Tái chuẩn hóa và phép toán r trong điện động lực học lượng tử

MỞ ĐẦUNhững thành tựu của điện động lực học lượng tử QuantumElectrodynamics- QED dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến vớiphương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích đã

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Hà Nội – Năm 2015

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo,

GS.TSKH.Nguyễn Xuân Hãn, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này, cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt thời

gian học tập tại trường.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng như khoa Vật lý nói chung, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi Tôi cũng xin gửi lời cảm

ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và trao đổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn.

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày … tháng … năm

2015 Học viên Phạm Tiến Dự

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……… 1

Chương 1 – ĐẠI CƯƠNG VỀ TÁI CHUẨN HÓA……… 6

1.1 S- ma trận……… 6

1.1.1 Các điều kiện cho S- ma trận……… 7

1.1.2 Xác định S- ma trận……… 12

1.2 Quy tắc Feynman và các giản đồ phân kỳ bậc thấp trong QED 18

1.2.1 Khai triển S- ma trận về dạng N- tích……… 18

1.2.2 Quy tác Feynman trong QED……… 22

1.2.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman………24

Chương 2 – TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG……… 31

2.1 Giản đồ năng lượng riêng của electron  ……….31

2.2 Giản đồ phân cực photon……… 37

2.3 Giản đồ một vòng bậc ba……… 44

2.4 So sánh bốn phương pháp khử phân kỳ………51

Chương 3 – TÁI CHUẨN HÓA VÀ PHÉP TOÁN R……… 54

3.1 Tái chuẩn hóa………54

3.2 Phép toán R để khử phân kỳ……….64

KẾT LUẬN………72

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 74

PHỤ LỤC……… 76

khử phân kỳ trong

QED……… … 51

Bảng 4 Quy tắc Feynman cho lý thuyết QED tái chuẩn

hóa………… 58

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Miền nhân quả……….8

Hình 1.2 : Giản đồ Feynman bậc hai……….20

Hình 1.3 : Giản đồ Feynman bậc ba……… 21

Hình 1.4 : Giản đồ một vòng của photon……… 21

Hình 1.5 Giản đồ năng lượng riêng của electron……… 27

Hình 1.6 Giản đồ năng lượng riêng của photon………27

Hình 1.7 Giản đồ đỉnh bậc 3……… 27

Hình 1.8 Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng……… 27

Hình 2.1: Giản đồ năng lượng riêng của electron……… 31

Hình 2.2: Giản đồ phân cực photon………

38 Hình 2.3: Giản đồ một vòng bậc ba………44

Hình 3.1: Hàm truyền toàn phần của electron.………59

Hình 3.2: Bổ chính bậc thấp nhất của 1PI cho electron……… 61

Hình 3.3: Bổ chính bậc thấp nhất cho 1PI của photon……… 63

Hình 3.4: Bổ chính bậc thấp nhất cho phần đỉnh……… 63

Hình 3.5: Nút suy rộng ………65

MỞ ĐẦU

Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (QuantumElectrodynamics- QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến vớiphương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quátrình vật lý phù hợp khá tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính

xác đến bậc bất kỳ theo hằng số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn   e2   1

4 137[10] Trong các lý thuyết trường tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựnghoàn chỉnh nhất Mô phỏng các phương pháp tính toán của các quá trình vật lýtrong QED người ta có thể xây dựng công cụ tính toán cho Sắc động học lượng

tử (Quantum Chromodynamics- QCD) – lý thuyết tương tác giữa các hạt gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống nhất các dạng tương tác – như lýthuyết điện yếu và tương tác mạnh - và được gọi là mô hình chuẩn

quark-Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lýthuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín ) takhông gặp các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao chokết quả thu được, ta gặp phải các tích phân phân kỳ ở vùng xung lượng lớn củacác hạt ảo, tương ứng với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo Các giản

đồ này diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có

thể tích.

Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải tiếnhành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được

1

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được choquá trình vật lý là hữu hạn Lưu ý, việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường lànhiệm vụ trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phảinghiên cứu , tìm hiểu và giải quyết

Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng củaelectron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger

Feynman Tomonaga hiện thực hóa trong QED Cách xây dựng chung S-ma trận

và phân loại các phân kỳ thuộc Dyson Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêuphân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn doBogoliubov – Parasyk tiến hành Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điệntích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trongtính toán, kết quả ta thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng cho tươngtác ( bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt) Khi sosánh với thực nghiệm kết quả thu được, khá phù hợp với số liệu thực nghiệm Lýthuyết trường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc

trưng của các quá trình vật lý, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá Các phương

pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phươngpháp cắt xung lượng lớn, phương pháp Pauli –Villars, phương pháp chỉnh thứnguyên, và phương pháp R- toán tử do N.N Bogoliubov khởi xướng

Tiếp nối khóa luận tốt nghiệp đại học: “ Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến vàcác phương pháp khử phân kỳ trong mô hình  3 ”, ta tiếp tục nghiên cứu cho điệnđộng lực học lượng tử Trong khóa luận tốt nghiệp, chúng ta đã xem xét đến baphương pháp khử phân kỳ đầu tiên và ở đây chúng ta sẽ xem xét đến phương phápkhử phân kỳ cuối cùng sử dụng phép làm đều của Boguliubov và toán tử

Mục đích của luận văn này là chỉ ra ý nghĩa của việc tái chuẩn hóa, sử

dụng phép làm đều của Bogoliubov để tách các giản đồ phân kỳ thành hai phầnhữu hạn và phân kỳ Cuối cùng tái chuẩn hóa trong gần đúng một vòng và sửdụng phép toán R để khử phân kỳ cho trường hợp tổng quát

Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu thamkhảo và một số phụ lục

Chương 1 Giới thiệu chung về lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong

mục 1.1 giới thiệu S-ma trận và các điều kiện của nó, từ đó chỉ ra rằng các kỳ dịtrong lý thuyết trường xuất hiện là do sự bất định của T – tích khi thời gian chậpnhau Mục 1.2 trình bầy vắn tắt việc xây dựng các giản đồ Feynman và tổng kếtquy tắc Feynman cho QED Tiếp theo đó là xem xét bậc hội tụ của các giản đồFeynman, từ đó chỉ ra ba giản đồ phân kỳ cơ bản nhất của QED

Chương 2 Xem xét chi tiết ba giản đồ phân kỳ đã đưa ra ở chương 1, từ

đó tách các tích phân tương ứng thành hai phần: phần hữu hạn và phần phân kỳ,bằng phương pháp làm đều của Bogoliubov Chi tiết được trình bầy trong cácmục: 2.1 là giản đồ năng lượng riêng của electron, 2.2 là giản đồ phân cực chânkhông của photon và 2.3 là giản đồ đỉnh bậc ba Cuối cùng trong mục 2.4 chúng

ta sẽ so sánh bốn phương pháp khử phân kỳ là : Cắt xung lượng lớn; Villars; Điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp làm đều Bogoluibov

Pauli-Chương 3 Từ kết quả trong chương 2, ta xây dựng lý thuyết tái chuẩn

hóa cho QED Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượngtrong QED cho gần đúng một vòng; Mục 3.2 chúng ta sẽ đưa ra phép toán R đểkhử phân kỳ dựa trên kết quả trong chương 1 về sự bất định của T - tích

3

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

Phần kết luận liệt kê các kết quả thu được trong Bản khóa luận và thảo

luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường

tương tự

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử

và metric giả Euclide (metric Feynman-hay metric Bogoliubov) tất cả bốn

thành phần véctơ 4-chiều ta chọn là thực

gồm một thành phần thờigian và các thành phần không gian, các chỉ số   0,1, 2, 3 , và theo quy ước ta

gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4-chiều và ký hiệu các thành phần này

p   E , p x , p y , p z E , p.Tích vô hướng của hai véctơ được xác định:

véc tơ hiệp biến được xác định bằng cách sau:

A g  A, A0 A0, A k A k

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3

Ký hiệu tương đồng được sử dụng trong luận văn:

5

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

CHƯƠNG 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ TÁI CHUẨN HÓA

Trong khóa luận [3], chúng ta đã trình bầy phương pháp xây dựng lýthuyết nhiễu loạn hiệp biến từ S- ma trận đến các giản đồ Feynman cho tươngtác đơn giản  3 , song cấu trúc và hình thức luận của lý thuyết sẽ có “mặt tươngtự” trong QED, và QCD Trong chương này, bằng một cách tiếp cận khác, chúng

ta sẽ xem xét: các điều kiện để xác định S-ma trận, từ đó lý giải tại sao lại xuấthiện các phân kỳ trong lý thuyết; trình bầy quy tắc Feynman và xác định bậc hội

tụ của các giản đồ trong QED

Ngoài ra người ta còn đưa vào hàm g x với các giá trị số nằm trong

khoảng 0 gx1 để mô tả cường độ tương tác Lúc

mở hết cường độ Như vậy L x  g x là Lagrangian tương tác được đưa vàovới cường độ gx Với hàm gx chúng ta có:

     g  S g Với   

Trong các trường hợp thường dùng S S1

1.1.1 Các điều kiện cho S- ma trận

Để có được sự chặt chẽ về mặt toán học cũng như phù hợp với các qui luậtcủa tự nhiên, trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, S- ma trận được đòi hỏi phảithỏa mãn một số điều kiện

a) Điều kiện hiệp biến

Dưới phép biến đổi Lorentz L:

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

b) Điều kiện unita

Vì bảo toàn chuẩn (norm) của hàm sóng:

 * gg  * Nên ta có:

S g S g 1

c) Điều kiện nhân quả

Chúng ta phải bảo đảm rằng điều kiện nhân quả được thỏa mãn, nghĩa là bất kỳkiến cố nào xẩy ra trong tương tác cũng chỉ có ảnh hưởng đến các quá trình diễn

ra sau nó Để thu được công thức tường minh của điều kiện nhân quả, ta sẽ xemxét trường hợp khi không thời gian giới hạn bởi miền G , trong đó xác định hàm

g  0 có thể được chia thành hai miền riêng rẽ G1và G2mà toàn bộ các điểm của

G1nằm trong quá khứ so với thời điểm t  và G2thì nằm hoàn toàn trong tươnglai so với thời điểm đó

Hình 1.1 Miền nhân quả

Vì thế trong trường hợp này ta có thể biểu diễn:

g x  g1x  g 2x

Trong đó g1  0 chỉ trong G1 và g2  0 chỉ trong G2

Tại thời điểm  có thể xác định một trạng thái được đặc trưng bởi biên độ   , dođiều kiện nhân quả sẽ không phụ thuộc vào tương tác trong G2 và có thể viếtdưới dạng:

 S g1Với S g1  là ma trận tán xạ cho trường hợp khi tương tác thay đổi với cường

độ g1 Trạng thái cuốig tương tự sẽ có dạng:

  g  S g2 

Như vậy so sánh với định nghĩa của S ma trận, ta có:

  g  S g 2S g1 S g  S g1 g2

S g1 g 2 S g 2S g1với G2  G1 (1.8)( ký hiệu G2 G1 ở đây là điều kiện tất cả các điểm trong G2 là tại thời gian muộn hơn các điểm trong G1 )

Chú ý, xa hơn, nếu G1 G2 nghĩa là tất cả các điểm của hai miền có liên hệ khônggian gần gũi và vì thế thứ tự thời gian của các miền có thể bị thay đổi bằng mộtphép biến đổi Lorentz thì dễ có:

S g1 g 2 S g 2S g1 S g1S g2nếu G1 G2Bây giời ta xem xét đến dạng vi phân của điều kiện nhân quả Xem xét haitrường hợp khác nhau giữa dạng của sự tương tác trong G2 và thứ được mô tảbằng hàm tương tự trong G1 :

g   x  g 2  x  g1x  , g   x  g 2x  g1x

9

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

( đạo hàm của hàm cường độ theo thời gian từ thời gian  trở đi thì đóng góp của



S g   S g   S g S g   S g S g  1

Không phụ thuộc vào trạng thái của hàm g với

Dựa vào biến đổi đạo hàm ta có thể thu đƣợc điều kiện nhân quả nhƣ là điềukiện biểu thức:

Có thể chứng minh đƣợc rằng điều kiện nhân quả có dạng vi phân sau:

Ký hiệu x y có nghĩa là x0 t y0

cách nhau một khoảng đồng dạng không gian

x 0  t  y0

11

1.1.2 Xác định dạng của S- ma trận

Như đã đưa ra ở trên, ma trận tán xạ cần thỏa mãn ba điều kiện: unita,hiệp biến và nhân quả Các điều kiện đó đảm bảo cho lý thuyết của ta là bảo toànchuẩn, bất biến Lorentz và hợp với luật nhân quả tự nhiên Các điều kiện này,đặc biệt là điều kiện nhân quả sẽ ảnh hưởng đến việc xác định dạng của S- matrận Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét dạng của S- ma trận khi kể đến điềukiện nhân quả

(1.20)

(1.21)

(1.22)(1.23)

12

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

Trong tài liệu [14], Bogoliubov và Schirkov chứng minh rằng các điềukiện hiệp biến, unita và nhân quả chỉ cho phép tính

chính xác một toán tử hermitic, giả định xứ:

Với hàm hệ số ( coefficient function) có dạng:

Nhƣ vậy phải thêm vào Lagrangian dãy các toán tử giả định xứ:

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

S g  1  

n1 n!

Ta sẽ thay thế biểu thức của S ma trận bên trên vào ba điều kiện hiệp biến, unita

và nhân quả Trước tiên chú ý rằng nếu hai toán tử gọi là multi-local thì chúnggiao hoán với nhau Mà ở đây ta có:



 S

Có nghĩa là nếu hai hàm g1

cả các điểm thuộc miền này thì đồng dạng không gian ( spacelike) với miền kiathì hai toán tử S g1  và S g2  là giao hoán với nhau Đây là một tính chất rấtquan trọng

Điều kiện hiệp biến cho ta:

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

Ở đó Px1 , , x k

thu được số hạng theo bộ điểm x1 , ,x n Ví dụ:

Cuối cùng điều kiện nhân quả khi viết lại dưới dạng khai triển chuỗi của toán tử

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

Đây chính là dạng của S ma trận dựa trên điều kiện nhân quả

Định nghĩa lại với lưu ý loại trừ điểm x y ta có:

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

Có thể thấy với trường hợp x  y , biểu thức của S2 không được xác định theomới liên hệ truy hồi Vì thế cho nên để xét được trong tất cả các trường hợp tacần đưa thêm vào một toán tử:

S 2x, y i 2T L  y  L x   i 2x, y 

Với  2x, y 0 khi xy gọi là quasi-local ( giả định sứ)

Bằng cách sử dụng mối liên hệ truy hồi ta cũng thu nhận được dạng của các bậctiếp theo Ví dụ như bậc 3, ứng với n 2 :

S nx1 , , x n i n T L x1L x2 L x n T L,  1 ,  2 ,  n1 i nx1 , x2 , , x n

(1.50)

So sánh ngược lại với công thức biểu diễn dạng hàm mũ : Sg Te iLx g x 

dx ta sẽ thu được dạng thay thế của hàm Lagrange:

L x  L x; g  L x  g x



 1

vx, x1 , , x v1 g x  g x1 g 

v2 v!

Như vậy, sự tính toán trong lý thuyết trường, do điều kiện nhân quả mà

chỉ chính xác đến một toán tử hermitic, giả định xứ Điều này lý giải cho việc vì

sao các tính toán sau này cho các giản đồ Feynman xuất hiện các phân kỳ trong

các giản đồ vòng Và cũng chỉ ra sự chặt chẽ về mặt toán học cho việc khử đi các

phân kỳ đó bằng cách tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích

1.2 Quy tắc Feynman và các giản đồ phân kỳ bậc thấp trong QED

Ta tạm thời không xét đến các thành phần chứa các toán tử giả định xứ ở

trên, và xem như chúng chỉ với ý nghĩa toán học Như đã biết trong lý thuyết

trường, sau khi thu được S-ma trận dưới dạng các T-tích, ta sẽ sử dụng cách

định lý Wick để đưa chúng về dạng tích chuẩn Các số hạng thu được sẽ được

tương ứng với các giản đồ Feynman theo qui tắc: các hàm trường tự do cho

tương ứng các đường ngoài; các tích liên kết cho tương ứng các đường trong

liên kết giữa hai điểm

1.2.1 Khai triển S-ma trận về dạng N- tích

Như chúng ta đã biết, khi viết L dưới dạng N- tích thì:

0 L 00 (1.52)

Điều đó có nghĩa là trị số trung bình của L đối với chân không bằng không

và như thế loại trừ được vấn đề năng lượng chân không

Theo định nghĩa của T-tích:

18

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

Trong đó  

1, 2, , n    j1 , j2 , , j n

Theo định lý Wick, T-tích được khai triển thành tổng của tích chuẩn và tất cả cáccách lấy tích liên kết giữa các toán tử trường không giao hoán Số tích liên kếtđược lấy sẽ tương ứng với số đường trong của giản đồ Ví dụ:

T u1x1u2x2 : u1x1u2x2:  u1x1u2x2

Trong đó:

u1x1u2x2 0 T u1 x1 u2 x2  0 là tích liên kết còn ký hiệu “: :” là tích chuẩn

Ta xét trong QED, với L (x) N

Hình 1.2 : Giản đồ Feynman bậc hai

Tương tự, xét với bậc ba, ta có :

20

(1.57)Các giản đồ tương ứng với các số hạng trên là:

Hình 1.3 : Giản đồ Feynman bậc ba

Ở đây ta đã gộp các giản đồ có chung dạng vào chung một giản đồ Để cho đónggóp chính xác của mỗi giản đồ trên vào yêu tố ma trận, ta phải thêm vào mỗigiản đồ đó thừa số S 1 , với S là hệ số đối xứng của giản đồ được cho bởi côngthức :

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

Ta có g 1; n  1; n 2 và   0 nên S 2

Sau khi thu được các giản đồ ta có thể thu được ngay biểu thức của biên

độ tán xạ tương ứng với các giản đồ mà không cần biến đổi từ các yếu tố ma trậnbằng cách sử dụng qui tắc Feynman

1.2.2 Quy tắc Feynman trong QED

Để thuận tiện cho việc sử dụng, đối với mỗi một loại tương tác, người tađều xây dựng qui tắc Feynman cho nó Như vậy thay vì phải tính toán từ S-matrận, ta chỉ cần sử dụng qui tắc Feynman là có thể thu được ngay biểu thứctương ứng với các giản đồ Ở đây, chúng ta sẽ đưa ra qui tắc Feynman cho lýthuyết điện động lực học lượng tử, tương ứng mỗi yếu tố giản đồ với một thừa

số của biên độ tán xạ

Bảng 1 : Qui tắc Feynman trong QED

CHÚ Ý:

Thừa số spinor được viết từ trái qua phải khi đi ngược chiều đườngfermion Thứ tự này là cực kỳ quan trọng do nó là tích của các ma trậntương ứng với các thừa số

Với tất cả các vòng kín với xung lượng k ta phải lấy tích phân theo xung lượng đó d4k /24 Nó tương ứng được thêm vào trong biên độ

Với các vòng kín fermion ta phải lấy vết và nhân thêm nhân tử 1 với mỗi vòng

Nếu hai giản đồ khác nhau một số lẻ các giao điểm fermion thì chúng phải khác dấu

Sau khi áp dụng qui tắc Feynman và thu được các biểu thức của biên độ Feynman là các tích phân bốn chiều trong không gian xung lượng Do đã nói ở

23

Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự

trên, các tính toán của ta chỉ cho chính xác đến một toán tử giả định sứ, nênkhông phải tích phân nào thu được cũng là hữu hạn mà một số chứa các kỳ dị

1.2.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét sự phân kỳ của các giản đồ về mặt toánhọc, từ đó xác định loại phân kỳ và bậc phân kỳ của chúng Khi tính toán cácgiản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc chung chúng ta phảilấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản đồ Tất cả cáctích phân này đều có dạng :

J  F(p1 , p2 , , pn )d4 p1d4 p2 d4 pntrong đó: F(p1 , p2 , , pn ) là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số đườngxung lượng trong Tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của fermion-electron ta có hàm truyền S ~ 1p , tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của

photon ta có hàm truyền D ~ p12

Ta gọi : Fe : số đường xung lượng trong của electron

N e: số đường xung lượng ngoài của electron

Fp : số đường xung lượng trong của photon

N p : số đường xung lượng ngoài của photon

v : số đỉnh Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trongbằng số đỉnh: n  v , đồng thời lưu ý hai điểm sau :

+Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số

đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần

vì nó nối với hai đỉnh:

v  2F p  N p

+Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng

một nửa số đường xung lượng electron :

Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá

trị xung lượng vào ra phải tuân theo định luật bảo toàn năng

xung lượng Định luật này được thể

hiện ở dạng của hàm delta Theo tính chất của hàm delta :

thì số biến độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống Nếu có n đường trong thì

số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là (n-1), và số biến sẽ tiếp tục

giảm đi Tổng số đường trong là (F e  F p ) Vậy số các biến độc lập sẽ là :

p

f (p)(p 0 )d 4 p  f (p 0 )

25

Thay (1.62) và (1.63) vào (1.64) và (1.65) ta thu đƣợc :

K1

K 2

Với K 1 là số biến độc lập, K 2

Đƣa vào tham số mới:

Thay (1.66) và (1.67) vào biểu thức của (1.68) ta thu đƣợc :

2

Từ tham số này ta có thể đƣa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức

(1.68):

+Nếu K  0 : tích phân này hội tụ

+ Nếu K 0 : tích phân này phân kỳ

-K  0 : phân kỳ lôgarit

-K 1: phân kỳ tuyến tính

-K 2 : phân kỳ bậc hai

- K 3 : phân kỳ bậc ba …Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED cho bậc 2, 3 và 4, các giản

26