Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân

Tổng quan về các công trình liên quan tới vấn đề nghiên cứu Liên quan đến khái niệm tích phân đã có nhiều công trình nghiên cứu: Về nghiên cứu tri thức luận: Trong luận văn của tác giả

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trương Thị Oanh

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN

VỀ KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN

VỀ KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Nga, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy

Tác giả

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến những người đã cho tôi cơ hội, dẫn dắt và đồng hành với tôi suốt hai năm qua:

- TS Nguyễn Thị Nga, người luôn động viên và có những góp ý quý báu

giúp cho tôi có thể hoàn thành luận văn này

- PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo

Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh

Dũng, bằng sự nhiệt huyết và tận tâm, các thầy cô dẫn dắt tôi và các bạn đi vào

thế giới Didactic Toán Và hơn thế nữa, đó là tình thân trong gia đình Didactic

- GS.TS Annie Bessot và GS.TS Hamid Chaachoua, hai giáo sư đã cho tôi

những góp ý quan trọng cho luận văn của mình

- TS Trần Huyên, người thầy mà tôi học hỏi được nhiều điều về phương pháp

tư duy trong toán học

- Anh Ngô Minh Đức đã cho tôi những lời khuyên hữu ích

- Các bạn trong lớp Didactic K26, những người cho tôi một lần nữa được sống

với thời đi học đầy sôi nổi và tràn ngập yêu thương Đặc biệt là chị Bích Siêng và

Minh Yến, hai người bạn luôn đồng hành với tôi trong suốt quá trình học, chia sẻ vui

buồn và đã hết lòng hỗ trợ tôi thực nghiệm thành công

- Ban Giám Hiệu và các thầy cô thuộc Tổ Toán – Tin, trường THPT chuyên

Lê Quý Đôn, Ninh Thuận đã tạo mọi điều kiện để tôi tham gia học tập và hoàn thành

tốt luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn vô hạn đến các thành viên trong gia đình tôi,

họ đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện để tôi có thể chuyên tâm học tập

Trang 5

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 7

1.1 Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển khái niệm tích phân 7

1.2 Các cách tiếp cận khái niệm tích phân và đặc trưng của các cách tiếp cận 10

1.2.1 Cách tiếp cận thứ nhất – Tiếp cận dựa trên bài toán là nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân: Tích phân là diện tích của hình phẳng (thể tích của vật thể) 10

1.2.2 Cách tiếp cận thứ hai - Tiếp cận dựa trên việc chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và chuyển qua giới hạn tổng các xấp xỉ đó: Tích phân là giới hạn của tổng vô hạn các vô cùng bé 10

1.2.3 Cách tiếp cận thứ ba - Tiếp cận dựa trên mối quan hệ giữa tích phân và vi phân: Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm 12

1.3 Kết luận 14

Chương 2 MỐI QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN 12

ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 15

2.1 Khái niệm tích phân được trình bày trong SGK12 15

2.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 15

2.1.2 Hai phương pháp tính tích phân 18

2.1.3 Ứng dụng hình học của tích phân 19

2.2 Các praxéologies được SGK12 và SBT12 đề cập 21

2.2.1 Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận 21

2.2.2 Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm 35

2.3 Phân tích các Đề minh họa và đề chính thức của Bộ GD-ĐT trong năm học 2016 – 2017 liên quan đến khái niệm tích phân 37

Trang 6

2.3.1 Các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016 - 2017 37

2.3.2 Đề thi chính thức của Bộ GD-ĐT ngày 22/06/2017 46

2.4 Kết luận 50

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CỦA GIÁO VIÊN 53

3.1 Nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 dạy chương trình Nâng cao 53

3.1.1 Những praxéologie quan sát được 53

3.1.2 Tổ chức dạy học được GV1 sử dụng để đưa vào các praxéologie 54

3.1.3 Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 61

3.2 Nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 dạy chương trình Chuẩn 61

3.2.1 Những praxéologie quan sát được và các tổ chức dạy học được GV2 sử dụng để đưa vào các praxéologie này 62

3.2.3 Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 64

3.3 Kết luận 65

Chương 4 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 67

4.1 Giới thiệu nội dung thực nghiệm 67

4.2 Phân tích tiên nghiệm 69

4.2.1 Biến tình huống 69

4.2.2 Giải thích sự lựa chọn và cái có thể quan sát 69

4.3 Phân tích hậu nghiệm 76

4.3.1 Phần 1 76

4.3.2 Phần 2 78

4.4 Kết luận 94

KẾT LUẬN 95

TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 PHỤ LỤC

Trang 8

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1.Thống kê các nhiệm vụ của 7 KNV được SGKHH đề cập 34

Bảng 2.2 Thống kê số lượng nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm của SGKHH 36

Bảng 2.3 Thống kê số lượng nhiệm vụ trong các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016 - 2017 38

Bảng 3.1 Thống kê những praxéologie quan sát được của GV1 54

Bảng 3.2 Thống kê những praxéologie quan sát được của GV2 62

Bảng 4.1 Thống kê số lượng GV từng trường và chương trình GV dạy năm học 2016 - 2017 76

Bảng 4.2 Thống kê số năm dạy 12 và số năm công tác 77

Bảng 4 3 Thống kê mục đích sử dụng kết quả thi môn toán của HS 77

Bảng 4.4 Thống kê câu trả lời câu hỏi 1 78

Bảng 4.5 Thống kê về số lượng chiến lược được nêu ở câu hỏi 2 79

Bảng 4.6 Thống kê chiến lược ưu tiên ở câu hỏi 2 80

Bảng 4.7 Thống kê số lượng GV dạy các ứng dụng của tích phân 92

Trang 9

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 4.1 Câu hỏi 1 – Trả lời của GV2 78

Hình 4.2 Câu hỏi 1 – Trả lời của GV6 79

Hình 4.3 Câu hỏi 2 - Câu 1 - Trả lời của GV9 80

Hình 4.4 Câu hỏi 2 - Câu 2 - Trả lời của GV13 80

Hình 4.5 Câu hỏi 4 - Trả lời của GV3 83

Trang 10

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Bộ SGKHH nằm trong bộ chương trình THPT môn Toán được ban hành theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 05/5/2006 của Bộ GD-ĐT Bộ sách này được biên soạn theo một số định hướng sau:

1 Hỗ trợ việc đổi mới phương pháp dạy và học

2 Trong phạm vi cho phép cố gắng giới thiệu văn hóa Toán học, làm cho Toán học gần đời sống và vui hơn

3 Bước đầu giới thiệu cách sử dụng máy tính bỏ túi và đưa ra các bài kiểm tra trắc nghiệm

…

[SGVĐSCB10, tr.4 – 5]

Kể từ năm 2009, đề thi của các kì thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Cao đẳng, Đại học, kì thi THPT quốc gia, được viết dựa trên nội dung của bộ SGKHH Thống kê các bài tập liên quan đến khái niệm tích phân trong các kì thi trên tính đến năm 2016, chúng tôi nhận thấy:

+ Có 22/23 bài được phát biểu dưới dạng Tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 , ví dụ: “Tính tích phân ∫ 𝑥2−1

𝑥2 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

2

1 ” [Đề tuyển sinh đại học năm 2013, khối A và A1],

+ Có duy nhất một bài về tính diện tích hình phẳng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 𝑦 = 𝑥2− 𝑥 + 3 và đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 + 1” [Đề tuyển sinh đại học năm 2014 khối A và A1]

So sánh với các đề thi tương ứng trước năm 2009, chúng tôi không thấy có sự thay đổi các dạng bài tập liên quan đến khái niệm tích phân Nếu có, sự thay đổi chỉ ở

độ khó của đề thi giảm so với trước đây

Như vậy, mặc dù chương trình và SGKHH đã được đổi mới so với trước năm

2006 nhưng đề thi lại không có sự đổi mới tương ứng Trong khi đó kết quả thi cử lại được xem là mục đích đào tạo Do đó chúng ta có thể dự đoán việc dạy học của GV Toán 12 sẽ khó có những thay đổi đáng kể Khái niệm tích phân có thể chỉ được khai

Trang 11

thác ở các kĩ thuật đại số, còn việc hiểu rõ bản chất và các ứng dụng có thể bị xem nhẹ Dẫn đến những đổi mới trong SGK chưa thực sự đem lại hiệu quả

Kì thi THPT quốc gia 2017 đánh dấu sự thay đổi lớn về hình thức kiểm tra môn Toán Lần đầu tiên môn Toán được tổ chức thi bằng hình thức trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng Với hình thức trắc nghiệm, nội dung đề thi sẽ rộng hơn, không còn bó hẹp trong một số dạng toán quen thuộc Đây là

cơ hội để bộ SGKHH được GV khai thác triệt để và theo đó những kiến thức liên quan đến khái niệm tích phân được đề cập trong bộ sách này cũng được GV quan tâm thích đáng Khi đó câu hỏi đặt ra là khái niệm tích phân đã thực sự được SGKHH trình bày thỏa đáng chưa? SGKHH có chuẩn bị những nền tảng cho việc thay đổi hình thức thi hay không?

Tuy nhiên, hình thức thi đột ngột thay đổi (ngày 8/9/2016 Bộ GD-ĐT công bố dự thảo, ngày 28/9/2016 chốt phương án) Bên cạnh đó, đề thi trắc nghiệm chỉ cần chọn đáp án đúng, MTBT lại có chức năng tính tích phân nên câu hỏi tính tích phân như trước đây sẽ nhanh chóng tìm được đáp án mà không cần dùng đến các kiến thức về tích phân Những điều trên đặt ra nhiều thách thức cho GV dạy toán 12 và chắc chắn buộc họ phải thay đổi cách dạy học của mình Vậy thực tế những thay đổi đó là gì?

GV có chú trọng giảng dạy đầy đủ các nội dung được SGK đề cập không? Họ có đề cao vai trò và xem MTBT như một công cụ hữu hiệu để giải toán trắc nghiệm tích phân không?

Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài Nghiên cứu thực hành dạy học

của GV về khái niệm tích phân

2 Tổng quan về các công trình liên quan tới vấn đề nghiên cứu

Liên quan đến khái niệm tích phân đã có nhiều công trình nghiên cứu:

Về nghiên cứu tri thức luận: Trong luận văn của tác giả Trần Lương Công

Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn chính của HS khi tiếp thu khái

niệm tích phân, tác giả đã trình bày lịch sử hình thành khái niệm tích phân: Tích phân

xuất phát từ nhu cầu tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể Các phương pháp tính tích phân xuất phát từ thời Archimerdes và định nghĩa hoàn chỉnh bởi Riemann Tuy nhiên, SGKHH chọn định nghĩa theo công thức Newton-Leibniz, công thức về

Trang 12

mối liên hệ giữa tích phân và đạo hàm, lại là nội dung chưa được chú ý khai thác trong luận văn này Nhưng điều thiếu hụt đó phần nào được tác giả Lê Thị Hoài Châu bổ

sung trong bài báo Phép tính tích phân và vi phân trong lịch sử đăng trên Tạp chí

Khoa học ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, số 4 năm 2004 Bài báo đã không những chỉ ra những bài toán gắn liền với phép tính tích phân, vi phân mà còn làm rõ mối quan hệ giữa chúng Từ hai công trình này, chúng tôi có thể thấy rằng, về cơ bản các yếu tố tri thức luận của khái niệm tích phân đã được làm rõ Chúng tôi có thể kế thừa chúng trong đề tài của mình và có thể chắt lọc lại những nội dung cần thiết theo hướng nghiên cứu đã chọn

Về nghiên cứu mối quan hệ của thể chế dạy học toán 12 của Việt Nam đối với khái niệm tích phân cũng đã có nhiều đề tài đề cập như luận văn của các tác giả:

- Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn

chính của HS khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại

học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

- Phạm Lương Quý (2009), Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong

giảng dạy toán ở trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư

phạm TP Hồ Chí Minh

- Nguyễn Hoàng Vũ (2012), Nghiên cứu thực hành của GV trong dạy học tính

diện tích hình phẳng ở lớp 12, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP

Hồ Chí Minh

- Nguyễn Thị Phượng Linh (2013), Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích

phân ở trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP

Hồ Chí Minh

- Đậu Thanh Huyền (2016), Dạy học khái niệm tích phân ở THPT theo quan

điểm liên môn, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

Tuy nhiên, do mục đích nghiên cứu khác nhau nên mỗi luận văn khai thác việc phân tích theo những hướng khác nhau:

Đối với luận văn của Trần Lương Công Khanh (2002), tác giả phân tích sự chuyển hóa sư phạm và các hợp đồng dạy học trong 3 bộ SGK trước bộ SGKHH nên

Trang 13

chỉ có thể dùng làm căn cứ so sánh Bên cạnh đó, do yếu tố lịch sử, tác giả không phân tích các tổ chức toán học

Luận văn của tác giả Phạm Lương Quý quan tâm đến các điều kiện sinh thái liên quan đến khái niệm tích phân: diện tích hình phẳng, khái niệm hàm số hợp, khái niệm nguyên hàm Và tác giả rút ra kết luận là các điều kiện này không đủ cho sự tồn tại của tích phân Các tổ chức toán học cũng không được đề cập Đi sâu hơn về điều kiện sinh thái, xét vai trò của đạo hàm hàm hợp đối với việc học tập phương pháp đổi biến số khi tính tích phân là nội dung của luận văn Nguyễn Thị Phượng Linh Tác giả kết hợp phân tích SGK và phân tích tiết dạy của GV từ đó chỉ ra do khái niệm đạo hàm hàm hợp được SGK định nghĩa hình thức khiến cho việc chọn ẩn trong phép đổi biến

số phụ thuộc vào một số dạng mẫu mà GV cung cấp

Luận văn của tác giả Nguyễn Hoàng Vũ chỉ quan tâm đến diện tích hình phẳng

và như vậy chỉ phân tích các nội dung và các KNV liên quan đến nó; kết hợp phân tích thực hành dạy học và phiếu khảo sát GV, tác giả chỉ ra rằng cho dù việc biểu diễn hình phẳng bằng đồ thị có nhiều lợi ích và được hai bộ SGK chú trọng nhưng trong thực hành thì GV hiếm khi dùng Còn tác giả Đậu Thanh Huyền chỉ quan tâm đến liên môn giữa toán và vật lí nên chỉ tập trung phân tích các KNV làm rõ sự liên môn này Tuy

nhiên, mặc dù tác giả dựa trên nghĩa “tích phân là phép toán ngược của đạo hàm”

nhưng việc nghiên cứu các nghĩa của đạo hàm không được tác giả làm rõ dẫn tới đồ án dạy học của tác giả cũng chỉ gói gọn trong 3 đại lượng quen thuộc: quãng đường, vận tốc, thời gian

Như vậy chúng ta có thể thấy rằng các phân tích về chương trình, SGK, thực hành GV liên quan đến khái niệm tích phân đều đã có, tuy nhiên lại chưa có một phân tích tổng thể về chương trình, SGKHH Cũng chưa có một nghiên cứu nào chỉ ra tất cả các KNV liên quan đến khái niệm tích phân xuất hiện trong SGKHH Do đó, để phục

vụ cho nghiên cứu của mình, chúng tôi phải thực hiện lại việc phân tích quan hệ thể chế đối với khái niệm tích phân, đặc biệt làm rõ các KNV được thể chế đề cập

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Trang 14

Chúng tôi vận dụng thuyết nhân học và lý thuyết tình huống của didactic toán, đặc biệt là các công cụ quan hệ thể chế, praxéologies, tổ chức didactic để nghiên cứu

đề tài của mình

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lí thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi ban đầu thành hệ thống các câu hỏi nghiên cứu sau:

CH1: Khái niệm tích phân có những cách tiếp cận nào và đặc trưng của những

cách tiếp cận này?

CH2: Trong thể chế dạy học toán 12 ở Việt Nam, những cách tiếp cận khái

niệm tích phân nào được trình bày? Trình tự và cách thức giới thiệu các kiến thức liên quan đến khái niệm tích phân như thế nào? Có những praxéologies nào được thể chế

đề cập? MTBT tác động như thế nào lên các kĩ thuật của các praxéologies này?

CH3: Trước sự thay đổi hình thức thi của Bộ GD-ĐT, trong thực hành dạy học,

GV có thực hiện theo tiến trình giới thiệu các kiến thức tích phân trong SGK không?

Có những điểm gì khác? Các praxéologies nào được GV đưa vào trong thực tế giảng dạy? Các praxéologies này có gì giống và khác so với các praxéologies được trình bày trong SGK và các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016-2017?

Việc trả lời các câu hỏi trên là mục tiêu của luận văn

5 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi tiến hành các phương pháp sau:

Trước hết, chúng tôi thực hiện việc nghiên cứu tri thức luận Do tích phân đã có các công trình nghiên cứu tri thức luận từ trước nên chúng tôi chỉ tham khảo các công trình đó và rút ra các cách tiếp cận tích phân và các đặc trưng của từng cách tiếp cận

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu thể chế dạy học toán 12 của Việt Nam thông qua việc phân tích chương trình, SGK toán 12 để làm rõ cách tiếp cận khái niệm tích phân mà thể chế lựa chọn Chỉ ra những praxéologies liên quan đến khái niệm tích phân Đặc biệt quan tâm đến cách phát biểu, kĩ thuật giải quyết các praxéologies này Nghiên cứu những ảnh hưởng của việc lựa chọn cách tiếp cận lên các praxéologies được đề cập cũng như sự tác động của MTBT lên kĩ thuật giải quyết chúng

Trang 15

Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thực tiễn bằng việc phân tích các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT công bố trong năm học 2016 - 2017 để làm rõ ảnh hưởng của việc làm bài môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm và chức năng tính tích phân của MTBT lên các praxéologies Đồng thời, chúng tôi tiến hành dự giờ, ghi âm, viết biên bản và

từ đó phân tích một số tiết dạy của hai GV dạy chương trình Chuẩn và chương trình Nâng cao để chỉ ra những thay đổi của họ trong dạy học khái niệm tích phân

Cuối cùng, chúng tôi phát biểu các giả thuyết về sự thay đổi trong dạy học của

GV khi Bộ GD – ĐT thay đổi hình thức thi Từ đó, chúng tôi thực hiện khảo sát trên khoảng 20 GV để kiểm chứng những thay đổi này có đúng cho số đông GV không

Luận văn được trình bày theo cấu trúc như sau:

Mở đầu

Chương 1 Các cách tiếp cận khái niệm tích phân

Chương 2 Mối quan hệ của thể chế dạy học toán 12 đối với khái niệm tích phân Chương 3 Nghiên cứu thực hành dạy học khái niệm tích phân của giáo viên Chương 4 Nghiên cứu thực nghiệm

Kết luận

Trang 16

Chương 1 CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

CH1: Khái niệm tích phân có những cách tiếp cận nào và đặc trưng của những

cách tiếp cận này?

Trả lời câu hỏi trên là mục tiêu của chương này Để thực hiện điều đó, chúng tôi rút ra các kết quả dựa trên việc nghiên cứu các tài liệu sau:

1 Trần Bình (2006), Giải tích I: Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến

(Dùng cho sinh viên kĩ thuật, cao đẳng, đại học, sau đại học), Nxb Khoa học

và Kĩ thuật

2 Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004), “Phép tính tích phân và vi phân

trong lịch sử”, Tạp chí khoa học ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, số 4, tr.14 – 26

3 Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở

trường phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí

Minh

4 Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn

chính của HS khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại

học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

5 Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong

dạy học toán ở trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học

Sư phạm TP Hồ Chí Minh

6 Lê Văn Tiến (2000), “Một số quan điểm khác nhau về giảng dạy giải tích ở

trường phổ thông”, Nghiên cứu giáo dục, số chuyên đề (338), tr.23 – 25

1.1 Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển khái niệm tích phân

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, bài toán tính diện tích của các hình phẳng, thể tích của các vật thể đã được đặt ra từ thời cổ đại Công thức tính của các hình đơn giản

đã sớm được tìm ra và xuất hiện nhu cầu tìm cơ sở lý thuyết cho các công thức này cũng như một quy tắc tổng quát để tính diện tích, thể tích của những hình phức tạp hơn Nhà bác học Democrite (thế kỉ 5 TCN) đã vận dụng thuyết nguyên tử của ông tính được diện tích của một số hình bằng cách chia nhỏ chúng Tuy nhiên các lý luận của ông không thỏa mãn các đòi hỏi về tính chặt chẽ toán học

Trang 17

Mặc dù Eudoxe (410 – 356 TCN) là người đầu tiên xây dựng phương pháp vét cạn, phương pháp thỏa mãn các đòi hỏi về tính chặt chẽ toán học, nhưng Archimedes (khoảng 287 – 212 TCN) được xem là người đã dùng thành công phương pháp này để tính diện tích, thể tích Để tính diện tích một hình B, Archimedes xây dựng một dãy các hình 𝐴𝐾 nội tiếp nó Dãy 𝐴𝐾 được xây dựng sao cho diện tích chúng tính được, tạo

thành cấp số nhân lùi vô hạn, dần vét cạn hình B Bằng việc tính tổng của n hình 𝐴𝐾

đầu tiên cộng với một lượng dư, ông tìm ra giới hạn A của dãy các hình nội tiếp và dùng phản chứng chứng minh A là diện tích của B Cách làm này đã được một số nhà toán học đời sau kế thừa và một số tích phân đặc biệt đã được tính Cuối cùng, Valerio (1552 – 1618) đã sửa đổi và tổng quát hóa phương pháp vét cạn, chuỗi tính tổng không dừng lại ở n hình mà có thể bổ sung cho đến khi sự khác biệt giữa hình phẳng và đa giác nội tiếp nó là đủ bé

Vào đầu thế kỉ XX, người ta khám phá ra rằng thực chất Archimedes đã dùng phương pháp “cơ học” để tìm diện tích rồi sau đó mới dùng phương pháp vét cạn để chứng minh kết quả Tư tưởng chính của phương pháp “cơ học” là cắt hình ra thành một số rất lớn các dải mỏng song song (hoặc lớp mỏng song song) Phương pháp này rất gần với phương pháp “bất khả phân” do Cavalieiri (1598 – 1647) xây dựng Theo Cavalieiri, hình phẳng được xem là tổng vô hạn các đoạn thẳng cùng song song với một đường thẳng nào đó làm chuẩn Những đoạn thẳng này, nằm giữa hai tiếp tuyến song song với chuẩn, được gọi là các bất khả phân Chúng hoàn toàn không có bề rộng Diện tích của hình phẳng được xem là tổng diện tích của các bất khả phân được lấy đồng thời

Phương pháp của Cavalieiri có nhiều hạn chế về lí luận và tính toán Nhà toán học Kepler (1571 – 1630) lựa chọn phương pháp trực giác hơn – tính tổng trực tiếp trên các đại lượng vô cùng bé Ông chia một vật thành vô hạn các phần tử vô cùng bé

có cùng kích thước rồi tính tổng Mặc dù ông đã tính được nhiều diện tích, thể tích các hình nhưng các lập luận của ông thiếu tính chặt chẽ, còn mang nặng sự hình dung trực quan

Như vậy từ thời cổ đại đến đầu thế kỉ XVII, khái niệm tích phân đã được các nhà toán học nghiên cứu Nhiều phương pháp đã được đưa ra, một số diện tích, thể tích đã

Trang 18

được tính Phương pháp của họ phần nhiều mang yếu tố trực quan, phạm vi thuần túy

là hình học Tích phân càng được phát triển thì các nhà toán học càng không thể tránh khỏi phải làm việc với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé, đó là một trở ngại lớn Các khái niệm cần thiết như giới hạn, tổng vô hạn,… chưa được định nghĩa Do đó họ chưa thành công trong việc xây dựng lý thuyết tích phân tổng quát Tuy nhiên, tư tưởng chính khi tính tích phân đã hình thành: chia hình thành từng miếng nhỏ, xấp xỉ trên (hoặc dưới) từng miếng nhỏ rồi lấy tổng các xấp xỉ đó

Đến thế kỉ XVII, dựa trên quan điểm của hình học giải tích, kế thừa phương pháp của trường phái Archimedes, Fermat (1601 – 1665) đã phát triển và xây dựng một phương pháp tổng quát để cầu phương tất cả các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân

Để tính diện tích một hình, Fermat chia hình đó ra thành những dải hẹp bằng các tung

độ cách đều, tính các tổng trên, tổng dưới, rồi tăng số điểm chia ra vô hạn và tiến hành cầu phương Phương thức của Fermat cho phép phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé Pascal (1623 – 1662) đã hoàn thiện các phương pháp cầu phương của những người đi trước, đánh giá cao tầm quan trọng của phương pháp giải tích và

so sánh phần tử “Không thể phân chia được” trong hình học với số 0 trong số học, từ

đó đối chiếu quan điểm hình học và số học

Một bước đánh dấu quan trọng trong tiến trình phát triển và hoàn thiện khái niệm tích phân khi mối liên hệ giữa bài toán tiếp tuyến và bài toán diện tích được tìm ra Barrow (1630 – 1677) là người đầu tiên nhận rõ mối liên hệ này nhưng Newton (1642-1727) mới là người thành công trong việc thiết lập mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân Ông đã liên hệ giữa tích phân và đạo hàm, coi tích phân là phép toán ngược của đạo hàm Newton chỉ dùng tích phân bất định và dùng tỉ số biến thiên của diện tích, thể tích để tính chúng Ông phát triển tích phân dựa trên nghiên cứu các chuyển động

và các biến là các đại lượng biến thiên, các kết quả của ông dùng để ứng dụng trong vật lý và thiên văn học,… Song song đó, Leibniz (1646 – 1716) cũng là người phát hiện mối liên hệ này, đưa ra những kí hiệu ngắn gọn và hiệu quả để kí hiệu tích phân Khác với Newton, Leibniz sử dụng tích phân xác định và xem diện tích lẫn thể tích như tổng các phần tử vô cùng bé

Trang 19

Tuy nhiên phải đợi đến thế kỉ XIX, vào năm 1823, Cauchy (1789-1857) mới là người đầu tiên đưa ra định nghĩa tích phân nhờ hai khái niệm hàm số và khái niệm giới hạn đã được định nghĩa, đặc biệt ông nhấn mạnh sự cần thiết phải chứng minh sự tồn tại của tích phân trước khi làm rõ các tính chất của chúng Và Riemann (1826-1866)

đã hoàn thiện và xây dựng một lý thuyết tích phân tổng quát

Ngày nay, khái niệm tích phân đã rất phát triển, lý thuyết tích phân hiện đại gồm hai phần chính: Tích phân của các hàm số và độ đo của các tập hợp Giới hạn trong đề tài này, chúng tôi chỉ quan tâm đến các tích phân đối với các hàm số nhận giá trị thực

và không đề cập đến yếu tố độ đo

1.2 Các cách tiếp cận khái niệm tích phân và đặc trưng của các cách tiếp cận

Dựa vào lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tích phân, chúng tôi chỉ

ra được 3 cách tiếp cận khái niệm này

1.2.1 Cách tiếp cận thứ nhất – Tiếp cận dựa trên bài toán là nguồn gốc nảy

sinh khái niệm tích phân: Tích phân là diện tích của hình phẳng (thể tích của vật

thể)

Cách tiếp cận này dựa trên nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân Nhu cầu tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể đã làm xuất hiện khái niệm này Tuy nhiên, nếu chỉ giới hạn trong phạm vi hình học thì sẽ không thể xây dựng một khái niệm tích phân tổng quát - điều mà các nhà toán học trước thế kỉ XVII đã gặp phải Quá trình tìm lời giải tổng quát cho các bài toán trên thúc đẩy sự phát triển, hoàn thiện và xây dựng nên các cách tiếp cận còn lại của khái niệm tích phân

Cách tiếp cận này thể hiện được nghĩa hình học của khái niệm

1.2.2 Cách tiếp cận thứ hai - Tiếp cận dựa trên việc chia nhỏ đối tượng cần

tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và chuyển qua giới hạn tổng các xấp xỉ đó: Tích

phân là giới hạn của tổng vô hạn các vô cùng bé

Tư tưởng chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và tính tổng các xấp xỉ đã xuất hiện từ thời cổ đại mà Archimedes là đại diện tiêu biểu Tư tưởng này đóng vai trò xuyên suốt trong cách thức để giải quyết bài toán tính diện tích, thể tích Nó trải qua quá trình lâu dài để hoàn thiện Trước tiên là việc chấp nhận đối tượng vô hạn và vô cùng bé của các nhà toán học châu Âu trước thế kỉ XVII Việc

Trang 20

Fermat vận dụng quan điểm hình học giải tích để tìm lời giải tổng quát cho các bài toán cầu phương parabol và hypebol giúp phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé Đến thế kỉ XVIII, khi khái niệm giới hạn được định nghĩa, việc chuyển qua giới hạn mới chính thức được áp dụng trong định nghĩa tích phân của Cauchy và sau đó được Riemann hoàn thiện Phát biểu tường minh định nghĩa tích phân theo cách tiếp cận này chính là định nghĩa tích phân Riemann:

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định và bị chặn trong đoạn [𝑎; 𝑏], chia [𝑎; 𝑏] ra làm n phần bất kì bởi các điểm 𝑎 = 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 = 𝑏 và đặt ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) Trong mỗi đoạn [𝑥𝑖; 𝑥𝑖+1] (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) lấy một điểm 𝜉𝑖 tùy ý Lập tổng 𝐼𝑛 = ∑𝑛𝑖=1𝑓(𝜉𝑖)∆𝑥𝑖

Quy ước nếu 𝑛 → ∞ thì mọi ∆𝑥𝑖 → 0 hay 𝜆 = 𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑖 → 0

Nếu 𝐼𝑛 dần tới một giới hạn I xác định khi 𝜆 → 0, không phụ thuộc vào các chia đoạn [𝑎; 𝑏] và và cách chọn các điểm 𝜉𝑖 thì ta gọi I là tích phân xác định hay tích phân của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎; 𝑏]

Kí hiệu 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = lim

𝜆→0∑𝑛𝑖=1𝑓(𝜉𝑖 )∆𝑥𝑖

[Trần Bình, tr.211] Theo định nghĩa được nêu ở trên thì các đoạn phân hoạch không cần đều nhau

và hàm số f không cần liên tục trên [𝑎; 𝑏], giá trị của tích phân không phụ thuộc vào phép phân hoạch Định nghĩa này thể hiện bản chất của tích phân và tiếp cận định nghĩa này có thể giúp hiểu được các kí hiệu do Leibniz nghĩ ra và được dùng đến ngày nay

Tích phân của hàm số f trên đoạn [𝑎; 𝑏] được ông định nghĩa là giới hạn của tổng tích phân 𝑙𝑖𝑚 ∑𝑛−1𝑖=0 𝑓(𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖) (1) Thời Leibniz hiệu 𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖 thường được viết là

𝑑𝑥𝑖 = 𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖 do d là chữ đầu của chữ Latinh “diferentia” (hiệu số) Do đó giới hạn (1) được viết lại thành 𝑙𝑖𝑚 ∑𝑛−1𝑓(𝑥𝑖)

𝑖=0 𝑑𝑥𝑖 Kí hiệu ∑ (tổng số) cũng như chữ S có nguồn gốc từ chữ Latinh “summa” (có nghĩa là tổng số) Dấu tích phân ∫ là một biến dạng đơn giản của chữ S Kí hiệu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 muốn nói rằng đây là giới hạn của tổng

các số hạng 𝑓(𝑥𝑖)𝑑𝑥𝑖

[SGKNC12, tr.157]

Trang 21

Chúng ta có thể thấy rằng, định nghĩa theo cách tiếp cận này đem lại nhiều lợi ích về mặt hiểu khái niệm tích phân Tuy nhiên, như lịch sử đã thể hiện, các nhà toán học đã rất khó khăn và mất nhiều thời gian để vượt qua sự trở ngại khi phải làm việc với các đại lượng vô hạn, vô cùng bé Đó cũng có thể là trở ngại của HS Việc tính toán trực tiếp tích phân dựa vào định nghĩa trên thường khá phức tạp, đòi hỏi nắm vững khái niệm giới hạn, sử dụng được các phương pháp, kĩ thuật xấp xỉ của giải tích

Và việc nắm vững quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn là điều tiên quyết

Cách tiếp cận này thể hiện được nghĩa giải tích của khái niệm tích phân

1.2.3 Cách tiếp cận thứ ba - Tiếp cận dựa trên mối quan hệ giữa tích phân và

vi phân: Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm 1

Thế kỉ XVII, từ việc tìm ra mối liên hệ giữa bài toán tiếp tuyến và bài toán diện tích đã giúp phát hiện ra mối liên hệ giữa tích phân và đạo hàm Mối liên hệ này được

phát biểu thành định lí sau, định lí mang tên hai nhà toán học đã phát minh ra nó Công

thức Newton – Leibniz:

Nếu 𝑓(𝑥) liên tục trên [𝑎; 𝑏] thì ta có công thức:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Trong đó 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎; 𝑏]

[Trần Bình, tr.225] Công thức Newton – Leibniz cho phép tính tích phân xác định một cách đơn giản nếu biết một nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân Do một số lớp hàm liên tục có nguyên hàm biểu thị được qua các hàm sơ cấp nên có thể áp dụng công thức trên để tính tích phân của chúng một cách dễ dàng Với cách tiếp cận này người ta có thể tránh được các phương pháp và kĩ thuật xấp xỉ, tránh việc phải làm việc với các đại lượng biến thiên, sự vô hạn và các vô cùng bé – những khái niệm vốn rất trừu tượng, cho phép việc phát triển các phép toán và quy trình kiểu đại số

1 Phát biểu “Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm” có sự lạm dụng từ “tích phân”, chính xác phải là

“Phép lấy nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm” Tuy nhiên để nhấn mạnh khái niệm được đề cập trong

luận văn là tích phân nên chúng tôi lựa chọn trình bày như vậy

Trang 22

Mặc dù cùng xuất phát từ bài toán tiếp tuyến giống Leibniz, Newton lại tìm ra mối liên hệ của đạo hàm và tích phân dựa trên cơ sở khái niệm chuyển động - quan điểm có cơ sở từ vật lí

Newton đã chỉ ra điều gì? Cái mà ông đang khảo sát là 𝑧(𝑥+𝑜)−𝑧(𝑥)

𝑜 chính là tốc độ biến đổi của diện tích z và theo trên thì tốc độ này lại chính là tọa độ y Nói cách khác, Newton đã chỉ ra rằng hàm 𝑦(𝑥) chính là đạo hàm (tốc độ biến đổi) của hàm diện tích 𝑧(𝑥) Như vậy, bài toán tìm tiếp tuyến và tính diện tích hóa ra lại là hai quá trình ngược nhau

[Ngô Minh Đức, tr.20]

Với quan điểm này, Newton đã đem lại nghĩa Tốc độ biến thiên của hàm số của

khái niệm đạo hàm và mở ra những ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khái niệm này

Ý tưởng của Newton đã mang lại cho đạo hàm mộtđặc trưng rất trực quan và hữu ích: đạo hàm là thước đo tốc độ biến thiên của hàm số sovới tốc độ biến thiên của đối số Quan niệm này đã mở đường cho những ứng dụng ồạt, mạnh mẽ và vô cùng hiệu quả của đạo hàm nói riêng, Giải tích nói chung, trong việc giải quyết nhiều vấn đề khác nhau của vật lí cũng như toán học, để rồi từ đó mở rộng racác lĩnh vực khác của thực tiễn

[Lê Thị Hoài Châu (2014), tr.10]Khi đó, từ mối liên hệ của đạo hàm và tích phân, có thể mở rộng các vấn đề, lĩnh vực tác động của tích phân trên cơ sở: vấn đề nào giải quyết được bằng đạo hàm thì vấn đề ngược lại có thể giải quyết được bằng tích phân Và điều này chỉ có thể thực

hiện khi khái niệm đạo hàm được trang bị nghĩa Tốc độ biến thiên của hàm số và các

vấn đề ứng dụng nghĩa này được giới thiệu Từ mối quan hệ này mà chúng ta có thể

xem nghĩa Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm là nghĩa Vật lí của tích phân

Tuy rằng có nhiều ưu điểm nhưng công thức Newton – Leibniz cũng có khuyết điểm Vì chỉ áp dụng được đối với hàm số liên tục trên đoạn lấy tích phân và phải tìm được một nguyên hàm của hàm số đó nên giới hạn lại lớp hàm được khảo sát Và nếu chọn định nghĩa tích phân theo cách tiếp cận này thì chỉ thấy được mối quan hệ giữa tích phân và đạo hàm, không hiểu được thực sự bản chất của khái niệm tích phân Các

Trang 23

vấn đề tích phân tác động có mở rộng hay không phụ thuộc vào việc trang bị nghĩa

Tốc độ biến thiên của hàm số của khái niệm đạo hàm

1.3 Kết luận

Cách tiếp cận thứ nhất và thứ hai đã cùng song song tồn tại trong quá trình hình thành và phát triển khái niệm tích phân Cách tiếp cận thứ nhất nêu ra bài toán là nguồn gốc nảy sinh Cách tiếp cận thứ hai chỉ ra cách thức giải quyết bài toán và giúp tích phân có vai trò đối tượng toán học, là một khái niệm cơ bản của giải tích Đến thế

kỉ XVII, Newton và Leibniz phát hiện ra bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong và bài toán tính diện tích là hai quá trình ngược nhau giúp tìm ra cách tiếp cận thứ ba Tuy ra đời sau nhưng cách tiếp cận thứ ba giúp cho việc tính toán đơn giản tích phân một lớp hàm khá lớn và có khả năng mở rộng lĩnh vực tác động của tích phân Cả ba cách tiếp cận đều có những ưu và khuyết điểm riêng Tuy nhiên, để hiểu đúng bản chất khái niệm tích phân thì điều tiên quyết là tiếp cận tích phân theo cách thứ hai

Như vậy, cách tiếp cận thứ hai đóng vai trò chủ đạo trong việc lĩnh hội tri thức tích phân Hai cách tiếp cận còn lại giúp cho việc hiểu rõ nguồn gốc, tính toán nhẹ nhàng và mở rộng lĩnh vực vận dụng Do đó ba cách tiếp cận này đều cần được đề cập trong giảng dạy để người học có thể hiểu đúng và vận dụng được tích phân vào cuộc sống

Trang 24

Chương 2 MỐI QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN 12

ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích chương trình, SGK giải tích lớp 12 (cả hai bộ sách theo chương trình Chuẩn và chương trình Nâng cao) và các Đề minh

họa, Đề chính thức của Bộ GD-ĐT trong năm học 2016 - 2017 để trả lời cho câu hỏi CH2 gồm các ý sau:

1 Trong thể chế dạy học toán 12 ở Việt Nam, những cách tiếp cận khái niệm tích phân nào được trình bày?

2 Trình tự và cách thức giới thiệu các kiến thức liên quan đến khái niệm tích phân như thế nào?

3 Có những praxéologies nào được thể chế đề cập?

4 MTBT tác động như thế nào lên các kĩ thuật của các praxéologies này?

2.1 Khái niệm tích phân được trình bày trong SGK12

Khái niệm tích phân được trình bày ở chương III – Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – gồm 3 nội dung chính: Định nghĩa và các tính chất cơ bản, hai phương

pháp tính tích phân là đổi biến số và từng phần, cuối cùng là ứng dụng hình học của tích phân

2.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Định nghĩa tích phân được hai bộ SGK lựa chọn là:

Cho 𝑓(𝑥) là hàm số liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏]

Giả sử 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥)

trên đoạn [𝑎; 𝑏]

Hiệu số 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) được gọi là tích phân

từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn

[SGKNC12, tr.148]

2 𝐾 là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó

Trang 25

Như vậy, cả hai bộ sách đều chọn định nghĩa theo cách tiếp cận thứ ba – tích

phân là phép toán ngược của đạo hàm Các SGV giải thích sự lựa chọn này là “vì lí do

sư phạm” Đối chiếu với nghiên cứu chương I, chúng tôi thấy lựa chọn này là phù hợp

với số đông HS Vì cách tiếp cận thứ ba không gây nhiều khó khăn cho HS khi lĩnh hội định nghĩa

Các SGKHH đều giới thiệu định nghĩa bằng con đường quy nạp SGKCB12 chọn cách dẫn dắt từ các bài toán tính diện tích hình thang Mở đầu là tính diện tích dựa vào các công thức cơ bản của hình học sơ cấp và bằng đạo hàm với hình thang vuông Sau đó chứng minh để chỉ ra mối quan hệ đạo hàm và tích phân cho trường hợp một hình thang cong cụ thể Cuối cùng tổng quát hóa cho trường hợp hình thang cong bất kì Trong các tình huống đều kèm hình vẽ minh họa trên hệ trục tọa độ SGKNC12 lại chọn trình bày bài toán tính diện tích hình thang cong bất kì và bài toán quãng đường – một ứng dụng vật lí dựa trên mối liên hệ tích phân và đạo hàm, để tổng quát hóa thành định nghĩa tích phân Bài toán quãng đường cũng được phát biểu tổng quát Sau khi phát biểu định nghĩa tích phân, SGKNC12 có một hoạt động yêu cầu chứng minh công thức tính quãng đường trong trường hợp tổng quát và ví dụ minh họa cách làm trong trường hợp cụ thể

Với cách trình bày của SGK, có thể thấy rằng, cách tiếp cận thứ ba – tích phân

là phép toán ngược của đạo hàm - đóng vai trò chủ đạo trong cả hai bộ sách Cách tiếp cận thứ nhất cũng được đề cập trong bài toán xuất phát dẫn tới khái niệm tích phân và sau này là ứng dụng hình học Như vậy, mặc dù định nghĩa chính xác về tích phân không được giới thiệu nhưng SGK đã chỉ ra được nguồn gốc và cung cấp định lí cơ bản của khái niệm tích phân SGKCB12 chỉ bó hẹp về ứng dụng hình học của tích phân SGKNC12 ngoài việc giới thiệu thêm bài toán quãng đường còn có câu dẫn dắt

vào định nghĩa: “Trong khoa học và kĩ thuật, có nhiều đại lượng quan trọng được biểu

thị bằng hiệu 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) trong đó 𝐹 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓 nào đó”

[SGKNC12, tr.148] Qua đó, có thể thấy rằng, SGKNC12 mong muốn HS biết được khái niệm tích phân có nhiều ứng dụng trong thực tế

Cách tiếp cận thứ hai mặc dù không xuất hiện trong bài học nhưng đều xuất hiện ở bài đọc thêm của hai bộ sách SGKNC12 giới thiệu định nghĩa chính xác và giải

Trang 26

thích các kí hiệu tích phân trong mục Em có biết để HS thấy được bản chất của phép

tính tích phân Bài đọc thêm của SGKCB12 chỉ trình bày cách tiếp cận thứ hai như là

một cách khác để tính diện tích chứ không phải là một cách định nghĩa tích phân Sự khác biệt này giữa hai bộ sách, có thể được giải thích là do sự khác nhau về đối tượng

có điều kiện này Các ví dụ vận dụng tính chất của SGKCB12 đều cho hàm số và cận

cụ thể, do đó có thể tìm ngay đáp án dựa vào MTBT Trong khi đó, ví dụ của SGKNC12 không cho hàm số cụ thể, do đó có thể hạn chế MTBT:

= 3 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 3

3 1

(−2) − 3 = −9

3 1

∫ [5 − 4𝑓(𝑥)]𝑑𝑥

3 1

= 5 ∫ 𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 5.2 − 4 (−2) = 18

3 1

Trang 27

2.1.2 Hai phương pháp tính tích phân

Cùng trình bày hai phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần nhưng SGKCB12 chọn tiến trình bài toán → định lí còn SGKNC12 chọn tiến trình suy diễn

và trình bày thêm chứng minh các định lí

Cần nói thêm rằng hai phương pháp này đối với việc tìm nguyên hàm cũng đã được các SGK trình bày chi tiết trước đó

 Phương pháp đổi biến số

Để tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥 bằng phương pháp đổi biến số, SGK giới thiệu hai cách đổi biến: Cách 1 là đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥) nếu có thể viết 𝑓(𝑥) = 𝑔[𝑢(𝑥)] 𝑢′(𝑥), cách

2 là đặt 𝑥 = 𝜑(𝑡) Trong đó cách 1 đã có sự trình bày tương tự trong phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm SGKNC12 chọn trình bày cách 1 trước cách 2 Mặc dù có câu dẫn “tương tự phương pháp đổi biến số trong việc tính nguyên hàm” nhưng SGKCB12 lại trình bày cách 2 trước

Để vận dụng được phương pháp này, đầu tiên HS cần phải xác định nên dùng cách nào và lựa chọn được ẩn phù hợp Tuy nhiên, theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Phượng Linh (2013) thì điều này không hề dễ dàng Mặc dù đạo hàm hàm hợp là một điều kiện sinh thái của phương pháp đổi biến số nhưng:

Muốn chọn ẩn phù hợp thì HS phải nắm vững khái niệm đạo hàm hàm hợp Tuy nhiên khái niệm đạo hàm hàm hợp được định nghĩa một cách hình thức như là một sự thay thế các biến SGK chỉ cung cấp các công cụ cho việc tính đạo hàm hàm hợp mà không chú ý đến việc xác định dạng của hàm số hợp Do đó khiến HS gặp khó khăn khi áp dụng phương pháp này trong tính tích phân Trong thực tế dạy học việc lựa chọn ẩn thường được GV cung cấp một số dấu hiệu nhận biết đối với từng dạng hàm số

[Nguyễn Thị Phượng Linh, tr.36]

Có lẽ ý thức được khó khăn này, SGVCB12 chỉ nêu yêu cầu: “ Sử dụng

phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân” Còn SGVNC12, nêu chú ý:

.…không có quy tắc chung để xác định đổi biến số như thế nào Trong phạm vi chương trình phổ thông, ta chỉ xét những bài tìm nguyên hàm đơn giản, trong đó biểu thức dưới dấu tích phân có dạng 𝑓[𝑢(𝑥)] 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 trong trường hợp này ta đổi biến

Trang 28

𝑢 = 𝑢(𝑥) Nếu phương pháp đổi biến số phức tạp hơn thì GV phải chỉ cho HS phương pháp đổi biến số

[SGVNC12, tr.184]

Mặc dù hầu hết các bài tập đều không hướng dẫn cách đặt ẩn, nhưng SGKNC12

lại có sự phân tích và hướng dẫn cách đưa vi phân vào dưới dấu tích phân trong việc

tìm nguyên hàm – cách này giúp phân tích dạng hàm hợp và tiết kiệm thời gian làm bài nhưng không đơn giản với mọi HS:

Ví dụ 1 Tìm ∫(2𝑥 + 1)4𝑑𝑥

Giải: Ta có (2𝑥 + 1)4𝑑𝑥 =1

2(2𝑥 + 1)4(2𝑥 + 1)′𝑑𝑥 =1

2(2𝑥 + 1)4𝑑(2𝑥 + 1) Đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥) = 2𝑥 + 1 Áp dụng công thức (2), ta có

 Phương pháp từng phần

Hai bộ sách đều có 2 ví dụ và một hoạt động minh họa cho phương pháp này

Đó là 3 trường hợp sử dụng phương pháp tích phân từng phần thường gặp: hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa giác và 1 trong các hàm lượng giác, hàm số mũ, logarit Điều này cũng diễn ra đối với ví dụ và hoạt động minh họa cho phương pháp nguyên hàm từng phần SGKCB12 còn có hoạt động yêu cầu lập bảng cách đặt 𝑢, 𝑑𝑣 với 3 trường hợp thường gặp nói trên

Trang 29

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Thực ra ta có thể coi loại hình phẳng thứ nhất là trường hợp đặc biệt của loại

thứ hai SGKNC12 không đặt tên cho các loại hình phẳng nhưng từ “đường cong” dành cho biểu diễn hình học của biểu thức dạng 𝑥 = 𝑔(𝑦), còn “đồ thị” dùng cho biểu

diễn hình học của hàm số dạng 𝑦 = 𝑓(𝑥) Ngoài ra, SGKNC12 trình bày thêm trường hợp hình phẳng giới hạn bởi 3 đường cong dạng 𝑦 = 𝑓(𝑥) Khi đó bằng cách coi x là hàm biến y có thể đưa về trường hợp hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong dạng

𝑥 = 𝑔(𝑦)

Cả hai bộ sách đều bắt đầu bằng việc nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong rồi phát biểu thành công thức cho trường hợp tổng quát Các ví dụ đều có hình vẽ minh họa và việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối hầu hết đều dựa vào hình vẽ SGKCB12 trình bày thêm cách “đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân” và minh họa 2 ví dụ, trong đó có 1 ví dụ áp dụng đồng thời cách này và hình vẽ Cách trên lại

chỉ xuất hiện trong SGV của chương trình nâng cao, nhưng sách này cũng lưu ý: “Khi

giải các bài toán tính diện tích và thể tích nếu không yêu cầu thì HS không cần vẽ hình, nhưng GV nên khuyến khích HS vẽ hình nếu có thể” [SGVNC12, tr.205]

 Thể tích vật thể

Tiến trình chung của hai bộ sách là:

 Thừa nhận công thức 𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 (*) trong đó 𝑆(𝑥) là diện tích thiết diện của vật thể 𝒱, thiết diện này vuông góc với trục Ox tại 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] với a, b là các cận ứng với hai mặt phẳng song song và vuông góc với trục Ox, giới hạn vật thể 𝒱

 Áp dụng công thức (*) để chứng minh công thức thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 xung quanh trục Ox là 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥

 Cho 3 ví dụ minh họa chứng minh các công thức tính thể tích của các khối

đã biết như lăng trụ (chỉ SGKCB12), khối chóp, khối cầu, khối nón (chỉ SGKNC12) Các công thức và ví dụ đều có hình vẽ minh họa

SGKNC12 còn vận dụng công thức (*) để chứng minh và giới thiệu công thức tính thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng xung quanh trục Oy

Trang 30

Ngoài ra, ví dụ của sách này đều chứng minh cho các khối cụt (khối chóp cụt, khối chỏm cầu, khối nón cụt) rồi nhận xét công thức tính các khối không cụt tương ứng (khối chóp, khối cầu, khối nón) là trường hợp đặc biệt

Theo chúng tôi, việc chứng minh công thức thể tích của các đối tượng hình học không gian đã thể hiện sự liên môn môn giữa 2 phân môn Giải tích và Hình học, minh họa sống động cho ứng dụng hình học của tích phân Hơn nữa, thông qua đó, cách thức gắn các hình vào hệ trục để thiết lập công thức tính được giới thiệu, HS có thể vận dụng làm tương tự với những khối trong thực tiễn Tuy nhiên, thời lượng giảng dạy hạn hẹp có thể là rào cản để GV trình bày được hết ý tưởng SGK cũng như HS có thể lĩnh hội được chúng

2.2 Các praxéologies được SGK12 và SBT12 đề cập

SGKHH trình bày các nhiệm vụ chủ yếu bằng hình thức tự luận, cuối chương mới có một số nhiệm vụ bằng hình thức trắc nghiệm Đây có thể là một trở ngại cho

GV và HS khi hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng

2.2.1 Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận

MTBT có phím chức năng để tính tích phân là ∫ Người sử dụng chỉ cần nhập hàm số và các cận của tích phân cần tính là có kết quả, độ nhanh hay chậm tùy thuộc vào độ phức tạp của hàm số dưới dấu tích phân Nếu kết quả là số hữu tỉ thì MTBT cho số đúng, nếu kết quả là số vô tỉ thì cho kết quả gần đúng

Trước đây, việc sử dụng MTBT đưa ra kết quả tích phân trong hình thức thi tự luận không được chấp nhận vì đáp án yêu cầu HS phải trình bày chi tiết lời giải Tuy nhiên, hình thức thi trắc nghiệm chỉ đòi hỏi HS lựa chọn 1 phương án đúng trong 4 phương án đã cho nên việc sử dụng MTBT để giải quyết bài toán tính tích phân là hoàn toàn có thể Bằng cách sử dụng phím ∫ , một người không cần biết tích phân là

gì, có những cách tính nào vẫn có thể tính toán được kết quả hầu hết các tích phân

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 mà trong đó 𝑓(𝑥), 𝑎, 𝑏 đã được cho cụ thể

Ngoài ra, MTBT còn có nhiều chức năng có thể hỗ trợ cho việc tìm nhanh đáp

án nhiều câu trắc nghiệm nhưng chúng lại thuộc về dạng thức cá nhân Tùy theo cách phát biểu nhiệm vụ được cho, khả năng vận dụng kiến thức và khai thác các chức năng

Trang 31

của MTBT mà mức độ ứng dụng khác nhau Trong phần này, chúng tôi chỉ đề cập vai trò MTBT ở dạng thức xã hội của nó, tức sử dụng phím chức năng tính tích phân ∫

Dựa vào mức độ có thể can thiệp của MTBT từ nhiều đến ít, chúng tôi có thể chia các praxéologies được đề cập trong các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận trong SGK12 và SBT12 thành ba nhóm như sau (đối với các KNV hay kĩ thuật chỉ có trong chương trình Nâng cao thì chúng tôi định dạng chữ in nghiêng và tô đậm):

2.2.1.1 Nhóm 1: Các praxéologies liên quan thuần túy đến tính toán giá trị tích phân (hầu như chỉ cần nhập công thức vào MTBT là có thể tìm ra đáp án đúng ngay)

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑻𝑻𝑷: Tính tích phân từ a đến b của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Đối với KNV này có nhiều kĩ thuật để thực hiện tùy theo tình huống cụ thể:

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑵 : Tính tích phân bằng định nghĩa

𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪𝜶: Áp dụng các tính chất cơ bản của tích phân để biến đổi tích phân cần tính

về dạng tổng của các tích phân có thể tìm được nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm thường gặp

𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪𝜷: Biến đổi tích phân cần tính thành tổng của các tích phân đã biết kết quả mà đề bài cho

Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪 : :

+ Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

+ Các tính chất cơ bản của tích phân

Trang 32

+ Hệ quả của định lý 1 trang 98 SGKCB12 liên quan đến phương pháp đổi

biến số ở bài nguyên hàm: “Với 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0), ta có

∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =𝑎1𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶” (Chỉ có ở SGKCB12)

Ví dụ: “Tính các tích phân sau: g) ∫ sin 3𝑥 cos 5𝑥𝑑𝑥

𝜋 2

−𝜋 2

” [SGKCB12, tr.112] Lời giải có thể:

−𝜋 2

không hề có bài tập khai thác kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪𝜷

Ví dụ: “Cho biết∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −4, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6, ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 812 15 15 Hãy tính:

∫ [4𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥15 ” [SGKNC12, tr.152]

Lời giải có thể:

“∫ [4𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥15 = 4 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −15 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥15 = 4 (−4) − 8 = −24” [SGVNC12, tr.193]

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑩 : Phương pháp đổi biến số

𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑩𝟏:

+ Đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥), tính 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥

+ Đổi cận theo biến u

+ Thay vào công thức tích phân và tiến hành tính:∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎𝑏 𝑢(𝑎)𝑢(𝑏)𝑔(𝑢)𝑑𝑢

Trang 33

SGKHH chỉ ra thời điểm nào sử dụng Các ví dụ và bài tập áp dụng 𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑩𝟐 lại rất ít:

SGKNC12 chỉ xuất hiện trong 2 ví dụ và 1 hoạt động; trong SGKCB12 cũng chỉ có 1

ví dụ và 2 bài tập

Ví dụ:

Tính ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 2

Tính ∫ 𝑥01 2√1 − 𝑥2𝑑𝑥 nhờ đổi biến 𝑥 = sin 𝑡

Đổi biến số 𝑥 = sin 𝑡 ta được 𝑥′= cos 𝑡 và khi 𝑥 = 0 thì lấy 𝑡 = 0, khi 𝑥 = 1 thì lấy

4sin 4𝑡)|

0

𝜋 2

= 𝜋

16

𝜋 2

[SBTCB12, tr.150]

Trang 34

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑷𝒉: Phương pháp tích phân từng phần

+ Đặt 𝑢, 𝑑𝑣 hợp lý rồi thay vào công thức

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣|𝑎𝑏 𝑏

𝑎

− ∫ 𝑣𝑑𝑢

𝑏 𝑎

+ Định nghĩa tích phân, bảng nguyên hàm, cách tính chất cơ bản của tích phân

+ Định lý: Nếu 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì: ∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)|𝑏 𝑎𝑏

Đáng chú ý, SGKCB12 có một bài tích phân yêu cầu tính theo cả hai phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần Đây có thể coi là trường hợp cho thấy được việc vận dụng hai kĩ thuật đổi biến số và từng phần rất đa dạng trong thực tế

Trang 35

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷𝑫𝑻 : Áp dụng công thức tính diện tích các hình phẳng cơ bản

+ Công thức tính diện tích của các hình cơ bản

+ Định lí “Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm trên đoạn [𝑎; 𝑏] Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 ”

Ví dụ: “Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau: ∫ √9 − 𝑥−33 2𝑑𝑥” [13, tr.152]

Hướng dẫn giải của SGVNC12, trang 192

“Tích phân bằng diện tích nửa đường tròn 𝑥2+

𝑦2 = 9(ℎ 3.3) Đây là đường tròn tâm là gốc tọa

độ bán kính là 3 Do đó diện tích nửa đường tròn là

9.𝜋

2 = 4,5𝜋”

Kĩ thuật này chỉ có thể áp dụng khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 =𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là các hình cơ bản có công thức tính diện tính như: tam giác, hình thang, đường tròn,…Mặc dù kĩ thuật này thể hiện mối liên hệ giữa tích phân và diện tích hình phẳng nhưng nó chỉ xuất hiện trong 3 bài ít ỏi của SGKNC12 SGKCB12 không có bài tập nào dạng này

2.2.1.2 Nhóm 2: Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến ứng dụng của tích phân (cần phải nhớ mối liên hệ của tích phân với các ứng dụng để lập công thức rồi mới có thể dùng MTBT tìm đáp án)

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑸Đ: Tính quãng đường đi được của một vật từ thời điểm 𝒕 = 𝒂 đến thời điểm 𝒕 = 𝒃 biết hàm vận tốc 𝒗 = 𝒇(𝒕)

Trang 36

 Kĩ thuật 𝝉𝑸Đ:

+ Xác định công thức tính vận tốc theo thời gian của chuyển động 𝑣 = 𝑓(𝑡) (thường đề bài cho sẵn, nếu cho gia tốc 𝑎(𝑡) thì 𝑣 = ∫ 𝑎(𝑡) 𝑑𝑡)

+ Xác định các thời điểm 𝑡 = 𝑎 và 𝑡 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏)

+ Công thức tính quãng đường đi được là 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏

+ Áp dụng kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính tích phân thu được

Công nghệ 𝜽𝑸Đ: Kết quả chứng minh trong hoạt động 3 SGKNC12 trang 150

có thể phát biểu là “Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian 𝑣 = 𝑓(𝑡) Khi đó quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏 ”

Ví dụ:

“Một vật chuyển động với vận tốc 𝑣(𝑡) = 1 − 2 sin 2𝑡 (m/s) Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm 𝑡 = 0(𝑠) đến thời điểm 𝑡 =3𝜋

KNV này chỉ xuất hiện trong SGKNC12 và SBTNC12, không hề xuất hiện trong SGKCB12 hay SBTCB12 Lí do có thể vì chương trình Chuẩn không đề cập đến ứng dụng vật lí của tích phân

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑫𝑻: Tính diện tích hình phẳng 4

𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑻: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 5

 Kĩ thuật 𝝉𝑫𝑻𝟐Đ𝑻:

4Các KNV điểm của KNV này được viết trên cơ sở tham khảo luận văn của Nguyễn Hoàng Vũ (2012), Nghiên

cứu thực hành của giáo viên trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở lớp 12, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại

học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Tên gọi và thống kê số lượng bài tập được chúng tôi dùng giống luận văn này Riêng cách đặt kí hiệu cho các KNV thì chúng tôi kí hiệu lại cho phù hợp với luận văn của mình.

5 Đồ thị hàm số: Đồ thị các hàm số có dạng: 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Trang 37

+ Giải phương trình hoành độ giao điểm 𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥) = 0 để tìm a, b (nếu

cần) với 𝑦 = 𝑓1(𝑥), 𝑦 = 𝑓2(𝑥) là 2 hàm số đã cho

+ Áp dụng công thức: 𝑆 = ∫ [𝑎𝑏 𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)]𝑑𝑥

+ Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S

Có 3 kĩ thuật giải quyết KNV con “Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S” được

Nguyễn Hoàng Vũ (2012) trình bày là:

SGKCB12 sử dụng cả ba kĩ thuật để giải quyết KNV con Tính tích phân chứa

dấu giá trị tuyệt đối S, trong khi đó SGKNC12 chỉ sử dụng hai kĩ thuật Xét dấu, Dùng

đồ thị và ưu tiên dùng kĩ thuật Dùng đồ thị

Ví dụ:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

parabol 𝑦 = 2 − 𝑥2 và đường thẳng 𝑦 = −𝑥

Giải: Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ

thị của hai hàm số đã cho bằng cách giải phương

Trang 38

Trong SGKCB12:

𝑻𝑫𝑻𝑻𝑺: Tính tỉ số diện tích của hai hình phẳng

𝑻𝑫𝑻Đ𝑮: Tính diện tích đa giác

𝑻𝑫𝑻𝑺𝑺: So sánh diện tích của hai hình phẳng

𝑻𝑫𝑻𝑮𝑯: Tính diện tích hình thang cong bằng giới hạn

Trong SGKNC12:

𝑻𝑫𝑻𝟑Đ𝑻: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ba hàm số

𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑪: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai đường cong 6 và hai đường thẳng 𝒚 = 𝒄, 𝒚 = 𝒅

𝑻𝑫𝑻𝑻𝒉𝑺: Tìm giá trị của tham số để diện tích hình phẳng bằng 𝑺 > 𝟎 cho

trước

Trong các KNV trên chỉ có hai KNV được trình bày trong bài học của SGKNC12 và có số lượng bài tập từ 6 – 8 bài là 𝑻𝑫𝑻𝟑Đ𝑻 và 𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑪 Các KNV còn lại chỉ xuất hiện trong sách bài tập với số lượng ít ỏi là 1 bài, riêng 𝑻𝑫𝑻𝑺𝑺 có 5 bài Nghiên cứu

của Nguyễn Hoàng Vũ cũng chỉ ra trong thực hành giảng dạy, GV dạy chương trình Chuẩn chỉ dạy KNV 𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑻 GV dạy chương trình nâng cao dạy 3 KNV

𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑻, 𝑻𝑫𝑻𝟑Đ𝑻, 𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑪 Các GV đều ưu tiên sử dụng kĩ thuật “xét dấu” thay vì “đưa dấu giá

trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân”, kĩ thuật “dùng đồ thị” chỉ sử dụng khi giải quyết

KNV 𝑻𝑫𝑻𝟑Đ𝑻 hoặc đồ thị có sẵn

Ngoài ra, hầu hết các KNV trên sau một số phép biến đổi đều đưa về việc sử dụng kĩ thuật và công nghệ của KNV 𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑻 Do đó, chúng tôi gom chung các KNV này

trong praxéologies địa phương 𝑻𝑫𝑻 Khi đó, để chỉ chung cho kĩ thuật thực hiện KNV

𝑻𝑫𝑻, chúng tôi sẽ kí hiệu là 𝝉𝑫𝑻𝜶 , 𝝉𝑫𝑻𝜷 , 𝝉𝑫𝑻𝜸 với 𝛼, 𝛽, 𝛾 là kí hiệu kĩ thuật bỏ dấu giá trị

tuyệt đối Cũng cần nói thêm rằng, KNV 𝑻𝑫𝑻𝑮𝑯 có kĩ thuật hoàn toàn khác, đó là chia

nhỏ, tính tổng và lấy giới hạn của tổng Tuy nhiên, kĩ thuật và công nghệ của nó lại chỉ xuất hiện trong bài đọc thêm và một ví dụ trong SBTCB12 yêu cầu tính diện tích theo cách này và bằng công thức Newton – Leibniz Do đó, theo chúng tôi, KNV này đưa

ra chỉ nhằm giới thiệu thêm cho HS một cách tính trên cơ sở so sánh với cách được

6 Đường cong: Đồ thị các hàm số có dạng 𝑥 = 𝑔(𝑦)

Trang 39

SGK cung cấp Vì thế, chúng tôi vẫn xếp chung KNV này trong praxéologies địa phương 𝑻𝑫𝑻

bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 𝑥(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) Giả sử S(x)

là một hàm số liên tục Người ta chứng minh được rằng thể tích V của B là :

𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 ”[ SGKNC12, tr.168]

(KNV này chỉ xuất hiện trong SGKCB12 ở các ví dụ trong bài học, SGKNC12

có cả bài học và bài tập)

Ví dụ: “Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 𝑥 = −1 và 𝑥 = 1,

biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 𝑥 (−1 ≤ 𝑥 ≤ 1) là một hình vuông cạnh 2√1 − 𝑥2” [SGKNC12, tr.172]

Hướng dẫn giải của SGKNC12 trang 206: “ 𝑉 = ∫ 4(1 − 𝑥2)𝑑𝑥 = 16

3

1

𝑻𝑻𝑻𝑶𝒙: Tính thể tích vật thể được tạo thành do quay hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙), trục hoành và hai đường thẳng 𝒙 = 𝒂, 𝒙 = 𝒃 (𝒂 < 𝒃) xung quanh trục Ox

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑶𝒙:

Trang 40

Ví dụ: “Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường 𝑦 = 0, 𝑥 = 4 và 𝑦 = √𝑥 − 1

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành” [SGKNC12, tr.172]

Hướng dẫn giải của SGVNC12 trang 207:“𝑉 = 𝜋 ∫ (√𝑥 − 1)14 2𝑑𝑥 = 7𝜋

xung quanh trục Ox

a) Tính thể tích của V theo 𝛼 và R

b) Tìm 𝛼 sao cho thể tích của V lớn nhất

[SGKCB12, tr.121]

𝑻𝑻𝑻𝑶𝒚: Tính thể tích vật thể được tạo thành do quay hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số 𝒙 = 𝒈(𝒚), trục tung và hai đường thẳng 𝒚 = 𝒄, 𝒚 = 𝒅 (𝒄 < 𝒅) xung quanh trục Oy

 Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑶𝒚:

+ Viết công thức tính thể tích vật thể: 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑔𝑑 2(𝑦)𝑑𝑦

+ Áp dụng các kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính tích phân thu được

Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑶𝒚: “Cho đường cong có phương trình 𝑥 = 𝑔(𝑦), trong đó g là

hàm số liên tục và không âm trên đoạn [𝑎; 𝑏] Hình phẳng giới hạn bởi đường cong

𝑥 = 𝑔(𝑦), trục tung và hai đường thẳng 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑, quay quanh trục tung tạo nên

Định dạng
Số trang	146
Dung lượng	3,46 MB