Đánh giá khuyết tật bằng kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp

Có nhiều kỹ thuật được sử dụng trong phương pháp NDT, trong đó kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán Computed Tomography – CT là một trong những phương pháp phổ biến, được sử dụng nhiều tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ Quốc Toàn

ĐÁNH GIÁ KHUYẾT TẬT BẰNG KỸ THUẬT

CHỤP ẢNH CẮT LỚP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ Quốc Toàn

ĐÁNH GIÁ KHUYẾT TẬT BẰNG KỸ THUẬT

CHỤP ẢNH CẮT LỚP

Chuyên ngành: Vật lí nguyên tử

Mã số: 60440106

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN THIỆN THANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này được viết và trình bày bởi chính tôi Những tài liệu tham khảo được tôi trích dẫn đầy đủ Các kết quả nghiên cứu của luận văn được chính tôi thực hiện

Người thực hiện

Nguyễn Vũ Quốc Toàn

LỜI CẢM ƠN

Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin được dành tặng cho ba mẹ tôi vì họ đã là những người không ngại khó khăn, nuôi sống và cho tôi có đủ điều kiện để hoàn thành con đường học vấn của mình Con xin chân thành cảm ơn ba mẹ và con thiết nghĩ, không có những từ ngữ nào có thể cảm ơn hết được công lao của ba mẹ đã giành cho con Con chỉ biết để ba mẹ xuất hiện trong cuốn luận văn này như một lời tri ân đến ba mẹ vì đã giúp con hoàn thành được việc học của con

Lời cảm ơn thứ hai, tôi xin được dành tặng cho PGS.TS Trần Thiện Thanh, là người thầy đã không ngại số lượng học viên mà nhận tôi làm ''đệ'' của thầy vào những giờ phút chót Có những lúc, vì những thiếu sót mắc phải của việc lần đầu làm luận văn mà thầy đã suýt chút nữa không nhận tôi, nhưng thầy đã tha thứ cho tôi, và tôi coi đó là một điều cực kì lớn lao Tôi cực kì quý trọng điều đó ở thầy Em xin tri ân thầy một cách sâu sắc nhất

Lời cảm ơn thứ ba, tôi xin được gửi đến TS Trần Nhân Giang, người thầy trực tiếp đồng hành cùng tôi trên chặng đường làm luận văn Có những lúc, tôi đã tưởng chừng công việc này sẽ không thể hoàn thành, nhưng bằng một cách nào đó, thầy đã vực dậy tôi, trao cho tôi nghị lực vươn lên và không bỏ cuộc Tôi cực kì tâm tắc câu nói động viên của thầy: "Dù thế nào cũng nhất quyết không được gia hạn'', chính câu nói ấy đã cho tôi niềm tin vững mạnh, rằng luận văn tôi sẽ hoàn thành đúng thời hạn

Sau cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Phòng sau Đại học, Trường Đại học

Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được hoàn tất các thủ tục cần thiết cho việc làm luận văn

Cầu chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt đến tất cả mọi người

Xin trân trọng cám ơn!

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 09 năm 2019

Nguyễn Vũ Quốc Toàn

MỤC LỤC

Trang Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục hình ảnh

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TỔNG QUAN 3

1.1 Tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển của kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán (Computed Tomography - CT) 3

1.1.1 Lịch sử hình thành 3

1.1.2 Các thế hệ máy ghi hình cắt lớp điện toán 4

1.2 Phép biến đổi Radon 7

1.2.1 Khái niệm 7

1.2.2 Tính chất 9

1.2.3 Phép biến đổi Radon ngược 10

1.3 Nguyên lý chụp ảnh cắt lớp điện toán 11

1.4 Tổng kết chương 1 13

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP DỰNG ẢNH TRONG KỸ THUẬT CHỤP ẢNH CẮT LỚP ĐIỆN TOÁN 14

2.1 Phương pháp phân tích 14

2.1.1 Phương pháp biến đổi Fourier 15

2.1.2 Phương pháp chiếu ngược có lọc (Filtered Backprojection - FBP) 17

2.2 Phương pháp lặp 19

2.3 Cơ sở lý thuyết của một số bộ lọc 24

2.3.1 Bộ lọc Ram-Lak 24

2.3.2 Bộ lọc Shepp-Logan 25

2.3.3 Bộ lọc Cosin 25

2.3.4 Bộ lọc Hann và Hamming 25

2.4 Tổng kết chương 2 25

Chương 3 KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 26

3.1 Số liệu thực nghiệm 26

3.2 Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp Fourier 30

3.3 Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp FBP 32

3.4 Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp EM 35

3.5 Kết luận 37

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết

NDT Non-Destructive Testing Kiểm tra không phá hủy

CT Computed Tomography Chụp ảnh cắt lớp điện toán FBP Filtered Backprojection Chiếu ngược có lọc

ART Algebraic Reconstruction

Technique

Kỹ thuật tái tạo đại số

SART Simulataneous Algebraic

Reconstruction Technique

Kỹ thuật tái tạo đại số đồng thời

EM Expectation Maximization Cực đại hóa kỳ vọng

VNUHCM Vietnam National University

Ho Chi Minh City

Đại học Quốc Gia Thành Phố

Hồ Chí Minh

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1.Tính chất phép biến đổi Radon 10

Bảng 3.1.Tham số của hệ chụp CT 26

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Ảnh chụp đầu người từ máy CT năm 1975 3

Hình 1.2 Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ nhất 4

Hình 1.3 Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ hai 5

Hình 1.4 Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ ba 6

Hình 1.5 Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ tư 7

Hình 1.6 Phép chiếu 9

Hình 1.7 Nguyên lý ghi hình cắt lớp điện toán thể hiện thông qua bốn thế hệ máy chụp 11

Hình 3.1 Giao diện người dùng của chương trình điều khiển hệ quét gamma CT 28 Hình 3.2 Cấu trúc sinogram của ba bộ số liệu 29

Hình 3.3 Ảnh của phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không có bộ lọc và có bộ lọc 30

Hình 3.4 Ảnh phantom 2 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không có bộ lọc và có bộ lọc 31

Hình 3.5 Ảnh phantom 3 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không có bộ lọc và có bộ lọc 32

Hình 3.6 Ảnh phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp FPB khi không có bộ lọc và có bộ lọc 33

Hình 3.7 Ảnh thu được của phantom 2 khi sử dụng phương pháp FBP khi không có bộ lọc và có bộ lọc 34

Hình 3.8 Ảnh phantom 3 được phục hồi bằng phương pháp FBP khi không có bộ lọc và có bộ lọc 35

Hình 3.9 Ảnh phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp EM khi không có bộ lọc và có bộ lọc 36

Hình 3.10 Ảnh phantom 2 được phục hồi bằng phương pháp EM khi không có bộ lọc và có bộ lọc 37

LỜI MỞ ĐẦU

Kiểm tra không phá hủy (Non-Destructive Testing – NDT) [1] đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu và ứng dụng Phương pháp này giúp xác định được các khuyết tật bên trong các cấu trúc vật liệu, nhờ đó có thể biết được sản phẩm sản xuất ra có đạt chất lượng hay không? Có đáp ứng được nhu cầu hay không? Có nhiều kỹ thuật được sử dụng trong phương pháp NDT, trong đó kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán (Computed Tomography – CT) là một trong những phương pháp phổ biến, được sử dụng nhiều trong NDT Trong phương pháp này, dữ liệu chiếu ghi nhận được bằng detector sẽ được sử dụng để phục hồi lại ảnh của mẫu vật mà không cần phá hủy mẫu

Kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán ngày nay đang trở nên phổ biến, không những trong y học, mà còn cả trong công nghiệp bởi những ưu điểm mà phương pháp này mang lại Dựa vào khả năng đâm xuyên của các tia bức xạ, ta có thể tái tạo lại hình ảnh của sản phẩm mà không cần trực tiếp tiếp xúc, hơn nữa việc làm này còn giúp nâng cao năng suất công việc

Kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán đã có một khoảng thời gian xây dựng và phát triển rất dài Từ những phương pháp thô sơ cho đến hiện đại và hiện nay vẫn đang được tiếp tục phát triển Nhiều công trình nghiên cứu đã ra đời, các công trình nghiên cứu khoa học này tập trung vào việc phát triển các phương pháp chiếu bức

xạ từ một nguồn bức xạ đến vật thể sao cho phù hợp nhất Bên cạnh đó, thuật toán phục hồi ảnh cũng được cải thiện và phát triển song song

Có nhiều thuật toán được sử dụng trong phương pháp phục hồi ảnh Tuy nhiên, có ba thuật toán đang được sử dụng phổ biến bao gồm thuật toán Fourier [2] thuật toán chiếu ngược có lọc [2] và thuật toán cực đại hóa kỳ vọng [2] Mỗi thuật toán có những ưu và nhược điểm khác nhau, việc chọn lựa thuật toán thích hợp tùy thuộc vào mục đích và điều kiện thực nghiệm

Bên cạnh các thuật toán, quá trình phục hồi ảnh cũng cần phải được kết hợp với các bộ lọc xử lý ảnh khác nhau để nhằm làm tăng chất lượng ảnh Việc kết hợp

giữa các thuật toán và các bộ lọc cũng cần phải được thay đổi thích hợp nhằm đạt được ảnh với chất lượng như mong muốn

Trong luận văn này, tác giả sẽ lần lượt áp dụng các thuật toán khác nhau để phục hồi ảnh từ các số liệu thực nghiệm khác nhau Quá trình này được thực hiện trước và sau khi sử dụng bộ lọc nhằm mục đích đánh giá và so sánh tính hiệu quả của mỗi thuật toán đối với các bộ số liệu khác nhau Thông qua kết quả đạt được, luận văn sẽ đề xuất phương pháp hợp lý để áp dụng vào việc phục hồi ảnh từ số liệu thực nghiệm Cụ thể, tác giả sẽ so sánh các thuật toán đối với các số liệu khác nhau, nêu ra những ưu điểm cũng như những hạn chế của mỗi loại, để từ đó chọn ra một phương pháp hiệu quả Điều này giúp cho việc ứng dụng trở nên dễ dàng hơn Với mục đích trên, luận văn sẽ bao gồm các chương chính sau,

Chương 1 giới thiệu một cách tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển của phương pháp chụp ảnh cắt lớp điện toán Bên cạnh đó tác giả cũng trình bày cơ

sở toán học được áp dụng trong phương pháp này

Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết về các thuật toán được áp dụng trong quá trình phục hồi ảnh của phương pháp chụp ảnh cắt lớp điện toán

Chương 3 trình bày các kết quả thu được khi áp dụng các thuật toán dựng ảnh đối với các bộ số liệu thực nghiệm, đánh giá các kết quả, rút ra ưu điểm và nhược điểm của từng phương pháp, từ đó đề xuất phương pháp hiệu quả

Cuối cùng là phần kết luận và kiến nghị, trong phần này, tác giả khái quát lại các kết quả đã đạt được trong luận văn từ đó đề xuất những hướng nghiên cứu có thể thực hiện tiếp theo trong tương lai

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày tổng quan về quá trình phát triển của

kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp và nền tảng toán học của các thuật toán phục hồi ảnh được

sử dụng trong kỹ thuật này

1.1 Tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển của kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán (Computed Tomography - CT)

1.1.1 Lịch sử hình thành

Computed Tomography (CT) được phát minh vào năm 1972 [3] bởi kỹ sư người Anh, Godfrey Hounsfield, thuộc phòng thí nghiệm EMI Vương Quốc Anh và nhà Vật lý người Nam Phi, Allan Cormack, thuộc trường đại học Massachusetts Trong suốt 25 năm phát triển, kỹ thuật CT đã được cải tiến, phát triển rất nhanh và

có nhiều đóng góp quan trọng trong các lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng như y học, công nghiệp,…

Hình 1.1 Ảnh chụp đầu người từ máy CT năm 1975 [4]

Thế hệ máy CT đầu tiên trên thế giới ra đời vào khoảng giữa những năm

1974 và 1976 [4] Hệ thống máy CT đầu tiên này chỉ chụp các bức ảnh về phần đầu của người được thể hiện thông qua hình 1.1, đến khoảng năm 1976 các bức ảnh toàn

bộ cơ thể người mới được ghi nhận Đến những năm 1980, CT mới trở nên phổ biến rộng rãi Hiện nay có khoảng 6000 máy CT có mặt trên nước Mỹ và hơn 30000 máy trên toàn thế giới [4]

Thế hệ máy CT đầu tiên được phát triển bởi Hounsfield tại phòng thí nghiệm EMI Hệ thống này mất khoảng vài giờ để thu được dữ liệu thô cho một lần quét và với một lát cắt thì mất đến nhiều ngày mới có thể phục hồi lại ảnh từ nguồn dữ liệu này Sau này, những hệ thống CT đa lát cắt có thể cho ra tới bốn lát cắt trong khoảng 350 ms [4] và tái tạo lại hình ảnh với kích thước 512 x 512 từ hàng triệu điểm dữ liệu trong chưa đầy một giây [4], từ đó các bức ảnh được tạo thành cho chất lượng tốt hơn và thời gian để tiến hành phương pháp này cũng giảm đi đáng

kể

1.1.2 Các thế hệ máy ghi hình cắt lớp điện toán

Từ khi xuất hiện lần đầu cho đến nay, các máy CT đã không ngừng được cải tiến cả về phần cứng lẫn phần mềm Mục đích của việc cải tiến này là nhằm nâng cao chất lượng hình ảnh đồng thời giảm thời gian chiếu chụp Trải qua hơn 40 năm hình thành và phát triển, thời gian chiếu chụp đã được rút ngắn còn khoảng 0,001 giây [5] Sự phát triển này có được nhờ sự cải tiến kỹ thuật chiếu chụp qua các thế

hệ máy CT được trình bày sau đây

Thế hệ đầu tiên của máy CT sử dụng một chùm tia hẹp và có duy nhất một detector để ghi hình

Hình 1.2 Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ nhất

Hình 1.2 mô tả nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ nhất Hệ nguồn phát bức xạ và đầu dò được di chuyển để quét hết bề rộng của đối tượng, sau đó hệ được quay đi một góc và quá trình quét này được lặp lại Với cách quét này, thế hệ máy

Hình 1.3 Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ hai

Với việc sử dụng nhiều chùm tia và nhiều đầu dò, số lượng góc cần chiếu chụp giảm đi, đồng nghĩa với thời gian chiếu chụp sẽ giảm rất đáng kể Tuy nhiên, nếu ta cần chụp nhiều lát cắt thì thời gian chụp tổng cộng vẫn còn rất lớn Một hạn chế nữa của máy CT thế hệ thứ hai đó là máy này vẫn sử dụng cơ chế quét ngang - xoay của thế hệ trước đó

Hình 1.4 Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ ba

Hình 1.4 cho biết cấu tạo cũng như nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ

ba Phần đầu dò ở đây được thay thế bằng một dãy các đầu dò đặt trên một cung tròn có tâm là nguồn điểm phát bức xạ Nguồn sẽ phát một chùm tia hình quạt sao cho độ mờ của chùm tia bao trùm đối tượng cần quét

Với cơ chế mới này, hệ nguồn - đầu dò được quay quanh đối tượng mà không cần chuyển động quét ngang Điều này giúp giảm thời gian chiếu chụp xuống còn dưới 0,5 giây cho mỗi lát cắt [5] Hơn nữa, các máy CT thế hệ thứ ba còn cho phép ghi hình trong chế độ CT xoắn ốc (helical CT) Chế độ này cho phép chụp đa lát cắt trong khi đối tượng ghi hình được di chuyển đều theo trục dọc và hệ nguồn - đầu dò vẫn quay xung quanh đối tượng với tốc độ không thay đổi Điều này giúp giảm thời gian chiếu chụp đi rất nhiều lần Chính vì những ưu điểm này mà hiện nay, hầu hết các máy CT đều là các máy thế hệ thứ ba

Mặc dù đã giảm đáng kể thời gian chiếu chụp, các máy CT thế hệ thứ ba vẫn còn hạn chế về xảo ảnh do mật độ lấy mẫu thấp Để tăng mật độ lấy mẫu, ta cần giảm tiết diện của các đầu dò Tuy nhiên, luôn có một giới hạn mà ở đó tiết diện của đầu dò không thể giảm thêm được nữa Chính vì lẽ đó mà thế hệ máy CT thứ tư đã được phát triển và ra đời nhằm cải tiến máy CT thế hệ thứ ba

Hình 1.5 Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ tư

Hình 1.5 cho biết nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ tư Máy CT thế

hệ thứ tư thực chất chỉ là một cải tiến nhỏ so với thế hệ thứ ba Thay vì dãy đầu dò trên một cung tròn di chuyển, người ta thiết kế một vòng các đầu dò cố định thay cho dãy đầu dò quay Mỗi đầu dò trong thế hệ máy thứ tư có thể nhìn đối tượng dưới một góc hình quạt, trong đó các đường tia phân bố liên tục, tức là mật độ lấy mẫu chỉ phụ thuộc vào tốc độ quay của nguồn [5] Nguồn phát bức xạ hình quạt và quay xung quanh đối tượng với tốc độ không đổi

Hạn chế của máy CT thế hệ thứ tư là vẫn còn phải đối mặt với nhiều thách thức kỹ thuật lớn như đảm bảo tính đồng nhất về phẩm chất giữa tất cả các đầu dò được bố trí trên vòng, đảm bảo tính ổn định của các đầu dò vì tại nhiều thời điểm chúng phải nhận tia trực tiếp từ nguồn phát Hiệu chỉnh hiện tượng tán xạ giữa các đầu dò bằng thuật toán cực kì phức tạp Chi phí cao do sử dụng một lượng lớn đầu

𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm đặc trưng cho tính chất vùng tọa độ (𝑥, 𝑦) trên một lát cắt cần chụp Cường độ bức xạ suy giảm khi đi qua vùng này được miêu tả như sau,

trong đó 𝑑𝑠 là vi phân đường tia chiếu, 𝐿 là đường tia chiếu

Như vậy, thông qua biểu thức (1.1), ta thấy rằng cường độ bức xạ đến đầu dò

bị suy giảm theo hàm mũ khi đi qua vật thể được chụp

Chia hai vế biểu thức (1.1) cho 𝐼0 ta được

(1.3)

Xét một chùm tia chiếu từ máy phát đến máy thu Chọn tia chiếu ở giữa máy phát làm mốc, ta gọi đó là tia chiếu gốc Khoảng cách từ một tia chiếu bất kỳ đến tia chiếu gốc là 𝑟 Hai máy thu và phát quay xung quanh đối tượng cần chụp và chụp đối tượng ở nhiều góc độ khác nhau Chọn một góc làm mốc, ta gọi đó là góc chiếu gốc Gọi góc giữa một góc chiếu bất kỳ với góc chiếu gốc là 𝜃

Sau khi đã có dữ liệu chiếu, ta thực hiện các tính toán và xử lý trên dữ liệu chiếu này, rồi dùng các phương pháp phục hồi ảnh để xây dựng lại ảnh của đối tượng được chụp với tín hiệu vào là kết quả của phép biến đổi Radon

1.2.2 Tính chất

Phép biến đổi Radon có sáu tính chất được trình bày thông qua bảng 1.1 sau

Bảng 1.1 Tính chất phép biến đổi Radon

Tính chất Công thức ban đầu

𝑓(𝑥, 𝑦)

Công thức sau khi biến đổi

𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑅(𝑓(𝑥, 𝑦)) Tuyến tính 𝐴1𝑓1(𝑥, 𝑦) + 𝐴2𝑓2(𝑥, 𝑦) 𝐴1𝑔1(𝑟, 𝜃) + 𝐴2𝑔2(𝑟, 𝜃)

1.2.3 Phép biến đổi Radon ngược

Phép chiếu ngược được dùng để phục hồi ảnh từ dữ liệu chiếu và được định nghĩa như sau,

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜇(𝑥, 𝑦)Θ 1

Như vậy phép biến đổi Radon ngược không thể sử dụng riêng lẻ để phục vụ cho việc phục hồi ảnh vì ảnh thu được có độ tin cậy không cao Quá trình này cần được kết hợp với các phương pháp phục hồi ảnh khác để tạo nên ảnh có chất lượng tốt Sự kết hợp này sẽ được trình bày cụ thể ở chương 2

1.3 Nguyên lý chụp ảnh cắt lớp điện toán

Ghi hình cắt lớp điện toán (Computed Tomography, CT) được định nghĩa là phương pháp ghi hình dựa vào sự suy giảm khác nhau của cường độ chùm tia X hoặc gamma (gọi chung là bức xạ) khi truyền qua các môi trường vật chất khác nhau trên cùng một lát cắt của đối tượng

Hình 1.7 Nguyên lý ghi hình cắt lớp điện toán thể hiện thông qua bốn thế

hệ máy chụp

Quan sát trên hình 1.7 ta thấy các tia bức xạ truyền qua đối tượng cần ghi hình

và sau đó được ghi nhận bởi đầu dò tương ứng Việc chiếu này được lặp lại ở nhiều góc khác nhau bằng cách quay hệ nguồn và đầu do xung quanh đối tượng, quá trình này được gọi chung là quá trình quét vật thể

Như ta đã biết, các bức xạ sau khi đi xuyên qua một vật thể sẽ bị suy giảm cường độ theo công thức,

trong đó  là hệ số suy giảm tuyến tính trung bình của đối tượng, D là khoảng cách

từ nguồn đến đầu dò ghi nhận bức xạ Công thức (1.10) chỉ đúng trong trường hợp

nguồn phát bức xạ đơn năng và giả sử bỏ qua các hiệu ứng tán xạ khi bức xạ truyền qua đối tượng [6] Cường độ bức xạ ( , )I r  sẽ được thu nhận tại đầu dò

Lấy logarit cơ số tự nhiên theo hai vế của phương trình (1.10), ta được,

Độ tương phản giữa các chi tiết trên ảnh dựng bởi phương pháp chụp ảnh cắt lớp điện toán có được nhờ sự khác biệt về hệ số suy giảm tuyến tính giữa chúng, do

đó nguyên lý cơ bản của ghi hình CT là chia nhỏ đối tượng cần ghi Mỗi đối tượng chia nhỏ được gọi là voxel Sự khác nhau về giá trị mn giữa các voxel cho ta độ tương phản giữa các chi tiết

Trên một đường tia bất kỳ ta luôn có,

𝜇̅ = 1

đườ𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑎(𝑟,𝜃)

(1.12)

với ds là vi phân trên đường tia ( , )r  sao cho hệ số suy giảm ( , )x y của phần vật

chất trong giới hạn của ds là một hằng số [2] Ta có quan hệ sau,

rộng vùng lấy tích phân sẽ cho ta kết quả chính xác hơn, thuận tiện cho việc dựng ảnh sau này Để viết gọn biểu thức (1.14) kết hợp với mở rộng vùng lấy tích phân,

ta đặt P r( , )  ( , )r D Biểu thức (1.14) được viết lại như sau,

1.4 Tổng kết chương 1

Trong chương này, luận văn đã trình bày tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển của kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp, phân loại các loại kỹ thuật ghi hình hiện nay Bên cạnh đó, tác giả cũng trình bày khái quát cơ sở toán học của phương pháp chụp ảnh cắt lớp làm nền tảng cho quá trình phục hồi ảnh

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP DỰNG ẢNH TRONG KỸ THUẬT

CHỤP ẢNH CẮT LỚP ĐIỆN TOÁN

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày các thuật toán cơ bản được sử dụng trong việc phục hồi ảnh được áp dụng trong phương pháp chụp ảnh cắt lớp, nhằm làm cơ sở lý thuyết cho việc phục hồi ảnh từ các số liệu thực nghiệm được trình bày trong chương 3 Thông qua các kết quả tính toán cũng như những thuật toán đi kèm đối với từng phương pháp, ta có thể chia thành hai loại phương pháp dựng ảnh như sau [7]: phương pháp phân tích (Analytical method) và phương pháp lặp (Iterative method)

2.1 Phương pháp phân tích

Đối với phương pháp này, ảnh sẽ được dựng lại thông qua một phép biến đổi ngược so với phép biến đổi Radon [2] Phép biến đổi Radon được định nghĩa là các hàm làm việc trên những lớp hàm tốt của những hàm giảm nhanh khả vi mọi cấp Đổi ngược ở đây được hiểu là một biến đổi toán học tường minh từ dữ liệu chiếu thành ảnh CT dựa trên một mô hình liên tục [7] ''Định lý lát cắt Fourier'' là nền tảng chính của phương pháp

Ưu điểm của phương pháp phân tích là thời gian thực hiện thuật toán ngắn, phù hợp cho các lĩnh vực đòi hỏi tốc độ ghi hình cao, chẳng hạn như trong y tế Ngoài ra đây là một phương pháp trực quan, dễ thực hiện nên thường được sử dụng

để khởi tạo kết quả ban đầu cho các thuật toán sử dụng phương pháp lặp trên các

mô hình thống kê [8]

Bên cạnh những ưu điểm vừa trình bày, phương pháp này cũng chứa đựng những nhược điểm Hạn chế lớn nhất của phương pháp này là việc không có mô hình tương ứng để loại bỏ nhiễu trong quá trình dựng ảnh Hơn nữa, phương pháp phân tích dựa trên mô hình dữ liệu chiếu liên tục mà ta không thể đạt được điều này trong chiếu chụp thực tế

Trong nội dung của luận văn này, hai phương pháp phân tích được sử dụng trong việc phục hồi ảnh từ số liệu thực nghiệm là phương pháp biến đổi Fourier và phương pháp chiếu ngược có lọc (Filtered Backprojection - FBP)

2.1.1 Phương pháp biến đổi Fourier

Nguyên lý cơ bản của phương pháp dựa trên định lý lát cắt Fourier Công thức (1.6) cho ta mối quan hệ toán học giữa dữ liệu hình chiếu theo các góc khác nhau 𝑃(𝑟, 𝜃) và ảnh của đối tượng 𝜇(𝑥, 𝑦) Sử dụng biến đổi Fourier một chiều cho 𝑃(𝑟, 𝜃), ta được

Các biến số trong công thức (2.2) có biến nằm trong tọa độ cực, ta đổi sang tọa

độ Descartes để xuất hiện đại lượng 𝜇(𝑥, 𝑦)

𝑑𝑟𝑑𝑠 = 𝐽𝑑𝑥𝑑𝑦 = ||

𝑑𝑟𝑑𝑥

𝑑𝑠𝑑𝑥𝑑𝑟𝑑𝑦

𝑑𝑠𝑑𝑦

𝐹(𝜉, 𝜂) = ∬ 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑖2𝜋(𝜉𝑥+𝜂𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

+∞

−∞

(2.7) Khi đó ta có

Mà 𝜉 và 𝜂 phụ thuộc vào hai biến 𝜔 và 𝜃 theo hệ thức (2.5), khi đó ta có

Biểu thức (2.4) và (2.9) được gọi chung là định lý lát cắt Fourier Ý nghĩa vật

lý, định lý lát cắt Fourier cho phép chuyển từ dữ liệu chiếu thu nhận được trên hệ ghi hình thành biến đổi Fourier của ảnh đối tượng Để tái tạo lại ảnh, ta lấy phép biến đổi Fourier ngược của 𝐹(𝜉, 𝜂)

Phương pháp biến đổi Fourier có thể được thực hiện theo các bước sau,

 Bước 1: Thực hiện biến đổi Fourier lên dữ liệu chiếu thu được từ hệ ghi hình 𝑃(𝑟, 𝜃) Kết quả thu được là 𝐹(𝜔, 𝜃) của ảnh chụp đối tượng 𝜇(𝑥, 𝑦) qua phép biến đổi Fourier hai chiều

 Bước 2: Nội suy 𝐹(𝜔, 𝜃) từ hệ tọa độ cực sang hệ tọa độ Descartes, 𝐹(𝜉, 𝜂)