Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính

Phân phối dạng Phase Phân phối dạng phase được đặc trưng bởi xích Markov với không gian trạng thái1,2,...,k và ma trận xác suất chuyển P sao cho lim Pn 0 ; thời gian lưu trú n trong trạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

NCVCC.TS.NGUYỄN HỒNG HẢI

Hà Nội – Năm 2014

1.1.2 Những phân phối quan trọng

1.1.2.1 Phân phối hình học

1.1.2.2 Phân phối Poisson

1.1.2.3 Phân phối mũ

1.1.2.4 Phân phối Erlang

1.1.2.5 Phân phối siêu mũ (Hyperexponential)

1.1.2.6 Phân phối dạng Phase

1.1.3 Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên

1.1.3.1 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên

1.1.3.2 Quá trình Markov

1.1.3.3 Quá trình Poisson

1.2 Quá trình sinh tử

CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG

2.1 Những mô hình xếp hàng và một số khái niệm cơ bản

2.1.1 Mô hình xếp hàng và ký hiệu Kendall

2.1.2 Tỷ lệ thời gian cư ngụ

2.1.3 Một số đại lượng đặc trưng

2.1.4 2.1.5 2.2 Mô hình xếp hàng M/M/1

2.2.1 Cân bằng xác suất

2.2.2 Các đặc trưng trung bình

2.2.3 Phân phối của thời gian lưu trú và thời gian chờ đợi

2.2.4 2.2.5 Quyền ưu tiên tuyết đối

2.2.6 Quyền ưu tiên không tuyệt đối

2.2.7 2.2.8 Trung bình chu kỳ bận

2.2.9 Phân phối của chu kỳ bận

2.3 Mô hình xếp hàng M/M/c

2.3.1 Cân bằng xác suất 22

2.3.2 Trung bình độ dài hàng đợi và trung bình thời gian chờ đợi 23

2.3.3 Phân phối thời gian chờ đợi và thời gian lưu trú 24

2.4 Mô hình xếp hàng M/Er/1 25

2.4.1 Hai cách mô tả trạng thái 25

2.4.2 Cân bằng phân phối 25

2.4.3 Trung bình thời gian đợi 28

2.4.4 Phân phối thời gian đợi 29

2.5 Mô hình xếp hàng M/G/1 29

2.5.1 Những phân phối giới hạn 29

2.5.2 Phân phối của sự rời đi 31

2.5.3 Phân phối của thời gian lưu trú 35

2.5.4 Phân phối của thời gian chờ đợi 37

2.5.5 Phương pháp giá trị trung bình 38

2.5.6 Thời gian phục vụ còn lại 39

2.5.7 Phương sai của thời gian chờ đợi 40

2.5.8 Phân phối của chu kỳ bận 41

2.6 Mô hình xếp hàng G/M/1 43

2.6.1 Phân phối khách đến 44

2.6.2 Phân phối của thời gian lưu trú 47

2.6.3 Thời gian lưu trú trung bình 47

CHƯƠNG III: MẠNG JACKSON 49

3.1 Mạng mở 49

3.2 Mạng đóng 53

3.3 Mạng nửa mở 55

3.4 Hàm thông lượng 58

3.5 Tính thông lượng 60

3.5.1 Thuật toán tích chập 61

3.5.2 Phân tích giá trị trung bình 61

3.6 Sự đảo ngược thời gian 63

CHƯƠNG IV: MẠNG KELLY 68

4.1 Mô hình xếp hàng tựa khả nghịch 68

4.2 Mô hình xếp hàng đối xứng 73

4.2.1 Các phân phố và quá trình dạng Phase 73

KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

MỞ ĐẦU

Lý thuyết phục vụ đám đông ra đời từ những năm 50 của thế kỷ XX và có rấtnhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong thực tế Lý thuyết xếp hàng được xemnhư là một nhánh chính của lý thuyết xác xuất ứng dụng Những lĩnh vực quan trọngứng dụng của mô hình xếp hàng là mạng viễn thông, mạng máy tính, hệ thống xử lýthông tin

Luận văn với đề tài “ Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính ” nghiêncứu các mô hình cơ bản của lý thuyết xếp hàng, tính chất của các mô hình xếp hàng.Ứng dụng của lý thuyết xếp hàng vào nghiên cứu các mô hình mạng

Nội dung luận văn gồm bốn chương:

Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày về một số phân bố xác suất quan trọng vàmột số quá trình ngẫy nhiên bao gồm quá trình Poisson, quá trình Markov và đặc biệt làquá trình sinh tử

Chương 2: Tổng quan về lý thuyết xếp hàng

Chương này chúng tôi trình bày về các mô hình xếp hàng cơ bản như mô hình

M / M /1, M / M / c , M / Er /

Chương 3: Mạng Jackson

Trong chương này chúng tôi đi sâu vào trình bày mô hình mạng Jackson gồm:mạng Jackson đóng, mạng Jackson mở, mạng Jackson nửa mở và mạng thời gian đảongược có cùng phân phối cân bằng và dòng khách hàng đến và rời đi cùng tuân theo quátrình Poisson độc lập

1

những thiếu sót, tôi rất mong nhận được thêm những ý kiến đóng góp cho luận văn nàycủa các thầy cô và các độc giả.

Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô Khoa toán tin– Trường ĐHKHTN Hà Nội đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập Đặcbiệt tôi muốn tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới NCVCC, TS Nguyễn Hồng Hải cán bộ thuộctrung tâm KHKT – BQP, người đã tận tình hướng dẫn về khoa học và giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình thực hiện luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Năm 2014Tác giả

Lê Đức Hợp

2

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Giả sử ( ,ℱ,P) là không gian xác xuấtĐịnh nghĩa: Biến ngẫu nhiên X là ánh xạ đo được X: (Ω, ℱ) → ℝCác đại lượng quan trọng của biến ngẫu nhiên X: kỳ vọng ( trung bình ) EX,phương sai 2 X , độ lệch chuẩn X và hệ số biến thiên cX

thiên cX là một thước đo độ biến động của biến ngẫu nhiên X )1.1.2 Những phân phối quan trọng

1.1.2.1 Phân phối hình họcBiến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p nếu các giá trị của nó làcác số nguyên không âm và với mọi k

Với phân phối hình học ta có: EX

1.1.2.2 Phân phối PoissonBiến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số μ nếu các giá

k!

Với phân phối Poisson ta có: E(X)2(X) ;C2x1 1.1.2.3

Phân phối mũBiến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ với tham số μ nếu hàm mật độ của nó có dạng:

Hàm phân phối:

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

Với phân phối mũ ta có: E X

Một tính chất quan trọng của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số μ là:Với x 0 và t 0

P(X x t / X t) P(X x) e t

P(X t t / X t) 1 e t t o(t),( t 0) (1.1)

Trong đó o(t)

0 khi t 0t

1.1.2.4 Phân phối Erlang

Biến ngẫu nhiên X có phân phối Erlang - k (k = 1,2,…) với trung bình k

j 0Tham số μ được gọi là tham số tỷ lệ, k được gọi là kích thước mẫu

Với biến ngẫu nhiên có phân phối E

1.1.2.5 Phân phối siêu mũ (Hyperexponential)

Cho Xi là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình: 1

i

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối siêu mũ nếu: X = Xi với xác suất pi

Ký hiệu: H(p1,…,pk;μ1, ,μk) hoặc Hk

kHàm mật độ của X: f (t)pi ie i t

i 1

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

k p

Kỳ vọng: EX i

i 1 i

1.1.2.6 Phân phối dạng Phase

Phân phối dạng phase được đặc trưng bởi xích Markov với không gian trạng thái1,2, ,k và ma trận xác suất chuyển P sao cho lim Pn 0 ; thời gian lưu trú

n

trong trạng thái i có phân phối mũ với trung bình 1

và xích Markov chuyển tại trạng

i

thái i với xác suất pi

Biến ngẫu nhiên X có phân phối dạng Phase nếu là tổng thời gian lưu trú trongxích Markov Phân phối phase được ký hiệu là: PH

Chúng ta đề cập đến 2 phân phối dạng Phase quan trọng trù mật trong tất cả cáchàm phân phối không âm Điều này có nghĩa rằng với bất kỳ hàm phân phối không âmF(.) tìm thấy một dãy các hàm phân phối dạng Phase hội tụ điểm tại những điểm liên tụccủa F(.)

Lớp thứ nhất là lớp phân phối Coxian Ký hiệu: Ck

Lớp thứ là lớp bao gồm hỗn hợp các phân phối Erlang có cùng tham số tỷ lệ Mộtbiến ngẫu nhiên X có phân phối Coxian bậc k nếu nó phải trải qua k giai

đoạn phân phối mũ Độ dài trung bình của giai đoạn n là: 1

1.1.3 Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên

1.1.3.1 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa: Với mỗi T ánh xạ X t, : 0;T được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếuvới mỗi t cố định X t, là một hàm đo được (để đơn giản ta viết X t thay cho X t, )

5

Các quá trình ngẫu nhiên thường gặp: quá trình dừng, quá trình Markov, quá

trình Poisson, quá trình sinh tử, quá trình nửa Markov

Từ định nghĩa suy ra các mệnh đề tương đương sau:Quá trình Xt ,t T; T được gọi là quá trình Markov khi và chỉ khi:

i) A∈ ℱ≥ t, P(A/ ℱ≤ t) = P(A/ ℱ= t)

ii) Với A∈ ℱ< t , B ∈ ℱ> t thì P(AB/ ℱ= t) = P(A/ ℱ= t)P(B/ ℱ= t)

Ta ký hiệu E tập gồm các giá trị của X(t); E được gọi là không gian trạng thái của

X(t)

Định nghĩa: Quá trình Xt,t T được gọi là xích Markov nếu Xt ,t T là quá trình

Markov và E có lực lượng hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

1.1.3.3 Quá trình Poisson

Trước khi tìm hiểu quá trình Poisson, chúng ta cần xem xét quá trình đếm thông

qua trường hợp cụ thể sau:

Giả sử A là biến cố nào đó Ký hiệu N(t), t ≥0 là số lần biến cố A xuất hiện trong

khoảng thời gian từ 0 đến t (kể cả thời điểm t) Khi đó N(t),t 0 được gọi là quá trình

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

4- N(s;t] N(t) N(s) , 0 s t là số lần biến cố A xuất hiện trong

khoảng thời gian (s;t]

N(s;t],0 s t được gọi là quá trình điểm (ứng với quá trình đếm

N(t1 s,t2 s], N(t1,t2 ] là các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác xuất

Trong đó o(h) là vô cùng bé bậc cao hơn h khi h 0

Định nghĩa: (Quá trình Poisson) ta nói rằng X(t),t 0 là quá trình Poisson với

cường độ λ (tham số λ) nếu:

a- X(t) nhận các giá trị 0;1;2;…

b- X(t),t 0 là quá trình có gia số độc lập, tức là 0 t1t2 tn các gia số X(t1) X(t0

),X(t2) X(t1),X(t3) X(t2), ,X(tn) X(tn 1) là các biến ngẫu nhiên độc lập

s 0,t 0 .

7X(s t) X(t) có phân phối Poisson với tham số λs với mọi

Định nghĩa: (quá trình điểm Poisson) ta nói rằng N(s;t],0 s t là quá trình điểmPoisson với cường độ (tham số) λ > 0 nếu thỏa mãn:

a- Với mọi m = 2;3;… với mọi 0 t0 t1 t2 tm các biến ngẫu nhiên N(t0,t1],N(t1,t2], ,N(tm 1,tm] là độc lập

b- Với bất kỳ 0 s t thì N(s,t] là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham

Quá trình sinh – tử với thời gian rời rạc ít được quan tâm hơn trường hợp thờigian liên tục và do đó không được xem xét ở đây Quan tâm chính của chúng ta là cácquá trình sinh tử với thời gian liên tục trong không gian trạng thái rời rạc

Quá trình sinh – tử phù hợp với mô phỏng sự thay đổi số khách hàng trong hệphục vụ Khi quá trình ở trạng thái Ek có nghĩa số khách hàng trong hệ phục vụ tại thờiđiểm đó là k Chuyển từ trạng thái Ek tới Ek+1 biểu thị cho sự kiện “sinh” (có một kháchhàng tới hệ phục vụ), chuyển từ trạng thái Ek tới trạng thái Ek-1 biểu thị cho sự kiện “tử”(một khách hàng được phục vụ rời khỏi hệ) Tức là, từ trạng thái Ek, hệ phục vụ chỉ cóthể chuyển tới một trong các trạng thái Ek-1, Ek+1 hoặc Ek

Đối với một hệ phục vụ ta quan niệm một khách hàng đến hệ là hiện tượng

“sinh”, một khách hàng được phục vụ xong rời khỏi hệ là hiện tượng “ tử” Chúng ta kýhiệu: k cường độ đến (sinh) của khách hàng khi số khách hàng trong hệ phục vụ là k; k

cường độ phục vụ (tử) khách hàng khi số khách hàng trong hệ là k

8

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

Lưu ý rằng, cường độ đến; cường độ phục vụ (tức là cường độ ra khỏi hệ) là độc

lập với thời gian và chỉ phụ thuộc vào trạng thái Ek.

Quá trình sinh – tử có thể mô tả thông qua sơ đồ chuyển trạng thái sau

Hình 1.1: Cường độ chuyển trạng thái của quá trình sinh – tửTrên sơ đồ, các đường nối tương ứng với các chuyển đổi trạng thái cùng với

cường độ nhưng không chỉ ra xác suất chuyển trạng thái Nhân cường độ chuyển trạng

thái với dt sẽ nhận được xác suất chuyển (xác suất chuyển trạng thái) trong khoảng thời

gian dt tiếp theo

Vấn đề cần giải quyết ở đây là phân phối xác suất của số khách hàng trong hệ

phục vụ tại thời điểm t: Pk(t) P(X(t) k) (1.2)

(X(t) chỉ số khách hàng trong hệ tại thời điểm t)

Giả sử tại thời điểm t hệ ở trạng thái Ek, cường độ dòng vào trạng thái Ek là:

k 1P

k 1(t)

k 1P

k 1(t)

Cường độ dòng ra trạng thái Ek tại thời điểm t:

Rõ ràng rằng, hiệu số giữa hai đại lượng này là cường độ dòng vào trạng thái

k 1Pk 1(t) k 1Pk 1(t) ( dt

Chúng ta nhận được hệ phương trình biểu thị hoạt động của hệ phục vụ đangxét:

10

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

(0)

Xét sự tồn tại của phân phối (k) Rõ ràng là (0) 0 Theo (1.10), (1.11) điều này

rõ ràng là áp đặt điều kiện cho các hệ số sinh, tử Hệ phục vụ phải được thiết kế sao cho

hệ ít khi rỗng (không có khách hàng), đây là điều kiện đảm bảo tính ổn

Quá trình sinh tử là dừng ergodic nếu và chỉ nếu: S1,

Chúng ta thấy rằng, điều kiện để hệ phục vụ ổn định là k0: k k0 luôn có:

k

1k

Chúng ta thấy rằng quá trình sinh-tử là cở sở để nghiên cứu một số bài toán quan

trọng của lý thuyết đám đông

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG 2.1

Những mô hình xếp hàng và một số khái niệm cơ bản

2.1.1 Mô hình xếp hàng và ký hiệu Kendall

Một mô hình xếp hàng cơ bản được biểu diễn bởi hình sau:

2 Hành vi của những khách hàng:

Khách hàng có thể kiên nhẫn và sẵn sàng chờ đợi ( trong một thời gian dài) hoặc

có thể thiếu kiên nhẫn và rời đi sau một thời gian Ví dụ tại các trung tâm cuộc gọikhách hàng có thể ngắt sau khi họ phải chờ đợi quá lâu trước khi nhà điều hành có thểphục vụ và họ có thể trở lại sau một thời gian

Những người khách có thể được phục vụ một hoặc hàng loạt Chúng ta có nhiềukhả năng phục vụ: Đến trước phục vụ trước (FCFS); Đến sau phục vụ trước (LCFS); thứ

tự ngẫu nhiên; những quyền ưu tiên…

Có thể có một máy phục vụ hoặc một nhóm các máy phục vụ khách hàng

Kendall giới thiệu một ký hiệu để mô tả một loạt các mô hình xếp hàng này Nó

là bộ mã gồm ba phần: A/B/m

+) A: biểu thị phân phối khoảng thời gian giữa các lần đến

+) B: biểu thị phân phối của thời gian phục vụ

+) m: biểu thị số lượng máy phục vụ

Đối với A, B thông thường là viết tắt của các phân phối

+) M: quá trình Markov

+) D: một phân phối tất định và không đổi

+) G: phân phối tổng quát chưa được xác định hầu hết các trường hợp ít nhấttrung bình và phương sai đã biết

Ngoài ký hiệu trên đôi khi người ta còn sử dụng ký hiệu A/B/m/K, trong đó:

K: là dung lượng hàng đợi

Nếu không sử dụng ký tự cuối ta coi nó là giá trị tùy ý

2.1.2 Tỷ lệ thời gian cư ngụ

Trong một hệ thống đơn máy phục vụ G/G/1 với cường độ đến và trung bình thờigian phục vụ E(B), số lượng công việc đến trên một đơn vị thời gian bằng E(B) ( ở đây

B là phân phối của thời gian phục vụ)

Máy chủ có thể xử lý một đơn vị công việc trên một đơn vị thời gian Để tránhhàng đợi tiến dẫn đến vô cùng chúng ta yêu cầu: E B 1

Không đi vào chi tiết chúng ta lưu ý rằng độ dài trung bình hàng đợi cũng sẽbùng nổ khi E B 1, ngoại trừ trường hợp D/D/1: nghĩa là hệ thống hoàn toàn không cótính ngẫu nhiên

13

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

Nếu 1 thì được gọi là tỷ lệ thời gian cư ngụ bởi vì nó là phân số của thời gian máy chủ sẽ làm việc

Khi đó tỷ lệ thời gian cư ngụ theo số máy chủ: E B / m

2.1.3 Một số đại lượng đặc trưng

Một số đại lượng đặc trưng trong phân tích các mô hình xếp hàng:

- Phân phối của thời gian đợi và thời gian lưu trú của khách hàng Thời gian lưu trú gồm thời gian đợi cộng với thời gian phục vụ

- Phân phối của số lượng công việc trong hệ thống Đó là tổng thời gian phục

vụ của khách đợi và thời gian phục vụ còn lại của khách hàng trong dịch vụ

chủ làm việc liên tục Đặc biệt ta quan tâm đến một số đại lượng là thước đo, chẳng hạnnhư thời gian đợi trung bình và thời gian lưu trú trung bình

Bây giờ ta xét mô hình G/G/c Ký hiệu biến ngẫu nhiên L(t), ký hiệu số kháchhàng trong hệ thống tại thời điểm t, Sn là thời gian lưu trú của khách hàng thứ n trong

1

c

Có thể chỉ ra rằng các biến ngẫu nhiên trên có giới hạn khi t và n

Các phân phối này độc lập với điều kiện ban đầu của hệ thống

Gọi biến ngẫu nhiên L và S là phân phối giới hạn của L(t) và Sn

mà thời gian lưu trú của một khách hàng bất kỳ đi vào hệ thống là nhỏ hơn hoặc bằng xđơn vị thời gian

14

Hơn nữa với xác suất 1 ta có: lim

tVậy số lượng khách hàng trung bình về lâu dài trong hệ thống là E(L) và thờigian lưu trú trung bình về lâu dài là E(S)

Một kết quả rất hữu hiệu cho hệ thống xếp hàng liên quan giữa E(L) và E(S)được trình bày sau đây

2.1.4 Định luật Little

Định luật Little xác định một mối liên hệ rất quan trọng giữa E(L)-số khách hàng trungbình trong hệ thống và E(S)-thời gian lưu trú trung bình và -số lượng khách hàng trungbình đi vào hệ thống trên một đơn vị thời gian Định luật Little được phát biểu như sau:

E L E S

Áp dụng định luật Little trong xếp hàng ( không bao gồm máy chủ) đưa đến mốiquan hệ giữa chiều dài hàng đợi Lq và thời gian đợi W:

E LqE W

Cuối cùng khi áp dụng định luật Little với một máy chủ duy nhất ta thu được:

E B Ở đây là số lượng khách hàng trung bình tại máy chủ và E(B) là trung

bình thời gian phục vụ

2.1.5 Tính chất PASTA

Cho hệ thống xếp hàng với dòng đến Poisson, đối với hệ thống M/./

Một tính chất quan trọng chỉ ra rằng: phân phối của thời gian hệ thống phục vụ

ở trạng thái A hoàn toàn giống với phân phối của lượng khách hàng đi đến hệ thống(theo dòng Poisson ) ở trạng thái A Tính chất này chỉ đúng với dòng đến Poisson Tínhchất của dòng đến Poisson được gọi là tính chất PASTA (Poisson Arrivals See TimeAverages) Bằng trực giác tính chất này có thể giải thích bởi thực tế rằng dòng đếnPoisson diễn ra hoàn toàn ngẫu nhiên theo thời gian

2.2 Mô hình xếp hàng M/M/1

Trong phần này ta sẽ phân tích mô hình với khoảng thời gian giữa các lần đến cóphân phối mũ với trung bình 1/λ; thời gian phục vụ có phân phối mũ với trung bình

15

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

1/μ và có một máy chủ Khách hàng được phục vụ theo thứ tự đến chúng ta yêu cầu:

1 số là phân bố của thời gian máy chủ làm việc

2.2.1 Cân bằng xác suất

Mô hình xếp hàng được biểu diễn như sau:

Hình 2.2: Minh họa cho mô hình M/M/1 Tương

tự quá trình sinh tử ta lập phương trình cân bằng đơn giản:

E Lnpnn 1n

n 0

Áp dụng định luật Little ta có: E S

Khi 1 thì cả E(L) và E(S) cùng tiến đến vô cùng

Chúng ta có thể xác định E(L) và E(S) trực tiếp dựa vào định luật Little và tínhchất PASTA mà không cần dựa vào xác suất pn Dựa vào PASTA ta biết rằng trung bình

số lượng khách trong hệ thống được xem xét bởi một khách đến bằng E(L) và

16

mỗi người trong số họ có một lần phục vụ với thời gian trung bình 1

2.2.3 Phân phối của thời gian lưu trú và thời gian chờ đợi

Chúng ta có thể xác định được phân phối của thời gian lưu trú

Ký hiệu: La sẽ là lượng khách hàng trong hệ thống ngay trước khi xuất hiện mộtkhách hàng; Bk là thời gian phục vụ khách hàng thứ k Vì phân phối mũ của thời gianphục vụ có tính không nhớ nên các biến ngẫu nhiên Bk là độc lập có phân phối mũ trungbình 1

La 1

Do điều kiện của La và Bk và sử dụng điều kiện La và Bk độc lập, ta có:

17

La 1

P S t PBk

k 1Vấn đề là xác định xác suất để một khách hàng đến thấy trong hệ thống có n

có cường độ tương ứng là 1 và 2 Các lần phục vụ tất cả khách hàng có phân phối mũvới cùng trung bình 1

Những khách hàng loại 1 được xem xét ưu tiên hơn khách hàng loại 2

Trong các phần dưới đây chúng ta xem xét hai quy tắc ưu tiên:

- Quyền ưu tiên không tuyệt đối.

18

2.2.5 Quyền ưu tiên tuyết đối

Trong nguyên tắc phục vụ khách hàng loại 1 hoàn toàn được ưu tiên so với kháchhàng loại 2; nghĩa là khi khách hàng loại 2 đang trong dịch vụ mà khách hàng loại 1 đếnthì sự phục vụ của khách hàng loại 2 bị gián đoạn và hệ thống sẽ phục vụ khách hàngloại 1 Khi không còn khách hàng loại 1 nữa máy chủ sẽ tiếp tục phục vụ khách hàngloại 2 tại chỗ bị gián đoạn

Gọi Li

thời gian lưu trú của khách hàng loại i

Đối với khách hàng loại 1 thì khách hàng loại 2 không tồn tại Do đó

E S1

Bởi vì số lần phục vụ của tất cả khách hàng là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

có cùng trung bình, tổng số khách hàng trong hệ thống không phụ thuộc vào trật tựkhách hàng được phục vụ Do đó số này cũng giống trong hệ thống mà tất cả các kháchhàng được phục vụ theo thứ tự đến

Vì vậy: E L1 E L2

Từ (2.4) và (2.5) ta có

E L2

Áp dụng định luật Little ta có: E S

2.2.6 Quyền ưu tiên không tuyệt đối

Bây giờ chúng ta xét trường hợp mà khách hàng loại 1 có quyền ưu tiên gần nhưtuyệt đối so với khách hàng loại 2.Sự khác nhau đối với nguyên tắc trước là nhữngkhách hàng loại 1 không được phép ngắt quãng sự phục vụ của khách hàng loại 2.Đối với thời gian lưu trú của khách hàng loại 1:

19

Khi khách hàng loại 1 đi vào gặp khách hàng loại 2 đang được phục vụ, anh taphải chờ cho đến khi khách hàng loại 2 được phục vụ xong Theo tính chất PASTA xácsuất để gặp 1 khách hàng loại 2 trong hệ thống bằng phân bố thời gian hệ thống phục vụcho khách hàng loại 2 và bằng 2

Kết hợp định luật Little: E L1 E S1 ta suy ra

( do khoảng thờigian giữa các lần đến của khách hàng có phân phối mũ với trung bình 1

) Trong cáctiểu mục sau, chúng ta xác định trung bình và phân phối của chu kỳ bận BP

2.2.8 Trung bình chu kỳ bận

20

Rõ ràng trung bình chu kỳ bận chia độ dài trung bình chu kỳ thì bằng phân bố

thời gian máy chủ hoạt động Do đó:

EBP EIP

2.2.9 Phân phối của chu kỳ bận

Cho biến ngẫu nhiên Cn là thời gian hệ trở nên rỗng nếu hiện tại có n khách hàng

trong hệ thống Rõ ràng C1 là độ dài của chu kỳ bận, vì một chu kỳ bận bắt đầu khi một

khách hàng đầu tiên sau một giai đoạn chờ tới lượt và kết thúc khi hệ thống trở lại trống

rỗng

Biến ngẫu nhiên Cn thỏa mãn quan hệ đệ quy sau:

Giả sử có n (n > 0) khách hàng trong hệ thống Khi đó các điều kiện tiếp theo

diễn ra sau mỗi lần có phân phối mũ với tham sốvới xác suất

hàng đến; với xác suất

thống Vì vậy với n = 1;2;…

Ở đây X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số Từ công thức này ta

có hàm chuyển Laplace-Steltjes Cn của Cn :

Cn s

Cn s sCn 1 sCn 1 s

Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

Cn s C1x1

21

Trong đó x1s ;x2s là nghiệm của phương trình: s x x2 thỏa mãn 0 x1s 1 x2s

; thời gian phục vụ có phân

phối mũ với trung bình 1

và c máy chủ song song giống nhau Khách hàng đượcphục vụ theo trật tự đến

2.3.1 Cân bằng xác suất

22

Trạng thái của hệ thống hoàn toàn được đặc trưng bởi số lượng khách hàng trong

hệ thống Cho pn biểu thị trạng thái cân bằng xác suất khi có n khách hàng trong

hệ thống Tương tự như ta cần xác định phương trình cân bằng đối với các

xác suất pn từ biểu diễn:

Hình 2.3:Minh họa cho mô hình M/M/cThay vì lập phương trình dòng vào và dòng ra của trạng thái n đơn giản, ta nhận

được phương trình đơn giản hơn tương đương với dòng ra và dòng vào bởi tập hợp các

trạng thái 0;1;2; ;n 1 Có số này để thành lập phương trình giữa 2 trạng thái cần lập

n-1 và n:

pn 1 min n,c pn

Lặp lại cho ta: pn

Và pn c npc n

Ký hiệu xác suất một công việc phải đợi (xác suất chậm trễ) là: w

Dựa vào tính chất PASTA ta có:

c c 1 c!

2.3.2 Trung bình độ dài hàng đợi và trung bình thời gian chờ đợi

Từ sự cân bằng xác suất ta suy ra trung bình độ dài hàng đợi:

E Lqnpc n

23M/M/1

Lu n Văn Th c Sĩ Khoa H c ậ ạ ọ

Theo định luật Little: E Ww

2.3.3 Phân phối thời gian chờ đợi và thời gian lưu trú

Việc xác định phân phối của thời gian đợi tương tự như trong mô hình M/M/1

Gọi Dk là khoảng thời gian rời đi thứ k Khi đó phân phối của thời gian đợi:

P W tP Dk t pc n

n 0

Rõ ràng các biến ngẫu nhiên Dk

Tương tự như trong mô hình M/M/1 ta có:

P W t

1 k 0

Xác suất điều kiện cho trường hợp này:

P W t

Vì vậy thời gian chờ đợi với điều kiện: W W 0 có phân phối mũ với tham số c

1 Khi đó phân phối của thời gian lưu trú: