Nghiên cứu một số kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong giải số mô hình thuỷ lực hai chiều

Hình 4.16 Hình 4.17 Điều kiện biên là một trong những bộ phận cấu thành của một bài toán cơ học chất lỏng.. Đề tài nghiên cứu ảnh hưởng của điều kiện biên tới kết quả số trong môhình hai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

*****

VIỆN CƠ HỌC

Trang

Lời cảm ơn 1

Mục lục 2

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 4

Danh mục các hình vẽ, đồ thị ……… 5

Mở đầu ……… 6

Chương1 - GIỚI THIỆU CHUNG ………8

Chương 2 - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 11

2.1 Hệ phương trình Saint Venant ……… 11

2.2 Số Froude và số điều kiện biên cần thiết cho bài toán một chiều và hai chiều ………13

2.2.1 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực một chiều 2.2.2 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực hai chiều 21

2.3 Ý nghĩa vật lý của điều kiện biên trong thuỷ lực học ………22

Chương 3 - KỸ THUẬT XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN TRONG MỘT SỐ

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN HAI CHIỀU ……… 23

3.1 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phương pháp khối hữu hạn 3.1.1 Phương pháp rời rạc hoá hệ phương trình Saint Venant …… 25

3.1.2 Kỹ thuật xử lý các phần tử trên biên ………27

3.1.3 Kỹ thuật xử lý biên khô ướt ……… 30

3.1.4 Ứng dụng các kỹ thuật vào phần mềm VODAP_2D ………32

3.2 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phương pháp phần tử hữu hạn ………32

3.2.1 Phương pháp rời rạc hoá hệ phương trình Saint Venant 3.1.2 Cách đưa điều kiện biên vào hệ phương trình 3.1.3 Kỹ thuật xử lý biên khô ướt ………

3.1.4 Ứng dụng các kỹ thuật vào phần mềm Chương 4 - KẾT QUẢ GIẢI SỐ MỘT SỐ BÀI TOÁN MẪU ………41

4.1 Bài toán mẫu có nghiệm giải tích ……… 41

4.2 Bài toán thí nghiệm có số liệu thực đo ……… 42

4.3 Bài toán thí nghiệm có số liệu thực đo .……… 45

4.4 Bài toán thực tế đánh giá thực trạng lòng dẫn sông Hồng- sông Thái Bình và kiểm chứng ………50

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ……….55

TÀI LIỆU THAM KHẢO .

kx- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo trục x.

ky- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo trục y

So,x - độ dốc đáy theo trục x

So,y - độ dốc đáy theo trục y

Fx - lực khối chiếu theo trục x

Fy- lực khối chiếu theo trục y

 e -hệ số khuyếch tán bao gồm khuyếch tán phân tử kết hợp khuyếch

tán rối

Sce - thành phần nguồn phụ

Z - cao trình mặt thoáng

Zf – cao trình đáy

Hình 4.16

Hình 4.17

Điều kiện biên là một trong những bộ phận cấu thành của một bài toán

cơ học chất lỏng Điều kiện biên trong lĩnh vực thuỷ động lực học lại mangmột số đặc trưng chuyên sâu riêng so với các ngành khác Hơn nữa kiến thức

và kinh nghiệm về xử lý điều kiện biên còn giúp người tác nghiệp áp dụng cóhiệu quả thuỷ động lực học vào thực tế Vì vậy nghiên cứu và nắm rõ điềukiện biên của các bài toán thuỷ lực là nhiệm vụ cần thiết của người làm thuỷlợi

Đề tài nghiên cứu ảnh hưởng của điều kiện biên tới kết quả số trong môhình hai chiều chỉ tâp trung vào các vấn đề về điều kiện biên của phương trìnhnước nông Saint Venant 2D Trong khuôn khổ luận văn sẽ đề cập và giải thíchmột số khái niệm, định nghĩa của điều kiện biên trong bài toán 2 chiều Luận văn

sẽ mô tả ý nghĩa và tác dụng của từng loại điều kiện biên trong thực tế, yêu cầu

về số lượng điều kiện biên để một bài toán có nghiệm duy nhất

Tuy nhiên để dẫn giải sáng sủa vấn đề, chương hai của đề tài sẽ đề cậpđến kiến thức điều kiện biên trong bài toán một chiều trước Điều kiện biênhai chiều sẽ được lập luận tương tự

Khi nghiên cứu các bài toán hai chiều truyền lũ, các nhà thuỷ lực đã gặpcâu hỏi làm thế nào mô tả được sự lan truyền nước từ vùng ướt lên vùng khô,

và ngược lại sự rút nước Khi đó ta không còn khái niệm môi trường liên tụctrên toàn miền tính nữa Khác với khí động học, toàn bộ vùng nghiên cứu

luôn được lấp đầy không khí, trong thuỷ lực sự dâng nước dẫn đến ngập cácvùng khô hay ngược lại rút nước từ vùng ướt thành vùng khô lại thườngxuyên xảy ra Vùng giáp ranh khô ướt lúc này được coi là biên lỏng di động

và chúng cần được nghiên cứu Loại điều kiện biên này tuy không được hiểutheo nghĩa thông thường như các loại điều kiện biên khác, nhưng do ý nghĩaquan trọng của nó, đề tài sẽ cập đến loại điều kiện biên này ở một chươngriêng Chương ba sẽ nêu các định nghĩa xác định biên trong miền, cũng nhưmột số bài toán mẫu có lời giải để kiểm chứng

Chương cuối cùng sẽ đưa ra một vài bài toán mẫu có lời giải giải tíchhoặc số liệu thực đo do các phòng thí nghiệm của châu Âu đề xuất Chươngnày cũng đưa một vài bài toán thực tiễn mà nhóm của tác giả đã thực hiệntrong thời gian vừa qua Kết quả số sẽ được so sánh với kết quả mẫu nhằmchứng minh các vấn đề mà luận văn đặt ra Tuy kết quả số chỉ là các giá trịtrung bình và đôi chỗ còn khác so với kết quả thực đo, nhưng nhìn tổng thểcác kết quả đó đạt các tiêu chuẩn cho phương pháp số

Bản thân lý thuyết về điều kiện biên của hệ phương trình Saint-Venant2D đã được phát triển bởi rất nhiều thế hệ khoa học Do vậy, đề tài chỉ nhằmmục tiêu nêu lại các lý thuyết và cách áp dụng chúng vào thực tiễn sao chođảm bảo tính chặt chẽ và hiệu quả đáp ứng được các bài toán thực tế đặt ra

Chương 1 – GIỚI THIỆU CHUNG.

Kỹ thuật xử lý điều kiện biên cho phương trình Saint Venant đã đượcnhiều thế hệ các nhà khoa học cả chuyên ngành toán học lẫn cơ học quan tâm

từ lâu Trong nước có PGS.TS Trần Gia Lịch, GS.TSKH Nguyễn Kim Đan,PGS.TS Hoàng Văn Lai đã nghiên cứu và có nhiều bài báo đăng trên các tạpchí uy tín về vấn đề này Ở nước ngoài cũng có rất nhiều nhà khoa học đãnghiên cứu và hoàn thiện kỹ thuật xử lý điều kiện biên cho các bài toán thuỷlực học Sau đây là sơ lược tình hình nghiên cứu của các tác giả trong nước

GS Nguyễn Kim Đan hiện đang công tác tại đại học tổng hợp Caennghiên cứu chuyên sâu về các phương pháp số giải hệ phương trình Saint-Venant 2D và kỹ thuật xử lý biên khô ướt Các kỹ thuật đó rất quan trọngtrong các bài toán vỡ đê, vỡ đập, lan truyền lũ v.v Giáo sư là người hướngdẫn nhiều nghiên cứu sinh và cán bộ Việt nam về vấn đề này Phương pháp vàphần mềm của giáo sư viết hiện đang được ứng dụng tại Việt nam

PGS.TS Hoàng Văn Lai cũng nghiên cứu về kỹ thuật xử lý biên giánđoạn Kết quả tính toán số bằng chương trình do PGS Hoàng Văn Lai xâydựng đã vượt qua các bài toán mẫu do các phòng thí nghiệm thuỷ lực châu

Âu đưa ra

GS.TS Trần Gia Lịch và TS Lê Kim Luật đã viết một bài báo về điềukiện biên, hai người đã chứng minh rằng để tồn tại duy nhất nghiệm trong bàitoán tuyến tính hoá, các điều kiện biên phải thoả mãn một vài bất đẳng thức

liên hệ Bài báo có ý làm chặt chẽ theo nghĩa toán học phương pháp tuyếntính hoá Tuy nhiên, bài báo đưa ra một vài luận đề toán học làm cơ sở màkhông chứng minh.

Trong các bài toán thực tế về quá trình lan truyền lũ, việc tìm các giá trịcủa các đại lượng trên biên là rất quan trọng Vì vậy người ta đã xây dựngmột số phần mềm tính các giá trị của các đại lượng đó từ lượng mưa trên lưuvực Quá trình hình thành dòng chảy từ lượng mưa rơi trên lưu vực là quátrình phức tạp, phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: độ dốc, độ che phủ của lưuvực, thành phần cấu tạo của đất, lượng bốc hơi….Mô hình mưa rào dòngchảy được xây dựng dựa trên cơ sở giả thiết chấp nhận một số thông số đặctrưng cho từng lưu vực Các thông số này sẽ được lựa chọn bằng thuật toántối ưu hoá dựa trên các số liệu thực đo ngay trước thời điểm cần tính toán

Mô hình thuỷ văn mưa rào dòng chảy được xây dựng dưới sự chỉ đạo củaGS.TS Trịnh Quang Hoà đã có khả năng tính toán dòng chảy sinh ra do mưatrên các lưu vực Trong khi xây dựng mô hình thuỷ văn mưa rào dòng chảychúng ta phải chấp nhận nhiều thông số thực nghiệm cho từng lưu vực Vìquá trình hình thành dòng chảy trên lưu vực phụ thuộc rất nhiều vào các yếu

tố của lưu vực: địa hình, độ che phủ, cấu tạo đất….Do vậy, việc xác định cácthông số đặc trưng của lưu vực cho mô hình thuỷ văn mưa rào dòng chảy làrất khó khăn và cho độ chính xác không cao Với mục đích mô phỏng chínhxác hơn quá trình hình thành dòng chảy trên lưu vực, trong thời gian gần đâynhiều nhà thuỷ văn, thuỷ lực đã cố gắng xây dựng các mô hình thuỷ văn sửdụng các thành tựu mới nhất của lĩnh vực thông tin địa lý (GIS) Một trongcác mô hình loại này là mô hình MARINE (Modelisation de l’Anticipation duRuissellement et des Inondations pour des événements) do Viện Cơ học chấtlỏng Toulouse (IMFT – Institut de Mecanique de Fluides de Toulouse) pháttriển Trong khuôn khổ của đề tài nghiên cứu khoa học công nghệ KC.08-13

với sự hỗ trợ của Dự án FLOCODS, Viện Cơ học đã hợp tác với Viện Cơ họcchất lỏng Toulouse trong việc ứng dụng thử nghiệm mô hình MARINE cholưu vực sông Đà Kết quả của việc hợp tác này là Viện Cơ học được sử dụng

có bản quyền mã nguồn gốc bộ chương trình của mô hình MARINE

Trong thời gian làm luận văn, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS HoàngVăn Lai, tác giả đã sưu tầm và nghiên cứu các tài liệu có liên quan tới luậnvăn Tác giả đã chọn lọc, trích dẫn từ các nguồn tài liệu đó, lấy đó làm chấtliệu để viết cuốn luận văn này Tác giả cũng sử dụng các phần mềm nhưTELEMAC 2D, VO_DAP 2D làm công cụ để chạy các bài toán mẫu, lấy kếtquả từ các chương trình đó làm luận chứng cho luận văn

Chương 2 - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.

2.1 Hệ phương trình Saint Venant.

Hệ phương trình Saint Venant (được xây dựng năm1871) là các phươngtrình quan trọng trong nghiên cứu hải dương và thuỷ đông lực sông ngòi Cácphương trình này thu được từ hệ phương trình Navier-Stocke bằng cách sửdụng một số giả thiết đơn giản hoá Một trong các giả thiết cơ bản được sửdụng là độ sâu cột nước nhỏ hơn rất nhiều so với chiều ngang của miền Sauđây là một vài dạng của hệ phương trình Saint Venant

a/ Hệ phương trình Saint-Venant một chiều:

- Hệ phương trình Saint-Venant một chiều theo biến h,u

h - giá trị mực nước

u - vận tốc (trung bình) theo hướng x

g- gia tốc trọng trường

k- hệ số Stricler trong lực cản đáy.

- Hệ phương trình Saint-Venant một chiều theo biến Q, A:

b/ Hệ phương trình Saint Venant hai chiều:

_ Hệ phương trình Saint Venant hai chiều theo các biên h,u,v

h - giá trị mực nước

u - vận tốc trung bình theo chiều sâu theo hướng x

v - vận tốc trung bình theo chiều sâu theo hướng y.g- gia tốc trọng trường.

kx- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo hướng x.

ky- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo hướng y

 e -hệ số khuyếch tán bao gồm khuyếch tán phân tử kết hợp

2.2.1 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực một chiều.

Xét hệ phương trình Saint-Venant 1D, không thành phần khuếch tán,không thành phần nguồn (không lưu lưọng phụ, không ma sát đáy, chảy trênkênh đáy phẳng) :

Lấy tổng và hiệu của hai phương trình trên, ta thu được hệ sau :

Cả hai phương trình trên đều có dạng

Suy ra

với A u2c hoặc

bất biến Riemann Chúng ta có :

d dt

d dt

Các đường C và C được gọi là các đường đặc trưng Sự tồn tại cácđường đặc trưng đã đặt hệ phương trình Saint-Venant 1D vào họ các phươngtrình hyperbolic

Ta đưa các quy ước sau:

_ Đặt hệ toạ độ (0,x,t) sao cho dòng chảy dọc theo chiều dương của trục

0x Biên vào của miền là đường dọc theo trục 0t, biên ra của miền là đường

vuông góc và cắt trục 0x tại điểm có toạ độ (0,L)

Xét trên biên vào :

_ Trường hợp 1 (xem hình 2.1): uc Dòng chảy vào miền là dòng êm,

sóng truyền nhanh hơn dòng chảy Trên đường đặc trưng C ta có

u 2hu2hC trong đó giá trị đặc trưng C được xác định qua điều

kiện đầu tại B hoặc xuất phát từ các giá trị trong miền đã tính Muốn xác địnhtrạng thái của điểm A ta cần cho thêm một mối liên hệ f (u A ,h A )  0 Ta cũngkhông thể cho nhiều hơn một quan hệ được, vì như vậy sẽ thừa Thườngngười ta cho quan hệ còn lại là modul lưu lượng q u A h A theo thời gian

Hình 2.2: Hai điều kiện biên tại thượng lưu

_ Trường hợp 2 (xem hình 2.2): u  c Dòng chảy vào miền là dòng xiết,sóng truyền chậm hơn dòng chảy Cả hai đường đặc trưng đều có hướng đilên, ta chưa thể xác định được các giá trị đặc trưng của hai đường đặc trưng

đó Vì vậy muốn xác định trạng thái điểm tại A ta cần cho hai liên hệ

f1 (u A , h A )  0

mực nước h A

và f 2 (u A , h A )  0 Trong trường hợp này người ta cho cả độ sâulẫn modul lưu lượngq  u A h A theo thời gian.

Xét trên biên ra:

t

Điều kiện biên ra (hạ lưu):

_ Trường hợp 3 (xem hình 2.3): u c Dòng chảy ra khỏi miền là dòng

êm, sóng truyền nhanh hơn dòng chảy Trên đường đặc trưng C

kiện đầu tại B hoặc từ trong miền Muốn xác định trạng thái của điểm A ta cầncho thêm mối liên hệ f (u A , h A )  0 còn lại Ta cũng không thể cho nhiều hơn

vì như vậy sẽ thừa Thường ở trường hợp này ta cho giá trị giá trị mực nước

h A hoặc độ cao cột nước z A theo thời gian

Hình 2.4: Không cần điều kiện biên tại hạ lưu.

_ Trường hợp 4 (xem hình 2.4): u c Dòng chảy ra khỏi miền là

dòngxiết, sóng truyền chậm hơn dòng chảy Trên đường đặc trưng C ta có u A  2h A

 u B  2h B  Ctrong đó giá trị đặc trưng Cđược xác định qua điều kiện đầu tại

C hoặc lấy từ trong miền đã tính Trên đường đặc trưng C ta có u A  2h A  u B 

2h B  Ctrong đó giá trị đặc trưng Cđược xác định qua điềukiện đầu tại B Dovậy ta đã có đủ hai liên hệ để xác định trạng thái của điểm

A, ta không cần cho thêm một điều kiện rằng buộc nào nữa

Từ đó người ta xây dựng khái niệm số Froude để đưa ra một tiêu chuẩnxác định số điều kiện biên:

F 

F 0,

Nếu F < 1 : Dòng chảy là êm: Cần cho 1 điều kiện biên ở thượng lưu và

1 điều kiện biên ở hạ lưu

Nếu F > 1 : Dòng chảy là xiết: Cần cho 2 điều kiện biên ở thượng lưu

Như vậy số điều kiện biên cần cho bằng số đường đặc trưng đi vào miền

tính toán

Có thể xác định số lượng điều kiện biên một cách đơn giản thông qua

công cụ tuyến tính hoá Viết lại hệ phương trình (2.2.2):

Đây là hệ phương trình á tuyến tính (ma trận của hệ phụ thuộc vào

nghiệm cần tìm) Hệ này có thể xấp xỉ bằng một hệ tuyến tính:

2.2.2 Số Froude, số điều kiện biên cần thiết cho bài toán hai chiều

Xét bài toán hai chiều trên một kênh hở, đáy phẳng nhẵn không ma sát,không có thành phần nguồn phụ, không có thành phần khuyếch tán

Bài toán đƣợc biểu diễn thông qua hệ Saint-Venant 2D

2.2.10)

G(U)  

độ (xi, yi) là trung điểm của cạnh biên ki j, biến  theo hướng pháp tuyến

Ta giả thiết rằng trên biên vận tốc dòng chảy vuông góc với biên, khi đó

sự thay đổi theo hướng tiếp tuyến  là không đáng kể, khi đó ta có thể xấp xỉbiểu thức (2.2.13) bằng phương trình sau:

Vì vậy phương trình véctơ (2.2.14) được viết lại như sau:

t 



Tuyến tính hoá và lập luận tương tự như trường hợp một chiều, các giá

trị gạch trên là của lớp lặp trước, ma trận của hệ phương trình

Vì dòng được xét theo hường của pháp tuyến ngoài của đường biên,

nên số giá trị riêng mang dấu âm tương đương với số đường đặc trưng đi

vào miền tính toán Vì vậy:

Nếu

xiết , ma trận A có 3 giá trị riêng dương, khi đó không cần cho bất

kì điều kiện biên nào

Nếu

êm, ma trận A có 2 giá trị riêng dương, một giá trị riêng âm lúc đó

ta cần cho một điều kiện biên h hoặc Z

Nếu

êm, ma trận A có một giá trị riêng dương, hai giá trị riêng âm lúc

đó ta cần cho hai điều kiện biên qx và qy

Trong thực tế khi cần cho điều kiện biên ở biên ra, người ta thường cho điều kiện biên cao trình mực nước Z Khi cần cho các điều kiện biên ở biên

vào, thay vì cho trực tiếp các đại lượng U ,V ,h , người ta thường cho các giátrị lưu lượng Q

2.3 Ý nghĩa vật lý của các điều kiện biên trong thuỷ lực học :

Biên cứng có trượt : Điều kiện đặt trên biên này là thành phần vận tốcpháp tuyến U n bằng không, hoặc lưu lượng qua biên bằng không Với kiểuđiều kiện biên này, thành phần trượt theo phương tiếp tuyến với biên kháckhông

Biên cứng có trượt, có ma sát theo phương tiếp tuyến: Hệ số ma sát ađược cho bởi người sử dụng hoặc được tính toán bởi mô hình rối Công thứcđiều kiện biên được cho dưới dạng Newman :

Biên sóng: Biên sóng là một sóng dạng hình sin đi vào hoặc đi ra qua biên mở Dạng điều kiện biên này thường dùng trong các bài toán nghiên cứu

thuỷ triều trên biển Đối với một sóng có tần số  , biểu thức của biên sẽ là như sau :

* k : véctơ sóng đơn vị

sóng người làm thuỷ lực không cần biết trước quá trình mực nước tại biên

miền tính toán Mực nước được xác định thông qua biên

độ, tần số và pha của quá trình triều

Biên tự do : Biên tự do thường áp dụng cho các bài toán lan truyền sóng

vỡ đập, khi mà ta không thể cho ngay bất kì quá trình mực nào tại các biêncủa miền tính Đối với những bài toán dạng này, người ta quan tâm tới nhữnghiện tượng xảy ra trong nội miền hơn những gì xảy ra ở trên biên của miền.Kết quả của bài toán còn rất tốt cho tới khi sóng vỡ đập lan truyền tới biên Vìvậy người làm thuỷ lực khôn khéo sẽ chỉ lấy các kết quả trước khi sóng giánđoạn tiếp cận biên Biểu thức trên biên tự do là như sau:

 u

 0

n

3.1 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phương pháp khối hữu hạn.

3.1.1 Phương pháp rời rạc hoá hệ phương trình Saint Venant.

Trong phương pháp khối hữu hạn, ta sử dụng hệ phương trình SaintVenant viết cho các biến h,qx,qy dưới dạng (2.2.14) của chương 2 :

Hệ phương trình (2.2.14) có thể được viết lại dưới dạng bảo toàn nhưsau:

Hình 3.1: Phần tử trong miềnCác phần tử lưới được giả thiết cố định theo thời gian, và các đại lượngkhông thay đổi trên từng cạnh Tích phân đường khép kín có thể được xấp sỉnhư sau:

 E,G.n dc E,GcanhK n

canhK dC

canhK C

Đối với đạo hàm theo thời gian ta rời rạc hoá theo sai phân tiến Eurler, phương trình (3.1.3) trở thành:

Trong đó các chỉ số R và L dùng để phân biệt giá trị của đại lượng bên

phải và bên trái của cạnh k A RL là xấp xỉ Jacobien của dòng