Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNHà Nội , Năm 2011... 1.2 Cæng thøc Taylorthøc.. Khi khai tri”n mºt h m

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Hà Nội , Năm 2011

3.1.2 p döng ành lþ Rolle v h» qu£ ” x†t sü tçn t⁄i

3.1.3 p döng ành lþ Rolle v c¡c h» qu£ ” gi£i ph÷ìng

3.2.3 p döng ành lþ Lagrange v c¡c h» qu£ ” gi£i

3.3 ành lþ Cauchy v ¡p döng 71

tŒng qu¡t v• h» ho¡n và vÆng quanh n bi‚n, n 2,

Líi nâi ƒu

⁄o h m l mºt kh¡i ni»m r§t quan trång trong gi£i t‰ch to¡nhåc v câ nhi•u øng döng trong c¡c ng nh khoa håc kh¡c nh÷ kinh t‚,

cì håc, v“t lþ v k¾ thu“t Ngay trong to¡n håc, ⁄o h m l y‚u tŁ quantrång v ÷æc øng döng trong nhi•u l¾nh vüc nh÷ ¡p döng v o gi£i c¡c

b i to¡n v• ⁄i sŁ, gi£i t‰ch hay c¡c b i to¡n trong h…nh håc m tath÷íng g°p trong c¡c k… thi to¡n quŁc gia v thi Olympic to¡n quŁc t‚.Trong ch÷ìng tr…nh to¡n håc phŒ thæng, nhi•u b i to¡n câ øngdöng ⁄o h m Xu§t ph¡t tł c¡c ành l‰ cì b£n v• h m sŁ kh£ vi ta th§yxu§t hi»n kh£ n«ng chøng minh sü tçn t⁄i nghi»m ho°c t…m nghi»mcıa mºt ph÷ìng tr…nh, h» ph÷ìng tr…nh cho tr÷îc, tł khai tri”n Taylor

câ th” ¡p döng v o gi£i c¡c b i to¡n li¶n quan ‚ h m a thøc.Vîi suyngh¾ â, chóng tæi ¢ chån • t i Ùng döng ⁄o h m ” gi£i c¡c b i to¡nphŒ thæng ” l m lu“n v«n cıa m…nh

B£n lu“n v«n gçm ba ch÷ìng , líi nâi ƒu , k‚t lu“n v hai phö löc :Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc chu'n bà: Ch÷ìng n y tr…nh b y c¡c t‰nh ch§t cìb£n cıa h m kh£ vi c§p mºt v c§p cao cıa h m sŁ mºt bi‚n tr¶n R s‡

÷æc ¡p döng trong c¡c phƒn sau nh÷: C¡c ành l‰ cì b£n v•

h m kh£ vi v cæng thøc Taylor

Ch÷ìng 2 p döng cæng thøc Taylor v o gi£i mºt sŁ b i to¡n v• h m

a thøc: Xu§t ph¡t tł þ dòng cæng thøc Taylor cıa

tr…nh b“c bŁn tŒng qu¡t b‹ng c¡ch ÷a ph÷ìng tr…nh v• d⁄ng khuy‚t v øngdöng v o gi£i c¡c b i to¡n v• ç thà h m a thøc

Ch÷ìng 3 p döng c¡c ành l‰ cì b£n cıa h m kh£ vi v o gi£i c¡c b ito¡n phŒ thæng: Phƒn ƒu cıa ch÷ìng n y l mºt sŁ øng döng cıa ành l

‰ Rolle: ¡p döng ành l‰ Rolle v c¡c h» qu£ ” x†t sü tçn t⁄i nghi»mcıa ph÷ìng tr…nh, ¡p döng v o gi£i ph÷ìng tr…nh cho tr÷îc

3

Phƒn ti‚p theo l c¡c ¡p döng cıa ành l‰ Lagrange v c¡c h» qu£ v ogi£i c¡c b i to¡n nh÷: gi£i ph÷ìng tr…nh, h» ph÷ìng tr…nh, chøngminh b§t flng thøc Phƒn cuŁi ch÷ìng l c¡c øng döng cıa ành l‰Cauchy: ¡p döng v o gi£i h» ho¡n và vÆng quanh v chøng minh b§tflng thøc mºt bi‚n.

” ho n th nh lu“n v«n n y em xin ch¥n th nh c£m ìn tîi ng÷íi thƒyk‰nh m‚n PGS.TS Nguy„n …nh Sang ¢ d nh nhi•u thíi gian h÷îngd¤n, ch¿ d⁄y trong suŁt thíi gian x¥y düng • t i cho ‚n khi ho n th nhlu“n v«n Em công xin ch¥n th nh c£m ìn tîi c¡c thƒy cæ gi¡o trongkhoa To¡n - Cì -Tin håc, Ban Gi¡m hi»u, PhÆng Sau ⁄i håc tr÷íngHKHTN ¢ t⁄o i•u ki»n thu“n læi trong suŁt thíi gian håc t“p t⁄i tr÷íng

M°c dò câ nhi•u cŁ g›ng nh÷ng do thíi gian v n«ng lüc cÆn h⁄nch‚ n¶n b£n lu“n v«n khæng tr¡nh khäi c¡c thi‚u sât, r§t mong ÷æc c¡cthƒy cæ gi¡o v c¡c b⁄n gâp þ x¥y düng Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn

H Nºi, ng y 20 th¡ng 11 n«m 2011

Håc vi¶nPhòng øc Th nh

4

Ch֓ng 1

Ki‚n thøc chu'n bà

ành ngh¾a 1.1.1 Cho kho£ng (a; b) R, h m sŁ f : (a; b) ! R Ta nâi

b), n‚u tçn t⁄i mºt sŁ > 0 sao cho (x0 ; x0 + ) (a; b) v f(x) f(x0) (t÷ìngøng f(x) f(x0)) vîi måi x 2 (x0 ; x0 + )

÷æc gåi chung l i”m cüc trà cıa h m f

h m f : (a; b) ! R.ành lþ 1.1.2 (Fermat) Cho kho£ng (a; b) R v

f0(c) = 0

ành lþ 1.1.3 (Rolle) Gi£ sß h m f : [a; b] ! R thäa m¢n:

ành lþ 1.1.4 (Lagrange) Gi£ sß h m f : [a; b] ! R câ c¡c t‰nh ch§t:

6

Khi â tçn t⁄i ‰t nh§t mºt i”m c 2 (a; b) sao cho:

f0(c)(b a) = f(b) f(a)Nh“n x†t:

th… b a = x, do x0 < c < x0 + x n¶n ta vi‚t c d÷îi d⁄ng c = x0 + x, 2 (0; 1) Khi â, (1:1) ÷æc vi‚t d÷îi d⁄ng

1.2 Cæng thøc Taylor

thøc Ta câ:

ành lþ 1.2.1 (Cæng thøc Taylor vîi sŁ d÷ d⁄ng Lagrange) Gi£ sß h

(a; b) Khi â, vîi måi x 2 (a; b), ta câ:

n f(k)(x 0 ) X

(x x0)n+1(n + 1)!

÷æc gåi l sŁ d÷ thø n cıa cæng thøc Taylor d÷îi d⁄ng Lagrange

ành lþ 1.2.2 (Cæng thøc khai tri”n Taylor cıa h m f trong

c§p n trong mºt l¥n c“n n o â cıa x0 2 (a; b) v f(n)(x) li¶n töc t⁄i x0 Khi

khai tri”n mºt h m th nh chuØi lôy thła.

ta nh“n ÷æc cæng thøc khai tri”n Mac-Laurin:

2! n!

(1.12)9

L÷u þ: N‚u f(x) l a thøc b“c n th… f(n+1)(x) = 0, ta luæn bi”u di„n f(x)

u , v l hai nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh b“c hai sau:

x

2

3

r c o s

> = +

16

Gi£i hai ph÷ìng tr…nh b“c hai ( ) v ( ), ta t…m ÷æc bŁn nghi»m

hai v‚ cıa (2), ta thu ÷æc ph÷ìng tr…nh sau:

17

n = f0( ) = f0( 1) = ( 4+12 6 12) = 10;

18

B i t“p 2.2.4 2x4 2 ; 219

ành lþ 2.3.1 ç thà (C) nh“n i”m I( ; f( )) l m t¥m Łi xøng khi v

ch¿ khi l nghi»m cıa h» ph÷ìng tr…nh:

Tł (2:19) suy ra ç thà (C) nh“n i”m I( ; f( )) l m t¥m Łi xøng khi v

ch¿ khi h m (2:19) l h m sŁ l· i•u n y x£y ra khi v ch¿ khi thäa m¢n

:

Chøng minh Tł (2:19) suy ra ç thà (C) nh“n tröc IY : X = 0 hay x = l

m tröc Łi xøng khi v ch¿ khi (2:19) l h m chfin i•u n y x£y ra khi vch¿ khi thäa m¢n çng thíi c¡c ph÷ìng tr…nh sau:

21

ành lþ 2.3.3 i•u ki»n cƒn v ı ” ç thà h m sŁ b“c ba c›t tröc ho nh t⁄i

ba i”m câ ho nh º l“p th nh c§p sŁ cºng l l nghi»m cıa h»:

(x )2 + (x )3:2!

ành lþ Viet Łi vîi ph÷ìng tr…nh b“c ba:

a0 + a1x + a2x2 + x3 = 0

ta câ

(x0 d) + x0 + (x0 + d) = a2 , x0 =

a2:

3a

Do x0 al

2

= 0 V“y suy ra chån3

22

V“y (ii) ÷æc thäa m¢n M°t kh¡c tł ph÷ìng tr…nh ho nh º giao i”m cıa(C) vîi tröc ho nh câ d⁄ng:

< 0 V“y (iii) ÷æc thäa m¢n

Sau ¥y, ta x†t mºt sŁ v‰ dö ¡p döng

ba i”m câ ho nh º l“p th nh c§p sŁ cºng T…m c§p sŁ cºng â

Líi gi£i

Taylor cıa f(x) t⁄i l :

Vîi m = 0, thay v o ta câ ph÷ìng tr…nh ho nh º giao i”m chung cıa ç thà vîi tröc Ox l :

c›t tröc ho nh t⁄i bŁn i”m câ ho nh º l“p th nh mºt c§p sŁ cºng câ d⁄ng:

x0 3 ; x0 ; x0 + ; x0 + 3 Khi â, ta vi‚t f(x) d÷îi d⁄ng:

Suy ra f(x) l h m chfin, hayç thà nh“n ÷íng thflng x = x0 l m tröc Łi xøng Theo ành lþ 2:3:2, suy ra

V‰ dö 2.3.6 T…m m ” ç thà h m sŁ:

Líi gi£i

sŁ cºng l x0 2 ; x0 ; x0; x0 + ; x0 + 2 Khi â, ta vi‚t h m f(x) d÷îi d⁄ng:

Suy ra f(x) l h m sŁ l·, hay ç thà nh“n i”m I(x0; 0) l m t¥m Łi xøng

t⁄i n«m i”m câ ho nh º l“p th nh c§p sŁ cºng l m = f0; 5g i•u ki»n ı: Vîi

m = 0, ta câ ph÷ìng tr…nh ho nh º giao i”m l :

Theo ành lþ Rolle th… ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 câ khæng qu¡ mºt nghi»m

f(x) = 0 câ khæng qu¡ mºt nghi»m V“y m = 0 khæng thäa m¢n y¶u

l“p th nh mºt c§p sŁ cºng vîi cæng sai d = 2 V“y m = 5 thäa m¢n y¶u

cƒu cıa b i to¡n

i”m I 1

2; 5

Líi gi£i26

ch¿ khi l nghi»m cıa h»:

t2 8t + 6 = 0 ) t1 = 4 p ; t2 = 4 + p

27

, 2m(m2 + 8m + 12) = 0 ) m = f0; 6; 2g:

28

Gåi ÷íng thflng x = song song vîi tröc Oy l tröc Łi xøng cıa ç thà (C)

Khi â, theo ành lþ 2:3:2, ta câ h» ph÷ìng tr…nh

8

<

>f(3)( ):

29

X†t h m sŁ: f(x) = 2x3 3mx2 2x + m3 l h m kh£ vi tr¶n R Theoành lþ 2:3:3, ta câ h» ph÷ìng tr…nh:

Tł cæng thøc Taylor cıa f(x) t⁄i = m = 1, ta câ ph÷ìng tr…nh (1) t÷ìng

31

Ch֓ng 3

p döng c¡c ành lþ cì b£n cıa h m kh£ vi v o gi£i c¡c

b i to¡n phŒ thæng

3.1.1 ành lþ Rolle v c¡c h» qu£ ¡p döng

ành lþ Rolle: Gi£ sß h m sŁ f : [a; b] ! R câ c¡c t‰nh ch§t:

32

Nh“n x†t: Mºt sŁ k‚t qu£ quan trång d÷îi ¥y l h» qu£ trüc ti‚p cıa ành

lþ Rolle v l cì sð cıa ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr…nh ho°c x†t sü tçn t⁄inghi»m cıa mºt ph÷ìng tr…nh cho tr÷îc

= 0 vîi x1 < x2, x1; x2 2 (a; b) th… ph÷ìng tr…nh f0(x) = 0 câ ‰t nh§tmºt nghi»m x 2 (x1; x2) (a; b)

H» qu£ 3.1.1.2 Gi£ sß f(x) l h m kh£ vi c§p k, k 6= 0, k 2 N N‚u ph÷ìng

Chøng minh Suy trüc ti‚p tł ành lþ Rolle

2

gi£ thi‚t f0(x) > 0 vîi måi x 2 (a; b) V“y suy ra x0 l duy nh§t

ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 câ khæng qu¡ hai nghi»m

Chøng minh Gi£ sß ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 câ qu¡ hai nghi»m, khæng

theo ành lþ Rolle, tçn t⁄i c1 2 (x1; x2) v c2 2 (x2; x3) sao cho:

nghi»m duy nh§t V“y ta câ i•u ph£i chøng minh

nh f(x) = 0 câ khæng qu¡ hai nghi»m

33

Chøng minh H» qu£ 3.1.1.5 ÷æc suy trüc ti‚p tł h» qu£ 3.1.1.3 v3.1.1.4 Th“t v“y v… f00(x) > 0 (< 0) vîi måi x 2 (a; b) n¶n theo h» qu£

nghi»m duy nh§t Khi â theo h» qu£ 3.1.1.4 suy ra ph÷ìng tr…nh f(x)

= 0 câ khæng qu¡ hai nghi»m

3.1.2 p döng ành lþ Rolle v h» qu£ ” x†t sü tçn

t⁄i nghi»m cıa mºt ph÷ìng tr…nh cho tr÷îc

V‰ dö 3.1.2.1 Chøng minh r‹ng ph÷ìng tr…nh sau câ ‰t nh§t mºtnghi»m trong kho£ng (0; 1) vîi måi gi¡ trà cıa m

ành lþ Rolle Suy ra tçn t⁄i c 2 (0; 1) sao cho

Tł â, ta câ i•u ph£i chøng minh.

nghi»m vîi måi m 2 R V“y ph÷ìng tr…nh (2) câ ba nghi»m vîi måi m 2 R Tł â, ta th§y (2) luæn câ ‰t nh§t hai nghi»m trð l¶n Nh÷ v“y, mºt c¥u häi l câ th” chøng minh nh“n x†t tr¶n cho b i to¡n tŒng qu¡t sau:

V‰ dö 3.1.2.2 Chøng minh r‹ng ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 câ n nghi»m

= 0 câ n 1 nghi»m ph¥n bi»t, hay ph÷ìng tr…nh

câ ‰t nh§t n 1 nghi»m ph¥n bi»t Tł â, ta câ i•u ph£i chøng minh V

‰ dö 3.1.2.3 Chøng minh r‹ng ph÷ìng tr…nh sau câ óng ba nghi»mvîi måi m 2 R:

x2011 + 2x3 + m(x2 1) 10x + 6 = 0:

35

óng hai nghi»m ph¥n bi»t Suy ra ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 câ khængqu¡ ba nghi»m ph¥n bi»t (v… n‚u pt câ 4 nghi»m ph¥n bi»t th… khi â

hay ph÷ìng tr…nh (1) câ óng ba nghi»m ph¥n bi»t

Nh“n x†t: Trong h» qu£ 3.1.1.2 £o l⁄i khæng óng, chflng h⁄n:

l⁄i câ óng mºt nghi»m thüc V… v“y ð b i to¡n tr¶n ta ph£i k‚t hæp t

‰nh ch§t li¶n töc h m sŁ ” suy ra ph÷ìng tr…nh câ óng ba nghi»mph¥n bi»t

36

V‰ dö 3.1.2.4 (Olympic sinh vi¶n 1994) Cho n sŁ nguy¶n d÷ìng ak;

Sau ¥y l mºt sŁ b i t“p tham kh£o

x0 2 (0; 1) sao cho f0(x0) = 0 hay l

ax70 + bx50 + cx30 + dx20 = 0 , x20(ax50 + bx30 + cx0 + d) = 0:(*)

37

Do x0 2 (0; 1) n¶n tł (*) suy ra ax50 + bx30 + cx0 + d = 0, suy ra x0 l

nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh:

ax5 + bx3 + cx + d = 0:

thäa m¢n i•u ki»n:

‰t nh§t ba nghi»m ph¥n bi»t thuºc kho£ng ( 1; 2)

38

V“y theo ành lþ Rolle, suy ra tçn t⁄i x1 2 ( 1; 0), x2 2 (0; =2) v

nh sau luæn câ ‰t nh§t mºt nghi»m x 2 (0; 2 )

Líi gi£iX†t h m:

f0(x0) = 0 , a cos 3x0 + b sin 2x0 + c cos x0 + sin x0 = 0:

3.1.3 p döng ành lþ Rolle v c¡c h» qu£ ” gi£i

ph÷ìng tr…nh

V‰ dö 3.1.3.1 Gi£i ph÷ìng tr…nh:

2011x + 11x = 1022x + 1000x:

39

Tł (3*) suy ra x 1 = 0 hay x = 1 do c + 1011 kh¡c c V“y ph÷ìng tr…nh

câ hai nghi»m x = f0; 1g Thß l⁄i ta th§y x = f0; 1g thäa m¢n ph÷ìngtr…nh (1)

Nh“n x†t Vi»c ¡p döng trüc ti‚p ành l‰ Rolle v o gi£i ph÷ìng tr…nh taph£i thß l⁄i nghi»m v o ph÷ìng tr…nh ban ƒu, n‚u thäa m¢n mîi k‚tlu“n nghi»m

C¡ch 2 Ph÷ìng tr…nh (1) vi‚t l⁄i d⁄ng:

X†t h m f(t) = tx, t > 0, l h m kh£ vi tr¶n R+ f(t) thäa m¢n gi£ thi‚t cıaành lþ Lagrange n¶n suy ra tçn t⁄i t1; t2 vîi t1 2 (11; 1000), t2 2 (1022;2011) sao cho:

ra f(x) = 0 câ khæng qu¡ hai nghi»m Ta câ:

Suy ra x = f0; 1g l hai nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (1), hay ph÷ìng tr…nh

nh:

Líi gi£iPh÷ìng tr…nh (1) t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr…nh sau:

41

Gåi x0 l nghi»m b§t ký X†t h m sŁ f(t) = tcos x0 t cos x0 l h m li¶ntöc tr¶n [1; +1), kh£ vi tr¶n (1; +1), ta câ

f0(t) = cos x0tcos x0 1 cos x0:Vîi t = 2 th… f(2) = 2cos x0 2 cos x0, vîi t = 3 th… f(3) = 3cosx0 3 cos x0

l mºt nghi»m duy nh§t Khi â, theo h» qu£ 3.1.1.4 ta suy ra ph÷ìng tr…

nh f0(x) = 0 câ khæng qu¡ hai nghi»m, v do â suy ra ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 câ

khæng qu¡ ba nghi»m v… gi£ sß câ bŁn nghi»m th… ph÷ìng

42

tr…nh f0(x) = 0 câ ‰t nh§t ba nghi»m, nh÷ng thüc t‚ nâ ch¿ câkhæng qu¡ hai nghi»m Nh÷ v“y, ph÷ìng tr…nh (1) ch¿ câ khæng

V“y theo h» qu£ 3.1.1.5 suy ra ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 câ khæng

nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (1)

K‚t lu“n: Ph÷ìng tr…nh (1) ch¿ câ hai nghi»m l x = f0; 1g

Líi b…nh: Vi»c ¡p döng h» qu£ 3.1.1.5 ” chøng minh ph÷ìng tr…nh(1) câ khæng qu¡ hai nghi»m, tł â nh'm hai nghi»m x = f0; 1g lnghi»m, tł â k‚t lu“n ph÷ìng tr…nh ch¿ câ hai nghi»m l r§t hi»u qu£.N‚u ta dòng ph÷ìng ph¡p bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng s‡ d¤n ‚n ph÷ìng tr…nhb“c t¡m, m°c dò công nh'm ÷æc hai nghi»m l 0 v 1 nh÷ng v¤n d¤n ‚nph÷ìng tr…nh b“c 6 s‡ r§t khâ kh«n ” chøng minh l ph÷ìng tr…nh b“c

Theo h» qu£ 3.1.1.5, suy ra ph÷ìng tr…nh (1) câ khæng qu¡ hai nghi»m.

B i t“p 3.1.3.8 Gi£i ph÷ìng tr…nh:

Líi gi£iT“p x¡c ành x 2 R Ph÷ìng tr…nh (1) t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr…nhsau:

f00(x) = 2x ln2 2 (4 x) 2x ln 2 2x ln 2 = 2x ln 2(4 ln 2 x ln 2 2):

44

X†t ph÷ìng tr…nh:

f00(x) = 0 , 2x ln 2[2(ln 2 1) x ln 2] = 0 , x =

2(ln 2 1)

ln 2

nghi»m (theo h» qu£ 3.1.1.4), suy ra ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 câ khæng

qu¡ ba nghi»m V… gi£ sß n‚u câ bŁn nghi»m th… theo h» qu£

x£y ra) V“y ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 câ khæng qu¡ ba nghi»m Ta câ

f(0) = f(1) = f(2) = 12, n¶n suy ra ph÷ìng tr…nh (1) câ óng ba nghi»m

câ khæng qu¡ hai nghi»m v do â ph÷ìng tr…nh (2) câ khæng qu¡ ba

nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (2), hay ph÷ìng tr…nh (1) câ c¡c hå nghi»m l :

45

f(x1) = f(x2) , x1 = x2; vîi måi x1; x2 2 (a; b):

Chøng minh V… f(x) thäa m¢n c¡c i•u ki»n cıa ành lþ Lagrange n¶n

f0(c)(x2 x1) = f(x2) f(x1):

Khi â, ta câ

f(x1) = f(x2) , f(x2) f(x1) = 0 , f0(c)(x2 x1) = 0 , x2 = x1 do f0(c) > 0.V“y ta câ i•u ph£i chøng minh

H» qu£ 3.2.1.2 N‚u f0(x) 1 > 0 (ho°c f0(x) 1 < 0) vîi måi x1; x2 2 (a; b)th… ph÷ìng tr…nh:

f(x1) x1 = f(x2) x2 , x1 = x2:

Chøng minh H» qu£ 3.2.1.2 xem nh÷ h» qu£ trüc ti‚p cıa h» qu£3.2.1.1 b‹ng c¡ch thay h m f(x) bði h m g(x) = f(x) x

46

H» qu£ 3.2.1.3 N‚u f0 (x)+1 kh¡c 0 v f(x) (a; b) vîi måi x 2(a; b)th… ph÷ìng tr…nh:

47

V“y (1) t÷ìng ÷ìng vîi f(2004) = f(2003) Theo ành lþ Lagrange suy ra

ph÷ìng tr…nh ¢ cho câ hai nghi»m l x = f0; 1g

Nh“n x†t: Vi»c ¡p döng trüc ti‚p ành l‰ Lagrange ” gi£i ph÷ìng tr…

nh, sau khi t…m nghi»m ta ph£i thß l⁄i v o ph÷ìng trinh ban ƒu, n‚u

thäa m¢n th… l nghi»m , n‚u khæng thäa m¢n th… lo⁄i V‰ dö

3.2.2.2 Gi£i ph÷ìng tr…nh sau:

2x+2 = 2 log2 8x + (6x 4):

48

Líi gi£i

Líi gi£iT“p x¡c ành x 2 R Ph÷ìng tr…nh (1) t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr…nhsau:

R V“y theo h» qu£ 3.2.1.3 cıa ành lþ Lagrange suy ra ph÷ìng tr…nh(2) t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr…nh sau:

50

Ph÷ìng tr…nh (2) t÷ìng ÷ìng vîi f(x) = f(log3(1 + 2x)) p döng h» qu£

Theo h» qu£ 3.1.1.5 cıa ành lþ Rolle suy ra ph÷ìng tr…nh g(x) = 0

hay ph÷ìng tr…nh (3) câ khæng qu¡ hai nghi»m Ta câ g(0) = g(1) =

0, suy ra x = f0; 1g l hai nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (1)

Gi£ sß ph÷ìng tr…nh (1) câ nghi»m x = Khi â, ta câ

= 0 , log7

h (c + 4)log7 1

clog 7 1 51

Tł ph÷ìng tr…nh tr¶n suy ra ho°c l log7 = 0 hay = 1, ho°c l

11log7 + 3log7 = 2 7log7 :

3

2=0;

77

x = 1 Vîi t = 1, suy ra x = 7 V“y ph÷ìng tr…nh (1) câ hai nghi»m l

52

i•u ki»n x > 0 °t t = log3 x, suy ra x = 3t Ph÷ìng tr…nh (1) câ d⁄ng:

V“y ph÷ìng tr…nh (2) câ d⁄ng: g(3) = g(2) Theo ành lþ Lagrange, tçn

t⁄i 0 2 (2; 3) sao cho:

t = 1 Vîi t = 0 suy ra x = 1, vîi t = 1 suy ra t = 3 Thß l⁄i ta th§y x = f1;

2g l hai nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (1)

t⁄i c 2 (2; 7) sao cho:

53

Tł ph÷ìng tr…nh tr¶n suy ra x = 0, ho°c l x 1 = 0 hay l x = 1 Thß l⁄i tath§y x = f0; 1g l hai nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (1).

54

V… c > 0 n¶n suy ra arctan c > 0, m x > 0 n¶n tł (3) suy ra f(x) > 0,

suy ra ph÷ìng tr…nh (1) væ nghi»m vîi x > 0

X†t x < 0 Khi â do c 2 (x; 0) hay c < 0, suy ra arctan c < 0, n¶n tł

(3) suy ra f(x) > 0, suy ra (1) væ nghi»m vîi x < 0

X†t x = 0, thay v o (1) th§y thäa m¢n V“y ph÷ìng tr…nh câ

Ta câ g0(t) = 3t2 > 0 Theo h» qu£ 3.2.1.3, ta suy ra:

Suy ra x = 2 l nghi»m duy nh§t V“y h» câ nghi»m duy nh§t x = y = z

= 2 hay ph÷ìng tr…nh (1) câ nghi»m duy nh§t x = 2

:

Líi gi£i1

(a) , x2 + 3x + ln(2x + 1) = x , x2 + 2x + ln(2x + 1) = 0:(2) 56

°t g(x) = x2 + 2x + ln(2x + 1) Ta câ g0(x) = 2x + 2 +

2

> 0 vîi2x + 1

2

â l duy nh§t (theo h» qu£ 3.1.1.3 cıa ành lþ Rolle) Ta câ g(0) = 0,suy ra x = 0 l nghi»m duy nh§t cıa ph÷ìng tr…nh (2) Hay h» ph÷ìngtr…nh ban ƒu câ nghi»m duy nh§t l x = y = 0