SKKN toán 9 hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng hệ phương trình

Do vậy việc hướng dẫn học sinh phân loại các dạng hệ phương trình và đề racác cách giải các dạng đó một phần nó tạo cho các em có một cách nhìn tổng quanhơn về hệ phương trình, mặt khác

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệhọc sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chấtđạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay Muốn giải quyếtnhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trongphương pháp học tập của học sinh, cũng như trong phương pháp giảng dạy của giáoviên các bộ môn nói chung và bộ môn Toán nói riêng

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên rất quan trọng, ảnh hưởng rất lớnđến các môn khoa học khác Một nhà tư tưởng Anh đã nói: "Ai không hiểu biết vềToán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thểphát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình."

Để giúp các em học tập môn Toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu, sáchbáo, giáo viên lâu năm, giáo viên giỏi đề cập tới Nhưng chung quy lại, giáo viênkhông chỉ nắm vững kiến thức mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phươngpháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh đẽ hiểu nhất.Nhà khoa học LEP - NITX đã nói: "Một phương pháp được coi là tốt nếu như ngay từđầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phương pháp đó

ta sẽ đạt tới đích " Với mỗi bài toán ta có thể giải quyết được nó chỉ cần bắt chướctheo những chuẩn mực đúng đắn và thường xuyên thực hành

Chương trình Toán rất rộng, các em lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại

có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy khi học các em không chỉ nắm chắc kiếnthức cơ bản mà còn phải rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp, từ đó biết vận dụngvào giải từng bài Toán Qua cách giải từng bài Toán tự mình rút ra được phươngpháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó đề xuất lời giải khác hay hơn, ngắngọn hơn

Thông qua quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9, đồng thời kiểm tra đánh giákết quả tiếp thu kiến thức của học sinh, tôi nhận thấy các em tiếp thu kiến thức cònrất nhiều hạn chế và thiếu sót Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiếnthức đã học vào giải phương trình cũng như dùng hệ phương trình để làm các bài toánkhác Do vậy việc hướng dẫn học sinh phân loại các dạng hệ phương trình và đề racác cách giải các dạng đó một phần nó tạo cho các em có một cách nhìn tổng quanhơn về hệ phương trình, mặt khác giúp cho các em rèn luyện phương pháp học Toán

có hiệu quả

Mặc dù thấy được sự cần thiết của vấn đề này, nhưng việc hướng dẫn học sinhtiếp thu phần kiến thức cũng gặp rất nhiều khó khăn, và tôi luôn suy nghĩ phải từngbước để hoàn thiện phương pháp của mình nên bản thân tôi đã dày công nghiên cứu

đề tài này với hy vọng đề tài có thể giúp các em học sinh lớp 9 phát triển tư duy, cũng

có thể dùng làm tài liệu dạy học môn học tự chọn, chủ đề bám sát Bên cạnh đó tôisuy nghĩ rằng nếu mỗi năm, một giáo viên tập trung nghiên cứu một vấn đề nào đó vàchia sẻ với đồng nghiệp của mình thì chắc chắn hiệu quả giáo dục sẽ được nâng lên

rõ rệt

Từ những suy nghĩ trên đây bản thân tôi quyết tâm nghiên cứu viết đề tài:

“Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng hệ phương trình” đáp ứng

được yêu cầu đổi mới SGK lớp 9, qua đó giúp các em có thêm kinh nghiệm tiếp thukiến thức về giải hệ phương trình cũng như ứng dụng của nó phục vụ cho việc thiHSG, thi vào THPT

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Hệ phương trình là một trong những dạng chuyên đề rất khó, nhưng ứng dụngcủa nó thì khá nhiều, và thực các em thường cảm thấy lúng túng khi tiếp xúc với loạiToán này Bởi vậy tôi thấy cần thiết phải tạo cho các em có niềm say mê, yêu thíchtrong học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời, khi gặpnhững bài toán khó phải có nghị lực, tập trung tư tưởng tin vào khả năng của mìnhtrong quá trình học tập

Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải các dạng hệ phương trình làmột vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉgiúp các em nắm vững lý thuyết mà còn phải tạo cho các em một phương pháp họctập tốt của bản thân, rèn cho các em có thói quen thực hành và kỹ năng nhìn nhận

một bài toán sao cho: "Mỗi bài toán tôi giải được đều trở thành kiểu mẫu để sau này

giải các bài toán khác"

(ĐÊ - CAC)

I PHÂN LOẠI HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Trong quá trình dạy học giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân loại các dạng

hệ phương trình, rồi cùng các em tìm ra phương pháp giải tối ưu cho mỗi dạng đó Ởtrong chương trình lớp 9 các em thường gặp các dạng hệ phương trình như:

1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn,

2 Hệ phương trình phân thức đơn giản,

3 Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khôngphải bậc nhất,

4 Hệ phương trình hai ẩn trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích đượcthành nhân tử,

5 Hệ phương trình đẳng cấp,

6 Hệ phương trình đối xứng loại I,

7 Hệ phương trình đối xứng loại II,

8 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn,

9 Hệ hoán vị dạng tổng,

10 Hệ hoán vị dạng tích,

11 Hệ phương trình vô tỷ,

12 Hệ phương trình giải bằng cách đưa về hằng đẳng thức,

13 Hệ phương trình giải bằng cách đưa về tổng các bình phương,

14 Hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức,

15 Một số bài toán ứng dụng của hệ phương trình

II CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khi bắt tay vào giải bài tập, phần đầu tiên là phải nắm vững lý thuyết cơ bản,

có như vậy mới hy vọng giải được bài toán theo yêu cầu Đối với phần này tôi giúpcác em nhớ lại kiến thức bằng cách đưa ra hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về: nghiệmtổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn, về số nghiệm của hệ phương trình, vềquy tắc thế, quy tắc cộng, về điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, côngthức nghiệm, hệ thức Vi-et, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

- Định nghĩa: Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c và a’x + b’y = c’.Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: 

y b'

x a'

(1) c

- Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì thì ta nói hệ vô nghiệm

2 Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm.

Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng d

Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng d’

- Nếu d cắt d’ hệ có nghiệm duy nhất

- Nếu d song song với d’ thì hệ vô nghiệm

- Nếu d trùng với d’ thì hệ có vô số nghiệm

3 Hệ hai phương trình tương đương.

- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùngmột tập hợp nghiệm

- Giải hệ phương trình là đi tìm nghiệm của hệ phương trình đó

III NỘI DUNG

Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

a Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

a.1 Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một

hệ phương trình mới tương đương

Bước 1 Từ một phương trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồithế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ còn một ẩn

Bước 2 Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai của hệ(Phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo

ẩn kia có được ở bước 1)

a.2 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau: ( )

1 2

17 8

9

I y

x y x

2 17 ) 1 2 ( 8 9 1

y x x y

x

y

x

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 1)

Đến đây Gv yêu cầu học sinh dùng quy tắc thế rút x từ phương trình (1) rồi giải

1 9 17 2 9 17

1 2 17 8 9

y y y y x y y x y

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 1) Học sinh nhận xét hai cách giải rồi từ

đó Gv yêu cầu học sinh làm tiếp ví dụ

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau: 

2

5

y x y x

2

5

y x y y x y y y

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2; 3)Đối với hệ phương trình này Gv đã hướng dẫn học sinh thế cả một biểu thức

2

1 1 2

y x y x

0 2 4 3

y x

y x

Sau khi đã đưa ra lưu ý Gv yêu cầu học sinh giải hệ phương trình: ( )

1 5 3

9 5 2

I y x y x

- Bước 1 Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một hệphương trình mới tương đương.

- Bước 2 Dùng phương trình mới thay thế cho một trong hai phương trình của

hệ ( và giữ nguyên phương trình kia)

b.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau: ( )

1 5 3

9 5 2

I y x y x

y x y x x

Vậy hệ phươngtrình có nghiệm là (2; 1)

7 2

3 3

II y x

y x

5 3 3

y x x

y x

Hệ có nghiệm là (2;-3)

Ở hai hệ phương trình trên ta nhận thấy hệ số của cùng một ẩn ở hai phươngtrình đối nhau hoặc bằng nhau thì ta cộng hay trừ vế với vế Vậy nếu không ở vàotrường hợp trên thì sao?

b.3 Lưu ý:

- Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hay

trừ) vế với vế của hai phương trình của hệ

- Khi hệ số của cùng một ẩn ở hai phương trình không bằng nhau cũng khôngđối nhau thì ta chọn nhân với một số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đốinhau hoặc bằng nhau

Giải hệ phương trình: ( )

1 5 6

5 3 2

III y

x y x

5 1 3 2 14 14 5 3 2

y x y

x y

y x

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1)

6 3

4

y

x

y x

2

2 1 2

y x y x

1 3 2

y x

y x

c Giải và biện luận hệ phương trình:

c.1.Quy trình giải và biện luận

Bước 1 Tính các định thức:

Bước 2 Biện luận

* NếuD 0 thì hệ có nghiệm duy nhất

D D x

y x

* Nếu D = 0 và D x  0 hoặcD y  0 thì hệ phương trình vô nghiệm

* Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm

2

m my x

m y mx

2 6

D y

Nếu m = - 2 D = 0; Dx = - 4 Hệ phương trình vô nghiệm

Nếu m = 2 D=0 và Dx=Dy = 0 Hệ phương trình có vô số nghiệm (x; 2x – 4) x R

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau: 

1 2

m my x

m y mx

m

1 2 2

m m

Nếu m   2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Nếu m = -2 hệ vô nghiệm

Nếu m = 2 Hệ vô số nghiệm.

c.3 Lưu ý:

- Đối với bài toán giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì việc sử dụngđịnh thức là rất hữu hiệu Có một cách dễ nhớ là: D:anh - bạn; Dx: có – bát; Dy : ăn– cơm

- Đôi khi có thể sử dụng tính chất: Nếu hệ phương trình 

c by ax

c b

b a

) 1 ( 1 2

m my x

m y mx

Từ phương trình 1 ta có y = m1 mx2 thay vào phương trình 2 ta được

0 2 3 )

4 ( 2 4 ) 1 ( 4 1 2 2

Khi m = 2 ta có 0x = 0, phương trình có vô số nghiệm  hệ vô số nghiệm

Khi m = -2 ta có 0x = -12, phương trình vô nghiệm  hệ vô nghiệm

Nếu m  2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất

Đến đây chắc chắn học sinh sẽ nhận thấy rằng theo định thức việc biện luận nó

sẽ trở nên nhẹ nhàng và đơn giản hơn

5 5

my

x

y mx

m y x m

3 )

1 (

7 2

) 5 (

a y ax ay x

Tìm điều kiện của m, n để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm

1

2

(

3 ) 1 2

(

m my x

m

m y m

nx

n m ny mx

2

2 2

Dạng 2 Hệ phương trình phân thức đơn giản.

Sau khi giải xong hệ phương trình ( )

1 5

6

5 3

5 3 1 1

I y

x

y x

Ta phải chuyển hệ phương trình

ban đầu về hệ phương trình dạng 1 bằng cách đặt ẩn phụ Đặt u =1x ; v = 1y

5 3

v u

v u

Giải hệ phương trình này ta suy ra u = 51; v = 52 từ đó suy ranghiệm x, y của hệ phương trình Còn nếu bây giờ ta thay x bởi x 3 và y bởi

2

2 1 2 3

II y

x

y x

2 2

v u

v u

giải hệ phương trình này ta có u = 2; v = 0 suy ra x = 1; y = -1

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình: (I)

2 1 1 1

y x

y x

Khi gặp hệ này học sinh dễ dànggiải được tương tự như ví dụ 1 Lúc này giáo viên có thể khai thác thêm bài toán Rõ

ràng x và y đều khác 0 nên ta có: (I) 

1 2 1

y x xy y x xy

xy y x xy y x

học sinh muốn giải được hệnày thì đòi hỏi phải chuyển về hệ phương trình trên Lại tiếp phân tích bài toán

6

) (

2

y x xy

y x

xy Để giải hệ phương trình mới học sinh phải xéttrường hợp (x; y) = (0; 0) Rồi đưa về các hệ phương trình trên để giải

3 5 6 4 7

7

x y

y x

Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình:

2 1 1

2

y y x

x

y y x

3

2 9 1 5 2

7

y x y

x

y x y

1 1

3

2 5 3 2

5 1

4

y x y

x

y x y

2

5 7 2

y x xy

110 77 3

5 6

3 2 3

Dạng 3 Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình

không phải phương trình bậc nhất:

a Cách giải:

Sử dụng quy tắc thế từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn kia, rồi thếvào phương trình còn lại Giải phương trình hai tìm nghiệm rồi quay lại tìm nghiệmkia

Với y = 1  x = 3; Với y = 2  x = 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là {(3; 1); (1; 2)}

Ví dụ b Từ phương trình thứ nhất ta có x = 1 + 2y thay vào phương trình thứ

hai ta được: (2y + 1)2 + 14y2 – 1 = 4(2y + 1)y  4y2 + 4y + 1 + 14y2 – 1 = 8y2 + 4y

 10y2 = 0  y = 0;

Với y = 0  x = 1

Có thể giải theo cách khác được không?

Cách 2 Từ phương trình thứ hai của hệ x2 + 14 y2 - 1 = 4 x y

 (x - 2y)2 + 10y2 - 1 = 0 Thay phương trình 1 vào phương trình 2 ta có 10y2 = 0 suy

5 3

2

2

2

y y

1 4

3

y x xy y x

2 2

y x y xy x y x

2 Giải và biện luận hệ phương trình: 1)

1 2 2

2 y x

y mx

1 2 2

2 y x

y mx

Dạng 4 Hệ phương trình hai ẩn trong đó vế phải bằng 0, vế trái phân tích được

thành nhân tử.

a Cách giải

- Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử

- Giải các hệ phương trình mới tạo thành

y x y x

xy y x

1

2 2 2 2 2

2

y x y x y x y x y

  1 ;  4 ;  1 ; 5 ;  4 ;  1 ; 5 ;  1

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:  

0 6 2

y x y x

y x y

0 2

y x y x

y x y x

0 6

0 ) 2 2 )(

1 2

(

y x xy

y x y

3

0 ) 1 2 2 )(

2 (

2

2 y x

y x y

x

y x y

x

5 )

(

2

6 ) (

Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:

Bước 1: Kiểm tra xem (x; 0) có phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Với y0 ta đặt x = t.y Thay vào hệ ta được hệ mới chứa hai ẩn t, y

Từ hai phương trình ta khử y để được một phương trình ẩn t

Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra nghiệm x, y.

1 2 2

2 2

y xy x

y xy x

Giải: Với y = 0 thay vào hai phương trình ta được 





 3 2

1 2 2

x x

Hệ phương trình vô nghiệm

với y  0 đặt x = t.y thay vào hai phương trình của hệ ta có:

)

(

2 2

2 2

y y ty

ty

y y

1 2 2 2 2

2 2 2 2

y ty y t

y ty y t

khử y ở hai phương trình ta có t = 1; t

= - 1

Với t = 1, ta có y2 = 1 suy ra y = 1, x = 1; y = - 1, x = -1

xy x

y xy x

17 3

2

11 2

3

2 2

2 2

a Giải hệ phương trình với m = 0

b Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm

Giải: a Giải hệ phương trình khi m = 0

2

11 2

3

2 2

2 2

y xy x

y xy x

Ta thấy x = 0; y = 0 không thoả mãn hệ phương trình(I) nên không là nghiệm của (I)

) 2 ( 11 2 3 17 3 2

11 2

3

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

t t x t t x x t tx x

x t tx x

Lấy (2) chia (3) ta được:

5 2 11 2

0 40

hayt t t

2 1

y x

y x

3 4

3

3 5 3

3 4

y x

y x

y xy x

2 2

2 2

3 2

11 2

) 4 ( 11 2 3 3

2

11 2

3

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

n t t x t t x n x t tx x

x t tx x

Lấy (4) chia (5) ta có

n t

11 5 3 11 22 3

56 2

6

2 2

2 2

y xy x

y xy x

' 3 2 2 3

3 2 2

3

e y d xy c y

Khi y  0, đặt x = ty thay vào hệ phương trình rồi khử y Giải phương trình ẩn

t từ đó suy ra nghiệm x, y của hệ phương trình

2 2 2 2

y x y x

y x y x

2 2 2 2

y x y x

y x y x

Từ hệ phương trình ta thấy y 0; x  y;x+y>0

Chia (2) cho (1) vế theo vế ta có:    

   2 2 5(3)

2 2

y x y x

1 1

2 3

2 2 2

2 2 2

t t y

t t y y

y t y ty

y y t y ty

* Khi t = 12 mà x = ty nên y = 2x  3x(x2 + 4x2) =15 15x3 =15 x = 1;y = 2

* Khi t = 2 mà x = ty nên x = 2y  3y(y2 + 4y2) = 15  15y3 =15 x =2; y = 1 Vậy

3

3 y x

y x xy

3 y x y x

xy

Dạng 6 Hệ phương trình đối xứng loại I

a Định nghĩa: Nếu là hệ phương trình chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai

trò x, y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi gọi là hệ phương trình đối xứngloại I

b Cách giải

Bước 1 Đặt x + y = S và xy = P với S2  4Pta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.

Bước 2 Giải hệ phương trình S, P Chọn S, P thoả mãn S2  4P

Bước 3 Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình:

11 2 2

y x y x xy y x

Ta nhận thấy rằng nếu thay đổi vị trí của x và y cho nhau thì hệ phương trình khôngthay đổi bởi vậy chúng ta đặt ẩn phụ S, P

y x S

2 P S S

P S

Hệphương trình mới này thuộc vào dạng 3 Từ (1) ta có P = 11 – S, thay vào (2) ta được

S2 – 2(11 – S) + 3S = 28, hay S2 + 5S – 50 = 0 Phương trình này có hai nghiệm S = 5hoặc S = -10

Nếu S = 5 thì P = 6 thoả mãn S2  4P nên x, y là nghiệm của phương trình T2

m y xy x

) (

1

Xác định m để hệ có ít nhấtnghiệm thoả mãn x > 0; y > 0

m SP

m P S

S P

m S

1 1

- Với S = m; p = 1 ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 – mX + 1 = 0

Hệ có ít nhất nghiệm x > 0, y > 0  2

0 1 0 0 4

m s m

- Với S = 1, P = m ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 – X + m = 0

Hệ có ít nhất nghiệm x > 0, y > 0  0 4

0 0 1

0 4 1

p s

dụ trên Chẳng hạn

Ví dụ 3.Vớigiá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: x 2 y 3 5

2

5 3 2

m y

x

y x

m b a b a

Bài toán chuyển về tương tự như ví dụ 2 Học sinh dễ dàng tìm ra lời giải

y x

xy

y xy

2y xy x

y x xy

13 2 2

xy y x y x

3

2 2

y

x

xy y

2y xy x

x y y x

xy y x

y x

y x x y x

3 1 1

Dạng 7 Hệ phương trình đối xứng loại II:

a Định nghĩa: Nếu là hệ phương trình hai ẩn x, y mà khi thay đổi vai trò x, y

cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ

b Cách giải

 Trừ vế với vế hai phương trình cho nhau và biến đổi phương trình về dạng tích

 Kết hợp với một trong hai phương trình của hệ để tạo thành hệ phương trìnhmới Giải hệ phương trình mới rồi suy ra nghiệm của hệ ban đầu

x

y x y xy x

y

x

2 3

0 ) 2 2 2 )(

(

2 3

2

2 2

0 2 2 2 ) 2 3

2 3 2 2 2 2 3 2

II y y y x

y x y xy x

I y y y x y x

Giải hệ phương trình (I) ta có x = 0, y = 0; x = y =2 + 2; x = y = 2 - 2

Hệ phương trinh (II) vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình x2  x y  2m( 2 )

a Giải hệ phương trình khi m = 0

b Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm duy nhất đó

Giải: Lấy (1) trừ đi (2) vế theo vế ta có: y2 - x2 = 0  y = x hay y = -x

Hệ phương trình đã cho tương đương với hai hệ phương trình: ( 3 )

0 2 2 2

* Nếu m > 0 (4) -> x2 = 2m có hai nghiệm phân biệt nên loại

* Nếu m < 0 (4) -> x2 = 2m vô nghiệm Từ đó hệ phương trình có đúng một nghiệm

 Hệ phương trình (3) có đúng một nghiệm khi x2 - 2x - 2m = 0 có nghiệm kép ' =

1 + 2m = 0  m = 21 và hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1 Vậy khi m = 21 thì hệphương trình có nghiệm duy nhất x = y = 1

1 3

2 3

2 3

y x x

x y y

5 4 2

2

2

x x

y

y y

3 2

2 2

x y y x

2

15 4

2

2 3

2 3

x x

y

y y

x y

mx x

y x

2 2

3

2 2

3

7 7

3 3

2 2

2 2

1 1

1 1

d z

c y

b x

a

d z

c y

b x

a

d z

c y

b x

3 3

3 0 2

0 1

0

d z c y b x a

u c z u

b y u

a x

3

0 2

0 1

0

u

c z u

b y u

0 2

0 1

c t

u z

b t

u y

a t

u x

Thay vàophương trình còn lại giải tìm t rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình

6 7 4

z y x

z y x

t y

t x

6

7 Thay vào phương trình hai ta có:

4.4t + 3.7t + 2.6t = 49 suy ra t = 1 Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:

7

0 2

3

z y

x

z y

y x

Giải: Từ hai phương trình ban đầu ta có 2x 3y và 5y 7z 

21 15 10

z y x





Đặt

21 15

10

z y

x



 = t Suy ra x = 10t; y = 15t; z = 21t Thay vào phương trình thứ ba ta

có 10t + 15t - 21t = 16 suy ra t = 4 Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình là:

(40; 60; 84)

Cách 2 Từ hai trong ba phương trình ta xem ẩn nào đó là tham số (chẳng hạn

z) Giải phương trình ẩn x; y theo tham số z Rồi thay vào phương trình 3 tìm z Từ đósuy ra nghiệm của hệ

2

) 2 ( 7 2

) 1 ( 12

z y

x

z y

x

z y

17 4

z y

z x

thay vào phương trình thứ hai của hệ ta cóphương trình 2(4z - 17) - (-5z + 29) + z = 7 -> z = 5 Từ đó suy ra nghiệm của hệphương trình là (3; 4; 5)

Cách 3 Giải hệ phương trình theo phương pháp định thức:

Bước 1 Tính định thức:

D =

3 3

2 2 1 3 3

2 2 1 3 3

2 2 1 3 3

3

2 2

2

1 1

1

b a

b a c c a

c a b c b

c b a c b

a

c b

a

c b

2 2 1 3 3

2 2 1 3 3

2 2 1 3 3

3

2 2

2

1 1

1

b d

b d c c d

c d b c b

c b d c b

d

c b

d

c b

d





