Mô hình hóa trong dạy học định lí côsin ở hình học lớp 10

Chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo Từ một tham luận tại hội thảo về định hướng chương trình giáo dục phổ thông của nước ta sau 2015, chúng tôi ghi nhận được những ý kiến chung của Bộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN ANH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những kết quả

trong luận văn là trung thực

Vũ Thị Thu Hiền

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới người thầy của tôi: thầy Trần Anh Dũng Thầy đã cho tôi những hướng dẫn quý báu về luận văn, góp ý cho tôi cách diễn đạt, luôn tâm lí và động viên tôi Thầy là sứ giả truyền cảm hứng và nguồn năng lượng để tôi vững tin hoàn thành luận văn này!

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô: cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Tăng Minh Dũng, cô Vũ Như Thư Hương, cô Nguyễn Thị Nga, thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, thầy Trần Lương Công Khanh, cô Annie Bessot và thầy Hamid Chaachoua đã cho chúng tôi những kiến thức quan trọng trong ngành Didactic Toán cũng như góp ý của các thầy cô cho luận văn của tôi

Tôi xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin và Ban Giám hiệu của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho chúng tôi được học tập ở đây

Tôi xin tri ân với lớp Didactic toán khóa 27, những kỉ niệm và năm tháng chúng

ta đã đi cùng nhau Tôi sẽ rất nhớ mọi người khi chúng ta ra trường!

Xin được cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT chuyên Lương Thế Vinh tỉnh Đồng Nai cùng các em HS lớp 10 Lí khóa 2018 – 2021 Nhà trường đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong thời gian thực nghiệm và các em HS rất dễ thương, hoạt động tích cực

Xin chân thành cảm ơn người bạn đồng hành với tôi trong suốt thời gian làm luận văn: bạn Trần Thị Hương

Và cuối cùng, con xin cảm ơn ba mẹ đã cho con được học những gì mà con thích, con theo đuổi Luôn ủng hộ con và yêu thương con!

Con yêu ba mẹ!

Vũ Thị Thu Hiền

MỤC LỤC

Trang Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN Ở VIỆT NAM VÀ MỸ 16

1.1 Dạy học định lí côsin ở Việt Nam 16

1.1.1 Mô hình hóa trong hình học 10 cơ bản 16

1.1.2 Mô hình hóa trong hình học 10 nâng cao 28

1.1.3 Kết luận 39

1.2 Dạy học định lí côsin ở Mỹ 39

1.2.1 Lý thuyết 40

1.2.2 Bài tập 48

1.2.3 Kết luận 57

1.3 Kết luận 58

Chương 2 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 60

2.1 Giới thiệu thực nghiệm 60

2.1.1 Mục đích thực nghiệm 60

2.1.2 Đối tượng thực nghiệm 60

2.1.3 Các bài toán thực nghiệm 60

2.1.4 Dàn dựng và phân tích kịch bản 65

2.2 Phân tích tiên nghiệm 67

2.2.1 Bài toán mở đầu 67

2.2.2 Bài toán 1 74

2.2.3 Bài toán 2 78

2.3 Phân tích hậu nghiệm 82

2.3.1 Những ghi nhận tổng quát 82

2.3.2 Phân tích chi tiết 83

2.4 Kết luận 103

KẾT LUẬN 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO 105 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS : Học sinh

GV : Giáo viên KNV : Kiểu nhiệm vụ SBT : Sách bài tập SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách GV

Tr : Trang

DANH MỤC CÁC BẢNG

1.1 Các tổ chức toán học trong SGK hình học 10 cơ bản 23 1.2 Số lượng các KNV trong SGK và SBT hình học 10 cơ bản 27

1.3 Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài toán toán

1.4 Số lượng các KNV trong SGK và SBT hình học 10 nâng cao 37

1.5 Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài toán toán

1.6 Số lượng các KNV trong Precalculus (Demana) 54

1.7 Phân bố các KNV trong Precalculus (Demana) thuộc bài toán ngoài

1.8 Tỉ lệ giữa bài toán loại 1 và loại 2; KNV thuộc bài toán toán học và

2.1 Mục đích câu hỏi trong bài toán thực nghiệm 64

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

1.1 Các chương trong sách Precalculus (Demana) 40

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

1.1 Mối quan hệ giữa các tổ chức toán học trong SGK hình học 10

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chúng tôi chọn đề tài này vì các lí do sau đây:

1.1 Chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo

Từ một tham luận tại hội thảo về định hướng chương trình giáo dục phổ thông của nước ta sau 2015, chúng tôi ghi nhận được những ý kiến chung của Bộ Giáo dục – Đào tạo:

Lựa chọn nội dung giáo dục là những tri thức cơ bản của nhân loại, những thành tựu khoa học công nghệ và những giá trị lịch sử, tinh hoa văn hóa dân tộc phải đảm bảo vừa hội nhập quốc tế, vừa gắn kết với thực tiễn nước ta trong giai đoạn

công nghiệp hóa, hiện đại hóa Nội dung được thiết kế theo hướng giảm tính hàn lâm,

tăng tính thực hành và ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn để tạo

điều kiện phát triển các năng lực chung, năng lực riêng biệt cho HS; dung lượng học tập phải phù hợp với thời lượng học tập

Như vậy, Toán học với tư cách là một môn học cơ bản, xuyên suốt ở các cấp học, có vai trò nền tảng trong hình thành năng lực của HS tất yếu phải đảm bảo những đặc trưng quan trọng đó

Những yêu cầu này cũng đã được nhấn mạnh từ trước, trong chương trình 2008

Cụ thể, sách GV Đại số 10 (tr 3, 4) có đưa ra ba định hướng nhằm đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục như sau:

1 Tăng cường tính thực tiễn và tính sư phạm, giảm nhẹ yêu cầu quá chặt

chẽ về lí thuyết […]

2 Xây dựng nội dung chương trình đáp ứng mục tiêu môn học, đồng thời

chú ý đáp ứng yêu cầu của một số môn học khác như Vật lí, Sinh học […]

3 Hội nhập […]

(Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, và Nguyễn Tiến Tài, 2013)

1.2 Bản thân đối tượng nghiên cứu

Mô hình hóa toán học với những thế mạnh trong việc rèn luyện năng lực khám phá, suy luận, sáng tạo và giải quyết vấn đề của HS là sự lựa chọn rất tốt cho chúng tôi để xây dựng những tình huống dạy học đáp ứng những tiêu chí trên

Khi tìm kiếm những kiến thức toán học có khả năng gắn với mô hình hóa, chúng tôi thấy định lí côsin với ứng dụng rộng rãi của nó trong thực tế là đối tượng toán học thích hợp để lựa chọn

1.3 Ghi nhận từ thăm dò HS và GV

Trong tháng 4/2018, chúng tôi thực hiện một cuộc phỏng vấn nhỏ với 10 HS lớp 11 trường THPT Nguyễn Trãi, Đồng Nai để tìm hiểu suy nghĩ của HS về tính ứng dụng thực tế của định lí côsin Dưới đây thống kê một số câu trả lời:

Theo em định lí côsin dùng để làm gì? Em có nhớ bài toán thực tế nào

trong SGK có sử dụng định lí côsin không?

 Tính cạnh trong tam giác, tính góc

 Tính cạnh của tam giác bất kì

 Tính mấy bài trong tam giác, để

Theo thầy cô, khi cho một bài toán thực tế cần phải vận dụng định lí côsin để giải quyết thì HS lớp 11 có làm được không?

Ý kiến chung nhận được là: Đa số HS không còn nhớ đến công thức của định lí, chưa nói đến chuyện vận dụng giải quyết vấn đề Chỉ một số ít HS giỏi là còn nhớ

Từ những ghi nhận trên ở 1.1, 1.2, 1.3, chúng tôi nảy sinh ra những câu hỏi ban đầu:

1 SGK hình học 10 đã trình bày ứng dụng của định lí côsin trong thực tế như thế nào?

2 Chúng ta có thể xây dựng một tiến trình dạy học tích cực, cụ thể là mô hình hóa nhằm rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn, mở rộng hiểu biết của HS

về vai trò của định lí côsin không?

1.4 Tổng quan về một số công trình nghiên cứu liên quan

Chúng tôi bắt đầu tìm kiếm những kết quả liên quan đến mô hình hóa và định lí côsin trong chuyên ngành Didactic Toán:

 Mô hình hóa:

Nguyễn Thị Tân An (2014) Sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của HS lớp 10 Luận án tiến sĩ Trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh:

Luận án đã:

Xây dựng một cách phân loại các tình huống toán học

Xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp và khả thi với chương trình

Hướng dẫn cụ thể các bước của quá trình mô hình hóa cho HS

Làm rõ mối liên hệ giữa năng lực hiểu biết định lượng và quá trình toán học hóa

Thiết kế và phân loại theo mức độ 19 tình huống toán học hóa có trong ba chủ

đề của lớp 10 nâng cao: hàm số bậc hai, bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất, hệ thức lượng trong tam giác

Xây dựng riêng một thang đánh giá để đo năng lực hiểu biết định lượng của HS khi đang xử lí một tình huống toán có yếu tố định lượng

Qua công trình, chúng tôi thu thập được một vài kinh nghiệm về cách chọn bài toán cũng như xây dựng bài toán thực nghiệm sao cho đúng mục đích của mình

 Định lí côsin:

 Lê Thị Bích Liễu (2012) Định lý hàm số côsin trong chương trình toán

– hình học 10 ở trường phổ thông Luận văn tốt nghiệp đại học Trường

đại học Cần Thơ:

Luận văn đã nêu một số thông tin về định lí côsin, trình bày sáu cách chứng minh định lí này Sau đó đã phân tích định lí côsin trong sách giáo khoa hình học 10 hiện hành, ứng dụng định lí côsin vào giải các bài toán cụ thể, chủ yếu về các bài toán toán học Đối với bài toán ngoài toán học thì đề bài chỉ là ngữ cảnh thực tế được lồng ghép vào Vì ngay trong đề bài đã cho thấy HS cần phải vẽ mô hình gì Ví dụ: “Một tấm bìa hình thang cân có đường chéo là d, đáy nhỏ là a Tính các cạnh còn lại và diện tích tấm bìa.” (Bài tập 2 trang 41) Và cuối cùng, tác giả xây dựng các giáo án

đề nghị sử dụng trong giảng dạy định lí này

Phạm vi lí thuyết tham chiếu của luận văn không thuộc trường phái Didactic Toán nhưng luận văn vẫn có thể hữu ích cho chúng tôi về mặt nào đó

Đối tượng khảo sát ở luận văn tiếp theo dưới đây thuộc chương trình thí điểm THPT trở về trước, nhưng chúng có thể liên quan đến chủ đề của chúng tôi:

 Nghiêm Thị Xoa (2006) Máy tính bỏ túi và lượng giác trong chủ đề

dạy học “Giải tam giác” Luận văn thạc sĩ Trường đại học Sư phạm

thành phố Hồ Chí Minh:

Kết quả luận văn cho thấy máy tính bỏ túi trong các chương trình toán ở trường phổ thông Việt Nam vẫn chủ yếu giữ vai trò là công cụ tính toán; các quy tắc hợp đồng được tìm thấy liên quan đến đối tượng lượng giác trong hoạt động giải tam giác;

từ nghiên cứu thực hành dạy học của GV, quy tắc hợp đồng đã được thể hiện rõ; cuối cùng qua nghiên cứu nảy sinh ra giả thuyết và đã kiểm chứng được

Những nhận xét của tác giả có liên quan đến định lí côsin có thể sẽ giúp ích cho chúng tôi sau này

Như vậy, chúng tôi nghĩ rằng giới hạn trong chuyên ngành didactic toán Việt Nam thì trước đó có thể chưa có công trình nào khai thác về mô hình hóa định lí côsin

và tất cả những lí do trên đưa chúng tôi đến quyết định nghiên cứu đề tài: “Mô hình

hóa trong dạy học định lí côsin ở hình học lớp 10”

2 PHẠM VI LÍ THUYẾT THAM CHIẾU (DIDACTIC TOÁN)

Để có cơ sở lí luận cho câu hỏi ban đầu, chúng tôi chọn các lí thuyết sau với mục đích:

 Tình huống có vấn đề: Tình huống trong đó tồn tại một vấn đề, với vấn đề

ở đây là những khó khăn trong nhận thức, được chủ thể ý thức một cách rõ ràng hoặc mơ hồ, chưa có phương pháp mang tính thuật toán để giải quyết

 Tình huống gợi vấn đề: Thỏa mãn 3 điều kiện: Tồn tại một vấn đề, gợi nhu cầu nhận thức và gây niềm tin ở khả năng

 Bài toán thực tiễn (bài toán thực tế): Được hiểu theo nghĩa rộng Tức có thể là bài toán với các yếu tố thực tiễn “thực” hoặc mô phỏng thực tiễn

“thực” (các số liệu đã được làm đẹp, kết quả tính ra không phức tạp …) Theo Y Chevallard (1984) và L Coulange (1997) thì bài toán được chia làm ba loại: Bài toán thực tiễn, bài toán phỏng thực tiễn và bài toán toán học Vì vậy, với việc hiểu theo nghĩa rộng trên, chúng tôi đồng nhất các khái niệm bài toán ngoài toán học với bài toán thực tiễn để sử dụng sau này

Một vài tiến trình dạy học định lí:

 Tiến trình bài toán – định lí:

 Pha 0: Tạo động cơ

 Pha 1: Giải các bài toán

 Pha 0: Tạo động cơ

 Pha 1: Phát biểu định lí

 Pha 3: Chứng minh hay công nhận định lí

 Pha 4: Củng cố, vận dụng

Sơ lược về mô hình hóa toán học:

Theo Nguyễn Thị Nga (2016) thì:

Mô hình toán học có thể hiểu là một cấu trúc toán học (đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ phương trình, biểu thức đại số, hàm số, hình hình học, …) gồm các kí hiệu

và các quan hệ toán học mà nó biểu diễn, mô tả đặc điểm một tình huống

Mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này

Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề ngoài toán học sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận

Có nhiều sơ đồ trình bày quá trình mô hình hóa một vấn đề thực tiễn khác nhau Trong đó chúng tôi chọn sơ đồ của Coulange (1997) để trình bày:

Sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học (Coulange, 1997)

Quá trình này gồm 4 bước:

Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành mô hình trung gian (xây dựng

mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố quan trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo)

Bước 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học (khi có mô hình trung gian, ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét Từ đó dẫn đến việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham

- Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế thì ta chấp nhận

- Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế Khi đó cần xem xét các nguyên nhân như:

+ Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình

+ Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét + Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng

+ Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế

Trong trường hợp này, cần phải thực hiện lại quy trình trên cho đến khi tìm được mô hình toán học thích hợp cho tình huống

Theo Lê Văn Tiến (2005) thì:

 Dạy học mô hình hóa là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Quy trình dạy học mô hình hóa:

Dạy học tri thức toán học lí thuyết → Vận dụng tri thức này vào giải bài toán thực tiễn: xây dựng mô hình toán học, giải mô hình toán học, trả lời cho bài toán thực tiễn

 Dạy học bằng mô hình hóa: Là dạy học thông qua dạy học mô hình hóa Tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thực tiễn

Quy trình giống quy trình trên nhưng thêm giai đoạn nảy sinh ra tri thức mới trước đó:

Bài toán thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải bài toán thực tiễn

Quy trình dạy học bằng mô hình hóa cho phép khắc phục khiếm khuyết: tri thức

toán học không còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn mà nó tồn

tại trong quy trình dạy học mô hình hóa

3 MỤC TIÊU VÀ CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

Mục tiêu của luận văn là:

Xây dựng một tiến trình dạy học bằng mô hình hóa nhằm dạy ứng dụng của định lí côsin cho HS, giúp HS tham gia vào quá trình mô hình hóa toán học

Từ lí thuyết tham chiếu, mục tiêu được chúng tôi cụ thể hóa thành các câu hỏi nghiên cứu như sau:

1 Định lí côsin ra đời như thế nào? Có vai trò gì trong thực tiễn?

2 Quan hệ của thể chế dạy học hình học 10 đối với định lí côsin trong mối liên

hệ với mô hình hóa ra sao?

3 Cùng tri thức này thì thể chế dạy học Việt Nam và thể chế dạy học một nước khác có những tương đồng và khác biệt gì?

4 Xây dựng một tiểu đồ án dạy học bằng mô hình hóa định lí côsin cụ thể ra sao để giúp HS có cơ hội làm việc với mô hình hóa toán học, đồng thời mở rộng hiểu biết của HS về vai trò của định lí côsin?

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp luận nghiên cứu có thể được sơ đồ hóa như sau:

Vậy nhiệm vụ nghiên cứu của chúng tôi là:

1 Tìm hiểu một số yếu tố về định lí côsin

2 Rà soát, phân tích chương trình và SGK Việt Nam, Mỹ

3 Từ 1, 2 hình thành ý kiến, quan điểm dạy học để xây dựng thực nghiệm sát với mục tiêu

4 Xây dựng tiến trình dạy học, nghiên cứu các bài toán thực nghiệm, phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm

5 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn gồm các phần chính như sau: Mở đầu, hai chương và kết luận, trong đó:

Mở đầu: Sơ lược một số yếu tố về định lí côsin

Chương 1: Mô hình hóa đối với định lí côsin trong dạy học ở Việt Nam và Mỹ Phân tích và so sánh hai thể chế nhằm tìm ra những mặt tích cực và hạn chế, phục vụ cho việc xây dựng thực nghiệm

Chương 2: Nghiên cứu thực nghiệm

Nhằm xây dựng tiểu đồ án dạy học bằng mô hình hóa, thực nghiệm và rút ra kết luận

6 SƠ LƯỢC MỘT SỐ YẾU TỐ VỀ ĐỊNH LÍ CÔSIN

Mục này giúp giải đáp câu hỏi 1: Định lí côsin ra đời như thế nào, có vai trò gì trong thực tiễn?

Định lí côsin ở đây được nói đến trong phạm vi hình học Euclid (không phải hình học phi Euclid)

 Về sự xuất hiện

Theo Pickover (2009) thì từ thế kỉ III trước công nguyên, định lí côsin đã ngầm xuất hiện trong công trình Những nguyên lí của Euclid Để cụ thể hơn, chúng tôi dịch

ở mệnh đề 12, quyển 2 (thể loại thuộc đại số hình học) trong bản tiếng Anh của Fitzpatrick như sau:

Trong các tam giác tù, hình vuông trên cạnh đối diện góc tù lớn hơn (tổng

của) các hình vuông trên hai cạnh chứa góc tù hai lần hình chữ nhật gồm một trong các cạnh là cạnh kề góc tù – cạnh mà có đường thẳng vuông góc hạ xuống,

và đoạn thẳng bị chặn lại bên ngoài tam giác bởi đường vuông góc hướng về góc

tù

(Fitzpatrick, 2008) (Từ mệnh đề thứ 35 của quyển 1, Euclid đã mở rộng “sự bằng nhau” là “bằng nhau về diện tích”, thay vì “trùng khít lên nhau” (Fitzpatrick, 2008) Do đó sự so sánh lớn hơn, nhỏ hơn giữa các hình hay các thao tác thêm bớt các hình là làm việc trên diện tích của chúng Như vậy, hình vuông hay hình chữ nhật trong phát biểu trên tức

là diện tích hình vuông, diện tích hình chữ nhật)

Có thể hiểu định lí này theo ngôn ngữ hiện tại là:

“Trong một tam giác tù, bình phương cạnh đối diện góc tù bằng tổng bình phương của hai cạnh bên rồi cộng thêm hai lần tích của một cạnh bên và hình chiếu vuông góc của cạnh bên còn lại trên cạnh bên đó”

Có thể thấy một sự tương ứng giữa mệnh đề 12 của Euclid và định lí côsin bây giờ:

Vào lúc đó, đối tượng mà Euclid làm việc là các tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, đường tròn … và sử dụng những định nghĩa, tiên đề, mệnh đề riêng của mình để chứng minh các phát biểu của ông Ví dụ như theo Fitzpatrick (2008):

Tiên đề 2, quyển 1: “Nếu cùng thêm những thứ bằng nhau vào những thứ bằng

Chúng tôi diễn tả lại cách chứng minh của Euclid theo cách viết bây giờ cho gọn hơn (tức diện tích hình vuông sẽ thay bằng bình phương cạnh hình vuông, tương

tự cho hình chữ nhật):

Vì DC bị điểm A chia cắt nên theo mệnh đề 4 quyển 2 thì:

𝐷𝐶2 = 𝐶𝐴2+ 𝐴𝐷2+ 2 𝐶𝐴 𝐴𝐷 Thêm vào hai vế với 𝐷𝐵2, ta được:

𝐷𝐵2+ 𝐷𝐶2 = 𝐷𝐵2+ 𝐶𝐴2+ 𝐴𝐷2+ 2 𝐶𝐴 𝐴𝐷

(Tiên đề 2, quyển 1)

Ta có 𝐶𝐵2 = 𝐶𝐷2+ 𝐷𝐵2 và 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2+ 𝐷𝐵2 do góc D vuông (Mệnh đề 47, quyển 1)

Vì vậy 𝐶𝐵2 = 𝐶𝐴2+ 𝐴𝐵2+ 2 𝐶𝐴 𝐴𝐷

Trường hợp dành cho góc nhọn cũng được phát biểu trong mệnh đề 13 tiếp theo của quyển 2:

Trong các tam giác nhọn, hình vuông trên cạnh đối diện một góc nhọn bé

hơn (tổng của) các hình vuông trên hai cạnh chứa góc nhọn đó hai lần hình chữ

nhật gồm một trong các cạnh là cạnh kề góc nhọn đó – cạnh mà có đường vuông góc hạ xuống, và đoạn thẳng bị chặn lại bên trong tam giác bởi đường vuông góc

hướng về góc nhọn

(Fitzpatrick, 2008) Minh họa bài toán:

Tam giác ABC nhọn Xét góc nhọn B, khi đó ta có:

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2− 2 𝐵𝐶 𝐵𝐷 Chứng minh tương tự như trên Và theo cách lí luận hiện đại thì 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐵, khớp với công thức định lí côsin 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2− 2 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐵

Tới thế kỉ XV, nhà thiên văn học, toán học người Ba Tư al – Kashi cung cấp các bảng lượng giác chính xác và diễn đạt định lí theo một dạng phù hợp cách sử

dụng hiện đại (Pickover, 2009) Do không tìm thấy tài liệu nên chúng tôi không biết ông đã biểu diễn định lí thế nào

Sau đó một thế kỉ, định lí côsin được Viète tìm ra độc lập với al – Kashi (Pickover, 2009) và Viète đã phát biểu vào năm 1593 (Sullivan, 2012) Cuối cùng, định lí côsin có biểu thức như ngày nay nhờ vào sự đổi mới của hệ thống biểu đạt toán học

Như vậy, định lí côsin có mầm mống từ những bài toán hình học, qua các thời

kì phát triển của toán học mà có được cách viết này

Các cách chứng minh định lí côsin đã có trong nhiều tài liệu nên chúng tôi không trình bày lại Trở lại với công thức định lí côsin:

Trong tam giác ABC cho trước, ta có

𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2− 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 với 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑎

Có bốn yếu tố xuất hiện trong biểu thức: ba cạnh và một góc trong tam giác Vì đây là phương trình bậc hai đơn giản nên khi cho ba yếu tố trong tam giác này, ta sẽ tìm được yếu tố còn lại: ba cạnh  góc, hai cạnh và một góc  cạnh Như vậy, các trường hợp khác nhau khi sử dụng đến định lí côsin có thể là:

Cho Tìm c.c.c g c.g.c c c.c.g c

Tuy nhiên, với thông tin hai cạnh và một góc đối (c.c.g) tùy ý thì tam giác có thể không tồn tại, xác định duy nhất hoặc tồn tại cả hai tam giác Hình ảnh sau có thể minh họa rõ hơn

(Larson, 2013) Lúc này, khi thế các giả thiết vào công thức định lí côsin thì hệ thức trở thành phương trình bậc hai một ẩn với ẩn là cạnh chưa biết Vì thế mà giá trị cạnh cần tính cũng có

thể cho kết quả âm (không tồn tại tam giác), ra một nghiệm dương (tồn tại duy nhất tam giác) hoặc hai nghiệm dương (có hai tam giác thỏa mãn)

 Về tính ứng dụng trong thực tế

Định lí côsin dễ dàng được ứng dụng trong những tình huống có mô hình gần giống với tam giác Trong một số giáo trình sử dụng cho bậc THPT ở một số nước nói tiếng Anh như Precalculus 4e (Blitzer, 2007), Precalculus 9e (Larson, 2013), Precalculus 6e: Mathematics for calculus (Stewart, Redlin, & Watson, 2010) và Algebraic & Trigonometry (Sullivan, 2012), chúng tôi thấy định lí côsin được áp dụng cho một số trường hợp như:

 Tính được khoảng cách giữa hai vị trí bị cản trở, khó đo đạc

(Stewart, Redlin, & Watson, 2010) (Stewart, 2010)

 Tính góc so với một hướng cố định đã biết để tìm được hướng cần

đi tới điểm đến

(Sullivan, 2012) (Blitzer, 2007)

 Tính toán độ dài, khoảng cách thông thường

(Larson, 2013) (Larson, 2013) (Sullivan, 2012)

 Tính toán góc, độ dài trong mô hình tam giác thay đổi

(Larson, 2013) (Larson, 2013)

Có thể thấy định lí côsin là biểu thức dùng tính toán các yếu tố về cạnh và góc trong tam giác Điều đó dẫn đến các vấn đề thực tế muốn được định lí côsin giải quyết thì phải tồn tại mô hình tam giác tương ứng

Như vậy, định lí côsin đã xuất hiện từ thời Euclid trong hình hài của một mệnh

đề về các hình đa giác, mà việc chứng minh chúng phải dựa vào hệ thống các tiên đề, định đề, định nghĩa, mệnh đề do Euclid xây dựng nên Trải qua một thời gian rất dài, đến thế kỉ XV, al – Kashi mới công bố về định lí côsin với cách diễn đạt thuận tiện

và tổng quát hơn Viète độc lập tìm ra định lí côsin vào thế kỉ XVI Cuối cùng, định

lí côsin đã được sử dụng như cách viết hiện nay

Định lí côsin có nhiều ứng dụng hữu ích trong thực tiễn, liên quan đến nhu cầu tính toán khoảng cách, góc trong những mô hình tam giác Pickover (2009) cũng đã nhận xét rằng “ứng dụng của định lí trải dài từ khảo sát địa chất đến tính toán đường bay của máy bay”

Những ghi nhận trên cho chúng ta thấy từ thời Hy Lạp cổ đại đến nay, định lí côsin đã được sử dụng trong những tính toán hình học và nó là công cụ không thể thiếu được trong các đo đạc thực tế hay mô phỏng

Với hệ thống công cụ toán học đầy đủ như bây giờ cũng như sự đa dạng của khoa học giáo dục, chúng ta có nhiều thuận lợi trong việc xây dựng được tình huống dạy học tích cực cho HS Để phục vụ mục đích dạy học này, theo chúng tôi, có thể

chọn những ứng dụng thức tế trên để xây dựng một quy trình dạy học: Từ nhu cầu giải quyết vấn đề thực tế mà giúp HS tìm ra định lí côsin

Chương 1 MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN

Ở VIỆT NAM VÀ MỸ

Mục đích phân tích: Trả lời cho câu hỏi 2, 3: “Quan hệ của thể chế dạy học hình học 10 đối với định lí côsin trong mối liên hệ với mô hình hóa ra sao? Cùng tri thức này thì thể chế dạy học Việt Nam và thể chế dạy học một nước khác có những tương đồng và khác biệt gì?”

Chúng tôi chọn sách giáo khoa Mỹ Cụ thể là sách Precalculus (gọi tắt là P) của Franklin D Demana và các cộng sự, xuất bản năm 2011 Giáo trình này sử dụng cho bậc THPT, có nội dung khá phong phú về các vấn đề toán học và vận dụng nó vào thực tế

Việc phân tích, so sánh hai thể chế dạy học định lí côsin ở Việt Nam và Mỹ nhằm mục đích tìm kiếm các đặc trưng của mô hình hóa, những điểm tích cực và hạn chế Kết quả đó có thể là cơ sở để chúng tôi xây dựng thực nghiệm

Để tiện trình bày, chúng tôi gọi tắt SGK hình học 10 cơ bản là H1, SGK hình học 10 nâng cao là H2

1.1 DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN Ở VIỆT NAM

1.1.1 Mô hình hóa trong hình học 10 cơ bản

 Chương trình hình học 10 cơ bản:

Trích dẫn từ SGV hình học 10 tr 18, 19:

(Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, và Trần Đức Huyên, 2006) Định lí côsin xuất hiện trong chủ đề “Các hệ thức lượng trong tam giác”, thuộc chương tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Trước đó HS đã biết đến những kiến thức liên quan như: định lí Py – ta – go, các hệ thức lượng trong tam giác vuông

ở cấp 2

Dựa vào chương trình trên thì bước đầu có thể thấy thể chế dạy học hình học 10

có quan tâm đến định lí côsin về cả hai mặt: giải bài toán thuần toán học (cụ thể là vận dụng định lí côsin vào giải một số bài toán tam giác) và ứng dụng giải bài toán thực tế Để tìm hiểu chi tiết hơn về mối quan hệ của thể chế dạy học này đối với định

lí côsin, chúng tôi phân tích đồng thời SGK, SBT và SGV

 Sách giáo khoa hình học 10 cơ bản:

 Lí thuyết

H1 trình bày các nội dung theo thứ tự sau: Định lí côsin, hệ quả của định lí côsin,

độ dài đường trung tuyến, ví dụ áp dụng

 Định lí côsin:

Trước khi giới thiệu định lí côsin, một hoạt động tr 46, 47 được đưa ra về các

hệ thức lượng trong tam giác vuông để gợi nhắc HS nhớ lại kiến thức cũ:

(Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, và Trần Đức Huyên, 2014) Điều này cũng được khẳng định trong SGV (tr 61):

(Trần Văn Hạo et al., 2006) Sau đó H1 đi vào tìm hiểu định lí côsin Sự trình bày định lí côsin đi theo tiến

trình Bài toán → Định lí, cụ thể hơn có thể minh họa như sau (tr 47, 48):

Tình huống có vấn đề Giải quyết vấn đề Định lí

(Trần Văn Hạo et al., 2014) Thật vậy, tình huống yêu cầu tính cạnh của một tam giác bất kì khi biết hai cạnh

và một góc xen giữa hai cạnh đó Điều này là một sự mới mẻ với HS vì trước đó việc

tính cạnh được thực hiện trên tam giác vuông Có thể xem đây là một vấn đề đối với

HS do chưa có một phát biểu nào về phương pháp tính trong trường hợp tam giác bất

kì này cả

Chuyển sang bước giải quyết vấn đề, có nhiều cách chứng minh định lí côsin nhưng H1 đã chọn phương pháp về vectơ để có thể đơn giản cách giải, gần gũi với kiến thức tích vô hướng của HS Đối với chúng tôi, sự lựa chọn này phù hợp

Kết quả của việc giải quyết bài toán cho ra định lí côsin được thể chế hóa như trên

Hoạt động 2 tiếp theo, HS được yêu cầu phát biểu định lí bằng lời SGV cũng

đã nói rõ cần tập cho HS phát biểu bằng lời như sau:

(Trần Văn Hạo et al., 2006) Hoạt động này nhằm tạo ra sự ghi nhớ bằng lời ở HS, mà việc ghi nhớ có thể sẽ hiệu quả không kém công thức và giúp hiểu định lí côsin một cách rõ ràng

Câu hỏi “Khi ABC là tam giác vuông, định lí côsin trở thành định lí quen thuộc nào?” ở hoạt động 3 (H1, tr 48) tiếp tục là gợi ý để dẫn đến mạch suy luận: định lí

côsin là trường hợp mở rộng của định lí Py – ta – go, cho phép HS liên hệ giữa hai định lí

Như vậy, định lí côsin được trình bày theo dạng Bài toán → Định lí, có xuất phát từ một tình huống có vấn đề và tiến hành giải quyết tình huống để tìm ra định lí

Vì bài toán là thuần toán học nên mô hình hóa toán học không có lí do để xuất hiện

ở phần này

 Hệ quả định lí côsin:

Từ việc biết hai cạnh và một góc xen giữa trong tam giác, tính cạnh còn lại thì tồn tại vấn đề khác là biết ba cạnh trong tam giác, tính một trong các góc Hệ quả

của định lí côsin cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ trên:

(Trần Văn Hạo et al., 2014) Mặc dù SGK trình bày ngay hệ quả nhưng SGV (tr 63) cũng gợi ý “nên cho HS

tự tìm hiểu và có thể cho HS làm các ví dụ tại lớp học”

 Độ dài đường trung tuyến:

Đây là một mảng ứng dụng định lí côsin và hệ quả để tính được độ dài đường trung tuyến theo ba cạnh tam giác và từ đó, kết quả tìm ra được khái quát thành công thức độ dài đường trung tuyến Cụ thể là:

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

Để thực hành thì sau khi đã trình bày phần chứng minh công thức, H1 đưa ra hoạt động 4 (tr 49): “Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8 cm và c = 6cm Hãy tính

độ dài đường trung tuyến 𝑚𝑎 của tam giác ABC đã cho”

 Ví dụ áp dụng:

Có hai ví dụ được đưa ra để củng cố định lí côsin và hệ quả của nó

Ví dụ 1 là một bài toán toán học Nó dễ dàng được giải quyết bằng việc áp dụng trực tiếp định lí côsin và hệ quả:

“Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10 cm, BC = 16 cm và góc 𝐶̂ = 110° Tính cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.” (H1, tr 49)

Ở ví dụ 2, nhiệm vụ đã được mở rộng hơn với một bài toán ngoài toán học, thuộc lĩnh vực vật lí: “Hai lực 𝑓⃗⃗⃗ và 𝑓1 ⃗⃗⃗ cho trước cùng tác dụng lên một vật và tạo 2thành góc nhọn (𝑓⃗⃗⃗ , 𝑓1 ⃗⃗⃗ ) = 𝛼 Hãy lập công thức tính cường độ của hợp lực 𝑠 ” (H1, 2

- Bước đầu cần tiến hành đó là lập mô hình trung gian, mô hình toán học

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

- Việc kế tiếp là làm việc với mô hình toán học

- Cuối cùng, cần trả lời cho câu hỏi ban đầu Do đặc điểm bài toán nên bước này rơi vào khả năng 1 Ta chỉ thấy H1 chọn giá trị không âm để phù hợp với kiểu đại lượng về cường độ

Mô hình hóa trong ví dụ 2 hoàn toàn đơn giản, không đòi hỏi HS phải huy động nhiều kiến thức Mặt khác đến thời điểm này, HS đã biết về tổng của hai vector ở phần đầu của hình học 10, tổng hợp và phân tích lực ở đầu chương II vật lí 10 và đã thực hành với các dạng bài này rất nhiều nên chúng tôi đánh giá đây là bài toán không gây nhiều khó khăn cho HS

Ngoài 4 phần chính mà chúng tôi phân ra, định lí côsin và hệ quả của nó còn

được xuất hiện trong lời giải của ví dụ 2 thuộc mục công thức tính diện tích tam

Độ dài vectơ chính là độ dài

đoạn thẳng Đoạn thẳng này được nhìn

như là cạnh trong một tam giác và áp

dụng định lí côsin để thiết lập công

thức Sử dụng thêm kiến thức về hai

cung bù nhau để cho ra kết quả tối

giản

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

Các lực trong vật lí đã được mô hình hóa thành các vectơ trong toán học có điểm đầu và điểm cuối Hợp lực cần tìm chính là tổng của hai vectơ này Mô hình tạo thành có hình bình hành và HS cần chọn cho mình một tam giác thành phần để làm việc với nó

giác (tr 55), lời giải ví dụ 2 và 3 ở phần giải tam giác (tr 56) nhưng vẫn là các bài

toán thuần toán học

(Trần Văn Hạo et al., 2014) Như vậy trong phần lí thuyết, mô hình hóa chỉ xuất hiện ở một ví dụ về tính cường độ hợp lực với thao tác lập mô hình toán học, giải mô hình toán học dễ dàng

và chưa mang nhiều tính thực tế Những hoạt động còn lại là giải các bài toán toán học và chỉ cần ghi nhớ công thức để giải quyết bài toán

Tiếp nối, chúng tôi sẽ khảo sát trong hệ thống bài tập các kiểu nhiệm vụ được đặt ra và chú ý đến những bài toán thực tiễn, để nghiên cứu các bước mô hình hóa có thể được thực hiện trong đó

Bảng 1.1 Các tổ chức toán học trong SGK hình học 10 cơ bản

Kiểu nhiệm vụ T Kĩ thuật 𝝉

𝜽𝟎:

Hệ quả định lí côsin

𝟎:

Định lí côsin

→ 𝐓𝟎 là KNV con của 𝐓𝟏

𝜽𝟏:

- 𝜽𝟎

- Máy tính bỏ túi có chức năng này

𝜽𝟐: Định lí côsin

𝟐: Các yếu tố dùng chứng minh định lí côsin

→ Từ hướng dẫn như trên của SGV,

ta thấy 𝐓𝟐, 𝐓𝟏 là các KNV con của

𝐓𝟑 Để giải quyết KNV 𝐓𝟑 này đòi

hỏi HS không những nhớ được từng công thức (định lí, hệ quả) mà còn phải biết quan sát để liên kết chúng lại

- 𝜽𝟏

𝟒:

- Chứng minh cho 𝜽∗

tạo bởi hai lực đó

Đây là bài toán ngoài toán học xuất hiện ở ví dụ 2 tr 50, các bước giải

đã được nêu ở trên

KNV 𝐓𝟕: Cụ thể:

(Trần Văn Hạo et al., 2014)

Kĩ thuật 𝝉𝟕: Trích SGV tr 72

(Trần Văn Hạo et al., 2006)

góc lớn nhất), 𝐓𝟓 (nhận dạng tam giác); 𝜽𝟏 kết hợp với 𝜽𝟐 cho ra KNV 𝐓𝟑(tính góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa) KNV khác như 𝐓𝟔 (chứng minh

hệ thức) và 𝐓𝟕 (chứng minh mệnh đề) được đặt ra giúp rèn luyện kĩ năng chứng

minh và biến đổi hệ thức cho HS

- Riêng 𝐓𝟖 (tính cường độ hợp lực) là bài toán ngoài toán học duy nhất, nằm

trong phần ví dụ Ngoài ra chúng tôi không tìm thấy bất cứ KNV nào khác là bài toán ngoài toán học liên quan đến định lí côsin

Các KNV trong SBT tương tự trong H1 là 𝐓𝟏, 𝐓𝟐, 𝐓𝟒, 𝐓𝟔, không có KNV 𝐓𝟎,

𝐓𝟑, 𝐓𝟓, 𝐓𝟕 và 𝐓𝟖 Thay vào đó SBT có thêm KNV khác là:

𝐓𝟗: Tính góc, cạnh, côsin của góc trong các bài toán hình học phẳng (đặc điểm:

Đề bài cho giả thiết liên quan đến trung tuyến, một hệ thức cho trước) Kĩ thuật giải dựa vào từng bài toán cụ thể

Chúng tôi thấy có KNV tính góc (c.c.c), tính cạnh (c.g.c) nhưng không có mặt KNV tính cạnh (c.c.g) như phần mở đầu luận văn đề cập

 Để đánh giá KNV nào được ưu tiên, chúng tôi liệt kê số lần có mặt

Bảng 1.3 Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài toán toán học trong chương trình hình học 10 cơ bản

KNV thuộc bài toán thực tế KNV thuộc bài toán toán học

Từ bảng 1.2 cho thấy KNV 𝐓𝟏, 𝐓𝟐 chiếm tỉ lệ vượt trội trong tất cả các KNV,

các KNV còn lại là 𝐓𝟎, 𝐓𝟑 đến 𝐓𝟗 chiếm số lượng rất ít ỏi

Bài toán ngoài toán học duy nhất là bài toán chứa KNV 𝐓𝟖 – tính cường độ hợp

lực, tri thức sử dụng cho KNV này là định lí côsin áp dụng trong trường hợp cạnh – góc – cạnh trong tam giác để tìm cạnh còn lại Bảng 1.3 cho thấy số lượng hiếm hoi của các KNV thuộc bài toán thực tế (chỉ chiếm 3%)

 Kết luận về thể chế dạy học hình học 10 cơ bản:

- Thể chế quan tâm nhiều đến các bài toán toán học với hai KNV trọng tâm là tính cạnh và góc trong tam giác, ứng dụng của định lí côsin trong thực tế không được chú trọng

- Mô hình hóa toán học không được sắp xếp trong phần giới thiệu định lí côsin

và bài tập Chỉ duy nhất một ví dụ minh họa cho định lí là có tính đến mô hình hóa Trong các bước giải ví dụ này thì bước 1, 2, 3 có tồn tại, bước 4 thuộc khả năng 1

Như vậy, vấn đề mô hình hóa đối với định lí côsin hiện diện không đáng kể

trong thể chế dạy học hình học 10 cơ bản

1.1.2 Mô hình hóa trong hình học 10 nâng cao

Sau đây chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thể chế dạy học hình học 10 nâng cao để

có được cái nhìn tổng thể

Khung chương trình của hình học 10 nâng cao về định lí côsin giống khung chương trình của hình học 10 cơ bản Mức độ cần đạt và ghi chú được đưa ra là như nhau

 Lí thuyết

Sự khác biệt trong trình tự đưa vào các khái niệm ở hai SGK:

H2: Định lí côsin  Hệ quả  Ví dụ áp dụng  Độ dài trung tuyến  Công thức Hê – rông  Ví dụ áp dụng

H1: Định lí côsin  Hệ quả  Độ dài trung tuyến  Ví dụ áp dụng

 Định lí côsin:

Bắt nguồn từ việc chứng minh định lí Py – ta – go theo phương pháp vectơ, tác giả đã để lại một khuôn mẫu với dụng ý hướng HS đến cách làm tương tự nhằm tìm được hệ thức tính cạnh đối với tam giác bất kì Cụ thể:

(Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, và Bùi Văn Nghị, 2012) Câu hỏi 1 đặt ra cho HS để lí giải hạng tử tích vô hướng trong biểu thức bằng 0 Sau đó HS thực hiện hoạt động 1 để tìm ra định lí côsin:

(Đoàn Quỳnh et al., 2012)

Để lí giải cách biên soạn này, SGV hình học 10 nâng cao đã viết:

(Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, và Bùi Văn Nghị, 2011) Điều này có thể cho phép HS có cái nhìn liên hệ từ tam giác vuông (ứng với định lí Py – ta – go) mở rộng phạm vi áp dụng sang tam giác thường (ứng với định lí côsin) Nhưng cách trình bày chứng minh trong tam giác vuông trước đó và yêu cầu của hoạt động 1 có thể sẽ làm giảm vai trò tự chứng minh định lí ở HS

Hoạt động 2 và câu hỏi 2 tiếp theo có cùng mục đích với hoạt động 2 và hoạt động 3 trong SGK cơ bản (phát biểu định lí bằng lời; khi tam giác là vuông thì định

Hoạt động 3 tr 54 được đưa ra: “Từ định lí côsin hãy viết công thức tính giá trị

cosA, cosB, cosC theo a, b, c” là điểm khác nhau tiếp theo giữa hai sách (H1 chỉ dùng

câu dẫn “Từ định lí côsin ta suy ra” và đưa đến hệ quả) Theo chúng tôi, nếu không

có hoạt động 3 này HS vẫn có thể tìm ra được hệ quả

 Ví dụ áp dụng:

Kết thúc phần hệ quả, H2 đưa ra hai ví dụ trong đó ví dụ 1 là bài toán thực tế,

ví dụ 2 là bài toán toán học:

Ví dụ 1: