Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không gian giao hoán vào vành chia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khôi BÀI TOÁN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO VÀNH CHIA Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Phạm Đình Khôi

BÀI TOÁN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUYÊN

KHÔNG GIAO HOÁN VÀO VÀNH CHIA

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS BÙI TƯỞNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020

không giao hoán vào vành chia” do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn

trực tiếp của PGS.TS Bùi Tưởng Trí Nội dung luận văn có tham khảo và sửdụng một số kết quả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danhmục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về luận văn củamình

Tác giả luận văn

Phạm Đình Khôi

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ ChíMinh, tôi đã được Quý Thầy Cô cung cấp cho tôi những kiến thức chuyênsâu, giúp tôi trưởng thành trong học tập và nghiên cứu khoa học Tôi xin gửilời biết ơn đến tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt thờigian học tại trường

Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tưởng Trí Thầy đã tậntình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn Đặc biệt, tôi đãđược học ở Thầy phương pháp làm việc khoa học và sự am hiểu thấu đáo củariêng Thầy

Xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng Bảo vệLuận văn Thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn.Tôi cũng xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô công tác tạiPhòng Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh,

Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo nhiều điều kiện thuậnlợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, thực hiện luận văn

Cuối cùng, xin khắc sâu công ơn Cha Mẹ, cảm ơn người thân, bạn bèluôn ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học

TP Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2020

Phạm Đình Khôi

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các kí hiệu

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hoán 3

1.1.1 Định nghĩa nhóm 3

1.1.2 Luật giản ước 3

1.1.3 Đại số 4

1.1.4 Đại số nửa nhóm 4

1.1.5 Định nghĩa vành 4

1.1.6 Định nghĩa ideal 5

1.1.7 Khái niệm ideal nguyên tố 5

1.1.8 Khái niệm ideal cực đại 5

1.1.9 Mệnh đề 5

1.2 Địa phương hóa trong vành giao hoán và bài toán nhúng đẳng cấu 7

1.2.1 Định nghĩa vành địa phương 7

1.2.2 Địa phương hóa trong vành giao hoán 9

Chương 2 VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HÓA KHÔNG GIAO HOÁN 14

2.1 Một số khái niệm cơ bản về vành không giao hoán 15

2.1.1 Miền nguyên (không giao hoán) 15

2.1.2 Vành chia 15

2.1.3 Nửa nhóm (không giao hoán) 15

2.1.4 Nửa nhóm tự do 15

2.1.5 Đại số nửa nhóm kH trong một vành không giao hoán có

đơn vị 17

2.2 Bổ đề 17

2.3 Định lí 19

2.4 Định lí 21

Chương 3 MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU GỢI MỞ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN 23

3.1 Vấn đề bổ sung thứ tự trên H 23

3.2 Tựa - đồng nhất thức (Quasi – identities) 23

3.3 Một số định nghĩa và định lý liên quan địa phương hóa trong vành không giao hoán 24

3.3.1 Mệnh đề 27

3.3.2 Ví dụ 27

3.4 Những điều kiện cần cho khả năng nhúng của một miền R vào một vành chia 29

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

R S

U (R )

IBN

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết trong vành giao hoán (có đơn vị) thì mọi miềnnguyên đều có thể nhúng đẳng cấu vào một trường (trường các thương củanó)

Bài toán hoàn toàn tương tự cho các vành không giao hoán là khả năngnhúng một miền nguyên không giao hoán vào một vành chia thì liệu có đơngiản như vậy hay không

Vì vành giao hoán (có đơn vị) và vành không giao hoán (có đơn vị) cóvài nét khác nhau nên việc nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên giao hoánvào một trường thì luôn luôn làm được nhưng việc nhúng đẳng cấu từ mộtmiền nguyên không giao hoán vào một vành chia thì lại không đơn giản nhưvậy

Chính vì vậy, tôi chọn đề tài này để đưa ra một bài toán mà miền nguyênkhông giao hoán không thể nhúng đẳng cấu vào vành chia qua một ví dụ rấtnổi tiếng của Mal’ Cev Luận văn gồm ba chương :

_ Chương 1: Những kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa và tính chất đã biếttrong đại số giao hoán và đại số không giao hoán, sau đó là giới thiệu đôi nét

về việc địa phương hóa trong vành giao hoán

_ Chương 2 : Vấn đề địa phương hóa trong vành không giao hoán

Chương này trình bày đôi nét về việc địa phương hóa trong vành khônggiao hoán và đưa ra câu trả lời phủ định cho câu hỏi: “ phải chăng mọi miềnnguyên không giao hoán đều có thể nhúng được vào trong một vành chiakhông giao hoán” thông qua ví dụ nổi tiếng của Mal’ Cev

_ Chương 3: Một số hướng nghiên cứu gợi mở liên quan đến bài toán

Phần mở rộng này trình bày một số vấn đề gợi mở làm tiền đề cho nhữngnghiên cứu tiếp theo cho việc tìm ra điều kiện cần và đủ để có thể nhúng đẳngcấu từ một miền nguyên không giao hoán vào trong một vành chia.

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này sẽ nhắc lại một số khái niệm, tính chất đã biết trongđại số giao hoán và đại số không giao hoán có liên quan Sau đó giới thiệu đôinét về việc địa phương hóa trong một vành giao hoán, và dẫn đến một số tínhchất cần thiết cho chương sau

1.1 Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hoán

ở trên thỏa tính chất kết hợp, tức là :

(G, *) được gọi là nửa nhóm

e G : x G : x * e = e * x = x

thêm thì (G,

phần tử trung hòa, tức là :

*)được gọi là vịnhóm

c) Trong vị nhóm, nếu như mọi phần tử khác phần tử trung hòa đều khảnghịch, tức là : x G, y G:x*y= y*x= e thì khi đó (G, *) trở thành mộtnhóm

1.1.2 Luật giản ước

a) Một phần tử a trong (G, *)

b) Một phần tử a trong (G, *)

có tính chất giản ước trái nếu :

có tính chất giản ước phải nếu :

c) Một nửa nhóm (G, *) có tính chất giản ước trái (hoặc giản ướcphải) nếu mọi phần tử a trong (G, *) là giản ước trái (hoặc giảnước phải).

Phép cộng theo nghĩa thông thường

Phép nhân : Phân phối với các tổng hình thức

Nửa nhóm luôn có đơn vị

• Đặc biệt, trong đại số giao hoán đã chứng minh được rằng nếu H lànửa nhóm giao hoán có luật giản ước hai phía thì FH (không có ước của 0) làmiền nguyên

• Tuy nhiên, trong các vành không giao hoán thì kết quả tương tự là không còn đúng Việc trình bày lập luận này ta sẽ dành ở phần tiếp theo

1.1.5 Định nghĩa vành

Một vành là một tập hợp R được trang bị hai phép toán hai ngôi, đượcgọi là phép cộng và phép nhân và thường kí hiệu là “ + ” và “ ” Để tạothành một vành, hai phép toán này phải đáp ứng một số tính chất:

Vành phải là một nhóm Abel với phép toán cộng

Có tính kết hợp với phép toán nhân

Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng

Các phần tử đơn vị của phép cộng và phép nhân được biểu thị bằng 0

Nên ta có ideal của R là aR+ chứa hoàn toàn

Mà là ideal cực đại của R nên aR+ =R Khi đó, tồn tại b R, xsao cho: ab+ x=1

1 − a.b = x a.b + = 1 +

( a + ) . (b + ) = 1 +

Vậy tồn tại sao cho Nên khả nghịch

=

1 +

.

( )

Do đó R là trường

Lấy I là ideal của R sao cho I chứa hoàn toàn

Do R là trường nên tồn tại b +R \ 0 sao cho(a+ ).(b+ )= 1 +

1 − a.b Và khi đó tồn tại xsao cho 1 −a.b =x a.b+x=1

Nên 1 I Do đó I= R

Vậy là ideal cực đại của vành R

• Đặc biệt: Nếu (0) là ideal nguyên tố thì R là miền nguyên (Vìnếu có a, b R sao cho a.b= 0 (0) và do (0) là ideal nguyên tố nên a=

hay b= 0 )

0

1.2 Địa phương hóa trong vành giao hoán và bài toán nhúng đẳng cấu 1.2.1 Định nghĩa vành địa phương

Vành địa phương là vành giao hoán có đơn vị, trong đó có một ideal cực đại duy nhất

Ví dụ 1: Bất kì trường nào cũng là vành địa phương

Do đó M là ideal cực đại của R

_ Giả sử có N là ideal cực đại của R mà N M thì:

Do đó M là ideal cực đại duy nhất của R

Vậy R là vành địa phương

đại p. = p không là duy nhất

thì R là vành địa phương, với p là

(n, p ) =1

không là vành địa phương vì các ideal cực

1.2.2 Địa phương hóa trong vành giao hoán

đóng đối với phép toán nhân được định nghĩa trong R

Cho R là vành giao

của R Xét tập S =R \

hoán có đơn vị bất kì, p là ideal nguyên tố thực sự

p thì S là tập đóng nhân.(vì : 0 S;1S; a , b pa.b p ;a , b Sa.b S )

Chứng minh M là ideal cực đại duy nhất:

_ Giả sử có ideal thực sự I của R S mà I chứa hoàn toàn M :

Do đó M là ideal cực đại của R S

_ Giả sử có N là ideal cực đại của R S mà N M thì:

s s p s

khả nghịch

s

N R S (!)

Do đó M là ideal cực đại duy nhất của R S

Vậy R S là vành địa phương

, là tập đóng nhân thì R S không là vành địa

phương vì không có ideal cực đại duy nhất

• Đặc biệt, khi R là miền nguyên thì (0) là ideal nguyên tố và

S = R \ 0 thì khi đóR S là trường (vì r 0r 0r S

s

khả

nghịch R S là trường).

Một trong những điều quan trọng mà chúng ta đã được biết là cho bất kỳ

miền nguyên R giao hoán, ta có thể tùy ý nghịch đảo các phần tử khác 0 của

R để tạo thành một trường các thương duy nhất của R

Với một tập hợp nhân trong vành R, tức là một tập con S R sao cho

S được đóng bởi phép nhân , 0 S ,1 S Một đồng cấu :R →R ' được

gọi là S – khả nghịch nếu ( S ) U (R') (U (R') là nhóm các phần tử khảnghịch của vành R’)

d) Định nghĩa vành các thương R S

Chúng ta được biết về quy trình chung của địa phương hóa một vànhgiao hoán R bất kỳ với một tập nhân S = R \ p , với p là một ideal nguyên tố

thực sự của R Quy trình này mang lại một vành giao hoán R S và một đồng cấuvành :R→ R S sao cho (s) là một phần tử khả nghịch trong R S cho mọi

s S , vàlà “ phổdụng“ với tương ứng cho tính chất này Hơn thếnữa,chúng

ta có 2 chú ý sau đây cho và R S :

a) Mỗi phần tử trong R S có dạng (r ) (s) −1 , khi r R

b) K er = r R | s S : rs = 0 (là một ideal trong R)

Vành R S được gọi là vành các thương của R theo một ideal nguyên

tố p

Để đơn giản hóa kí hiệu, ta viết phần tử của R S là phân số r /s hay r s −1

thay cho (r) (s) −1 Ta cộng phân số bằng cách lấy mẫu số chung, và nhânphân số bằng cách nhân tử số và mẫu số

Trường hợp cổ điển về việc nhúng miền nguyên giao hoán R vào vànhthương của nó tương ứng với việc địa phương hóa của R tại tập nhân R \ 0

x R ' : x = ( r ) (s) −1 Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vànhsao cho = f o

r (r ) = r '

s (s ) = s ' Khi đó, f : R S → R ' .

.

( r ). ( s )−1 ( r ). (s)−1

Nói tóm lại, trong trường hợp vành R là vành giao hoán có đơn vị, ta đã giải quyết được trọn vẹn bài toán địa phương hóa vành R theo tập con đóng nhân S, nghĩa là tồn tại vành R S và đồng cấu : R → RS với các tính chất sau:

i) s S : (s ) khả nghịch trong R S

ii) Đồng cấu có tính phổ dụng, nghĩa là với mọi đồng cấu

: R → R ' có tính chất (s)là khảnghịch s S thì tồn tại đồng

thì là một đơn cấu và R S là vành địa phương Đặc biệt hơn nữa khi R là

miền nguyên giao hoán thì (0) là ideal nguyên tố và S = R \ 0 ta có R S là một

trường, gọi là trường các thương của R, do đó là phép nhúng R vào R S

Và bây giờ nếu R là một vành không giao hoán bất kỳ thì liệu các tính

chất của R S và có còn thu được kết quả tốt như vậy hay không Ta sẽ nghiêncứu về câu hỏi này chương sau

Chương 2 VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HÓA KHÔNG GIAO HOÁN

Sau khi nhắc lại các lý thuyết cơ bản của vành giao hoán, trong chươngnày ta tìm hiểu về lý thuyết của vành các thương trong bối cảnh của các vànhkhông giao hoán

Trong chương này và cũng là nội dung chính của luận văn, ta cũng xét

bài toán địa phương hóa một vành R không giao hoán có đơn vị theo một tập con nhân S của nó, nghĩa là 0 S , 1 S , S đóng với phép nhân trong R Khi đó ta

phải giải quyết hai vấn đề:

Thứ nhất là có tồn tại hay không vành mà được ký hiệu là R S và mộtđồng cấu : R→R S sao cho là S – khả nghịch trong R S , nghĩa là (s ) khả

nghịch trong R S , s S .

trong

Thứ hai là với mọi đồng cấu : R → R ' sao cho là S – khả nghịch

R S thì tồn tại đồng cấu f : R S → R ' sao cho = f

Tuy vậy, trong trường hợp R là vành không giao hoán thì bài toán tổng

quát trên là quá lớn và không dễ dàng để giải quyết nên chúng ta chỉ xét

trường hợp riêng khi R là một miền nguyên không giao hoán Lúc này S = R \ 0

là một tập con nhân và R S là một vành chia (vì mọi phần tử khác 0 đều khả

nghịch) còn là một đơn cấu nhúng R vào vành chia.

Câu hỏi đặt ra là có phải với mọi miền nguyên không giao hoán R thì

đều tồn tại R S không, và nếu R S tồn tại thì sự tồn tại đó có phải là duy nhấtkhông?

Đó chính là chủ đề chính của luận văn của chúng ta, nói khác đi là bàitoán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia

Nội dung chính của luận văn này là đưa ra câu trả lời phủ định cho câuhỏi trên thông qua ví dụ nổi tiếng của Mal’cev, và sau đó là một vài gợi mởnhỏ về điều kiện để một miền có thể nhúng được vào một vành chia

2.1 Một số khái niệm cơ bản về vành không giao hoán

Để chuẩn bị cho nội dung chính của chương, tức là trình bày ví dụ của

Mal’cev ta cần nhắc lại một số khái niệm

2.1.1 Miền nguyên (không giao hoán)

Miền nguyên là một vành (không giao hoán) khác không, có đơn vị và

không có ước của không cả hai phía

2.1.2 Vành chia

Vành chia là một vành khác vành không, có đơn vị là 1 0 , mọi phần tử

a A, a 0 đều có một nghịch đảo phép nhân: a A, x A : a x = x a = 1

Vành chia chỉ khác trường ở chỗ phép nhân không nhất thiết phải có

tính giao hoán

* Nhận xét: Ta thấy ngay mọi vành chia đều là miền Từ đó dẫn đến

câu hỏi tự nhiên là liệu có phải bất cứ một miền nào cũng có thể nhúng được vào

trong một vành chia hay không?

2.1.3 Nửa nhóm (không giao hoán)

Cho H là tập hợp khác rỗng, trên H được trang bị một phép toán hai ngôi

Nếu phép toán * ở trên thỏa tính chất kết hợp, tức là : (x * y )* z = x * ( y *

z ) thì (H, *) được gọi là nửa nhóm

Nửa nhóm (không giao hoán) có đơn vị cả hai phía thì được gọi là vị

nhóm

2.1.4 Nửa nhóm tự do

Định nghĩa: Cho A là một bảng chữ cái Một nửa nhóm với các phần tử

là dãy hữu hạn có thể có của các chữ cái trong A với phép toán là đặt dãy này

nối tiếp dãy kia được gọi là một nửa nhóm tự do trên A, ký hiệu là A+

(hoặc là A*) Các phần tử trong một nửa nhóm tự do được gọi là các từ , vàphép toán được gọi là nối Để thuận tiện, từ rỗng 1 thường được nối với nhau

(chiều dài của từ rỗng 1 được định nghĩa bằng không) bằng cách đặt 1w = w = w1 với mọi từ w Bảng chữ cái A cho nửa nhóm tự do A+ là tập hợp sinh bất

khả quy duy nhất chỉ bao gồm những phần tử không thể rút gọn được Mộtnửa nhóm tự do được xác định duy nhất theo đẳng cấu cho bởi tính chất cơ

bản của bảng chữ cái của nó, lực lượng của bảng chữ cái A được gọi là hạng

của nửa nhóm tự do

Nửa nhóm tự do là vật tự do trong phạm trù các nửa nhóm, hay nói khác

đi thì mọi nửa nhóm đều là ảnh đồng cấu của một nửa nhóm tự do

Mệnh đề: Cho một nửa nhóm F , các điều kiện sau là tương đương:

ii) F có một tập hợp sinh A sao cho bất kỳ phần tử nào của F đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích các phần tử của A

iii) F thỏa mãn luật giản ước (theo như 1.1.2), không chứa phần tử lũy

đẳng, mọi phần tử của F có một số hữu hạn các ước, và với mọi u , v

, u ', v ' F đẳng thức uv=u'v'dẫn đếnu=u'hoặc là một trongu và u’ là

ước bên trái của từ còn lại

Định nghĩa: Mỗi một nửa nhóm con H của một nửa nhóm tự do là nửa

nhóm con có một tập hợp sinh bất khả quy duy nhất bao gồm các phần tử

không thể phân tích được thành tích của các phần tử khác nhau trong H Tuy

nhiên, không phải mọi nửa nhóm con của nửa nhóm tự do đều tự do

Mệnh đề: Cho một nửa nhóm con H của một nửa nhóm tự do F , các điều

kiện sau là tương đương: