Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số dạng bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---NGUYỄN THỊ NHƯ TUYẾT “SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA CỦA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC”CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN THỊ NHƯ TUYẾT

“SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA CỦA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC”CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 40

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG

HÀ NỘI , NĂM 2014

LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian nghiên cứu và học tập tại trường Đại học Khoa học

Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, tác giả đã hoàn thành khóa luận với

đề tài: “Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức chứng minh một số dạng bất đẳng thức”.

Để hoàn thành được luận văn này, đầu tiên tác giả xin được gửi lời

cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, thầy đã dành thời gian

hướng dẫn, chỉ bảo và tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài,giúp tác giả giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình làm luận văn

và hoàn thành luận văn đúng định hướng ban đầu

Qua đây tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới cácthầy, cô giáo đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu đểluận văn được hoàn thiện, phong phú hơn

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòngSau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên đãtạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng là sự biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè

đã thông cảm, động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hoànthành luận văn

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạnchế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc vàkhông tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô

và các bạn

Một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người.Chúc tất cả mọi người sức khỏe và thành đạt

Page 3 of 90

MỤC LỤC Lời cảm ơn……… ……… ……….3 Chương I Giới thiệu một số bất đẳng thức có điều kiện trong các kỳ thi quốc gia, quốc tế……… ……… 5

I Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân ( AM – GM)……5

II Bất đẳng thức CAUCHY – SCHWARZ… …….

§6 Phép toán nhóm abel và bất đẳng thức với điều kiện……… 84

Tài liệu tham khảo………89&90

CHƯƠNG I GIỚI THIỆU MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU

KIỆN TRONG CÁC ĐỀ THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ.

I BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH

2 n

i1 1

Nếu bất đẳng thức đúng với n  k thì cũng đúng với n  k 1.

Cách 2:

Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k  2 , ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k 1.

   k  k  k  k 

1  k k 

1 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

Trong luận văn này, tác giả cũng hay sử dụng bất đẳng thức

quen thuộc :

II BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ.

Với a i R, b i R (i 1,n) , chứng minh rằng:

Kí hiệu A 

Và thu được

 n

Page 10 of 90

III MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÓ

ĐIỀU KIỆN TRONG CÁC ĐỀ THI QUỐC GIA, QUỐC

Page 11 of 90

  a 2 a 2  b 2 b 2  c 2 c

Bây giờ biểu thức vế phải bằng 2  BD Bởi vậy ta phải chứng

Ta thu được

Page 18 of 90

Bài 12 (Czech and Slovak Republics, 2004).

Cho P(x)  ax2  bx  c là đa thức bậc 2 với các hệ số không âm Chứng

minh rằng với x  0 ta luôn có:

Nhưng do 



Bài 15 (Romania JBMO Team Selection Test 2007).

Giả sử a , b, c là các số thực dương thỏa mãn:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c 1.

Bài 16 (USA Mathematical Olympiad 1997).

Chứng minh rằng với mọi số dương a , b, c ta có:

Chứng minh.

Sử dụng tính thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa cho abc 1 Từ đó bất đẳng

thức cần chứng minh có thể được viết lại thành

Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được

a3 b3 1

Cộng tương ứng bất đẳng thức này với hai đánh giá tương tự, vế theo vế,

ta suy ra ngay kết quả cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

Bài 17 (Japanese Mathematical Olympiad 2004).

Giả sử a , b, c là các số thực dương sao cho a  b  c 1 Chứng minh

rằng:

Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh : ab  bc  ca 2  3abc(a  b  c)

Nhưng đây lại là một kết quả quen thuộc

Vì vậy bài toán đã được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

Bài 18 (Singapore IMO Team Selection Test 2003)

Cho các số thực dương a , b, c Chứng minh rằng:

2 a  b  c a  2b  c a  b  2c

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

Bài 19 (Chinese IMO Team Selection Test 2006).

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z 1:Chứng minh rằng

Sau khi khai triển và rút gọn ta được x  y 2 x  y  2z 

0 đúng do x  y  2z Bài toán được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 3

Bài 20 (Walther Janous, IMO 2008).

Cho các số thực x, y , z 1 thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng:

Cho các số thực dương x, y , z , t thỏa mãn xyzt 1 Chứng minh rằng:

Công hai vế của (21.2) và (21.3) ta thu được (21.1) Vậy ta có điều phải

Bài 22 (Japanese Mathematical Olympiad 1997).

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a , b, c ta đều có:

Chứng minh

Do bất đẳng thức đã cho là thuần nhất với a , b, c nên ta có thể chuẩn

hóa cho a  b  c 1 Khi đó nó được viết lại thành:

b

Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:

1  2b

Bài toán được đưa về dạng chứng minh sau:

Sau khi khai triển và rút gọn, ta được bất đẳng thức hiển nhiên đúng

3a  12 17a 2 8a  5 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

CHƯƠNG II SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA CỦA ĐẲNG THỨC

ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC.

§1 SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN CHỨA CĂN THỨC Bài toán 1.

Cho 3 sốdương Chứng minh rằng:

Nhận thấy, đẳng thức xảy ra khi

Do vậy ta có cách làm như sau:

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại, ta thu được kết quả:

Dễ dàng đoán được là đẳng thức xảy ra khi

Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

Hay

Bài toán 5 (Chinese IMO Team Selection Test 2006).

Cho các số thực thỏa mãn .Chứng minh rằng:

xy

Page 35 of 90

x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx xy  yz  zx  z2

Page 36 of 90

Sau khi khai triển và rút gọn ta được x  y 2 x  y  2z   0 đúng do x  y  2z

Page 37 of 90

Bài toán 7 Cho x i

Nhận xét: Bài toán này là trường hợp tổng quát cho bài toán bất đẳng

thức trong đề thi IMO - IRAN 1998 Từ bài toán này, áp dụng dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có bài toán rất hay sau.

 

Page 39 of 90

§2 SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN DẠNG PHÂN THỨC

 a 2



1



Page 40 of 90

Page 41 of 90

Page 42 of 90

Page 43 of 90

Chứng minh

Áp dụng Định lý 1 với x  y  z 1 ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2: Cho x, y , z  0 Khi đó ta luôn có:

Page 44 of 90

( x  y )( y  z )( z  t )(t  x )  ( x  y  z  t )( xyz  yzt  ztx  txy)

Page 45 of 90

Page 46 of 90

Page 47 of 90

Áp dụng Định lý 3 với x  y  z  t 1 ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 3: cho x, y , z , t  0 và xyzt 1 Chứng minh rằng:

Page 48 of 90

Bài toỏn 2: Cho hai số thực dương: và thoả món điều kiện:

Trong các bất đẳng thức dạng trung bình có điều kiện ta

có thể dễ dàng xây dựng lời giải nhờ cách sử dụng các hệ số

Bµi toán 1: Gi¶ sö a; b ¡  tho¶ m·n a  b  ab 3 .

Nhận xột: 2a b ab 6 a b

2 a. b

2  3 và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

Page 51 of 90

Page 52 of 90

Gọi  là nghiệm d-ơng của ph-ơng trình a2 +2a – 1 = 0 (ta cho a

Nhận thấy: một số bài toán bất đẳng thức có điều kiện có thể không

đối xứng và dấu đẳng thức xảy ra không chỉ trong tr-ờng hợp a

= b = c Trong những tr-ờng hợp này ta nên đặt ẩn thụ để làm

đẹp bất đẳng thức.

Bài toỏn 5: Giả sử a, b, c R+ , a +b+c ≤3

Chứng minh rằng:

Chứng minh

Q  3 a(b  7c)  3 b(c  7a)  3 c(a  7b)  6

Nhận xột: dấu bằng xảy ra kh a = b = c= 1 và có cách giải nh- sau:

Ta có

3 8.8a.

Page 53 of 90

Page 54 of 90

Trong một số bµi toán, ta cÇn sö dông h»ng sè khÐo h¬n.

18b2c2

 6bc 2

Lời giải

Từ giả thiết ta biết dấu đẳng thức xảy racách giải sau:

2 3

2 3

2 3

Cộng 3 bất đẳng thức ta thu đ-ợc:

Ta lại có: a2 +

b2 +

c2 +

Cộng 3 bất đẳng thức ta thu đ-ợc:

(a  b  c) 1+a2+b2+c2  2 a+b+c  3

Vậy ta thu đ-ợc

Hay

Khi sử dụng hằng số cho những bài toán của những biểu

thức đối xứng là đơn giản hơn vì chúng ta biết đ-ợc dấu

đẳng thức xảy ra khi nào Vớ dụ:

Bài số 1: Với a,b,c  R+, thoả mãn a + b + c + abc = 4

Víi a,b,c R+ tho¶ m·n ab + bc + ca = 5 Chøng minh

Víi a,b,c  R+ tho¶ m·n a+b+c = 32 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:

Đ4 SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC

ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẲNG THỨC Các bất đẳng thức trình bày trong phần này đ-ợc chia thành những dạng cơ bản sau:

DẠNG 1: (Điều kiện abc = 1)

Bài toán 1: (IMO 1999)

Giả sử a, b, c  R+, thảo mãn abc = 1 Chứng minh rằng :

P =

Chứng minh

Page 63 of 90

Page 64 of 90

Page 65 of 90

 9 (a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b) 2abc)  98 (a2b + a2c + b2c+ b2a + c2a + c2b) 3abc)

 (a2b + b2c + c2a) + (ab2 + bc2 + ca2)  6abc

Ta cã VT  3abc + 3abc = 6abc (®pcm)

¸p dông kÕt qu¶ trªn suy ra: S 

Page 66 of 90

Bµi to¸n7: (Rumania 2007) Gi¶ sö a, b, c  R+

B(A- A  1 (đẳng thức xảy ra khi (a, b, c) = (1, 0, 0))

Bài toán 9: Vơi a, b, c  R+ thoả mãn a2 + b2 + c2 + 2abc = 1 (1)Chứng minh rằng:

 6a3 + 6b3 + c3 + 16  6 (a + b + c + abc) = 36

 6a3 + 6b3 + c3  20 (đpcm)

Bài toán 11 ( dạng 2): Giả sử a, b, c > 0 thoả mãn ab + bc + ca = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 4a2 + 4b2 + c2

Lời giải

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c   0

Ta có

Cộng 3 bất đẳng thức ta thu đ-ợc

 a + b – ab (a + b) – c (a2 + b2) = 2abc

 (a + b) (1 - ab) – c (a2 + b2) = 2abc

 (a + b) (ca + cb) – c (a2 + b2) = 2abc (hiÓn nhiªn)

Đ5 SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI ĐIỀU KIỆN THỨ TỰ Nhận xét: Khi chứng minh f(a,b,c)  0, thì đẳng thức xảy ra khi các điều kiện của bài toán nếu có đều trở thành đẳng thức

Sử dụng nhận xét trên để chúng minh một số bất đẳng thức có điều kiện thứ tự chính là nội dung của phương phỏp này

Dạng 1: (Bất đẳngthức dạng trung bình với điều kiện thứ tự)

Bài toán 1: Giả sử c  3, bc  6, abc  6 Chứng minh rằng

Gi¶ sö 0 < a  b  c, c  3, bc  6, abc  6 Chøng minh r»ng:

B-ớc 2: Viết lại bất đẳng thức theo đúng thứ tự

Ta thu đ-ợc

Chøng minh

¸p dông ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n ta thu ®-îc

a4+b4+c4  3+(24-1).2+(34-24)=14+24+34=98 (®pcm)

Bµi to¸n 10 Gi¶ sö a,b,c>0 tho¶ m·n 3a+3b+3c<18, c<3, 3b+2c<12

Chøng minh

Gi¶ sö 0<a  b  3; 3b+6a+abc  9ab; bc+6  6b; c  3.Chøng minh r»ng:

Gi¶ sö 0<a  b  c, c  3, b+c  5, a+b+c = 6 Chøng minh r»ng:

Bµi to¸n 3

Cho 0  a  b  3; 2  c  3; b+1  c; a+b=c.Chứng minh rằng:

B-ớc 4: Xuất phát từ số hạng luôn luôn d-ơng, luôn luôn âm chúng ta đi

một l-ợng thích hợp để nhóm cho các số hạng còn lại ch-a xác định dấu

Page 86 of 90

a3+b3+33  d3+23+c3

 (a-b)(a2+d2+ad)+(b-2)(b2+2b+4)+(3-c)(32+c2+3c)  0

Ta cã

Tài liệu tham khảo

Tiếng việt

1. Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), “Sử dụng phương pháp

Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức”, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.

2. Nguyễn Văn Hiến (2000), “Bất đẳng thức trong tam giác”, NXB

6. Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các

bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà

Page 89 of 90

Tiếng Anh.

1 IMO Shorlist, 1990 – 2004.

2. Jose A.G.O., Radmila E, Mircea B (1997), “Inequalities A

Mathematical Olympiad Approach”, Basel – Boston – Berlin, Germany.

3 Mihai B., Bogdan E., Mircae B (1997), “The Romanian

Society of Mathematical Sciences”, “Romanian Mathematical