Quá trình tán xạ siêu hạt

MỞ ĐẦUSiêu đối xứng có một tiên đoán rất kịch tính, đó là, mỗi hạt chất và trường đã biếtđều có siêu hạt đồng hành với spin sai khác 1/2 đơn vị [1].. Khi siêu đối xứng là đúng, thay cho

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM THÚC TUYỀN

Hà Nội-2011

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG 6

1.1.Siêu đối xứng. 6

1.2 Siêu không gian và siêu trường 8

1.2.1.Siêu không gian 8

1.2.2 Siêu trường 9

1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral) 11

1.2.4 Siêu trường vectơ 15

1.3 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng 17

1.3.1 Lý thuyết trường chuẩn Abel 17

1.3.2 Lý thuyết trường chuẩn non-Abel 20

1.3.3 Vi phạm siêu đối xứng 22

1.3.4 Trường vật lý của MSSM 24

CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ 27

2.1 Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong cơ học lượng tử. 27

2.1.1 Khái niệm ma trận tán xạ S. 27

2.1.2 Ý nghĩa vật lí của ma trận tán xạ S 29

2.1 3 Khái niệm tiết diện tán xạ. 31

2.1.4.Các biến Mandelstam. 31

2.1.5.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân. 34

2.2.Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử. 39

2

2.2.1 S- ma trận và khai triển Dyson. 39

2.2.2 Tiết diện tán xạ 48

CHƯƠNG 3: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ e e 52

3.1 Yếu tố ma trận. 52

3.2 Tiết diện tán xạ vi phân 59

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

3

MỞ ĐẦU

Siêu đối xứng có một tiên đoán rất kịch tính, đó là, mỗi hạt chất và trường đã biếtđều có siêu hạt đồng hành với spin sai khác 1/2 đơn vị [1] Như vậy, mỗi lepton có siêuđồng hành gọi là slepton, mỗi quark có siêu đồng hành là squark Squark và slepton làboson vô hướng Mỗi hạt gauge truyền tương tác sẽ có siêu đồng hành là gaugino:photon truyền tương tác điện tử có photino, hạt Yang-Mills truyền tương tác yếu sẽ cóYang-Millsino, hạt gluon truyền tương tác mạnh sẽ có gluino Các gaugino là fermionMajorana

Tiên đoán trên đây được coi là kịch tính vì cho đến nay, sau 40 năm tìm kiếm,chúng ta chưa tìm được bất cứ siêu hạt đồng hành nào Nếu tìm thấy, siêu đối xứng sẽ làđối xứng thực sự của tự nhiên, nếu không tìm thấy, siêu đối xứng sẽ chỉ là một giả định,chưa có gì đảm bảo là đúng

Khi siêu đối xứng là đúng, thay cho một spinơ diễn tả hạt chất nào đó, ta có một

“siêu đa tuyến”, bao gồm cả trạng thái fermion (spinơ) lẫn trạng thái boson (vô hướng).Thay cho một vectơ diễn tả trường một tương tác nào đó, ta có một “siêu đa tuyến”, baogồm cả trạng thái boson (vectơ) lẫn trạng thái fermion (spinơ Majorana) [2]-[3] Khi đó,quá trình tán xạ giữa hai hạt trở nên rất phức tạp do sự tham gia của quá nhiều hạt.Chính vì chưa tính được sự đóng góp của tất cả các hạt và hạt đồng hành, cho nên, tachưa thể tìm được vùng năng lượng có thể tìm thấy siêu hạt

Nhiệm vụ được đặt ra cho tác giả luận văn thạc sỹ này là nghiên cứu một trong sốnhững quá trình tán xạ khi tính đến siêu đối xứng Để tính đến sự đóng góp của tất cảcác hạt ta phải dùng đến các phần mềm chuyên dụng như FormCalc, FeynArts Trongluận văn này do tác giả chỉ tính bằng tay, cho nên cũng chỉ giới hạn ở một quá trình cụthể

Luận văn được phân chia làm ba chương Chương 1 đề cập đến những khái niệm

cơ bản về siêu đối xứng, viết tắt là SUSY, từ đó suy ra Lagrangian tương tác giữa

4

hạt với hạt, hạt với siêu hạt đồng hành và siêu hạt đồng hành với nhau Chương 2 tómtắt các đặc trưng của bài toán tán xạ, các công thức cần thiết cho tính toán Chương 3 là

tính một quá trình tán xạ phi đàn tính e e

Các kết luận được tách riêng thành mục cuối cùng

Việc lựa chọn quá trình tán xạ có sinh ra siêu hạt từ sự hủy cặp e e là có chủ ý.

Hiện nay mặc dù đã có máy va chạm hadron lớn (LHC), nhưng những số liệu thu được

từ các máy gia tốc lepton (LEP) vẫn rất phong phú và có vai trò quan trọng trong việctìm kiếm và kiểm chứng những lết luận của SUSY Thêm nữa, các máy gia tốc cũng đạt

đến thang năng lượng không nhỏ (cỡ 1 TeV ), vì vậy, mọi tính toán lý thuyết đều có thể

kiểm tra được ở các trung tâm này

5

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG

1.1.Siêu đối xứng.

Siêu đối xứng (SUSY) là đối xứng giữa fermion và boson [1]-[4] Các phép biến

đổi siêu đối xứng được sinh bởi các toán tử spinơ Q, Q , biến trường fermion thành

trường boson và ngược lại

Q | Boson | Fermion ; Q | Fermion | Boson

Do trường boson và trường fermion có thứ nguyên khác nhau 1/2, cho nên, thứ nguyên

Q phải bằng 1/2 Toán tử Q, Q được gọi là vi tử sinh lẻ Chúng cùng với vi tử sinh của

nhóm Lorentz, được gọi là vi tử sinh chẵn, lập thành một đại số, trong đó, ngoài đại sốcủa nhóm Poincaré, ta còn có:

14

Trong đại số này phép toán giữa các vi tử sinh chẵn (hai toán tử boson B ) hoặc một chẵn một lẻ (một toán tử boson B và một toán tử fermion F ) là giao hoán tử, phép toán cho hai vi tử sinh lẻ (hai toán tử fermion F ) là phản giao hoán tử Kết quả của các phép

Điểm nổi bật của siêu đối xứng là kết hợp các boson và fermion vào trong cùngnhững đa tuyến tối giản hữa hạn Siêu đối xứng làm phong phú thêm cho vật lý hạt cơbản; ngay cả một mô hình siêu đối xứng đơn giản nhất cũng có rất nhiều những hệ quả

lý thú, đặc biệt, chúng hạn chế được rất nhiều loại giản đồ phân kỳ trong lý thuyết nhiễuloạn

Siêu đối xứng là đối xứng duy nhất đã biết có thể liên hệ các hạt có spin khácnhau là boson và fermion, và có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực phát triển của

7

vật lý lý thuyết ở giai đoạn hiện nay, chẳng hạn như lý thuyết dây Ngoài ra có nhiềunguyên nhân về mặt hiện tượng luận làm cho SUSY trở nên hấp dẫn Một là, nó hứa hẹngiải quyết vấn đề phân bậc tương tác (hierachy) tồn tại trong mô hình tiêu chuẩn Hai là,trong SUSY hạt Higgs có thể xuất hiện một cách tự nhiên như hạt vô hướng cơ bản vànhẹ.

Để diễn đạt SUSY thuận tiện nhất, ta dùng phương tiện là siêu không gian vàsiêu trường

1.2 Siêu không gian và siêu trường

1.2.1.Siêu không gian.

Vi tử sinh spinơ của nhóm siêu đối xứng không thể biểu diễn được chỉ bằng toán

tử vi phân theo tọa độ không thời-gian thông thường Để khắc phục điều này, người ta

đã mở rộng không-thời gian bằng cách đưa vào tọa độ spinơ phản giao hoán , bên cạnh

tọa độ vectơ giao hoán x [5] Không gian mở rộng được gọi là siêu không gian, tọa độ

phản giao hoán được gọi là tọa độ lẻ, tọa độ giao hoán được gọi là tọa độ chẵn Do tọa

độ lẻ chỉ là công cụ, chúng không thể có mặt trong biểu thức cuối cùng của Lagrangian,cho nên, bước tính toán cuối cùng là tích phân theo tất cả tọa độ lẻ Tích phân theo tọa

độ lẻ được tính như đạo hàm theo tọa độ đó

Nếu dùng hình thức luận spinơ bốn thành phần tọa độ lẻ là spinơ Majorana , cònnếu dùng hình thức luận spinơ hai thành phần tọa độ lẻ sẽ là cặp hai spinơ Weyl ( , ),trong đó, là spinơ Weyl loại một hay tay chiêu, là spinơ Weyl loại hai, hay

tay đăm [6] Chỉ số của là không có chấm, , chỉ số của * là có

chấm Các ma trận Pauli bốn chiều sẽ có một chỉ số có chấm một chỉ số không có chấm.Tensơ Ricci sẽ có hai chỉ số không chấm hoặc hai chỉ số có chấm Trong luận văn này, ta

sử dụng hình thức luận spinơ hai thành phần (xem phụ lục A)

8

Do tính phản giao hoán của tọa độ spinơ:

sẽ có dạng:

9

( x , , ) A( x )( x )( x )M ( x )N ( x )

V ( x )

trong đó, hệ số lũy thừa khác nhau của sẽ được gọi là trường thành phần Tập hợp cáctrường thành phần được gọi là một siêu đa tuyến Siêu đa tuyến tương ứng với siêutrường (1.7) sẽ gồm:

- 8 trạng thái boson, diễn tả bằng 4 trường vô hướng phức:

Siêu trường thỏa mãn những tính chất cơ bản sau đây:

-Tổ hợp tuyến tính của các siêu trường cũng là siêu trường

-Tích các siêu trường cũng là siêu trường

Từ quy tắc biến đổi của siêu trường ta suy ra quy tắc biến đổi của trường thànhphần Quy tắc biến đổi cho các siêu trường được định nghĩa:

( x , , )A ( x ) ( x ) ( x ) M ( x ) N ( x ) m V ( x

)

( x )( x )

Trong đó,là tham số biến đổi Tham số biến đổi cũng phải là spinơ và có thứ nguyên 1 /

2 Bằng cách so sánh lũy thừa theo ở cả hai vế, và với vi tử sinh được cho như trong(1.5), ta có thể thu được phép biến đổi cho trường thành phần:

10

F , i 2 F , (1.9)

Như vậy, các siêu trường tạo thành các biểu diễn tuyến tính của đại số SUSY Ta có thểxây dựng siêu trường tương ứng với bất cứ siêu đa tuyến thành phần nào, bằng cách bắtnguồn từ một trong các thành phần và áp dụng liên tiếp phép biến đổi (1.5) cho đến khi

đa tuyến là đóng

1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral)

Siêu trường vô hướng thỏa mãn điều kiện [7]:

11

A( y ) 2 ( y )F ( y)

A( x ) i

( x )

2

Như vậy, một siêu trường vô hướng tay chiêu chỉ chứa ba trường thành phần: một

trường vô hướng A, một trường spinơ tay chiêu và một trường phụ trợ F Trong đa tuyến của siêu trường vô hướng (1.13), trường vô hướng A, trường spinơ lẫn đạo hàm

của chúng đều có mặt, vì vậy, Lagrangian của chúng có thể được tạo nên từ lũy thừa củasiêu trường tay chiêu Siêu trường tay chiêu có thể coi là dạng siêu đối xứng hóa trường

chất cổ điển Trong đa tuyến chất sẽ có trường spinơ tay chiêu , trường vô hướng A và trường phụ trợ F Trường vô hướng A xuất hiện trong đa tuyến của trường chất , cho

nên, nó được gọi là vô hướng siêu đồng hành của

Tương tự, siêu trường thỏa mãn điều kiện:

12

A* ( y ) 2 ( y )F * ( y )

A* ( x ) i m

2 ( x )

Tích các siêu trường chiral cùng loại sẽ là các siêu trường cùng loại Ví dụ, tích

các siêu trường tay đăm:

j

A ( y i

cũng có khai triển của siêu trường tay đăm

Tích của một siêu trường có tính thuận tay khác nhau sẽ không còn là siêu trường

thuận tay Ví dụ, với hai siêu trường tay chiêu i , j , tích i j sẽ có khai triển sau đây:

13

ij i

i j

22

Rõ ràng, nó không phải là đa tuyến tay chiêu hay tay đăm

Nếu có một siêu đa tuyến tay chiêu , biểu thức được gọi là dạng Kählercủa siêu trường Dạng Kähler có khai triển sau đây:

A x 2 2 ( x) A* (x) 2 ( x) A(x)A* ( x)F(x)

*

Số hạng F 2 sẽ bị khử nhờ phương trình chuyển động Số hạng cuối cùng chỉ là đạo hàm toàn phần và do đó nó có thể được bỏ qua.

1.2.4 Siêu trường vectơ

Siêu trường thỏa mãn điều kiện thực [7]:

sẽ có biểu thức khai triển:

Tuy V là vô hướng nhưng do trong khai triển của nó có chứa trường thành phần vectơ

V cho nên nó được gọi là siêu trường vectơ Từ điều kiện thực suy ra:

- Các trường thành phần C, D, M , N và V là thực Đó là 8 thành phần boson của siêu đa tuyến

- Các trường , là hai spinơ tay chiêu Weyl Đó là 8 thành phần fermion của siêu

15

C C 2Re A, i 2 M(x) iN(x) M(x) iN(x) 2iF

(1.24)

, D D

Như vậy, giống như trường chuẩn cổ điển, thành phần vectơ của siêu trường vectơ cũng

được cộng thêm građiên 2 lẫn phần ảo của A Siêu trường vectơ có thể coi là dạng siêu

đối xứng hóa của trường chuẩn, và do đó nó còn được gọi là siêu trường chuẩn Nếuchọn thành phần của siêu trường tay chiêu một cách thích hợp, ta có thể khử các trường

C , , M , N và siêu trường chuẩn chỉ còn lại một trường vectơ, một trường vô hướng và

một siêu trường spinơ V , và D :

V V

2

Siêu trường tay chiêu thỏa mãn tính chất trên được gọi là chuẩn Wess-Zumino Siêu

trường chuẩn trong chuẩn Wess-Zumino chỉ gồm một trường chuẩn vectơ thực V , trường spinơ và trường vô hướng phụ trợ D Trường spinơ xuất hiện trong đa tuyến của trường chuẩn V , cho nên, nó là trường siêu đồng hành của V

Khác với siêu trường chất, trong khai triển (1.25) của siêu trường chuẩn, không

có đạo hàm trường chuẩn Mặt khác, để V có thứ nguyên bằng 1, siêu trường V phải có

thứ nguyên bằng 0 Vì vậy, để có cường độ trường chuẩn, ta phải lấy đạo hàm hiệp biếnsiêu trường vectơ Xét siêu trường spinơ sau đây:

16

Với nhóm chuẩn non-Abel, siêu trường vectơ V sẽ không được chọn là siêu trường chuẩn Thay vào đó, ta sẽ chọn là expV Nếu khai triển hàm mũ, ta chỉ có đến số

hạng thứ ba là khác không:

expV 1 V

1.3 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng

1.3.1 Lý thuyết trường chuẩn Abel

17

Giả sử ta có một siêu trường tay chiêu mô tả chất Xét phép biến đổi chuẩn

U 1 tác động lên :

e i ,ei

trong đólà một siêu trường vô hướng không thứ nguyên Để bảo toàn tính tay chiêu

của , siêu trường phải thỏa mãn điều kiện:

nghĩa là cũng phải là siêu trường tay chiêu và

Tuy nhiên, dạng Kähler lại không bất biến chuẩn:

(1.26b)phải là một siêu trường tay đăm

(1.27a)

bởi vì không phải là siêu trường thực (vectơ)

Để khôi phục tính bất biến chuẩn cho dạng Kähler, ta đưa vào siêu trường vectơ

V , với quy tắc biến đổi (1.23):

V V V i

và thay cho dạng Kähler ban đầu ta dùng:

KeV

Có thể thấy rằng, dạng Kähler (1.28) là bất biến chuẩn

Các siêu trường spinơ W , W cũng bất biến chuẩn Thực vậy:

18

Với các kết quả trên, ta sẽ chọn Lagrangian cho lý thuyết trường chuẩn U 1 siêu

đối xứng như sau:

Trong đó, để siêu thế là bất biến U 1 , ta phải yêu cầu mik0 hoặc gikl 0 bất cứ khi nào gi

gk hoặc gi gk gl khác không Để làm sáng tỏ nội dung hạt của Lagrangian (1.32), ta cóthể khai triển dạng Kähler của (1.28) trong chuẩn Wess-Zumino:

19

Số hạng thuộc dòng thứ nhất vế trái là động năng trường chất vô hướng A và trường

spinơ siêu đồng hành Số hạng thuộc dòng thứ hai là tương tác chuẩn (dòng x thế) củahai trường nói trên Số hạng thuộc dòng thứ ba là Lagrangian tương tác bậc cao giữatrường chất (kể cả siêu đồng hành) với trường chuẩn vectơ và siêu đồng hành spinơ củanó

1.3.2 Lý thuyết trường chuẩn non-Abel

Ta có thể tổng quát hóa kết quả trên cho nhóm chuẩn non-Abel Khi đó, trườngchất sẽ biến đổi theo quy luật:

Để Lagrangian (1.30) bất biến dưới phép biến đổi chuẩn non-Abel (1.34), ta sử yêu cầu siêu trường chuẩn biến đổi theo quy luật:

20

eV 'e i eV ei

trong đó, V T a V a Khi đó, tensơ cường độ trường chuẩn sẽ được định nghĩa bằng:

W

Khác với trường hợp của nhóm chuẩn Abel, tensơ cường độ không bất biến chuẩn mà

biến đổi theo quy luật:

(1.37b)Tuy nhiên, nếu lấy vết của tích tensơ cường độ trường, ta vẫn được biểu thức bất biến

chuẩn để đóng vai trò Lagrangian của lý thuyết siêu chuẩn đơn giản nhất sẽ là:

1

L

16kg

Nếu thay V 2gV , và nếu vẫn dùng chuẩn Wess-Zumino, Lagrangian (1.38) sẽ có

biểu thức khai triển:

F a F a i a D a D A D A iD

2

aD a A T a A

Trong đó, các đạo hàm hiệp biến cho từng trường và tensơ cường độ trường sẽ được

định nghĩa như thường lệ:

W W e i W e i

Để lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng diễn tả thế giới tự nhiên một cách thực

tế, cả đối xứng chuẩn lẫn siêu đối xứng đều phải bị vi phạm Sự vi phạm có thể là tựphát, là vi phạm mềm hoặc cả hai Trong SM, sự vi phạm tự phát được diễn tả thông quamột lưỡng tuyến trường Higgs Trong MSSM, ta cần phải có hai lưỡng tuyến trườngHiggs Trong tám bậc tự do Higgs, ba đã bị trường chuẩn Yang-Mills “ăn thịt”, nămthành phần còn lại sẽ tạo thành năm hạt Higgs, hai hạt tích điện, một hạt vô hướng thực

sự và hai hạt giả vô hướng Sau đó, chúng lại pha trộn với hạt gauge tích điện và trunghòa, tạo thành các hạt chargino (tích tử) và neutralino (trung tử)

Sự vi phạm tự phát trong SM khác với trong MSSM [7] Từ hệ thức phản giaohoán của vi tử sinh lẻ (hệ thức thứ 4 của (1.1a) suy ra Hamiltonian:

4

Ta thấy ngay rằng, Hamiltonian xác định dương, nghĩa là với mọi trạng thái vật lý ,

ta đều có H 0 Như vậy, trạng thái cơ bản với năng lượng bằng không sẽ

22

không bị vi phạm siêu đối xứng, Q 0 Q 0 0 Để có sự vi phạm tự phát, trạng thái cơ

bản phải có năng lượng khác không

Với nhóm chuẩn G SU3SU2U1 , ta sẽ có các trường nguyên thủy sau đây cho MSSM [8]:

1 Ba siêu đa tuyến trường chuẩn:

Wi , Wi, i 1,2,3 cho tương tác yếu

B , B cho tương tác điện từ

Siêu tích yếu của các trường chất được suy ra từ hệ thức Gell-Mann và Nishijima

3 Trường Higgs sẽ bao gồm hai lưỡng tuyến:

1

1

H

Siêu tích của lưỡng tuyến thứ nhất bằng 1, của lưỡng tuyến thứ hai bằng 1 Như vậy, H2

có điện tích 1, H1 có điện tích 1 hai thành phần còn lại trung hòa điện Tương tự nhưvậy cho Higgsino

Siêu thế bất biến chuẩn tổng quát nhất giữ nguyên được các kết quả của SM là:

trong đó, L, Q, U ,D được hiểu là lưỡng tuyến lepton, quark va đơn tuyên quark kiểu up( u, c, t ) và quark kiểu down ( d, s, b ) và I , J là chỉ só thế hệ Còn một số biểu thức bấtbiến gauge nhưng vi phạm các định luật bảo toàn số lepton, số baryon cho nên khôngthể chấp nhận được (chúng sẽ bị loại trừ nhở quy tắc bất biến R chẵn lẻ).

Những số hạng vi phạm mềm được tách thành nhiều loại:

a) Số hạng khối lượng cho trường vô hướng

m H21 H i1* H i1 mH22 H i2* H i2m L2 IJ L i I* L J

i

mR2 IJ Ri I* Ri JmQ2 IJ

mD2 IJ D I* D JmU2 IJ U I*U J

trong đó, tổng được lấy cho chỉ số thể hệ I,J

b) Số hạng khối lượng của gaugino:

H

1

và chọn chuẩn ’t Hooft-Feynman, ta sẽ thu được các trường vật lý Chúng gồm:

24

lượng, trong khi trường Yang - Mills trở thành W

trong đó, được gọi là góc Weinberg, còn tham số e liên quan đến hệ số liên kết yếu

g2và điện từ g1: e g2 sin g1 cos

Trường Higgs tích điện: Sẽ có bốn hạt Higgs tích điện tương ứng với bốn bậc tự

do tích điện trong hai đa tuyến Higgs Hai trong số đó có khối lượng

Trường tích tử (chargino): Hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành của trườnggauge tương tác yếu W1,2 và hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành của trường

25