Tính chất phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH La Hồ Tuấn Duy TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG... Nhiều Quá trình, Hệ thống trong Tự nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

La Hồ Tuấn Duy

TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu

trong luận văn đều chính xác và trung thực

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Bích Huy, người Thầy hướng dẫn khoa học, đã đưa ra định hướng và giúp tôi hoàn thành văn luận này Trong suốt quá trình học các học phần cũng như thực hiện luận văn, Thầy luôn theo dõi, hướng dẫn tận tình để tôi nắm được kiến thức và hoàn thiện luận văn của mình

Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, tất cả quý Thầy, Cô giảng dạy các học phần mà tôi đã được học trong quá trình học Cao học, cùng quý Thầy, Cô công tác ở phòng sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu

Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc

và góp ý giúp luận văn được hoàn thiện

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Giải tích khoa Toán khóa 28 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn

La Hồ Tuấn Duy

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 3

1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 3

1.2 Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact 7

1.3 Phổ biên 9

1.4 Ánh xạ đa trị, tính liên tục 10

Chương 2 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG 13

2.1 Bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính dương 13

2.2 Sự tồn tại vectơ riêng dương 16

2.3 Một số điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương 17

2.4 Ánh xạ dương với nón minihedral 19

2.5 Vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp 23

Chương 3 MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 28

3.1 Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt 28

3.2 Điều kiện để một ánh xạ tuyến tính dương là không phân tích được 28

3.3 Giá trị riêng chính của ánh xạ dương 30

Chương 4 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 36

4.1 Sự tồn tại giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị 36

4.2 Các tính chất của cặp riêng dương 38

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỞ ĐẦU

Các toán tử tuyến tính liên tục là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Giải tích hàm Nhiều Quá trình, Hệ thống trong Tự nhiên và Xã hội đưa đến việc nghiên cứu không phải một ánh xạ tuyến tính đơn lẻ mà thông thường là một họ ánh xạ phụ thuộc các tham số Các tham số này đóng vai trò như các yếu tố trong Tự nhiên, Xã hội, ảnh hưởng đến Quá trình hay Hệ thống đang xét Ta quan tâm đến tính ổn định hoặc không ổn định của Quá trình hay Hệ thống này theo sự biến đổi của các yếu tố ảnh hưởng Các thời điểm xảy ra đột biến, gãy đổ trong Quá trình hay Hệ thống có liên quan đến các giá trị của tham số mà ta gọi là giá trị phổ của ánh xạ tuyến tính mô tả Quá trình hay Hệ thống đó Do đó, việc nghiên cứu tập phổ của các ánh xạ tuyến tính được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu từ rất sớm Lý thuyết phổ là một nhánh nghiên cứu quan trọng của Giải tích hàm và đã thu được các kết quả lý thuyết quan trọng cũng như tìm được các ứng dụng có giá trị trong Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển và tối ưu, trong các bài toán kinh tế

Theo sự phát triển nội tại của Toán học cũng như để ứng dụng giải quyết các bài toán mới phát sinh trong Khoa học, Kỹ thuật và Xã hội mà Lý thuyết phổ có thể được phát triển theo hai hướng Hướng thứ nhất là tăng độ tổng quát của ánh xạ (ánh xạ compact được mở rộng thành ánh xạ Fredholm, ánh xạ hạch, …) và các không gian (thay không gian định chuẩn bằng các không gian đếm được chuẩn, không gian lồi địa phương, …) Hướng thứ hai là nghiên cứu các ánh xạ trong các không gian đặc biệt (có tính chất hình học tốt như không gian lồi đều, không gian có thứ tự)

Lý thuyết về các không gian với thứ tự sinh bởi nón và ánh xạ tác động trong chúng được hình thành từ những năm 1940 trong các công trình nghiên cứu của M.Krein, A.Rutman và được hoàn thiện cho đến ngày nay Việc kết hợp các tính chất tôpô của ánh xạ với các tính chất về thứ tự của ánh xạ đó đã đưa đến những kết quả quan trọng

về phổ của ánh xạ như định lý nổi tiếng của Krein – Rutman với những ứng dụng có giá trị trong Phương trình vi phân và Lý thuyết Điều khiển, …

Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một cách đầy đủ, chi tiết các tính chất đặc biệt về phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính trong không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón, như lớp ánh xạ u – bị chặn, ánh xạ không phân tích được, ánh xạ liên hợp, ánh 0

xạ đa trị, …

Đề tài có ý nghĩa về mặt đào tạo Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn và toàn diện hơn các kiến thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, Giải tích thực; biết vận dụng chúng trong học tập các vấn đề mới Qua quá trình làm luận văn, học viên cũng làm quen với công việc nghiên cứu khoa học

Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên Cao học khi học về Lý thuyết phổ của ánh xạ

Nội dung của đề tài

Chương 1: Trình bày các kiến thức đã được sử dụng trong luận văn

Chương 2: Trình bày về vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương

Chương 3: Trình bày về một số lớp ánh xạ dương và giá trị riêng chính của ánh xạ

dương

Chương 4: Trình bày về giá trị riêng của ánh xạ đa trị

Chương 1 CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG

1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón

1.1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón

Định nghĩa 1.1.1

Cho X là không gian Banach trên trường số thực

1 Tập KX được gọi là nón nếu thỏa các điều kiện sau:

i) K là tập đóng , K  ,

ii) KK K, K K,  0,

iii) K  K   

 Nón K được gọi là thể nón nếu int K  

 Tập KX thỏa điều kiện i) và ii) gọi là cái nêm

Ta kí hiệu K K \ với là phần tử không trong X

2 Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi:

x   y y x K Mỗi xK \  gọi là dương

Mệnh đề 1.1.1

Giả sử " " là thứ tự sinh bởi nón Khi đó:

1 Nếu x y thì x  z y z, xy với mọi zX, với mọi 0

2 Nếu x n y n với mọi n  và limx n x,limy n  y thì x y

3 Nếu  x n là dãy tăng, hội tụ về x thì x n x, với mọi n 

3 Giả sử  x n tăng Khi đó x n  x n m m n,   Cho m  ta được

Giả sử " " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K trong X

1 Nếu uv thì đoạn u v, : xX u:  x v bị chặn theo chuẩn

2 Nếu x n  y n z n,  n  và limx n a, limz n a thì limy n a

3 Nếu  x n đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì limx n a



 Xét dãy S n    u1 u2 u n, ta có:

  Hiển nhiên do định nghĩa K

  Giả sử trái lại f x 0   0, f K nhưng x0 K Do định lý tách tập lồi nên

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K Nón K được gọi là nón

minihedral nếu với mỗi cặp x y, X thì tồn tại sup x y, , inf x y,

Mệnh đề 1.1.6

Cho K là nón sinh, chuẩn, minihedral và x nx y, n y Khi đó, ta có:

inf x y n, n inf x y,

1.2 Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact

Cho X là không gian Banach trên trường và A X: X là ánh xạ tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.2.1

Số  được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại xX x,  sao cho Axx

Vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của A

Nói cách khác,  là một giá trị riêng của toán tử A nếu tồn tại xX x,  sao cho AI x  0

 Nếu  là một giá trị riêng của toán tử A thì toán tử AI không phải đơn ánh

vì tồn tại x để AI x  0 Vậy toán tử AI không khả nghịch

 Ứng với một giá trị riêng, có vô số vectơ riêng

 Với mọi vectơ riêng x của f , V  x là không gian con bất biến một chiều của

 hay nói cách khác, AI không đơn ánh hoặc không toàn ánh Tập

hợp các giá trị phổ của A được gọi là phổ của toán tử A, kí hiệu là  A

Như vậy:

 Nếu  là một giá trị riêng của toán tử A thì    A Khi đó, ker A I gọi

là không gian riêng của A Mỗi x kerAI  \  hay Axx x,  gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng 

2 Số  không thuộc tập phổ  A thì  được gọi là giá trị chính quy của toán tử

A, nghĩa là tồn tại toán tử tuyến tính, liên tục   1

A I 

 Tập \ A được gọi là

tập giải của A, kí hiệu là  A

3 Số r A sup  :   A  gọi là bán kính phổ của A

Định lý 1.2.1 (Xem [9])

Cho X là không gian Banach và A X: X là ánh xạ tuyến tính liên tục

Bán kính phổ của toán tử A được tính bởi   lim n n

Định lý 1.2.2 (Phổ của ánh xạ compact) (Xem [9])

Cho X là không gian Banach với dim X   và A là ánh xạ tuyến tính, hoàn toàn

liên tục Khi đó ta có:

1 0  A

2 Nếu      A \ 0 thì  là giá trị riêng của A

3 Nếu    A \ 0 là vô hạn thì     A \ 0   1 , 2 ,  và lim n 0

1 Không gian vectơ con đóng X của không gian Banach X gọi là bù được nếu tồn 0

tại ánh xạ P X:  X0 tuyến tính, liên tục sao cho P x   x, x X0 , P  1.

2 Không gian vectơ con m chiều X của X gọi là không gian Euclide nếu tồn tại 0

cơ sở e e1, , ,2 e m của X sao cho 0 2 2 2 2

Giả sử X là không gian Banach, không có không gian con Euclide 2 chiều bù được

và A X: X là ánh xạ tuyến tính, hoàn toàn liên tục, với r A  A  1 Khi đó, mọi giá trị riêng thuộc phổ biên là một căn bậc nguyên của 1

Mệnh đề 1.3.1 (Xem [9])

Nếu K là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong không gian Banach X thì tồn tại

song ánh tuyến tính, liên tục f :X C Q  sao cho f K K

Trong đó: C Q  là không gian các hàm liên tục trên tập compact Q

K là nón các hàm không âm trong C Q 

Định lý 1.3.2

Cho K là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong không gian Banach X A X: X

là ánh xạ tuyến tính dương, hoàn toàn liên tục, A u u với uintK Khi đó, mọi

giá trị riêng thuộc phổ biên của A là căn bậc nguyên của 1

Cho X K là một không gian Banach có thứ tự , 

1 Với hai tập con A B, 2 \X   ta định nghĩa

(a) A  1 B nếu    x A y, B sao cho x y

(b) A  2 B nếu    y B x, A sao cho x y

(c) A  3 B nếu xA y,   B x y

Các kí hiệu “ k ”, k1, 2 được sử dụng hoàn toàn tương ứng một cách tự nhiên

2 Ánh xạ F M:  X 2 \X   được gọi là  k – tăng, k 1, 2, nếu

(i) A x( )A y( )A x( y) với mọi x y, X

(ii) A tx tA x với mỗi   t 0,xX

Định nghĩa 1.4.3

Cho X Y, là các không gian Banach và F D:  X 2 \ { }Y  là ánh xạ đa trị

1 Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên trên D nếu tập hợp xD F x:  V là

mở trong D , với mọi tập con mở V Y

2 Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới trên D nếu tập hợp

xD F x: ( )  V  là mở trong D , với mọi tập con mở V Y

3 Ánh xạ F được gọi là compact nếu với bất kỳ tập con bị chặn BD, tập hợp

x B



 là compact tương đối

4 Đồ thị của ánh xạ F được định nghĩa là tập hợp

(i) B x  2 F x  với mọi xK

(ii) Tồn tại các số dương a b, và phần tử uK \  sao cho  btu  2 B tu  với mọi t[0, ]a

Khi đó tập nghiệm có dạng S xK \  :  0,xF x   là nhánh liên tục từ

, nghĩa là, S  G với bất kỳ tập con mở bị chặn G chứa 

Chương 2 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG

2.1 Bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính dương

Định nghĩa 2.1.1

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K

Một ánh xạ A X: X gọi là dương nếu:   x  A x  hay A K K

Do K là nón sinh nên  y X,u v, K y:  u v u, a y , v a y với a0

không phụ thuộc vào y

Từ  2.2 ta có:        

       

1 1

1 1

Cho X K là không gian Banach có thứ tự và ; K K X A X: X tuyến tính

dương, A hoàn toàn liên tục và r A 0 Khi đó r A  A

Chứng minh

Giả sử  1, 2, ,k  A và k r A 

Giả sử m là tổng các bội của các giá trị riêng  1, 2, ,k và X là bao tuyến tính của 0

các không gian con gốc tương ứng với  1, 2, ,k

Khi đó, X là không gian con của X thỏa 0 A X 0 X0 và A là thu hẹp của A lên 0

0

X có tập phổ là   1, 2, ,k

Đặt K0  K X0 thì A K0 0  K0

Nếu K0   thì K là nón chuẩn, 0 int K 0   xét trong không gian K0K 0.

Do đó, theo định lý 2.1.1, A có giá trị riêng trùng với một trong các số 0  1, 2, ,knên bằng r A  

Gọi X là không gian con bù với 1 X và bất biến đối với A: 0

 

Gọi A là thu hẹp của A lên 1 X 1

Khi đó, phổ của A là 1   A1    A \  1, 2, ,k nên  A1 chứa trong đường tròn bán kính q r A 

Mỗi xX, có duy nhất x u v với uX v0, X1

n n n

 Các giá trị riêng của A là thu hẹp của A trên 0 X nằm trên đường tròn 0

 K0  K X0 có điểm trong xét trên không gian X 0

Chứng minh

Đặt AB k thì do định lý 2.2.1, tồn tại x0K\       :A x0 r A x0 hay

 0   0

k k

2.3 Một số điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương

Do định lý 2.2.1 nên điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương là r A 0 nên ta tìm điều kiện để r A 0

Cho A B, tuyến tính, dương K K  X, B là chặn dưới của A, A hoàn toàn liên

tục Giả sử tồn tại p  sao cho B p x0 0 0x x, 0K\   , 0 0 Khi đó A có trong K vectơ riêng với giá trị riêng   0

Cho A là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương K là nón compact địa phương Khi đó

A có trong K vectơ riêng

 K là nón compact địa phương nếu  r 0 :KB r compact

 f gọi là dương đều nếu  a 0 sao cho f x a x , x K

2.4 Ánh xạ dương với nón minihedral

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K Giả sử uK \  ,

: 

A X X là toán tử tuyến tính, dương

 A được gọi là ubị chặn trên nếu  x K,   0 :A x u

 A được gọi là ubị chặn dưới nếu  x K,   0 :A x u

 A được gọi là ubị chặn nếu nó ubị chặn trên và dưới

Do A x n n bị chặn, có dãy con hội tụ và K là nón chuẩn nên A x n n hội tụ Vậy

A là đơn điệu compact

2 Cho A toán tử tuyến tính dương và K là nón chính quy thì A là đơn điệu compact

Chứng minh

Ta có A x n n là dãy giảm, bị chặn dưới và K là nón chính quy nên A x n n hội

tụ

Bổ đề 2.4.3

Cho K là nón sinh, chuẩn và minihedral trong không gian Banach X A là toán tử

tuyến tính dương, ubị chặn, đơn điệu compact

Khi đó tồn tại yK\  sao cho A y   r A y

(mâu thuẫn với r A  1)

Vậy y  Ta có điều phải chứng minh

Suy ra r A r A  (vô lý)

Vậy A y r A y 

2.5 Vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K, toán tử A X: X tuyến tính, liên tục

Thật vậy, lấy q n r A  thì q nM A K , , n  (do q n r A )

Suy ra A K, q n Cho n  ta được A K, r A 

Vậy GintK   nên theo định lý tách tập lồi, tồn tại f0K: f0 y   0, y G.

Do đó,

Hai ánh xạ A B X, :  X gọi là giao hoán với nhau nếu A BB A

Họ các ánh xạ A X i: X i, I gọi là giao hoán nếu i j, I thì A A i, j giao hoán với nhau

Bổ đề 2.5.1

Cho X K là không gian Banach có thứ tự, , K là thể nón và các ánh xạ A A1, 2, ,A n

tuyến tính dương, liên tục, giao hoán với nhau Khi đó, các ánh xạ liên hợp

 Giả sử bổ đề đúng cho n k  , xét họ giao hoán A A1, 2, ,A A k, k1

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại f K\   sao cho: A1  f 1f, ,A k f k f

Đặt G i  1I A i X ,i1, 2, ,k và K1 K G1  G k

Khi đó, K1 là tập lồi có phần trong khác rỗng và K1 X do K1 x X f x:  0

do đó K1 là cái nêm, có điểm trong

Do A k1 giao hoán với A A1, 2, ,A k nên

A K  A K  IA A X    IA A X  K G  G K