Một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian hilbert

Lý do chọn đề tài Trong toán học, lý thuyết toán tử là một nhánh của giải tích hàm liên quan đến các toán tử tuyến tính bị chặn và các tính chất của chúng.. Sự liên hệ của functional ca

Trần Nguyễn Vân Nhi

Trần Nguyễn Vân Nhi

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN TRÍ DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2019

Trần Nguyễn Vân Nhi

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS TRẦN TRÍ DŨNG đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn để tác giả có thể hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong khoa Toán - Tin học của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tác giả trong quá trình học tập tại khoa

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn giúp

đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cám ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2019

Trần Nguyễn Vân Nhi

Lời cam đoan 3

Lời cám ơn 4

Mục lục 5

Danh mục các ký hiệu 1

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Toán tử quạt (Sectorial operator) 5

1.2 Không gian các hàm chỉnh hình ( Spaces of holomorphic functions ) 7

1.3 Natural functional calculus 9

1.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy 9

1.3.2 The natural functional calculus 11

1.3.3 Luật hợp thành 12

1.4 Kỹ thuật xấp xỉ của McIntosh 12

1.5 Tính bị chặn của H- Calculus (The boundedness of the H-Calculus) 13

1.6 Toán tử hợp ( Multiplication Operators) 14

1.7 Bậc phân số với phần thực dương 15

Chương 2 Lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert 17

Dạng nửa song tuyến tính 17

Toán tử liên hợp 19

Dãy trị số 23

Tích vô hướng tương đương và định lý Lax-Milgram 23

Toán tử accretive 25

Chương 3 Một số kết quả về tính đồng dạng cho toán tử quạt 28

3.1 Vấn đề đồng dạng đối với toán tử biến phân 28

3.2 The Functional Calculus trên không gian Hilbert 34

3.3 Bậc phân số của toán tử m- accretive và vấn đề căn bậc hai 40

3.4 Thuyết McIntosh- Yagi 43

3.5 Định lý Đồng Dạng 51

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 54

Danh mục các ký hiệu

A Bao đóng của toán tử đa trị A

1

A Nghịch đảo của toán tử đa trị A

Ax Ảnh của điểm x dưới tác động của toán tử đa trị A

 Phổ của toán tử đa trị A

  Tích vô hướng trên không gian Hilbert H

  Tích vô hướng tương đương trên không gian Hilbert H

a A Toán tử A liên kết với dạng a

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học, lý thuyết toán tử là một nhánh của giải tích hàm liên quan đến các toán tử tuyến tính bị chặn và các tính chất của chúng

Một toán tử quạt (sectorial operator) A có phổ của nó chứa trong hình quạt S với

số  R ,A bị chặn đều bên ngoài hình quạt lớn hơn Các toán tử này đóng vai trò

nổi bật trong lý thuyết về phương trình vi phân và đạo hàm riêng elliptic và parabolic

(elliptic and parabolic partial differential equations) Vào những năm 1960, cái gọi

là bậc phân số (fractional powers) A (với  ) của toán tử quạt A được định nghĩa (xem [10], [3], [24], [8]) và đã được nghiên cứu sâu rộng kể từ đó Tuy nhiên,

cho đến ngày nay vẫn chưa có sự phát triển về lý thuyết bậc phân số vào functional

calculus, thậm chí cả trong các công trình nghiên cứu gần đây Mọi thứ trở nên khả

thi hơn khi natural functional calculus về các toán tử quạt được đưa ra McIntosh đã phát triển functional calculus này trong nghiên cứu của ông ấy (xem [15], [2])

McIntosh nhận xét [14] rằng lý thuyết về bậc phân số có thể được sửa lại bởi

functional calculus của ông Tuy nhiên, trọng tâm chính trong nghiên cứu của ông là

tính bị chặn của H calculus, với sự giúp đỡ bởi ý tưởng của Yagi (xem [24]), có

thể được chứng minh là tương đương với đánh giá bậc hai trong không gian Hilbert

Trọng tâm này vẫn nằm trong các nỗ lực tiếp theo để khái quát hoá các kết quả từ không gian Hilbert đến không gian p

L và không gian Banach tổng quát

Dựa theo những nhận xét của McIntosh, những đường dẫn mới và những sự liên hệ

còn mơ hồ trước đây dần được khám phá Sự liên hệ của functional calculus và những

câu hỏi đồng dạng trên không gian Hilbert như: vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số của toán tử m  accretive, vấn đề căn bậc hai…đều là những vấn

đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới hiện nay

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về giải tích hàm, giải tích phức, đại

số Banach cùng với tình hình nghiên cứu như hiện nay, tác giả đã quyết định chọn đề

tài “Một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian Hilbert”

2 Mục tiêu của luận văn

Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu một số kết quả về tính

đồng dạng cho các toán tử quạt trong không gian Hilbert như vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số của toán tử m  accretive, vấn đề căn bậc hai; sau đó

áp dụng để chứng minh lại một số định lý với cách tiếp cận dễ dàng hơn và không cần sử dụng những kết quả quá phức tạp

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này, tác giả sẽ thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp một số kiến thức cơ bản về toán tử quạt, tính bị chặn của Hcalculus, bậc phân số và một số vấn đề liên quan khác

Công việc đòi hỏi tác giả phải biết vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach

4 Nội dung luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Phần chuẩn bị trình bày về khái niệm toán tử quạt, các mệnh đề cơ bản của toán tử quạt, không gian các hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn của

H - calculus, bậc phân số và các kiến thức giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach có liên quan phục vụ cho các chương tiếp theo

Chương 2: Lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert

Chương này tác giả trình bày những thông tin về các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của toán tử đa trị), toán tử accretive, và định lý Lax-Milgram Các nội dung chủ yếu như sau:

+ Dạng nửa song tuyến tính

+ Toán tử liên hợp

+ Tích vô hướng tương đương và định lý Lax-Milgram

+ Toán tử accretive

Chương 3: Một số kết quả về tính đồng dạng cho toán tử quạt

Chương này tác giả sử dụng những kết quả từ lý thuyết toán tử trên không gian

Hilbert và functional calculus để đạt được định lý Đồng Dạng Các nội dung chủ

yếu như sau:

+ Vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân

+ Functional calculus trên không gian Hilbert

+ Bậc phân số của toán tử m  accretive và vấn đề căn bậc hai

+ Lý thuyết McIntosh-Yagi

+ Định lý Đồng Dạng: dùng định lý McIntosh-Yagi để chứng minh hai vấn đề đồng dạng đã đề cập ở phần 1 và 3

5 Đóng góp của đề tài

Sự liên hệ của functional calculus và những câu hỏi đồng dạng trên không gian

Hilbert là gồm hai phần Một được cho bởi bất đẳng thức Neumann (xem [19]) nói rằng một phép co T trên không gian HilbertH thỏa

qua biến đổi Cayley có thể kết luận là nếu A là một toán tử đơn ánh m  accretive,

H - calculus của nó phải bị chặn Như vậy thông tin trên dãy trị số của A (phụ

thuộc vào tích vô hướng đặc biệt) cung cấp thông tin trên functional calculus mà

không phụ thuộc vào tích vô hướng đặc biệt

Mặt khác, đánh giá bậc hai mà tác giả đã đề cập ở trên trong sự liên hệ với công

trình của McIntosh và Yagi, có thể được giải thích lại như một sự xây dựng của tích

vô hướng tương đương (xem Mệnh đề 3.4.1, Hệ quả 3.4.6 và Định lý 3.4.7) Ví dụ, giả sử A đơn ánh và sinh ra một nửa nhóm chỉnh hình bị chặn trên không gian

Hilbert H Từ kết quả của McIntosh ta có natural functional calculus cho A là bị chặn khi và chỉ khi tích phân suy biến

1

2 21

2 0

(contractive) đối với chuẩn mới này

Trong chương 3, tác giả đưa ra một tính toán của kết quả này và sử dụng nó để suy

ra một kết quả mạnh hơn đồng dạng (xem Định lý 3.5.2, khái quát hóa một định lý

của Lemerdy (xem [12] và [6])) Hơn nữa, chứng minh của tác giả không đòi hỏi kết quả sâu của Paulsen như những chứng minh trong [12] và [6] Một hệ quả của định lý đồng dạng đạt đươc là sự mô tả đặc điểm của những toán tử biến phân ( variational operator) đồng dạng Ở đây một toán tử đươc gọi là biến phân nếu nó có chứa dạng eliptic Tác giả chỉ ra thêm, toán tử biến phân kia luôn có tính chất căn bậc hai đối với tích vô hướng tương đương Vấn đề căn bậc hai nguyên bản có lịch

sử lâu đời và chỉ được giải quyết gần đây (xem Chú ý 3.4.5 để biết thêm về vấn đề căn bậc hai và lịch sử những đánh giá đối với những vấn đề đồng dạng khác trong [1, chương IV phần 7] )

6 Hướng phát triển của đề tài

Sau khi thực hiện luận văn, một câu hỏi mở đặt ra là : Có hay không một toán tử m 

accretive A trên không gian Hilbert H sao cho

    với mỗi tích vô

hướng tương đương   ? Đề tài có thể mở rộng nghiên cứu trả lời vấn đề này

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này sẽ trình bày vắn tắt về khái niệm toán tử quạt, các mệnh đề cơ bản của toán tử quạt, không gian các hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn của H - calculus, bậc phân số… có liên quan phục vụ cho các chương tiếp theo Các khái niệm, định nghĩa chủ yếu dựa vào các luận điểm trong [7]

Kí hiệu X là không gian Banach và A là toán tử trên X với 0  , đặt:

 

trong đó f (S),  , và đường cong T “bao quanh” hình quạt S Điều này

có nghĩa là trong trường hợp đặc biệt, nó được xem như một đường cong trên mặt cầu Riemann và đi qua điểm  Để phân tích có nghĩa thì hàm f phải tắt dần nhanh tại 

Như vậy, ta nói f tắt dần đều tại  nếu f z ( )   (| | ) z  khi |z|   với 0 Tương tự, f tắt dần đều tại 0 nếu f z ( )   (| | ) z khi | |z  0 và 0 Theo tính chất quạt của A, hàm f tắt dần đều tại đảm bảo tính khả tích tại , ít nhất nếu

 là đường thẳng

Ở 0, ta có hai khả năng Nếu f là hàm chỉnh tại 0 nghĩa là nếu f hàm chỉnh hình liên tục tại lân cận của 0, ta có thể chon đường cong  theo cách tránh điểm 0 Nếu điều này không thể, ta không có cách chọn, đòi hỏi f phải chính quy tại 0

Một cách tự nhiên ta xét lớp Dunford-Riesz trên S được định nghĩa bởi:

( ) { ( ) |

DR S  f H S f là tắt dần đều tại 0 và tại },

trong đó

H S  f O S f là bị chặn}

Là đại số Banach của tất cả các hàm chỉnh hình, bị chặn trên S Rõ ràng, DR S( )

là ideal đại số trong đại số H(S) Với mỗi f z( ) thì f( )1

z cũng thuộc DR S( )

Bổ đề 1.2.1

Cho 0     và f S:   là chỉnh hình Các khẳng định sau là tương đương:

(i) Hàm f thuộc DR S( ).

(ii) Tồn tại C0 và s > 0 sao cho | ( ) | f z  C min(| z | ,| | )s z s với mọi z S 

(iii) Tồn tại C0 và s > 0 sao cho | ( ) | | | 2

1 | |

s s

z



 với mọi z S  Chứng minh: Xem [7, chương 1]

Chiều thuận là hiển nhiên

Ta chứng minh chiều ngược lại, lấy   0 và c sao cho f z ( )    c (| | ) z  với 0

z Không hạn chế, ta có thể giả sử   1 Khi đó:

Cho 0     và f : S chỉnh hình Các khẳng định sau là tương đương:

(i) Hàm số f thuộc DR ext(S ).

(ii) Tồi tại h DR (S ) và g g, DR S0( ) sao cho:

1( ) ( ) ( ) ( )

f z h z g z g z

(iii) Hàm f bị chặn và thỏa các tính chất sau:

(1) f z ( )    d (| | ) ( z  z   ) với 0 và d (2) f z ( )    c (| | ) ( z  z  0) với   0 và c Chứng minh: Xem [7, chương 1]

1.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy

Cho 0     và  0 Ta gọi T  Slà biên của hình quạt Sđịnh hướng theo chiều dương, nghĩa là:

1( ) ( ) ( , )

1.3.2 The natural functional calculus

Ta giữ nguyên các giả thiết trên toán tử A Sự mở rộng functional calculus cơ bản được mô tả ở trên càng trực quan càng tốt Bởi vì nó không đúng với tích phân loại Cauchy nữa, nên ta phải sử dụng một thủ thuật nhỏ Ta định nghĩa:

Chứng minh: Xem [7, chương 1]

  Cuối cùng, ta định nghĩa với t0 hàm số

t

(d) supt0|| ( f t)( ) || || || A  f CM A ( , ') ( , '),  c s  trong đó    '   tùy ý và

' 2

1( , ') :

s s

z dz

c s

z z

r

 



Chứng minh: Xem [7, chương 1]

-Calculus)

Định nghĩa 1.5.1

Cho ASect( )  là một toán tử quạt trên không gian Banach X và   Giả sử có một đại số con F H(S) sao cho f A( ) được định nghĩa bởi NFCSO với mỗi

f F (This is a restrictiononly if A is not injective) Ta nói rằng Fcalculus với

A bị chặn nếu f A( ) L X( ) với mọi f F và

|| ( ) ||f A C f|| || (f F)

Mệnh đề 1.5.2

Cho ASect( )  với tập xác định và tập giá trị trù mật Cho     và C0 Các khẳng định sau là tương đương:

(i) The natural DR S( )calculus với A là bị chặn với biên C

(ii) The natural H(S)calculus với A là bị chặn với biên C

(iii) The natural H(S)C S0( )calculus với A là bị chặn với biên C (iv) The natural R0(S)calculus với A là bị chặn với biên C

(v) The natural R(S)calculus với A là bị chặn với biên C

Chứng minh: Xem [7, chương 1]

 2k 

k k

s k

1 2

s k s k

Representation (Xem [20], định lý 2.14) ta có thể đồng nhất  với một độ đo Borel chính quy  trên  Nếu độ đo  có tính chất

C

       ,

Khi đó không gian độ đo Randon được gọi là không gian độ đo chuẩn tắc

Cho f  C  liên tục trên  Toán tử hợp M f trên 2 

Cho f  C  với , là không gian độ đo chuẩn tắc Những khẳng định sau

đây là tương đương:

d) Toán tử M f là đơn ánh khi và chỉ khi  f 0 K0 với mỗi K 

compact, tức là  null địa phương

f

R  M M     M f) Nếu M f 0 thì f  0

g) Cũng cho gC  Khi đó M M f g M f g Đẳng thức xảy ra nếu g bị chặn

Chương 2 Lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert

Trong chương này tác giả trình bày những thông tin về các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của toán tử đa trị), toán tử accretive, và định

lý Lax-Milgram Tác giả công nhận những lý thuyết cơ bản của không gian Hilbert

có thể được tìm thấy trong [20, chương IV] Trong chương này, H là ký hiệu cho không gian Hilbert phức Tích vô hướng trên H được ký hiệu là  

Dạng nửa song tuyến tính

Định nghĩa 2.1.1

Cho V là không gian vectơ trên trường số phức Ta ký hiệu

 :  :

Ses V  a a V V  là nửa song tuyến tính 

là không gian của các dạng nửa song tuyến tính trên V Cho aSes V , dạng

liên hợp (adjoint form) a là:

Định nghĩa 2.1.3

Dạng dương a thường được gọi là nửa tích vô hướng

Nó được gọi là tích vô hướng khi nó xác định dương, tức là, nếu a dương và

là nửa chuẩn trên V

Như vậy, theo bất đẳng thức Cauchy-Schward, dạng alà liên tục đối với nửa chuẩn

Mệnh đề 2.1.5 Cho aSes V sao cho Rea u 0. Các khẳng định dưới đây là

tương đương

i Dạng a được gọi là quạt

ii Dạng a liên tục đối với nửa chuẩn sinh ra bởi nửa tích vô hướng Re a

Một cách chính xác hơn: Nếu a u v , M Rea u  Rea v , u v, V , khi đó a là

Phần tử sinh của J A B   là  v w u, , với  u v, A u w, , B

Cho H là không gian Hilbert Ta ký hiệu *

H là không gian các hàm liên hợp tuyến tính (conjugate-linear) liên tục, trang bị thêm chuẩn

Ta thường viết , x thay cho  x với x H  ,   H*

Cho a là dạng nửa song tuyến tính liên tục trênH Khi đó ta có ánh xạ tuyến tính liên tục :

Q a Q:L H { liên tục, dạng nửa song tuyến tính trên H}

là đẳng cấu Ta có a Q a Q*, dạng a là đối xứng khi và chỉ khi Q là tự liên hợp (selfadjoint), và dạng a dương khi và chỉ khi Q 0

Mệnh đề 2.4.2 Cho QL H  Khi đó dạng a Q là tích vô hướng trên H khi và chỉ khi Q dương và đơn ánh Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng là tương đương với chuẩn ban đầu khi và chỉ khi Q khả nghịch

Chứng minh: Xem [7]

Một tích vô hướng trên H mà chuẩn sinh ra tương đương với chuẩn ban đầu gọi là

tích vô hướng tương đương

Bổ đề 2.4.3

Cho A là toán tử đa trị trên H và đặt   : a Q là tích vô hướng tương đương trên

H Ký hiệu A là liên hợp của A đối với tích vô hướng mới Khi đó:

L H H định nghĩa như (1.1) là một đẳng cấu

Bất đẳng thức (1.2) được gọi là điều kiện cưỡng bức

Chứng minh:

Lấy u H với u 1 Khi đó