xạ A i : X  X , i  I gọi là giao hoán nếu i,jI thì

Khi đó, K1 là tập lồi có phần trong khác rỗng và K1 X do

do đó K

Do A k1

A k1K1 A k1K   1 I  A1A k1X   k I  A kA k1X  K  G1  G k  K1

hoán các ánh xạ tuyến tính dương, liên tục Khi

riêng chung trong

ứngminh

Chương 3 MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG

VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG

3.1 Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt

3 A được gọi là không phân tích được nếu x K\ và Ax x

tựa trong của K

 x gọi là điểm tựa trongcủaKnếu

3.2 Điều kiện để một ánh xạ tuyến tính dương là không phân tích được

Định lý 3.2.1: Cho X ,

K là không gian Banach có thứ tự Ánh xạ tuyến tính dương

A : X X là không phân tích được khi và chỉkhi

có điểm tựa trong và X

là không phân tích được

là không gian phản xạ Khi đó, ánh xạ tuyến tính

không phân tích được

A không phân tích được.

Chứng minh



1 Giả sử vK\ 

Ta chứng minh v là điểm tựa trong

Do A là u bị chặn dưới nên 0,n:A nvu

Mà ta có A nvn v nên suy ra

Mà u là điểm tựa trong nên f

Từ đó suy ra fv0,fK

Vậy A không phân tích được

2.Do K là thể nón và A là ánh xạ dương mạnh nên A là u bị chặn với uintK

3.3 Giá trị riêng chính của ánh xạ dương

Bổ đề 3.3.1

Cho X , K là không gian Banach có thứ tự và A : X X là ánh xạ

trên Cho phần tử xKK,x K thỏa:    0 :Ax x Gọi t0

3b

ii. A là ánh xạtuyến tính dương, liên tục,

tương ứng với giá trị riêng

n0 sao cho

 0m x  mt 0m1 x0 A m x  mt 0m1 x0

K

(mâu thuẫn với x0  K \ )

Vậy x K

0 là sốcực đại thỏaKhi đó:

Do

Suy ra:

t0  0Do

là giá trị riêng đơn (bội 1) của A

là véctơ riêng dương duy nhất của A

Chứng minh

2 x0

1 0

Ta có:

Cho K là nón sinh, minihedral trong không gian Banach y 

 sup y,không là điểm tựa trong của K

Do đó v n  a  0 .

Cho K là nón sinh, minihedral trong không gian Banach X A:XX là ánh xạ

tuyến tính dương, liên tục và có véctơ riêng dương

Giả sử A là ánh xạ không phân tích được và A

là điểm tựa trong

của K (mâu thuẫn với f 0w  0 )

Vậy tương ứng với 0 thì có duy nhất (chính xác tới một thừa số) vectơ riêng trong

Chương 4 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

4.1 Sự tồn tại giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 4.1.1

Cho  X , K  là không gian Banach

riêng dương của ánh xạ A:K2

Từ (4.1) ta có x

n

Ta có y n hội tụ nên bị chặn, trong (4.1) lấy ||.|| 2 vế của

nbịchặn, do đó nó có dãy con hội tụ, không mất tổng quát ta có thểgiảsửrằng

Khi đó A có cặp riêng dương 0 x0 với

Hơn nữa, nếu

Trước hết ta chứng minh rằng n  tn cho || u

Do đó, theo định nghĩa của t n

Lý luận tương tự như trong chứng minh của định lý 4.1.1, ta có thể giả sử rằng

K và ánh xạ

1 A được gọi là u0 – dương nếu x K\ {}

tương đương x  K \{ }, y  A(x),  ,   0 : u0

2 Ánh xạ A được gọi là u0

0

u

•

hoặc tương đương, với mọi v A( y ),uA( x) nếu v  u  K

v  u  u0

A( x )  (1) u0  hoặc

thì   0 sao cho

3.Cho (0 , x0 ) là cặp riêng dương của A Khi

đó

nếu  x  A(x) với

4 Ta nói rằng cặp riêng dương (0 , x0 )

riêng dương (,x)

0

A

được gọi là đơn hình hình học

là duy nhất nếu với bất kỳ cặp

1 Giả sử rằng 0 x  A(x) với

Do A là u0 – dương nên tồn tại số dương lớn

Thật vậy, ta có 0 x  A(x), 0 x0  A(x0 ) và

0 (x0  tx )  

Do đó

của t

Nếu x0 tx1 , do tính cực đại của t, ta có x0 tx1 K Thật vậy, giả sử x0  tx1

1.Nghiên cứu sâu hơn tính chất phổ của các ánh xạ đơn trị.

2.Mở rộng các kết quả của ánh xạ đơn trị cho ánh xạ đa trị

Sau khi hoàn thành luận văn, tôi đã củng cố được các kiến thức đã học và lĩnh hộithêm được nhiều kiến thức mới, cũng như học được cách thức làm việc và nghiêncứu khoa học, đây là nền tảng và động lực để tôi tiếp tục nghiên cứu về sau

Bài viết được hoàn thành trong khoảng thời gian tương đối ngắn và với vốn kiếnthức còn hạn hẹp của bản thân nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sóttrong quá trình soạn thảo và một vài kết luận còn hạn chế Tôi rất mong nhận được

sự góp ý chân thành từ quý Thầy Cô và các bạn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2019

La Hồ Tuấn Duy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] H Brezis (2000) Giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Tp.Hồ Chí

[5] N Hoang, L.V Hạp (2014) Giáo trình giải tích hàm, Đại học Huế.

[6] N.B Huy, N.H Khanh (2000) Fixed point for multivalued increasing

operators, J Math Anal Appl., 250, 368-371.

[7] N.B Huy (2002) Fixed points of increasing multivalued operators and

an application to discontinuous elliptic equations, Nonlinear Analysis, 51,

673-678

[8] N.B.Huy, V.V.Tri, T.T.Binh (2018) The monotone minorant method and

eigenvalue problem for multivalued operator in cones, Fixed Point Theory, 19,

Solutions of Operator Equations, Nordhoff,

– positive operators, J Fixed Point Theory